双曲线的简单几何性质(修改)

1、复习回顾：双曲线的标准方程复习回顾：双曲线的标准方程:形式一：形式一： （焦点在（焦点在x轴上，轴上， （- -c，0）、）、 （c，0）)0, 0( 12222babyax1F2F 形式二：形式二：（焦点在（焦点在y轴上，（轴上，（0，- -c）、（）、（0，c） 其中其中) 0, 0( 12222babxay1F2F222bac 类似于椭圆几何性质的研究类似于椭圆几何性质的研究. 2、对称性、对称性 一、研究双曲线一、研究双曲线 的简单几何性质的简单几何性质1、范围、范围22221,xxaaxa xa 即即关于关于x轴、轴、y轴和原点都是对称轴和原点都是对称.x轴、轴、y轴是双曲线的对称轴

2、，原点是对称中心轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心,又叫做双曲线的又叫做双曲线的中心中心.xyo- -aa(-x,-y)(-x,y)(x,y)(x,-y)22221(0,0)xyabab 3、顶点、顶点（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点顶点xyo-b1B2Bb1A2A-aa如图，线段如图，线段 叫做双曲线叫做双曲线的实轴，它的长为的实轴，它的长为2a,a叫做叫做实半轴长；线段实半轴长；线段 叫做双叫做双曲线的虚轴，它的长为曲线的虚轴，它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴长叫做双曲线的虚半轴长.2A1A2B1B（2）(3)实轴与虚轴等长的双曲线叫实轴与

3、虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线等轴双曲线.22(0)xym m 1yx思考：1.的图像是什么？轴轴和图像无限靠近yx1,xyyx轴轴叫做的渐进线.想一想：以前还见过渐近线吗？指数函数和对数函数及三角函数中有吗？4、渐近线、渐近线1A2A1B2Bxyobyxa byxa ab利用渐近线可以较准确的画出利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图双曲线的草图(2)渐近线对双曲线的开口的影响渐近线对双曲线的开口的影响(3) 双曲线上的点与这两双曲线上的点与这两直线有什么位置关系呢直线有什么位置关系呢?如何记忆双曲线的渐近线方程？如何记忆双曲线的渐近线方程？5、离心率、离心率e是表示双曲线开口大小的一个量是表

4、示双曲线开口大小的一个量, ,e 越大开口越大越大开口越大ca0e 12222( )11bcaceaaa （4）等轴双曲线的离心率等轴双曲线的离心率e= ?2 ,关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称图形图形方程方程范围范围对称性对称性顶点顶点离心率离心率1 (0)xyabab22222222A1（- a，0），），A2（a，0）A1（0，-a），），A2（0，a） 1 00yx(a,b)ab 2 22 22 22 2 yaya x R ，或或关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称 (1)ceea 渐进线渐进线ayxb .yB2A1A2 B1 xOF2F1xB1yO.F2F1B2A

5、1A2.F1(-c,0)F2(c,0)F2(0,c)F1(0,-c) x axa y R ，或或 (1)ceea byxa .144169122方程、离心率、渐近线和虚半轴长、焦点坐标的实半轴长求双曲线例xy. 134144169222222 xyxy化为标准方程把方程解,4 a实半轴长由此可知,;53433222 bacb虚半轴长 ;,455050 ace离心率焦点坐标是. xy34 渐近线方程为例题讲解例题讲解 2283 2xy 练习练习(1) ：2214xy(2) : 的渐近线方程为：的渐近线方程为： 的实轴长的实轴长 虚轴长为虚轴长为_ 顶点坐标为顶点坐标为 ,焦点坐标为焦点坐标为_

6、离心率为离心率为_2xy 4280 , 240 ,63242244xy的渐近线方程为：的渐近线方程为： 2214xy 的渐近线方程为：的渐近线方程为： 的渐近线方程为：的渐近线方程为： 2244xy 2xy2xy 2xy12222byax的方程为解：依题意可设双曲线8162aa，即10,45cace又3681022222acb1366422yx双曲线的方程为xy43渐近线方程为)0 ,10(),0 ,10(21FF 焦点5164.ex已知双曲线顶点间的距离是 ，离心率，焦点在 轴上，中心在原点，写出双曲线的方程，并且求出它的渐近线和焦点坐标例例2思考思考:一个双曲线的渐近一个双曲线的渐近线的方

7、程为线的方程为: ,它的离心率为它的离心率为 .xy43 5543或 与双曲线与双曲线221916xy 有共同渐近线，且过点有共同渐近线，且过点( 3,2 3) ； 与双曲线与双曲线221164xy有公共焦点，且过点有公共焦点，且过点(3 2,2) 例例3 :求下列双曲线的标准方程：求下列双曲线的标准方程：法二：法二：巧设方程巧设方程,运用待定系数法运用待定系数法.设双曲线方程为设双曲线方程为 ,22(0)916xy 22( 3)(2 3)916 14 221944双曲线的方程为xy 法二：法二：设双曲线方程为设双曲线方程为221164xykk 16040kk 且且221128xy 双曲线方程

8、为双曲线方程为22(3 2)21164kk ,解之得解之得k=4,222221,2012(30)xymmm或设求得舍去2231492454xye、求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程。. 1916, 91625, 4455, 1505. 5,252449222222222yxbaaayaxcc可得求得然后由设共焦点的双曲线为），焦点为（得解：由1, 1122222222222222mcymxcmymxbyax双曲线系方程是共焦点的椭圆系方程是注：与 4. 求与椭圆求与椭圆xy221681有共同焦点，渐近线方程为有共同焦点，渐近线方程为xy30的双曲线方程。的双曲线方程。 解：解：椭圆的焦点

9、在椭圆的焦点在x轴上，且坐标为轴上，且坐标为），（，022)022(21FF双曲线的焦点在 轴上，且xc2 2双曲线的渐近线方程为双曲线的渐近线方程为xy33bacabab33822222，而， 解出解出2622ba，双曲线方程为xy22621 练习练习: :求出下列双曲线的标准方程求出下列双曲线的标准方程 . )(,.,).(,mmmmm15525131218224到到精确精确此双曲线方程此双曲线方程求出求出适当的坐标系适当的坐标系试选择试选择高高为为下口半径下口半径径为径为上口半上口半为为径径半半它的最小它的最小图图旋转所成的曲面旋转所成的曲面虚轴虚轴其其部分绕部分绕的一的一是双曲线是双曲

10、线塔的外形塔的外形双曲线型冷却双曲线型冷却例例 8221 .图图AABBCCxy 8222 .图图131225O .| ,|,.,.2252132822 BBCCxBBCCxAAxOy且轴都平行于上、下口的直径这时重合圆心与原点轴上在径使小圆的直角坐标系建立直如图解 ,0012222 babyax设双曲线的方程为 .,5525 yB的坐标为则点 , yC13的坐标为令点所以在双曲线上因为点,CBAABBCCxy 8222 .图图131225O 2112131155122522222222., byby ,负值舍去得由方程1252by .,2501815027519155125122512222

11、2 bbbbb用计算器解得化简得得代入方程.,162514422 yx所求双曲线的方程为所以椭圆的第二定义：椭圆的第二定义：.) 10(圆，则这个点的轨迹是椭是常数的距离的比线的距离和它到一条定直与一个定点动点eacelFM.是椭圆的离心率准线，常数直线叫做椭圆的定点是椭圆的焦点，定exyl l.F2F 1O.Md.)0(:)0()(2的轨迹，求点距离的比是常数的的距离和它到定直线，与定点，点MacaccaxlcFyxM解：解：xyl l.FF OM的距离，则到直线是点设lMd由题意知acdMF|d.|)(222accaxycx即化简. )()(22222222acayaxac，则设222ba

12、c12222byax方程化为)0, 0(ba.22的双曲线、分别为的轨迹是实轴、虚轴长点baM.仿课本仿课本P59例例5双曲线的第二定义：双曲线的第二定义：.) 1(曲线，则这个点的轨迹是双是常数的距离的比线的距离和它到一条定直与一个定点动点eacelFM.是双曲线的离心率准线，常数定直线叫做双曲线的定点是双曲线的焦点，e.)0(1222222caxcFbyax，对应的右准线方程是，右焦点，对于双曲线.)0(21caxcF对应的左准线方程是，左焦点cayy2程是：轴上的双曲线的准线方焦点在yl l.FF OMd.x，求证：是双曲线右支上任意点）（的焦点已知双曲线),(),0 ,(0 ,)0,

13、0( 100212222yxPcFcFbabyax例例6证明：证明：，01|exaPFP说明：说明：|PF1|, |PF2|称为椭圆的焦半径，此公式称为焦半径公式称为椭圆的焦半径，此公式称为焦半径公式cax2双曲线的左准线为：由双曲线的第二定义得accaxPF201|01|:|exaPF整理得：由双曲线的第一定义得0122|exaaPFPFmin1| PFac为双曲线的离心率。其中eyl l.F2F1O.02|exaPFxacmin2| PF| |,|),(),0 ,(0 ,)0, 0( 12100212222PFPFyxPcFcFbabyax，求是双曲线左支上任意点）（的焦点已知双曲线练习练

14、习证明：证明：Pcax2双曲线的左准线为：由双曲线的第二定义得acxcaPF021|01|:|exaPF整理得：由双曲线的第一定义得0122|exaaPFPFyl l.F2F1O.x227186436xyPP例 ：已知双曲线右支上一点 到右焦点的距离等于 ，求点 到双曲线左准线的距离。解：解：，、为到左、右准线距离分别设ddPedPF|2则ePFd|2两准线间的距离：由双曲线的第二定义得Pyl l.F2F1O.6822bacba，105324585642)(222cacaca596532564/dx解解2：451 edPF：由双曲线的第一定义得24|2|21PFaPF：由双曲线的第二定义得22

15、7186436xyPP例 ：已知双曲线右支上一点 到右焦点的距离等于 ，求点 到双曲线左准线的距离。Pyl l.F2F1O.6822bacba，10596|1ePFd。到双曲线左准线的距离求点，到右焦点的距离等于上一点思考：已知双曲线PPyx81366422222281,9163(9,2),|5xyF MAMAMF例 ：已知双曲线方程为的右焦点为是双曲线右支上一点，定点求的最小值My.F2F1O.xA得：解：由双曲线第二定义)( ,|2到右准线的距离为MdedMFdMF35|2即dMAMFMA|53|2536599)|(|2mincaxdMAA的最小值。求曲线右支上一点，定点是双的右焦点为为练

16、习：已知双曲线方程|),2 , 9(,11692222MFMAAMFyxMy.F2F1O.xA得：解：由双曲线第一定义62|21aMFMF6|12 MFMF即6|12MFMAMFMA621062146|)6|(|221min1AFMFMA2222(2)1(0),00,34xyababclabl例9、 求适合下列条件的双曲线的离心率：双曲线的半焦距为 ，直线 过点()()两点，且原点到直线 的距离为c；2e oxyF F1 1F F2 2P PlA AB B典例讲评典例讲评2221(2)2.3xyaa练习:求适合下列条件的双曲线的离心率：(3)双曲线的两条渐近线(含实轴)的夹角为2 33e 椭圆

17、与直线的位置关系及判断方法椭圆与直线的位置关系及判断方法判断方法判断方法0（1）联立方程组）联立方程组（2）消去一个未知数）消去一个未知数（3）复习复习: :相离相切相交直线与双曲线位置关系：直线与双曲线位置关系：XYO初步感知初步感知分类分类:相离；相切；相交。相离；相切；相交。根据交点个数判定根据交点个数判定XYOXYO相离相离:0:0个交点个交点相交相交: :一个交点一个交点相交相交: :两个交点两个交点相切相切: :一个交点一个交点图象法图象法: :把直线方程代入双曲线方程把直线方程代入双曲线方程得到一元一次方程得到一元一次方程得到一元二次方程得到一元二次方程直线与双曲线的直线与双曲线

18、的渐近线平行渐近线平行相交（一个交点）相交（一个交点） 计计 算算 判判 别别 式式0=00 21,8 ,ABP弦的中点是 2k 8-k中点坐标公式与韦达定理,得-=1 3k -4 22由1 3 得k = 12x直线AB的方程为y-81 = 即直线AB的方程为x-2y+15=0典型例题典型例题: :112222112222,44,44A x yB xyxx解法二:设则yy111112124,yyyyxxxx1,8 ,ABP弦的中点是12122,16.xxyy1112168,yyxx11121,2yyABxx直线的斜率为12x直线AB的方程为y-81 = 即直线AB的方程为x-2y+15=0典型例题典型例题: : 例例4 4 设两动点设两动点A A、B B分别在双曲线分别在双曲线 的两条渐近线上滑动，且的两条渐近线上滑动，且|AB|AB|2 2，求线段，求线段ABAB的中点的中点M M的轨迹方程的轨迹方程. .2214xy-=ox xy yB BA AM M22414xy+=1122212122,2,2222Ay yByyAByyyy设则由得典型例题典型例题: : 2222练练习习题题: :已已知知双双曲曲线线C:2x -y =2C:2x