理论力学 第2版 09点的合成运动

1、第九章第九章 点的合成运动点的合成运动第一节第一节 基本概念基本概念研究动点在不同参照系中表现出来的不同运动形式之间的关系。研究动点在不同参照系中表现出来的不同运动形式之间的关系。 一、参考系一、参考系动参考系：动参考系：定参考系：定参考系：二、绝对运动、相对运动与牵连运动二、绝对运动、相对运动与牵连运动绝对运动：动点相对于定系的运动绝对运动：动点相对于定系的运动1. 绝对运动绝对运动绝对速度：动点相对于定系的速度，记作绝对速度：动点相对于定系的速度，记作av绝对加速度：动点相对于定系的加速度，记作绝对加速度：动点相对于定系的加速度，记作aa相对于地球静止的参考系，简称定系。相对于地球静止的参

2、考系，简称定系。相对于地球运动的参考系，简称动系。相对于地球运动的参考系，简称动系。二、绝对运动、相对运动与牵连运动二、绝对运动、相对运动与牵连运动相对运动：动点相对于动系的运动相对运动：动点相对于动系的运动2. 相对运动相对运动相对速度：动点相对于动系的速度，记作相对速度：动点相对于动系的速度，记作rv相对加速度：动点相对于动系的加速度，记作相对加速度：动点相对于动系的加速度，记作ra牵连运动：动系相对于定系的运动。牵连运动：动系相对于定系的运动。3. 牵连运动牵连运动牵连速度：牵连点相对于定系的速度，记作牵连速度：牵连点相对于定系的速度，记作ev牵连加速度：牵连点相对于定系的加速度，记作牵

3、连加速度：牵连点相对于定系的加速度，记作ea牵连点：动系中与动点重合的点牵连点：动系中与动点重合的点 1. 绝对运动绝对运动M例例1 如图，点如图，点 M 沿半径为沿半径为 r 的半圆环的半圆环 AO 作圆周运动，同时半作圆周运动，同时半圆环圆环 AO 又绕定轴又绕定轴 O 转动。试适当选择动点与动系，并确定动点转动。试适当选择动点与动系，并确定动点的绝对速度、相对速度和牵连速度的方向。的绝对速度、相对速度和牵连速度的方向。rvev动点：动点：动系：动系：点点 M固连于半圆环固连于半圆环 AO 上上相对速度：相对速度：牵连速度：牵连速度：垂直于垂直于MO垂直于垂直于MO绝对速度：绝对速度： 方

4、向未知方向未知vBAOCr例例2 在图示机构中，滑块在图示机构中，滑块 C 上刻有平均半径为上刻有平均半径为 r 的滑槽，顶杆的滑槽，顶杆 AB 上的滚轮上的滚轮 A 置于滑槽内。滑块置于滑槽内。滑块 C 以不变的速度以不变的速度 v 向右平移，向右平移，带动顶杆带动顶杆 AB 向上平移。试适当选择动点与动系，并绘制速度分向上平移。试适当选择动点与动系，并绘制速度分析图。析图。evrvav动点：动点：动系：动系：顶杆顶杆 AB 上的滚轮上的滚轮 A固连于滑块固连于滑块 C 上上相对速度：相对速度：牵连速度：牵连速度：垂直于垂直于AO水平向右水平向右绝对速度：绝对速度：竖直向上竖直向上第二节第二

5、节 点的速度合成定理点的速度合成定理一、点的速度合成定理一、点的速度合成定理 在任一瞬时，动点的绝对速度等于其牵连速度和相对速度在任一瞬时，动点的绝对速度等于其牵连速度和相对速度的矢量和，即的矢量和，即aervvv二、运用点的速度合成定理的解题步骤二、运用点的速度合成定理的解题步骤 1. 适当选取动点和动系；适当选取动点和动系；说明：选择动点、动系的基本原则说明：选择动点、动系的基本原则 1）动点、动系之间应有相对运动；）动点、动系之间应有相对运动；2）相对轨迹应简单易认；）相对轨迹应简单易认；3）在分析机构运动时，应选择常接触点为动点。）在分析机构运动时，应选择常接触点为动点。2. 运动分析

6、：分析动点的三种运动；运动分析：分析动点的三种运动；3. 速度分析：分析动点的三个速度，并根据速度合成定理作出速度分析：分析动点的三个速度，并根据速度合成定理作出速度平行四边形；速度平行四边形；av说明：绝对速度说明：绝对速度应位于速度四边形的对角线上。应位于速度四边形的对角线上。4. 根据速度平行四边形求解未知量。根据速度平行四边形求解未知量。说明：可解两个未知量。说明：可解两个未知量。例例3 图示曲柄摇杆机构，已知图示曲柄摇杆机构，已知 OA = l = 20 cm，曲柄，曲柄 OC 的角速的角速度度 1 = 2 rad /s 。试求在图示位置时，摇杆。试求在图示位置时，摇杆AB 的角速度

7、的角速度 2 。 动点动点: 2）运动分析）运动分析3）速度分析）速度分析avevrv动系：动系：牵连运动：摇杆牵连运动：摇杆AB 的绕定轴转动的绕定轴转动绝对运动：圆周运动绝对运动：圆周运动相对运动：沿摇杆相对运动：沿摇杆AB 的直线运动的直线运动相对速度：相对速度：牵连速度：牵连速度：沿摇杆沿摇杆AB垂直于垂直于AC绝对速度：绝对速度：垂直于垂直于CO1）选择动点与动系）选择动点与动系解：解：曲柄曲柄 OC 上的上的 C 点点固连于摇杆固连于摇杆AB 上上4）求解）求解 2 avevrvea13cos3020 3 cm s2vvle222 cos30vACl另有另有3）速度分析）速度分析a

8、ervvva140 cm svl联立解得联立解得摇杆摇杆AB 的角速度的角速度 e21rad s2 cos30vlO例例4 图示曲柄滑杆机构，已知曲柄长图示曲柄滑杆机构，已知曲柄长 OA = r ，以匀角速度，以匀角速度 绕绕 O 轴轴转动；滑杆转动；滑杆 CDE 上的滑槽上的滑槽 DE 与水平线成与水平线成 60角。试求当曲柄角。试求当曲柄 OA 与与水平线的交角水平线的交角 分别为分别为 0、30、60时，滑杆时，滑杆 CDE 的速度。的速度。 动点动点:2）运动分析）运动分析解：解：动系：动系：牵连运动：牵连运动：绝对运动：绝对运动：相对运动：相对运动：1）选择动点与动系）选择动点与动系

9、曲柄曲柄 OA 上的上的 A 点点固连于滑杆固连于滑杆 CDE 上上圆周运动圆周运动沿滑槽沿滑槽 DE 的直线运动的直线运动滑杆滑杆 CDE 的水平平移的水平平移3）速度分析）速度分析 将上述速度矢量方程两边分将上述速度矢量方程两边分aersincos60vvv Oavevrv4）求解未知量）求解未知量 aervvv其中，其中，va = r ，代入上式解得，代入上式解得滑杆滑杆 CDE 的速度的速度ecossintan60vr 别向别向 x、y 轴投影，得轴投影，得 arcossin60vvecossintan60vr 故有故有e303vr:e300v:e3603vr :Oavevrv例例5

10、图示图示凸轮顶杆机构，凸轮以匀角速度凸轮顶杆机构，凸轮以匀角速度 绕轴绕轴 O 转动，带动转动，带动平底顶杆上下平移。当平底顶杆上下平移。当 OC 与水平线夹角与水平线夹角 = 30时，试求顶杆的时，试求顶杆的速度。速度。动点：动点：解：解：动系：动系：1）选择动点与动系）选择动点与动系2）运动分析）运动分析牵连运动：牵连运动：绝对运动：绝对运动：相对运动：相对运动：RCO凸轮凸轮的轮心的轮心 C固连于固连于平底顶杆上平底顶杆上圆周运动圆周运动水平直线运动水平直线运动上下直线平移上下直线平移COeacosvv e3cos302vRRavevrv3）速度分析）速度分析 aervvv4）求解未知量

11、）求解未知量得顶杆速度为得顶杆速度为例例6 绕轴绕轴 O 转动的圆盘及直杆转动的圆盘及直杆 OA 上均有一导槽，两导槽间有一上均有一导槽，两导槽间有一活动销子活动销子 M ，导槽与转轴之间的距离，导槽与转轴之间的距离 b = 0.1m。图示位置时，圆。图示位置时，圆盘及直杆的角速度分别为盘及直杆的角速度分别为 1 = 9 rad/s 和和 2 = 3 rad/s。试求此瞬时。试求此瞬时销子销子 M 的速度。的速度。 O12bAM30动点：活动销子动点：活动销子 M 解：解：动系：分别固连于圆盘和动系：分别固连于圆盘和直杆直杆 OA 上上1）选择动点与动系）选择动点与动系O12bAM302）速度

12、分析）速度分析 动系固连于圆盘上时，有动系固连于圆盘上时，有 ae1r1v = v +v动系固连于直杆上时，有动系固连于直杆上时，有 ae2r2v = v +ve1r1e2r2vvvv联立有联立有 3）求解未知量）求解未知量e1r1e2r2vvvvO12bAM30将上式分别向将上式分别向ve2、vr2 方向投影，方向投影，得得e1r1e2cos30vvve20.130.346m scos30v e10.191.039m scos30v r1r2sin30vv其中其中r2r10.50.4m svv所以，销子的速度所以，销子的速度 22ae2r20.529m svvv解得解得第三节第三节 点的加速

13、度合成定理点的加速度合成定理一、牵连运动为平移时点的加速度合成定理一、牵连运动为平移时点的加速度合成定理 当牵连运动为平移时，在任一瞬时，动点的绝对加速度等于当牵连运动为平移时，在任一瞬时，动点的绝对加速度等于其牵连加速度和相对加速度的矢量和，即其牵连加速度和相对加速度的矢量和，即aeraaa 若动点的绝对运动与相对运动为曲线运动、牵连运动为曲若动点的绝对运动与相对运动为曲线运动、牵连运动为曲线平移，上式则可改写为线平移，上式则可改写为ntntntaaeerraaaaaa二、牵连运动为转动时点的加速度合成定理二、牵连运动为转动时点的加速度合成定理 当牵连运动为转动时，在任一瞬时，动点的绝对加速

14、度等于当牵连运动为转动时，在任一瞬时，动点的绝对加速度等于其牵连加速度、相对加速度和科氏加速度的矢量和，即其牵连加速度、相对加速度和科氏加速度的矢量和，即aerCaaaa 若动点的绝对运动与相对运动为曲线运动线平移，上式则若动点的绝对运动与相对运动为曲线运动线平移，上式则可改写为可改写为ntntntaaeerrCaaaaaaa说明：科氏加速度说明：科氏加速度 Cer2avCer2ave其中，其中，为动系在该瞬时的角速度矢量。为动系在该瞬时的角速度矢量。科氏加速度大小：科氏加速度大小：rv科氏加速度方向：科氏加速度方向：将将顺顺 e 转向转转向转 90即得即得对于平面问题，有对于平面问题，有三、

15、应用点的加速度合成定理的解题步骤三、应用点的加速度合成定理的解题步骤1. 适当选取动点和动系；适当选取动点和动系；2. 分析确定动点的四个加速度，并作出加速度矢量图；分析确定动点的四个加速度，并作出加速度矢量图；3. 根据加速度矢量图，用投影法计算未知量。根据加速度矢量图，用投影法计算未知量。说明：可解两个未知量。说明：可解两个未知量。例例7 如图，半圆形凸轮如图，半圆形凸轮 C 在水平面上向右作减速运动。已知凸轮在水平面上向右作减速运动。已知凸轮半径为半径为 R ，图示瞬时的速度和加速度分别为，图示瞬时的速度和加速度分别为 v 和和 a 。试求此时顶杆。试求此时顶杆 AB 的加速度。的加速度

16、。动点动点: 动系：动系：1）选择动点与动系）选择动点与动系解：解：顶杆顶杆 AB 上的上的 A 点点固连于凸轮固连于凸轮 C 上上2）运动分析）运动分析牵连运动：牵连运动：绝对运动：绝对运动：相对运动：相对运动：竖直直线运动竖直直线运动沿凸轮轮廓的圆周运动沿凸轮轮廓的圆周运动水平直线平移水平直线平移3）速度分析）速度分析sinsinervvvaervvvrvavevevveatantanvvvntaerraaaa222rnrsin1vRRva2naer21sincoscossinvaaaaR2a3cotsinvaaR将加速度矢量方程向将加速度矢量方程向 轴投影：轴投影：4）加速度分析）加速度

17、分析其中，其中，eaa只含有只含有aa大小和大小和tra大小两个大小两个未知量未知量解得此时顶杆解得此时顶杆 AB 的加速度为的加速度为tranraaaea0A30OBCDE60例例8 如图，已知曲柄如图，已知曲柄 AO 长为长为 r ，以等角速度，以等角速度 0 绕定轴绕定轴 O 转动，铰转动，铰接在曲柄接在曲柄 A 端的套筒可沿杆端的套筒可沿杆 BC 滑动，滑动，BD = CE = l， BC = DE ，试，试求在图示位置，杆求在图示位置，杆 BD 的角速度和角加速度。的角速度和角加速度。动点动点: 动系：动系：1）选择动点与动系）选择动点与动系解：解：曲柄曲柄 AO 上的上的 A 点点

18、固连于杆固连于杆 BC 上上2）运动分析）运动分析牵连运动：牵连运动：绝对运动：绝对运动：相对运动：相对运动：以点以点 O 为圆心、为圆心、AO 为半径的圆周运动为半径的圆周运动沿杆沿杆 BC 的水平直线运动的水平直线运动杆杆 BC 的曲线平移的曲线平移3）速度分析）速度分析0BvrBDlaervvva0vrea0vvr0A30OBCDE60rvavevBv杆杆 BC 作曲线平移，故有作曲线平移，故有e0Bvvr得杆得杆 BD 的角速度为的角速度为0A30OBCDE60ntntaaeeraaaaa2nn22e0Braallnntaeesin30sin30cos30aaa t2e033r lra

19、l将加速度矢量方程向将加速度矢量方程向 y 轴投影轴投影4）加速度分析）加速度分析n2a0ar只含有只含有ra大小和大小和tea大小两个未知量大小两个未知量得得xnaaneatearayta0a 建立坐标轴建立坐标轴所以，杆所以，杆 BD 的角加速度的角加速度tt2e0233Br lraaBDll例例9 如图，滑杆如图，滑杆 AB 以匀速以匀速 u 向上运动，通过滑块带动摆杆向上运动，通过滑块带动摆杆 OD绕轴绕轴 O 转动。已知轴转动。已知轴 O 与滑杆与滑杆 AB 间的水平距离为间的水平距离为 l ，摆杆的长度，摆杆的长度为为 b 。开始时。开始时 = 0，试求当，试求当 = 45时摆杆时

20、摆杆 OD 端点端点 D 的速度和的速度和加速度。加速度。 ABD动点动点: 动系：动系：1）选择动点与动系）选择动点与动系解：解：滑杆滑杆 AB 上的上的 A 点点固连于固连于摆杆摆杆 OD 上上2）运动分析）运动分析牵连运动：牵连运动：绝对运动：绝对运动：相对运动：相对运动：竖直直线运动竖直直线运动沿沿摆杆摆杆 OD 的直线运动的直线运动绕定轴绕定轴 O 转动转动ABDea2cos452vvura2sin452vvu3）速度分析）速度分析aervvvavue2vuOAl2Dbuvbl故得故得当当 = 45时摆杆时摆杆 OD 的角速度的角速度以及端点以及端点 D 的速度分别为的速度分别为rv

21、avevDvABDntaeerCaaaaa22n2e2224uuaOAlll2Cr2222222uuavull a0a 其中，其中，4）加速度分析）加速度分析teaneaaaCara向垂直于向垂直于 OD 的的 轴投影，有轴投影，有teC0aa2teC22uaal 解得解得ABD2t22Dbuabl 2n224Dbuabl222tn254DDDbuaaal2teC22uaal t2e22auOAl 得得摆杆摆杆 OD 的角加速度的角加速度故得故得当当 = 45时摆杆时摆杆 OD 端端点点 D 的加速度为的加速度为tDanDaDa动点动点: 动系：动系：1）选择动点与动系）选择动点与动系解：解：

22、小环小环 M 固连于固连于折杆折杆 OAB 上上2）运动分析）运动分析牵连运动：牵连运动：绝对运动：绝对运动：相对运动：相对运动：水平直线运动水平直线运动沿沿 AB 的直线运动的直线运动绕定轴绕定轴 O 转动转动例例10 图示直角折杆图示直角折杆 OAB 绕轴绕轴 O 匀速转动，使套在其上的小环匀速转动，使套在其上的小环 M 沿固定直杆沿固定直杆 OC 滑动。已知折杆的角速度滑动。已知折杆的角速度 = 0.5 rad/s，OA = 100 mm，试求当试求当 = 60时，小环时，小环 M 的速度和加速度。的速度和加速度。 3）速度分析）速度分析根据点的速度合成定理根据点的速度合成定理aervv

23、vav3）速度分析）速度分析aervvv其中，其中， eve0.1m/svOMrv得绝对速度，即小环得绝对速度，即小环 M 的速度的速度aetan0.1 tan600.173m/svv并得相对速度并得相对速度er0.10.2m/scoscos60vvaa3）加速度分析）加速度分析ra根据点的加速度合成定理根据点的加速度合成定理tnaeerCaaaaa其中，其中， te0a neaCan22e0.05m/saOM2Cr20.2m/savx将加速度矢量方程两边向将加速度矢量方程两边向 x 轴投影，有轴投影，有 naeCcoscosaaa 2a0.35m/sa 解得绝对加速度，即小环解得绝对加速度，即小环 M 的加速度的加速度例例11 如图，已知杆如图，已