南开大学宋峰热学第4章

1、第四章 玻尔兹曼分布律弱耦合系统玻尔兹曼分布律的简单应用 Boltzman Distribution in infirm-coupling system4.1 玻尔兹曼分布律 Boltzman Distribution v一. 弱耦合系统(Infirm-coupling system)系统中粒子数密度足够低;平均自由程比相互作用距离足够长.v例如:稀薄气体.v二. 玻尔兹曼分布维体积元的粒子数能量fll2:eNellll/kTl/kTllmgzvvvmzndVdVdxdydzdVeekTmndNdvvvdvvvdvvvmgzvvvmdvdvdxdydzdvdwpppzyxfpzyxkyxkTk

2、TVzVyVxzzzzyyyxxxzyxlzyxlzyxpk)(20:)2(,)(2,32220/2/30,222处分子数密度内在）位置及速度的空间，六维（分子自由度4.2 重力场中微粒按高度分布 Particles distribution depending on the height in gravity fieldv一.dxdydzendxdydzeekTmndVdVdVdNkTmgzkTkTzyxzpk/0/2/30)2(RTgzkTmgzzenendxdydzdNzn/0/0)(v二. 等温大气压公式(Isothermal air-pressure formula) 大气压 Hzz

3、RTgzRTgzenngRTHppHppgRTzePkTenkTznzP/000/0/0lnln)()(等温大气标高取对数：85km50km22km9-17km地面热层热层中间层中间层平流层平流层对流层对流层外逸层外逸层非均质层非均质层均质层均质层v三. 悬浮微粒按高度的分布(Suspended articles distribution depending on the height)可用来计算NA:)()()(ln)()()()1 (21*21)(/(21/0*12*zzkTgmznzneznznenzngmmgmggmFgmVgFzzkTgmkTgzmLLLL)()(ln)()(2112

4、znznzzgmRTNLA4.3 麦克斯韦速度分布律 The Maxwell Velocity Distributionv一. 由玻尔兹曼分布律:dVdVdVekTmNdVdVdVeekTmndzdydxdNdVdVdxdydzdVeekTmndNyxvvvmyxkTkTVzVyVxzyxkTkTVzVyVxzzyxpkpk/)(2/3/2/30,/2/30,222)2()2()2(二二.，且都满足归一条件：),()()()()2(),(),(2/ )(2/3,222zyxzyxkTvvvmzyxyxzyxVzVyVxzvvvfvfvfvfekTmvvvfdVdVdVvvvNfdNzyx1),

5、(zyxzyxVVVfdVdVdVkTmVzkTmVykTmVxzyxekTmVfekTmVfekTmVf22/122/122/1222)2()()2()()2()(v三. 速度分布律 最概然速率平均速率方均根速率 kTmveVkTmVf222/32)2(4)(RTmkTvp22RTmkTdvvvfv88)(0RTmkTdvvfvv33)(022v四.误差(error)函数xxdxexerf022)(v五. 应用举例 1. 多普勒展宽(Doppler Spectra Broadening) 2. 泻流(Effusion)v热分子压力差v同位素(Isotope)分离(比如: U238 和 U23

6、5)v分子射线(Molecular ray)2211TpTp4.4 能量按自由度均分定理 Equipartition of Energy in Classical Statistical Mechanicsv一. 内能=分子动能+相互作用势能+电子能+核能+ 对气体: kAmkNU:1mol:gasidealfor分子动能内能v二. 定容热容量v1. 热容v改变单位温度,与外界交换的热量.(Molar heat capacity)TQCTQCTQCTQCmRTmRVTVPTPRTR,0,000limlimlimlim摩尔热容量：定容：定压：2. 热容与下列因素有关v物质本身vCR(T)v与T变

7、化历程有关v内能与热容的关系dTdUCmVm,v三. 自由度(Degrees of Freedom)1.2121.212121.212121222244233222211211222iivrzyxtvrtkkdtdmIIImvmvmv振动自由度：转动自由度：平动自由度：2. 分子自由度(Degrees of Freedom of Molecules):v单原子分子(He, Ar, C) t=3v双原子分子(H2,O2,CO) t=3,r=2(刚体); t=3,r=2,v=1(非刚体)v三原子分子(CO2,H2O) CO2:r=2; H2O :r=3.v多原子分子 自由度=3n (若是刚体3;若

8、非刚体=3)v四分子热运动平均能量(Energy of the Thermal movement of Molecules ).2121.212121.212121222244233222211211222iivrzyxtvrtkkdtdmIIImvmvmv2725232)(2212kTkTkTkTvrtikkkijijijrvtk非刚性：刚性：双原子：单原子：总自由度v一个分子总能量:v1mol分子总能量:RTikTNNUAkA221)2(2vrtikTikv五 理想气体摩尔内能 (Heat capacity of the ideal gas)RidTdUCRTikTiNNUmVmAkAm222,.10.2927;79.2025;47.122311,11,11,KmolJRCKmolJRCKmolJRCVmVmVm非刚性双原子：刚性双原子：单原子分子：v六 能量按自由度均分定理(Equipartition of energy according to the degrees of freedom)2(2vrtikTikv由能均分定理看经典物理学困难: