第4章静态场的解

1、已知，电位已知，电位 与电场强度与电场强度 E 的关系为的关系为 对上式两边取散度，得对上式两边取散度，得 对于线性各向同性的均匀介质，电场强度对于线性各向同性的均匀介质，电场强度 E 的散度为的散度为 E2 E E那么，线性各向同性的均匀介质中，电位满足的微分方程式为那么，线性各向同性的均匀介质中，电位满足的微分方程式为 2该方程称为该方程称为泊松方程泊松方程。 对于无源区，上式变为对于无源区，上式变为 02上式称为上式称为拉普拉斯方程拉普拉斯方程。 第四章 静态场的解4.1 边值问题的分类边值问题的分类边值问题是指存在边界面的电磁问题。边值问题是指存在边界面的电磁问题。根据给定边界条件对边

2、值问题分类：根据给定边界条件对边值问题分类：第一类边值问题：已知电位函数在全部边界面上的分布值。第一类边值问题：已知电位函数在全部边界面上的分布值。 第二类边值问题：已知函数在第二类边值问题：已知函数在全部全部边界面上的法向导数。边界面上的法向导数。SfSfn22Sfn 第三类边值问题（混合边值问题）：已知一部分边界面上的函第三类边值问题（混合边值问题）：已知一部分边界面上的函数值，和另一部分边界面上函数的法向导数。数值，和另一部分边界面上函数的法向导数。11Sf12SSS（确定积分常数）2R1R例1: 已知无限长同轴电缆内、外半径分别为 和 ，如图所 示，电缆中填充均匀介质，内外导体间的电位

3、差为 ，外导体接地。求其间各点的电位和电场强度。1R2RU解：根据轴对称的特点和无限长的假设，可确定电位函数满足一维拉普拉斯方程，采用圆柱坐标系1()0rrrrlnArB积分由边界条件1lnUARB20lnARB221lnlnRURrR则：E 例例2 2 设一段环形导电媒质，其形状及尺寸如图示。计算两个端面设一段环形导电媒质，其形状及尺寸如图示。计算两个端面之间的电阻。之间的电阻。 Uyxtabr0(r,)0解解 显然，必须选用圆柱坐标系。设两显然，必须选用圆柱坐标系。设两个端面之间的电位差为个端面之间的电位差为U，且令，且令 当角度当角度 时，电位时，电位 。001当角度当角度 时，电位时，

4、电位 。2U2那么，由于导电媒质中的电位那么，由于导电媒质中的电位 仅与角度仅与角度 有关，因此电位满足有关，因此电位满足的方程式为的方程式为0dd22此式的通解为此式的通解为 21CC 利用给定的边界条件，求得利用给定的边界条件，求得 U2rUr2eeEJ导电媒质中的电流密度导电媒质中的电流密度 J 为为 那么由那么由 的端面流进该导电媒质的电流的端面流进该导电媒质的电流 I 为为 2)d (2drtrUISeeSJS abUtrrUtbaln2d2因此该导电块的两个端面之间的电阻因此该导电块的两个端面之间的电阻 R 为为 abtIURln2电流密度矢量电场强度矢量 电势分布4.2 4.2

5、唯一性定理唯一性定理 唯一性定理内容：在场域唯一性定理内容：在场域V V的各边界面的各边界面S S上给定电位上给定电位 、 的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V V内的解唯一。内的解唯一。n说明：若对同一面积，同时给定说明：若对同一面积，同时给定 和和 的值，则不存在唯一解。的值，则不存在唯一解。n唯一性定理的意义：唯一性定理的意义：指出了静态场边值问题具有唯一解的条件指出了静态场边值问题具有唯一解的条件为静态场边值问题求解方法提供了理论依据，为结果正确性提供为静态场边值问题求解方法提供了理论依据，为结果正确性提供了判据了判据唯一性定理是间接法求解拉普拉斯

6、方程（泊松方程）的理论依据唯一性定理是间接法求解拉普拉斯方程（泊松方程）的理论依据4.3 镜像法镜像法 几个实例：几个实例：qq非均匀感应电荷非均匀感应电荷等效电荷等效电荷非均匀感应电荷产生的非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代等效电荷的电位替代求解位于接地导体板附近的点电荷产生的电位求解位于接地导体板附近的点电荷产生的电位接地导体球附近有一个点电荷，如图。接地导体球附近有一个点电荷，如图。q非均匀感应电荷非均匀感应电荷q等效电荷等效电荷非均匀感应电荷产生的非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代等效电荷的电位替代

7、镜像法的目的：把原问题中镜像法的目的：把原问题中包含典型边界包含典型边界的场的计算问题化为的场的计算问题化为无限无限大均匀媒质空间大均匀媒质空间中的问题求解中的问题求解, ,达到达到简化求解简化求解的目的的目的. . 镜像法基本思路：在镜像法基本思路：在求解域外求解域外的适当位置，放置的适当位置，放置虚拟电荷虚拟电荷等效替代等效替代分界面上导体的感应面电荷或媒质的极化面电荷的作用，取消分界分界面上导体的感应面电荷或媒质的极化面电荷的作用，取消分界面的存在。面的存在。镜像法原理镜像法原理 镜像法理论依据：唯一性定理。镜像法理论依据：唯一性定理。 由唯一性定理：满足同一方程和同样边界条件的电位分布

8、的解是由唯一性定理：满足同一方程和同样边界条件的电位分布的解是相同的，所以引入像电荷（等效电荷）后，应该有相同的，所以引入像电荷（等效电荷）后，应该有 电位函数仍然满足原方程（拉氏方程或泊松方程）电位函数仍然满足原方程（拉氏方程或泊松方程） 电位分布仍满足原边界条件电位分布仍满足原边界条件镜像电荷位置选择原则：镜像电荷位置选择原则： 镜像电荷的引入不能改变原问题的边界条件镜像电荷的引入不能改变原问题的边界条件 镜像电荷必须位于求解区域以外镜像电荷必须位于求解区域以外4.3.14.3.1、接地导体平面的镜像、接地导体平面的镜像1 1、点电荷对无限大接地平面导体边界的镜像、点电荷对无限大接地平面导

9、体边界的镜像 xzhq导体 原问题：原问题： 无限大接地导体平面（无限大接地导体平面（z=0z=0）, ,点点电荷电荷q q位置：位置：z=h z=h 求空间中电位分布。求空间中电位分布。 xzhhqq( , , )P x y zRR 等效问题：等效问题： 要求：与原问题边界条件相同要求：与原问题边界条件相同 原电荷：原电荷：q:z=h q:z=h 镜像电荷镜像电荷( (等效电荷等效电荷):-q-z=-h():-q-z=-h(求解求解域外域外) ) 取消导体边界面，取消导体边界面，z0z0空间媒质充满整空间媒质充满整个空间。个空间。由等效问题，可以求出在由等效问题，可以求出在z0z0空间内的电

10、位分布为：空间内的电位分布为：11( , , )()4qx y zRR22222211()(0)4()()qzxyzhxyzh222 3/22 ()qhxyh222 3/22 ()imssqhqdsdxdyqxyh 即：无限大导体平面上，点电荷的镜像电荷电量与其在导体面上即：无限大导体平面上，点电荷的镜像电荷电量与其在导体面上的感应电荷电量相等。的感应电荷电量相等。无限大接地导体分界面上感应电荷无限大接地导体分界面上感应电荷2 2、 线电荷对无限大接地平面导体边界的镜像线电荷对无限大接地平面导体边界的镜像 xzhhl( , )P x zRRl xzhl导体 对于线电荷对于接地导体面的镜像，类似

11、地可得到等效问题对于线电荷对于接地导体面的镜像，类似地可得到等效问题llzh 在在z0z0空间的电位分布为：空间的电位分布为：11( , , )(lnln)2lx y zRR2222()ln()ln(0)22()llxzhRzRxzh3 3、点电荷对相交接地平面导体边界的镜像、点电荷对相交接地平面导体边界的镜像 xy1h2h2h1hq1qq3qq2qq 如图，两半无限大接地导体平面如图，两半无限大接地导体平面垂直相交。垂直相交。 要满足在导体平面上电位为零，要满足在导体平面上电位为零，则必须引入则必须引入3 3个镜像电荷。如图所示。个镜像电荷。如图所示。 对于非垂直相交的两导体平面对于非垂直相

12、交的两导体平面构成的边界，若夹角为构成的边界，若夹角为 ，则，则所有镜像电荷数目为所有镜像电荷数目为2n-12n-1个。个。n xqu当当n n=3=3时：时：un不为整数时，镜像电荷将有无数个，镜像法就不再适用不为整数时，镜像电荷将有无数个，镜像法就不再适用了；当角域夹角为钝角时，镜像法亦不适用。了；当角域夹角为钝角时，镜像法亦不适用。角域外有角域外有5 5个镜像电荷，大个镜像电荷，大小和位置如图所示。所有小和位置如图所示。所有镜像电荷都正、负交替地镜像电荷都正、负交替地分布在同一个圆周上，该分布在同一个圆周上，该圆的圆心位于角域的顶点圆的圆心位于角域的顶点，半径为点电荷到顶点的，半径为点电

13、荷到顶点的距离。距离。 3q3qqqqqq例例: :一个点电荷一个点电荷q q与无限大导体平面距离为与无限大导体平面距离为d d，如果把它移至无穷远，如果把它移至无穷远处，（外力）需要做多少功？。处，（外力）需要做多少功？。qqq qx x = = 0 0 d d -d-d解：移动电荷解：移动电荷q q时，外力需要克服电场力做功，而电荷时，外力需要克服电场力做功，而电荷q q受的电场力受的电场力来源于导体板上的感应电荷。可以先求电荷来源于导体板上的感应电荷。可以先求电荷q q移至无穷远时电场力移至无穷远时电场力所做的功。所做的功。 由镜像法，感应电荷的电场可以用像电荷由镜像法，感应电荷的电场可

14、以用像电荷q qq q替代。当电荷替代。当电荷q q移至移至x x时，像电荷时，像电荷q q应位于应位于x x，则有，则有 2042xqE xex 20016eqAAd 4.3.2 4.3.2 导体球面的镜像导体球面的镜像 1 1、点电荷对接地球面导体边界的镜像、点电荷对接地球面导体边界的镜像 qqOr rRdd( , )P r镜像电荷位于球心与电荷镜像电荷位于球心与电荷q q连线上。连线上。 令镜像电荷电量为令镜像电荷电量为 ，与球心距离，与球心距离为为 。要保持边界条件不变，则：。要保持边界条件不变，则：qd在空间中任意点在空间中任意点 处电位为：处电位为：( , )P r14qqRr22

15、2cosRrdrd222cosrrdrd q qOr rRdd( , )P rz由边界条件可知：由边界条件可知：0r a14r ar aqqRr镜像电荷镜像电荷221(42cosqadad22)02cosqadad22222222() ( )2 ()cos0adqadqa dqd q22222222() ( )02 ()0adqadqa dqd q2(aqqqqdadddd 或舍去）结论：点电荷结论：点电荷q q对接地导体球面的镜像电荷为对接地导体球面的镜像电荷为2aaqqddd 电量：位置： 当电荷位于接地导体球壳内时，将在当电荷位于接地导体球壳内时，将在导体内表面激励起感应电荷，但由于球壳

16、导体内表面激励起感应电荷，但由于球壳接地，在球外空间不能建立起场分布（被接地，在球外空间不能建立起场分布（被屏蔽）。屏蔽）。 可以求得镜像电荷：可以求得镜像电荷：aqqd 电量：2add位置：对点电荷位于接地导体球壳内问题的讨论对点电荷位于接地导体球壳内问题的讨论aqd Obqd rRRP| | q q|q q| |，可见球外的电荷量大于球内电荷量，可见球外的电荷量大于球内电荷量 像电荷的位置和电量与外半径像电荷的位置和电量与外半径b b无关无关2 2、点电荷对不接地球面导体边界的镜像、点电荷对不接地球面导体边界的镜像当球壳不接地时，导体球面电位不为当球壳不接地时，导体球面电位不为0 0，球，

17、球面上存在正、负感应电荷（感应电荷总量面上存在正、负感应电荷（感应电荷总量为为0 0）。）。处理方法：电位叠加原理处理方法：电位叠加原理处理过程：处理过程： 先假设导体球面接地，则球面上存在电量为先假设导体球面接地，则球面上存在电量为 的感应电荷，镜像电荷的感应电荷，镜像电荷可采用前面的方法确定。可采用前面的方法确定。 断开接地。将电量为断开接地。将电量为 的电荷加到导体球面上，这些电荷必然均匀的电荷加到导体球面上，这些电荷必然均匀分布在球面上，以使导体球为等势体。分布在球面上，以使导体球为等势体。 均匀分布在导体球面上的电荷均匀分布在导体球面上的电荷 可以用位于球心的等量点电荷等效。可以用位

18、于球心的等量点电荷等效。 q q qaqrPd1 qd2 -qRR分析可知：点电荷分析可知：点电荷q q对非接地导体球面的镜像电荷有两个：对非接地导体球面的镜像电荷有两个：镜像电荷镜像电荷1 1：电量：电量：aqqd 位置：位置：2add镜像电荷镜像电荷2 2：电量：电量：aqqqd 位置：位于球心。位置：位于球心。14qqqRrr球外空间某点电位为：球外空间某点电位为：aqrPd qd -qrR真空中一点电荷真空中一点电荷Q Q位于导体球附近。导体球半径为位于导体球附近。导体球半径为a a，点电荷距，点电荷距离球心距离为离球心距离为d d（dada）。求：）。求： （1 1）导体球接地时空间

19、电位分布及电荷）导体球接地时空间电位分布及电荷Q Q所受的电场力；所受的电场力； （2 2）导体球未接地时空间电位分布及电荷）导体球未接地时空间电位分布及电荷Q Q所受的电场力；所受的电场力； Q qOr rRdd( , )P r解解:(1):(1)当导体球接地时，由镜像法，当导体球接地时，由镜像法，原问题可等效为空间只存在原问题可等效为空间只存在Q Q和镜像电和镜像电荷荷q q，不存在边界的问题。，不存在边界的问题。 易知：易知： aqqd 2add例例 则球外空间任意点则球外空间任意点 处电位为：处电位为：( , , )P x y z2202422142cos()/2 (/ )cosQrd

20、rdarad radr ad导体球接地，因此球内空间电位为导体球接地，因此球内空间电位为0 0，即：，即：0()ra电荷电荷Q Q受静电力为：受静电力为：22222004()4()rrqqadqFeeddda (2)(2)当导体球不接地时，由镜像法，原问当导体球不接地时，由镜像法，原问题可等效为空间只存在题可等效为空间只存在Q Q和镜像电荷和镜像电荷q q和和q q，不存在边界的问题。，不存在边界的问题。 易知：易知： Q qOr rRdd( , )P rqaqQd 2addaqqQd 位置位于球心。位置位于球心。则球外空间任意点则球外空间任意点 处电位为：处电位为：( , , )P x y

21、z14QqqRrr2200()4()4rQqQqFeddd1 1、线电荷对导体圆柱边界的镜像、线电荷对导体圆柱边界的镜像 如图：线电荷位于导体圆柱外，如图：线电荷位于导体圆柱外，距离轴心距离轴心d d。设镜像线电荷为。设镜像线电荷为 ，与轴心距离为与轴心距离为 。ld2222()( )00lllld add ad 根据镜像法镜像选择原则，镜像根据镜像法镜像选择原则，镜像电荷必须位于导体电荷必须位于导体区域区域内，其与源内，其与源线电荷共同在导体分界面上产生的线电荷共同在导体分界面上产生的电位为电位为0 0。2/lllldddad 或（舍去）4.3.3 导体圆柱面的镜像Crddrrddrllco

22、s22cos2222221ln1ln2.2.带有等量异号电荷的平行长直导体圆柱间的镜像带有等量异号电荷的平行长直导体圆柱间的镜像 设想将两导体圆柱面上的电荷设想将两导体圆柱面上的电荷用两根平行的线电荷等效，用两根平行的线电荷等效，线电荷密度分别为线电荷密度分别为 和和 ，其位置如图所示。其位置如图所示。llbhdbhd,222ahbaddrrlln2由图可得由式（4.3.16）求得电位叠加4.3.4 4.3.4 介质平面的镜像介质平面的镜像问题：点电荷位于两种电介质分界面上方问题：点电荷位于两种电介质分界面上方h h，求空间电位分布。，求空间电位分布。分析：在介质分界面上将存在极化面电荷，分析

23、：在介质分界面上将存在极化面电荷，空间电位由极化面电荷和电荷空间电位由极化面电荷和电荷q q共同产生。共同产生。解决问题方法：镜像法，即用镜像电荷解决问题方法：镜像法，即用镜像电荷等效极化电荷作用。等效极化电荷作用。qhO 1 2 zqhO 1 zhqPR1 R1hO 2 zPR2 qq 区域区域1 1的电位由的电位由q q和位于区域和位于区域2 2中的镜像电荷中的镜像电荷q q共同产生共同产生 区域区域2 2的电位由的电位由q q和位于区域和位于区域1 1中的镜像电荷中的镜像电荷 共同产生共同产生q 111114qqqqRR 22222211()(0)4()()qqzxyzhxyzh221( , , )()4qqx y zR22221(0)4()qqzxyzh在在z=0z=0面上应用电位边界条件面上应用电位边界条件1200121200zzzzzz12qqqqqqqq12121212(1(qqqqq 计算媒质 中电位)计算媒质2中电位)电介质中的电场分布：电介质中的电场分布：12111212q