第十二章 习题解答

1、第12章 量子物理基础 2010-12-2419世纪末、二十世纪初，为克服经典物理在解释一系列物理实验（如黑体辐射、光电效应、康普顿散射等）时所遇到的巨大困难，人们创立了量子理论，量子理论与相对论理论一起共同构成了现代物理学的两大理论支柱。本章介绍量子理论基础。主要内容有：普朗克能量子假设；爱因斯坦光量子假设和光电效应方程；光子和自由电子互相作用的康普顿效应；氢原子的玻尔理论；德布罗意物质波假设；不确定关系；量子力学关于氢原子的主要结果；薛定谔方程以及薛定谔方程用于求解一维势阱和势垒问题等。§12-1 黑体辐射 普朗克量子假设12-1-1热辐射 黑体任何物体在任何温度下都向外发射各种

2、波长电磁波的性质称为热辐射。实验表明:热辐射具有连续的辐射能谱,辐射能按波长的分布主要决定于物体的温度，温度越高,光谱中与能量最大的辐射所对应的波长越短 ,辐射的总能量越大。温度为T时，从物体表面单位面积上在单位波长间隔内所发射的功率称为单色辐出本领，用Ml（T）表示，单位是瓦/米2（W/m2）。温度为T时，物体表面单位面积上所发射的各种波长的总辐射功率，称为物体的总辐射本领，用M（T）式表示，单位为W×m-2。一定温度下时，物体的辐出度和单色辐出度的关系为. （12-1-1）任何物体在任何温度下都发射热辐射，也吸收热辐射。不同物体发射(或吸收)热辐射的本领往往是不同的。1860年基

3、尔霍夫研究指出，热辐射吸收本领大的物体，发射热辐射的本领也大。白色表面吸收热辐射的能力小,在同温度下它发出热辐射的本领也小;表面越黑, 吸收热辐射的能力就越大,在同温度下它发出热辐射的本领也越大。能完全吸收射到它上面的热辐射的物体叫做绝对黑体（简称黑体）。黑体辐射热辐射的本领最大，研究黑体辐射的规律具有重要的理论意义。绝对黑体是理想模型，自然界中绝对黑体是不存在的，但存在着近似的绝对黑体。如不透明的空腔壁上开有一个小孔，小孔表面可以近似当作黑体。这是因为射入小孔的电磁辐射，要被腔壁多次反射，每反射一次，空腔的内壁将吸收部分辐射能。经过多次的反射，进入小孔的辐射几乎完全被腔壁吸收，由小孔穿出的辐

4、射能可以略去不计则，故小孔可认为是近似的绝对黑体。此外，当空腔处于某确定的温度时，有电磁辐射从小孔发射出来，相当于从面积等于小孔面积的温度为T的绝对黑体表面射出。图121空腔的小孔表面是近似的绝对黑体 问题12-1白天，从远处看建筑物的窗户是黑暗的，这是为什么？问题12-2 把一块表面一半涂了煤烟的白瓷砖放到火炉内烧，高温下瓷砖的哪一半显得更亮些？12-1-2黑体辐射的实验规律黑体辐射实验的M (，T)曲线如图15-2所示。根据实验结果可总结出黑体辐射的两条实验规律。 图122 黑体辐射的实验曲线 首先对于给定温度的黑体，总辐射本领与温度的四次方成正比，即 （12-1-2）其中=5.67

5、15;10-8W(m2·K4）为斯特藩玻尔兹曼常数，此为斯特藩玻尔兹曼定律。其次黑体单色辐出度M(，T)最大值对应的波长m与黑体温度成反比，即 （12-1-3）式中b=2.898×10-3m·K。（12-1-3）式表明，当黑体的温度升高时，曲线上与单色辐出度的峰值相对应的波长向短波方向移动，此规律称为维恩位移定律。热辐射的规律在现代科学技术上具有广泛的应用，是高温测量、遥感、红外追综等技术的物理基础。问题12-3 铁块在炉中加热，当升高到一定温度后，可以看到铁块的颜色随着温度的升高而变化。请说明原因。问题12-4 人体也向外发出热辐射,为什么在黑暗中还是看不到人呢

6、? 问题12-5 将地球和太阳视为黑体，假设地球处于热辐射平衡状态，平均温度为285K，试据此估算太阳的温度。(已知太阳半径、地球半径和日地距离分别是，。)例12-1实验测得太阳辐射波谱的m=490nm，若把太阳视为黑体，试计算太阳每单位表面上所发射的功率。解： 根据维恩位移定律mT=b得，又根据斯特藩玻尔兹曼定律可求出总辐出度，即单位表面上的发射功率12-1-3经典物理学的困难和普朗克量子假设黑体辐射实验规律的理论解释是一个涉及热力学、统计物理学和电磁学的重大理论问题，在19世纪末吸引了许多物理学家的注意，其中最有代表意义的研究结果是维恩、瑞利和金斯的工作。1896年，维恩把辐射体上分子或原

7、子看作线性谐振子，其辐射能谱分布类似于麦克斯韦速率分布，得到的黑体热辐射公式在波长较短处与实验结果符合得很好，但在波长很长处与实验结果相差较大。1900年，瑞利和金斯把统计物理中的能量按自由度均分定理用到电磁辐射上来，假设每个线性谐振子的平均能量都为kT，得到的黑体热辐射公式在波长很长处与实验结果比较接近，但在波长趋向零时得到辐射能趋向无穷大，这是荒谬的。经典物理学在解释黑体辐射上的这个结果被科学界称为“紫外灾难”。1900年，普朗克运用插值方法提出了一个与实验结果符合得很好的热辐射经验公式 （12-1-4）式中为光速， 为一普适常量，称为普朗克常数。（12-4）式叫做普朗克公式。由普朗克公式

8、可推导出维恩位移定律和斯特藩玻尔兹曼定律。为了从理论上解释黑体辐射的实验规律，普朗克提出了能量子假设：辐射黑体表面带电粒子的振动可视作谐振子，谐振子可以发射和吸收辐射能，但是这些振子只能处于某些分立的状态，在这些状态中。对于频率为 的谐振子来说，谐振子的最小能量（称为能量子）为 （12-1-5）谐振子的能量是最小能量的整数倍，即谐振子的能量为 （12-1-6）其中n=0,1,2,3.是整数，称为量子数,这是物理学史上首次提出量子的概念。普朗克根据能量子假设成功地导出了与黑体辐射实验结果相符合的普朗克公式。能量子假设与经典物理学的概念是格格不入的，普朗克本人曾长期致力于用经典物理学来解释量子的概

9、念，试图回到经典理论中，但都没有成功，直到1911年，他才真正认识到量子化是根本不可能从由经典理论导出的，量子化具有的全新的和基础性的重要意义 。问题12-7 （1）在波长很短或温度较低的条件下，由普朗克公式可导出维恩公式（2）在波长很长或温度很高的条件下，由普朗克公式可导出瑞利金斯公式试推导之。例12-2一质量为20g的物体与一无质量的弹簧组成弹簧振子，弹簧的劲度系数为0.25N/m。将弹簧拉伸4cm后自由释放。(1) 用经典方法计算弹簧振子的总能量和振动频率；(2) 一个能量子具有的能量是多少？(3) 假设弹簧振子能量是量子化的，振子的量子数n是多少？ 解：(1)弹簧振子的总能量为弹簧振子

10、的频率为 (2) 一个能量子的能量为 (3)由Enh，振子的量子数为能量为2.0×10-4J的振子有5.4×1029个能量状态，相邻两个状态的能量差是3.7×10-24J，所以振子的能量几乎是连续的。这表明宏观物体的量子化特性通常显示不出来。例12-3设有一音叉尖端的质量为0.050kg，将其频率调为=480Hz，振幅A=1.0mm。求（1）尖端振动的量子数；（2）当量子数由n增加到n+1时，振幅的变化是多少？解：（1）尖端振动的能量为 量子数为 音叉振动的量子数是非常大的。（2）因为，E=nh所以有 取微分有 取，得 代入数据得。如此微小的变化是难以觉察到的，表

11、明宏观范围内，能量量子化效应是极不明显的，宏观物体的能量可认为是连续的。§12-2 光电效应 光子12-2-1 光电效应的实验规律光照射在金属表面上时有电子从金属中逸出的现象称为光电效应。研究光电效应的实验装置如图15-2所示。在一个抽空的玻璃泡内装有金属电极阴极（K）和阳极（A），用适当频率的光从石英窗口射入，照在阴极K上时，便有电子自其表面逸出,逸出的电子称为光电子。光电子经电场加速后为阳极A所收集，形成光电流。 图122 光电效应实验 实验表明，对于一定的金属阴极，当照射光的频率v小于某个最小值v0时，不管光强多大，照射时间多长，都没有光电流，即阴极K不释放光电子，这个最小频率

12、v0称为该金属的光电效应截止效率，也叫做红限，红限也常用对应的波长0表示。红限决定于阴极材料的性质，与光强无关，多数金属的红限在紫外区，见表12.1。表12.1 几种金属的逸出功和红限金 属铯(Cs)钾(K)钠(Na)锌(Zn)钨(W)银(Ag)逸出功/eV1.942.252.293.384.544.63红限v0/(1014Hz)4.695.445.538.0610.9511.19红限0/nm639551541372273267实验表明，保持光照射不变的情况下，改变电压UAK，发现当UAK=0时，仍有光电流，表明光电子逸出时具有一定的初动能。如何测量光电子的初动能呢？改变电压极性，使UAK&l

13、t;0，当反向电压增大到某一定值时，光电流降为零，此时反向电压的绝对值称为遏止电压，用Ua表示。光电子的最大初动能和遏止电压Ua与的间关系为， （12-2-1）式中m和e分别是电子的质量和电量，是光电子逸出金属表面时的最大速率。 图123 几种金属的Uav图线 实验表明，遏止电压Ua与光强I无关，与照射光的频率v成线性关系 （12-2-2）式中K为图线的斜率。图15-3中给出了几种金属的图线。对各种不同金属，图线斜率相同，即K是一个与材料性质无关的普适量；v0是图线在横轴上的截距，它等于该种金属的光电效应红限。由式（15-2-1）和（15-2-2）可知，光电子的最大初动能与入射光的频率成线性关

14、系。实验表明，从光照射开始到光电子逸出,无论光怎样微弱,几乎是瞬时的,弛豫时间不超过10-9s。光电效应具有瞬时性。12-2-2光波动说的困难 爱因斯坦的光子理论光的波动说（光的经典电磁理论）与光电效应的实验事实之间有着深刻的矛盾。 按光的波动理论，如果光强足够供应从金属释放出光电子所需要的能量,那么光电效应对各种频率的光都会发生，这与截止频率v0的存在相矛盾。按光的波动理论,光的强度决定于光波的振幅,金属内电子吸收光波后逸出光电子的动能应该随波振幅的增大而增大,不应该与入射光的频率有直接关系。按光的波动理论,在入射光极弱时,金属中的电子必须经过长时间才能从光波收集和积累到足够的能量而逸出金属

15、表面,而这一时间,按光的波动理论计算,要达到几分钟或更长，这与光电效应的瞬时性相矛盾。为解决光电效应实验规律与经典物理理论的矛盾，爱因斯坦在1905年提出光量子假说。该理论认为,光在空间传播时具有粒子性,一束光由大量以光速运动的粒子流组成，这些粒子称为光子；频率为v的光的每一个光子所具有的能量为 （12-2-3）其中是普朗克常数。每一光子不能再分割，而只能整个地被吸收或发射出来。按照光子假说和能量守恒定律可以解释光电效应。金属中一个电子从入射光中吸收一个光子后，就获得了能量hv。一个电子脱离金属表面时为克服表面阻力所需做的功为金属的逸出功。如果光电子能量大于该种金属的电子逸出功W，该电子就可从

16、金属中逸出，并获得速度，即有 （12-2-4）式（122-4）称为爱因斯坦光电效应方程.根据光电效应方程，可以说明光电效应的实验规律。1.由光电效应方程可得，光电子初动能与照射光频率成线性关系。2.能够使某种金属产生光电子的入射光的最低频率（红限）v0由该种金属的逸出功W决定，即 （12-2-5） 不同金属的逸出功不同，因而红限也不同。3.光照射到物质上，一个光子的能量立即整个地被电子吸收，因而光电子的发射是即时的。根据式（15-2-1），将光电效应方程式（15-2-4）中的换成，则可得 （12-2-6）将式（12-2-6）与Ua-v的实验关系式（15-2-4）比较，即可知，或，。据此可通过实

17、验测量K和v0，算出普朗克常量h，结果和用其他方法测量的符合得很好，因而从实验上直接验证了光子假说和光电效应方程的正确性 。 12-2-3光的波粒二象性光电效应表明光具有粒子性，而光的干涉、衍射和偏振现象，又明显地体现出光的波动，所以说光具有波粒二象性。一般来讲，光在传播过程中，波动性表现比较显著；当光和物质相互作用时，粒子性表现比较显著。光子不仅具有能量，而且具有质量和动量等一般粒子共有的特性，光子的质量可由相对论质能关系式求出，即 （12-2-7）光子动量为 （12-2-8）光子具有动量在实验中得到证实。式(15-2-3)、式（15-2-7）和式（15-2-8）将描述光的粒子特性的质量、能

18、量和动量与描述其波动特性的频率和波长等物理量，通过普朗克常量紧密联系了起来，通常把h称为作用量子。利用光电效应制成的光电成像器件，能将可见或不可见的辐射图像转换或增强成为可观察记录、传输、储存的图像，应用广泛。例如用于夜视的红外变像管，就可把不可见的红外辐射图像转换成可见光图像。利用光电效应制成的光电管，广泛地应用于生产自动化过程。问题12-8 设有一功率的点光源,距光源处有一钾薄片.假定钾薄片中的电子可以在半径约为原子半径的圆面积范围内收集能量,已知钾的逸出功。如按光的波动理论,计算从照射到有电子逸出需要多长时间? 假设光的波长为550nm，且照射到薄片上的光全部被吸收，钾薄片受到的光压为多

19、少？（由于光子具有动量，所以光照射物体时，将对物体的反射面或吸收面施以压力，该压力称为光压。）例 12-3 波长=450nm的单色光入射到逸出功W =3.66×10-19J的洁净钠表面，求：（1）入射光子的能量；（2）逸出电子的最大动能；（3）钠的红限频率；（4）入射光子的动量。解 （1）入射光子的能量（2）逸出电子的最大动能（3）钠的红限频率（4）入射光子的动量§12-3 康普顿效应 1923年 康普顿（A.H.Compton）发现，单色X射线被物质散射时，散射线中除有与入射线波长相同的射线外,同时还有的射线，波长的改变Dl随散射角而异，当散射角增加时，波长的改变也随之增

20、加,这种改变波长的散射称为康普顿散射，或康普顿效应。研究康普顿散射的实验装置如图（15-3-1）所示，X射线源发出单色X射线（波长00.1nm），投射到散射体石墨上，用摄谱仪可测出其不同散射角的散射X射线的相对强度波长及相对强度。光阑l0散射物质ql X射线源射谱仪图12-3-1实验示意图图123-2 康普顿散射实验结果按照经典电磁理论解释，当电磁波通过物体时，将引起物体内带电粒子的受迫振动，每个振动着的带电粒子将向四周辐射，这就成为散射光。从波动观点来看，带电粒子受迫振动的频率等于入射光的频率，所发射光的频率（或波长）应与入射光的频率相等。可见，光的波动理论能够解释波长不变的散射而不能解释康

21、普顿效应。康普顿根据光的量子理论成功地说明了康普顿散射,他认为康普顿散射应是单个光子与物质中弱束缚电子相互作用的结果。X射线光子的能量约为，散射物质中那些受原子核束缚较弱的电子，结合能约为10102eV，比X光光子能量小许多，同时这类电子的热运动动能()也比X光光子能量小得多,所以光子与这类电子的相互作用，可以看成是与静止自由电子的作用。康普顿假设在散射过程中动量和能量都守恒，即认为散射过程可以看成是入射光子与自由电子的弹性碰撞。光子与电子等粒子发生弹性碰撞，光子的能量部分传递给电子，故散射波的波长变长。图12-3-3 推导康普顿散射公式 如图12-3-3所示，一个光子和一个自由电子作完全弹性

22、碰撞.设碰撞前光子的能量和动量分别是和，为入射光子运动方向的单位矢量。散射物质中原子的外层电子可以看成处于静止状态的自由电子，其能量和动量分别是和0。碰撞后，沿角方向散射的光子，其能量和动量分别是和，为散射方向上的单位矢量。碰撞后沿角方向运动的反冲电子能量和动量分别为和。根据能量和动量守恒定律有 （12-3-1） （12-3-2）动量守恒定律的分量式为 （12-3-3） （12-3-4）电子的运动质量采用相对论质量 （12-3-5）可解得 （12-3-6）上式即为康普顿散射公式。式中称为电子的康普顿波长，代入，可算出 ， （12-3-7）与短波X射线的波长相当。 1. 入射光子与物质中弱束缚电

23、子碰撞时，把一部分能量传给了电子,因而光子能量减少，频率降低，波长变长。同时光子也会与原子的内层电子相碰，内层电子束缚得较紧，光子实际上是与整个原子相碰，由于原子质量大，几乎不反冲，光子只改变运动方向而不改变能量，因而散射光中存在原波长的成分。 2. 波长偏移仅与散射角有关；增大，随之增大；可以预期，随着增大，光子与电子碰撞更加剧烈，所以波长的成分应增大，原波长的成分应减少3. 在同一散射角下，波长偏移与散射物质及入射的X射线波长无关。4.可以预期。由于轻原子中电子束缚较弱，重原子中内层电子束缚很紧，因此，原子量小的物质康普顿效应较显著，原子量大的物质康普顿效应不明显。所有这些规律都已为实验证

24、实。康普顿散射理论和实验完全一致，不仅有力地证明了光子理论的正确性；同时也证实了微观粒子在相互作用过程中，同样严格遵循动量守恒定律和能量守恒定律。康普顿效应在核物理、粒子物理、天体物理、X光晶体学等许多学科都有重要应用。问题12-9 在光电效应实验中，入射光通常是可见光或紫外线。试说明在光电效应中，康普顿效应不明显。问题12-10 光电效应和康普顿效应在对光的粒子性的认识方面，其意义有何不同？例12-4 设有波长的X射线光子与自由电子作弹性碰撞,散射X射线的散射角。求（1）散射光波长的改变量；（2）在碰撞中，光子所损失的能量；（3）反冲电子得到的动能。解 （1）（2）散射前后，光子的能量分别为

25、，能量损失为（3）反冲电子得到的动能等于光子损失的能量，其值为295eV。例12-3：已知射线的能量为0.060Mev，受康普顿散射后，（1）在散射角为方向上，射线波长=？（2）反冲电子动能=？解：（1）入射射线波长为 （2） §12-4 氢原子的玻尔理论12-4-1 氢原子光谱光谱是电磁辐射波长成分和强度分布的记录，原子发光是由于原子内电子运动的能量变化引起的。研究原子光谱是探索原子结构的重要方法。19世纪末，已经观察并测量了氢原子的许多谱线,经过巴耳末、里德伯、里兹等人的研究，总结出了氢原子光谱的经验公式为 （12-4-1）式中是波长，称作波数，里德伯常数。当n取定值时，由m=n

26、+1，n+2，得到的一系列谱线称为线系。如n=2时是巴耳末系（图15-4-1），波长较长的几条光谱线分布于可见光区域；n=1时是莱曼系，光谱分布于紫外区域；n=3时是帕邢系、n=4时是布拉开系，n=5时是普丰系，这些光谱主要分布于红外区域。图124-1 氢原子巴耳末系光谱12-4-2 玻尔的氢原子理论电子在原子中绕核转动，按经典物理学理论，加速运动的电子要发射电磁波，电磁波的频率等于电子绕核转动的频率。由于电磁辐射，原子系统的能量不断减少，频率也不断改变，因而所发射的光谱应是连续的。由于能量的减少，电子将沿螺线运动而逐渐接近原子核，最后落在原子核上，原子是个不稳定的系统。经典物理学理论不能解释

27、氢原子光谱的实验规律，为了解决这些困难，玻尔提出了基于三条基本假设的氢原子理论。定态假设 原子只能处在一系列具有不连续能量的稳定状态，这些稳定的状态简称定态。原子处于定态中，核外电子在一系列稳定的圆轨道上运动，不辐射也不吸收电磁波。频率假设 原子从能量为Em的定态跃迁到另一个能量为En的定态时，会发射或吸收一个光子，该光子的频率为 （12-4-2）轨道角动量量子化假设 电子在稳定圆轨道上运动时，其轨道角动量满足量子化条件 n=1，2，3， （12-4-3）式中h为普朗克常数，n称为量子数。根据玻尔氢原子理论的三条假设可以求得氢原子定态能量为 n=1，2，3， （12-4-4）可见，氢原子的能量

28、只能取一系列不连续的值，这称为能量量子化。当n=1时，氢原子的能量最小，原子最稳定，这个定态称为氢原子的基态，能量为 （12-4-5）当n=2时，这个定态称为氢原子的第一激发态，能量为 （12-4-6）n时，En0，原子趋于电离。而对应于n>1的定态称为氢原子的激发态。根据玻尔氢原子理论的第二条假设和式(15-4-4)可以求得里德伯常数的理论值为与实验值相当符合。实际上,如进一步考虑到原子中电子与原子核绕质心运动,可得,与实验值符合地更好。.玻尔氢原子理论成功地解释了氢原子的光谱实验规律，但是其缺陷也是明显的。一是其理论是在经典物理的基础上生硬地加上几条假设，并不是一个自洽的理论；二是它

29、存在着局限性，只能计算氢原子和类氢原子的光谱线，对其它复杂的原子就无能为力了。这些问题的解决是通过量子力学理论的建立和完善实现的。12-4-3 弗兰克赫兹实验1912年玻尔发表了氢原子理论，1919年弗兰克（J.Frank，18821964，德国）和赫兹（G.L.Hertz，18871975，德国）用实验证实了原子能级。如图玻璃管B内为低压水银蒸汽，电子从加热的灯丝F发射出来，在加速电压U0下被加速，在栅极G和P之间有一个小的反向电压Ur=0.5V，电子到达P后，可在电路中观察到板极电流IP。实验结果如图所示，电流是有峰极的。设汞原子基态能量为E1，第一激发态能量为E2，Ek为加速电子的动能。

30、若Ek<E2-E1，则电子不能使汞原子激发，电子动能无损失，IP也随U0增加。当Ek³E2-E1时，在碰撞中汞原子从电子中吸收E2-E1的能量跃迁到激发态，故电子动能由于碰撞而减少，IP亦急剧的降低，这就对应图中第一个波谷。若电子连续与两个汞原子碰撞，使两个汞原子跃迁到激发态，则会出现第二个波谷，余此类推。BFeeU1U2GPIPU0IP图12-4-2装置示意图图12-4-3实验结果因峰值之间的电压为4.9V，故4.9eV为汞原子第一激发态与基态间能量差E2-E1=4.9eV，4.9V称为汞原子的第一激发电势。处于激发成的汞原子跃迁到基态时，要发射光子，其波长为 在实验中确实能

31、观察到此谱线。弗兰克赫兹实验证明了，原子能级确定是存在的。§12-5 德布罗意波12-5-1德布罗意假设光的干涉、衍射和偏振现象说明光具有波动性,光电效应、康普顿效应等现象又说明光具有粒子性,因此光具有波粒二象性。1924年，法国德布罗意在光的波粒二象性的启发下，提出了粒子与光的波粒二象性完全对称的设想，即实物粒子（如电子、质子等）也具有波粒二象性。仿照描述光的波粒二象性的基本关系式（12-2-3）和（12-2-8），认为一个粒子的能量和动量与和它相联系的波的频率和波长的定量关系与光子的一样，即有 （12-5-1） （12-5-2）也可以写成 （12-5-3） （12-5-4）这些公

32、式称为德布罗意公式，和粒子相联系的波称为物质波或德布罗意波，式（12-5-4）给出了相应的德布罗意波长。12-5-2德布罗意波的实验验证德布罗意意关于物质波的假设，1927年首先为戴维逊和革末的实验所证实。戴维逊和革末做电子束在晶体表面散射实验时，观察到了和X射线在晶体表面衍射相类似的电子衍射现象，从而证实了电子具有波动性。同年，汤姆生做了电子束穿过多晶薄膜后的衍射实验，得到了和X射线穿过多晶薄膜后产生的极其相似的环形衍射图像。在用X射线束和电子束分别入射到铝粉末晶片上的衍射实验实验中，使X射线和电子波长相等，图（12-5-1）和图（12-5-2）分别是X射线和电子束的衍射条纹，从两图看到两者

33、衍射条纹相同。 （a） (b)图12-5-1 汤姆生电子衍射实验（b）证实物质波的实验近年来不少实验物理学家又做过许多。图（15-5-2）中所示的是约恩孙在1961年证实电子波动性的电子束单缝、双缝、三缝、四缝、五缝衍射图样照片，实验中采用经50kV电压加速的电子，相应的电子波长约为0.005nm。图12-5-2 约恩孙电子衍射图样粒子的波动性在现代科学技术上已得到广泛应用，电子显微镜即为一例。光学仪器分辨率与所用射线波长成反比，波长越短，分辨率越高。普通的光学显微镜由于受可见光波长的限制，分辨率不可能很高。如使用的紫光照射物体而进行显微观察，最小分辨距离约为200nm,最大放大倍数约为200

34、0，这已是光学显微镜的极限。而电子的德布罗意波长比可见光短得多，如加速电势差为几十万伏时，电子的波长只有10-3nm，故电子显微镜的分辨率比光学显微镜高得多。目前电子显微镜的分辨率已达0.1nm。粒子的波动性，如电子和中子的波动性还被广泛用于研究固体和液体内的原子结构等。 例12-5 计算经过电势差U=150V和U=104V加速的电子的德布罗意波长。解 经过电势差U加速后，电子的动能和速率分别为式中为电子的静止质量，电子的德布罗意波长将常量h、m0、e的值代入，可得式中U的单位是伏特。将U1=150V，U2=104V代入，得相应波长值分别为可见，在这样电压加速下，电子的德布罗意波长与X射线的波

35、长相近。 例12-6 计算质量m=0.01kg，速率的子弹的德布罗意波长。解 由德布罗意关系式，有由于h是一个非常小的量，宏观粒子的德布罗意波长是如此之小，以致在当今任何实验中都不可能观察到它的波动性，表现出的只是粒子性。§12-6 不确定关系经典力学中，质点（宏观物体或粒子）在任何时刻都有完全确定的物理量如位置、动量、能量和角动量等。但微观粒子由于具有波动性，导致它的某些成对物理量不可能同时具有确定的量值。例如位置坐标和动量、角坐标和角动量、能量和时间等，其中一个量的不确定量越小，另一个量的不确定量就越大。12-6-1坐标和动量的不确定关系 德国物理学家海森伯根据量子力学导出，如果

36、一个粒子的位置坐标具有不确定度x，则同一时刻，该方向上的动量也有一个不确定度，且不确定度x与满足 (15-6-1)（156-1）式称为海森伯坐标和动量的不确定关系，坐标和动量的不确定关系来源于微观粒子的波粒二象性，可以借助电子单缝衍射实验来说明。如图15-6-1所示，设单缝宽度为x，使一束电子沿y轴方向射向狭缝，在缝后放置照相底片，以记录电子落在底片上的位置。图15-6-1 电子单缝衍射实验电子可以从缝上任何一点通过单缝，因此在电子通过单缝时刻，其位置的不确定度就是缝宽x。由于电子具有波动性，底片上呈现出和光通过单缝时相似的单缝衍射图样。显然，电子在通过狭缝时刻，其横向动量也有一个不确定量px

37、，可从衍射电子的分布来估算p x的大小，为简便计，先考虑到达单缝衍射中央明纹区的电子，设为中央明纹旁第一级暗纹的衍射角，则 (15-6-2)因为只考虑中央明纹，有 , (15-6-3)因此动量具有不确定量为， (15-6-4)即 (15-6-5)如果考虑其它高次衍射条纹的出现，则,因而 (15-6-6)以上只是作粗略估算，严格推导所得关系为式（15-6-1）。不确定关系式（12-6-1）表明,微观粒子的位置坐标和同一方向的动量不可能同时具有确定值。粒子坐标的不确定量x越小，动量的不确定p x就越大。这和实验结果是一致的。如作单缝衍射实验时，缝越窄、电子在底片分布的范围就越宽。因此，对于具有波粒

38、二象性的微观粒子，不可能用某一时刻的位置和动量描述其运动状态，轨道的概念已失去意义，经典力学规律也不再适用。不确定关系是微观粒子的固有属性，是波粒二象性及其统计规律的必然结果，并非仪器对粒子的干扰，也不是仪器有误差的缘故。例12-7 原子的线度约为10-10m，求原子中电子速度的不确定量，试讨论原子中的电子能否看成经典力学中的粒子。解 原子中电子的位置不确定量， 电子速度的不确定量为由玻尔理论可估算出氢原子中电子速率约为106，可见速度的不确定量与速度大小的数量级基本相同，因此原子中电子在任一时刻都没有完全确定的位置和速度，也没有确定的轨道，故不能看成经典粒子。玻尔和索末菲理论中电子在一定轨道

39、上绕核运动的图像不是对原子中电子运动情况的正确描述。 例12-8电视显像管中电子的加速电压约为10kV，设电子束的直径为0.1×10-3 m，试求电子横向速度的不确定量，试讨论电子的运动问题能否用经典力学处理。 解 由题意知电子横向位置的不确定量，则由不确定关系得电子的动能 电子静能 电子的速度用 计算， ，所以，从电子运动速度相对于速度不确定量来看是相当确定的，波动性不起什么实际作用，因此，这里电子运动问题仍可用经典力学处理。 例12-9 波长=500nm的光波沿x轴正向传播，如果测定波长的不确定量为，试求同时测定光子位置坐标的不确定量。解 由可得光子动量的不确定量大小为又由不确定

40、关系可知,同时测定光子位置坐标的不确定量为12-6-2能量和时间的不确定关系 对微观粒子行为的说明还时常用到能量和时间之间的不确定关系。即如果微观体系处于某一状态的时间为t,则其能量必有一个不确定量,则量子力学可导出二者之间有如下关系,即 (12-6-7)将其应用于原子系统可以讨论原子各受激态能级宽度E和该能级平均寿命t之间的关系。原子通常处于能量最低的基态，在受激发后将跃升到各个能量较高的受激态，停留一段时间后又自发跃迁进入能量较低的态。大量同类电子在同一高能级上停留时间长短不一，但平均停留时间为一定值，称为该能级的平均寿命。根据能量和时间不确定关系(15-6-7)，平均寿命t越长的能级越稳

41、定，能级宽度E越小，即能量越确定。因此，基态能级的能量最确定。由于能级有一定宽度，两个能级间跃迁所产生的光谱线也有一定宽度。显然，受激态的平均寿命越长，能级宽度越小，跃迁到基态所发射的光谱线的单色性就越好。原子受激态平均寿命通常为数量级，设t=108s，可算得E=10-8eV。有些原子具有一种特殊的受激态，寿命可达10-3 s或更长，这类受激态称为亚稳态。 问题12-14 试从能量和时间之间的不确定关系说明一般情况下,光源发出的光总是复色的?例12-10（1）粒子的静能为3100MeV,寿命为。它的能量不确定度是多大？占静能的几分之几？（2）介子的静能为765MeV,寿命为。它的能量不确定度是

42、多大？占静能的几分之几？解 式（1525）中取等号，进行估算（1） （2） §12-7 波函数 薛定谔方程12-7-1 波函数在经典力学中，要确定一个宏观物体的运动状态，可以同时指出它在某一时刻的位置和速度（或动量）。牛顿第二定律就是描述宏观物体运动的普遍方程。但微观粒子具有波粒二象性，它和宏观物体运动具有质的区别。那么微观粒子的运动状态如何描述呢？其运动方程是怎样的呢？1925年奥地利物理学家薛定谔首先提出用物质波波函数描述微观粒子的运动状态，他认为像电子、中子、质子等这样具有波粒二象性的微观粒子，也可像声波或光波那样用波函数描述它们的波动性。只不过波函数中的频率和能量的关系、波长

43、和动量的关系，应如同光的二象性关系那样，遵从德布罗意提出的物质波关系而已。这就是说，微观粒子的波动性与机械波（如声波）的波动性有本质的不同。为了较直观地得出电子等微观粒子的波函数，先从与机械波的类比出发，来讨论微观粒子的波函数的形式。平面机械波的波函数为 （12-7-1）写成复数形式有 （12-7-2）对于动量为、能量为的粒子，它的波长和频率分别为如果粒子不受外力场作用，则粒子为自由粒子，其能量和动量将是不变的，因而，自由粒子的德布罗意波的波长和频率也是不变的，可以认为它是一平面单色波，如其波函数用表示，则有 （12-7-3）式中为约化普朗克常量。（15-7-3）式是描述自由粒子的波函数 .波

44、函数是怎样描述微观粒子运动状态的呢？微观粒子的波动性与粒子性究竟是怎样统一起来的呢？1926年，玻恩提出了物质波波函数的统计诠释，指出，t时刻粒子在空间处附近的体积元dV中出现的概率dW与该处波函数绝对值的平方成正比，可以写成 （12-7-4）式中是波函数的共轭复数,由式(15-7-4)可知，波函数绝对值平方代表t时刻，粒子在空间处的单位体积中出现的概率，又称为概率密度，这就是波函数的物理意义，物质波也被称为概率波。 从波函数的物理意义可知，波函数在任意时刻、任意点应只有单一的值，而且不能在某处发生突变，也不能在某一点变为无穷大，即波函数必须满足单值、有限、连续的条件,此为波函数的标准条件。不

45、符合标准条件的波函数是没有物理意义的，它就不代表物理实在。 因为粒子必定要在空间的某一点出现，因此任意时刻粒子在空间各点出现的概率总和等于1，即应有 （12-7-5）其中积分区域遍及粒子可能达到的整个空间。（15-7-5）式为波函数的归一化条件。问题1212 波函数的物理意义是什么?必须满足哪些条件?问题1213 物质波是什么波?什么是概率密度?对于自由粒子,其波函数由式(15-21)给出,其概率密度为多少?加以计算,并讨论结果。12-7-2薛定谔方程 描述微观粒子运动规律的系统理论是量子力学，量子力学有两种不同的表述方式，一是由薛定谔根据德布罗意的波粒二象性假设，从粒子波动性出发，用波动方程

46、来描述粒子和粒子体系的运动规律，这种理论也称波动力学，是薛定谔于1926年创建的。另一种理论是从粒子的粒子性出发，用矩阵形式来描述粒子和粒子体系的运动规律，这种理论是在1925年左右，由海森伯、玻恩、泡利等创建的，也称矩阵力学。波动力学和矩阵力学两种理论完全等价。本书只介绍波动力学的基本概念和基本方程。 1926年薛定谔提出了适用于低速情况的物质波函数所满足的方程，即薛定谔方程， （12-7-6）其中为粒子的势能。 如果势能不显含时间t,波函数可以写成坐标函数与时间函数两部分的乘积，即 （12-7-7）此时，粒子处于定态，叫做定态波函数。显然，粒子在定态时，它在空间各点出现的概率密度与时间无关

47、，即概率密度在空间形成稳定分布。将式（15-7-7）代回薛定谔方程式（12-7-6），可得所满足的方程 （12-7-8）方程式（12-7-8）称为定态薛定谔方程，也称不含时的薛定谔方程。如果粒子在一维空间运动，方程式（12-7-8）简化为 （12-7-9）薛定谔方程是量子力学中最基本的方程，它的地位与经典力学中的牛顿运动方程、电磁场中的麦克斯韦方程组相当。它是不能由其他基本原理推导出来的，但将这个方程应用于分子、原子等微观体系所得到的大量结果都和实验符合，这就说明了它的正确性。图12-8-1 一维无限深势阱EP(x)§12-8 一维势阱和势垒12-8-1 一维无限深势阱中的粒子假定电

48、子沿x轴作一维运动，其势能函数具有下面的形式 （15-8-1）相应的势能曲线如图15-10所示.这种形式的力场叫做一维无限深(方)势阱。金属内自由电子的运动可以粗略地用一维无限深势阱中的电子来描述。想象粒子是关闭在箱子之中，在箱内可以自由运动，但不能越出箱子的边界，由于粒子不能跃出势阱，所以在和的区域内，表示粒子出现概率的波函数（x）=0。在0<x<a区域即势阱内，定态薛定谔方程为 (12-8-2)由于波函数在势阱边界上连续，故有边界条件 (12-8-3)令 (12-8-4)方程(12-8-2)可改写为 (12-8-5)方程 (12-8-5)的通解可以写成 (12-8-6)式中常数

49、k、A和B可由波函数必须满足单值、有限、连续条件和归一化条件确定。将边界条件代入式(12-8-6)得 由此B=0，必须满足 (12-8-7)或 (12-8-8)n称为量子数。n取正整数是波函数满足边界条件而自然得出的。这里n不能取零，因为n=0时，相当于粒子处处出现的概率为零，这是没有意义的。n取负整数值时的波函数，与n取相应的正整数值时只差一负号，对及能量值均无影响。因此这里只考虑n取正整数值。于是 (12-8-9)将波函数加上下标n是为了标识与量子数n相对应的定态波函数。由归一化条件可得,因而归一化波函数为 (12-8-10) 将式（15-8-8）代入式（15-8-4）得粒子的能量为 (12-8-11)可见，一维无限深势阱中粒子能量是量子化的。当n=1时，粒子能量为，E1是粒子在势阱中具有的最小能量，也称为零点能。其余各能级能量可表示为，能级如图15-8-2所示。注 (1)从定态薛定谔方程出发,利用波函数应遵守的标准化条件(边界条件中隐含着函数连续单值),可自然地