第5章 数字信号分析-DFT

1、广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院机械工程机械工程测试测试信息信息信号分信号分析析主讲：曾盛绰主讲：曾盛绰 教授教授 20132013年年3 3月月 广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院机械工程测试机械工程测试信息信息信号分信号分析析Industry-Specific PDAsMedical Devices广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院机械工程测试机械工程测试信息信息信号分析信号分析广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院本章学习要求：本章学习要求：1、了解信号模数转换和数模转换原理、了解信号模数转换和数模转换原理 2、掌握信号采样定理，能正确选择采样频率、掌握信号采样定理

2、，能正确选择采样频率 3、了解数字信号处理中信号截断、能量泄露、了解数字信号处理中信号截断、能量泄露、栅栏效应等现象栅栏效应等现象4、掌握离散傅里叶变换、掌握离散傅里叶变换(DFT)的方法的方法广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院 离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于于DTFT(离散时间傅立叶变换离散时间傅立叶变换)他更便于用计算机处他更便于用计算机处理。但是，直至上个世纪六十年代，由于数字计算机理。但是，直至上个世纪六十年代，由于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量较大，的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量较大，离散傅里

3、叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系的强大功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。近年来，计算机的处理速率有了惊人的发展，统中。近年来，计算机的处理速率有了惊人的发展，同时在数字信号处理领域出现了许多新的方法，但在同时在数字信号处理领域出现了许多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离散傅里叶变换及其快速算许多应用中始终无法替代离散傅里叶变换及其快速算法。法。 广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院1、信

4、号必须是离散的、信号必须是离散的 信号离散信号离散2、信号是有限长的、信号是有限长的 信号截断信号截断广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院5.1 5.1 数字信号处理概述数字信号处理概述 1 1、数字信号处理的主要研究内容、数字信号处理的主要研究内容 数字信号处理主要研究用数字序列来表示数字信号处理主要研究用数字序列来表示测试信号，并用数学公式和运算来对这些数字序测试信号，并用数学公式和运算来对这些数字序列进行处理。内容包括数字波形分析、幅值分析、列进行处理。内容包括数字波形分析、幅值分析、频谱分析和数字滤波。频谱分析和数字滤波。0AtX(0)X(1)X(2)X(3)X(4)(1iXNE广

5、西大学机械工程学院广西大学机械工程学院2 2、数字信号处理的基本步骤、数字信号处理的基本步骤 数字信号处理的一般步骤可用下图所示的简单数字信号处理的一般步骤可用下图所示的简单框图来概括。把连续时间信号转换为与其相应的数框图来概括。把连续时间信号转换为与其相应的数字信号的过程称之为模字信号的过程称之为模/数数(A/D)转换过程，反之则转换过程，反之则称为数称为数/模模(D/A)转换过程，它们是数字信号处理的转换过程，它们是数字信号处理的必要程序。必要程序。 数字信号处理系统框图数字信号处理系统框图 5.1 5.1 数字信号处理概述数字信号处理概述 广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院 信号的

6、预处理是将信号变换成适于数字处理的信号的预处理是将信号变换成适于数字处理的形式，以减小数字处理的难度。它包括：形式，以减小数字处理的难度。它包括： (1) 信号电压幅值处理，使之适宜于采样；信号电压幅值处理，使之适宜于采样； (2) 过滤信号中的高频噪声；过滤信号中的高频噪声； (3) 隔离信号中的直流分量，消除趋势项；隔离信号中的直流分量，消除趋势项； (4) 如果信号是调制信号，则进行解调。信号如果信号是调制信号，则进行解调。信号调理环节应根据被测对象、信号特点和数学处理设备调理环节应根据被测对象、信号特点和数学处理设备的能力进行安排。的能力进行安排。5.1 5.1 数字信号处理概述数字信

7、号处理概述 广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院 A/DA/D转换包括了在时间上对原信号等间隔采样、幅值上转换包括了在时间上对原信号等间隔采样、幅值上的量化及编码，即把连续信号变成离散的时间序列，其处理的量化及编码，即把连续信号变成离散的时间序列，其处理过程如下图所示。过程如下图所示。 信号A/D转换过程5.1 5.1 数字信号处理概述数字信号处理概述 广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院 数字信号分析可以在信号分析仪、通用计算数字信号分析可以在信号分析仪、通用计算机或专用数字信息处理机上进行。由于计算机只能机或专用数字信息处理机上进行。由于计算机只能处理有限长度的数据，所以要把长时间

8、的序列截断。处理有限长度的数据，所以要把长时间的序列截断。在截断时会产生一些误差，所以有时要对截断的数在截断时会产生一些误差，所以有时要对截断的数字序列进行加权字序列进行加权(乘以窗函数乘以窗函数)以成为新的有限长的以成为新的有限长的时间序列。如有必要还可以设计专门的程序进行数时间序列。如有必要还可以设计专门的程序进行数字滤波。然后把所得的有限长的时间序列按给定的字滤波。然后把所得的有限长的时间序列按给定的程序进行运算。例如，作时域中的概率统计、相关程序进行运算。例如，作时域中的概率统计、相关分析、建模和识别，频域中的频谱分析、功率谱分分析、建模和识别，频域中的频谱分析、功率谱分析、传递函数分

9、析等。析、传递函数分析等。5.1 5.1 数字信号处理概述数字信号处理概述 广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院 运算结果可直接显示或打印，也可用数运算结果可直接显示或打印，也可用数/ /模模(D/A)(D/A)转转换器再把数字量转换成模拟量输入外部被控装置。如有必换器再把数字量转换成模拟量输入外部被控装置。如有必要可将数学信号处理结果输入后续计算机，用专门程序做要可将数学信号处理结果输入后续计算机，用专门程序做后续处理。后续处理。5.1 5.1 数字信号处理概述数字信号处理概述 广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院3 3、数字信号处理的优势、数字信号处理的优势 1)1)用数学计算和计

10、算机显示代替复杂的电路用数学计算和计算机显示代替复杂的电路 和机械结构和机械结构NnnxNtxE022)(1)(5.1 5.1 数字信号处理概述数字信号处理概述 广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院2)2)计算机软硬件技术发展的有力推动计算机软硬件技术发展的有力推动a)a)多种多样的工业用计算机。多种多样的工业用计算机。 5.1 5.1 数字信号处理概述数字信号处理概述 广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院b)b)灵活、方便的计算机虚拟仪器开发系统灵活、方便的计算机虚拟仪器开发系统5.1 5.1 数字信号处理概述数字信号处理概述 广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院案例：铁路机车案

11、例：铁路机车FSKFSK信号检测与分析信号检测与分析京广线计划提速到京广线计划提速到200200公里公里/ /小时小时合作任务：机车状态信号识别合作任务：机车状态信号识别( (频率解调频率解调) )5.1 5.1 数字信号处理概述数字信号处理概述 广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院5.2 5.2 模数模数(A/D)(A/D)和数模和数模(D/A) (D/A) 采样采样利用采样脉冲序列，从信号中抽取一系列利用采样脉冲序列，从信号中抽取一系列 离散值，使之成为采样信号离散值，使之成为采样信号x(nTs)x(nTs)的过的过程程 编码编码将经过量化的值变为二进制数字的过程。将经过量化的值变为二

12、进制数字的过程。 量化量化把采样信号经过舍入变为只有有限个有把采样信号经过舍入变为只有有限个有 效数字的数，这一过程称为量化效数字的数，这一过程称为量化1 1、A/DA/D转换转换 广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院4 4位位A/D: XXXXA/D: XXXXX(1) 0101X(2) 0011X(3) 00005.2 5.2 模数模数(A/D)(A/D)和数模和数模(D/A)(D/A) 广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院实验：实验： 5.2 5.2 模数模数(A/D)(A/D)和数模和数模(D/A)(D/A) 广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院2 A/D2 A/D转换器的

13、技术指标转换器的技术指标 (3) (3) 模拟信号的输入范围模拟信号的输入范围; ; 如，如，5V5V， +/-5V+/-5V，10V10V，+/-10V+/-10V等。等。 (1) (1) 分辨率分辨率; ; 用输出二进制数码的位数表示。位数越多，用输出二进制数码的位数表示。位数越多，量化误差越小，分辨力越高。常用有量化误差越小，分辨力越高。常用有8 8位、位、1010位、位、1212位、位、1616位等。位等。 (2) (2) 转换速度转换速度; ; 指完成一次转换所用的时间，如指完成一次转换所用的时间，如:1ms(1KHz):1ms(1KHz)； 10us(100kHz) 10us(10

14、0kHz) 5.2 5.2 模数模数(A/D)(A/D)和数模和数模(D/A)(D/A) 广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院3 3、D/AD/A转换过程和原理转换过程和原理 D/A D/A转换器是把数字信号转换为电压或电流转换器是把数字信号转换为电压或电流信号的装置。信号的装置。 D/AD/A转换器的技术指标转换器的技术指标 分辨率分辨率; ; 转换速度转换速度; ; 模拟信号的输出范围模拟信号的输出范围; ;5.2 5.2 模数模数(A/D)(A/D)和数模和数模(D/A)(D/A) 广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院A/DA/D、D/AD/A转换过程中的量化误差实验：转换过程中

15、的量化误差实验： 5.2 5.2 模数模数(A/D)(A/D)和数模和数模(D/A)(D/A) 广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院5.3 5.3 采样定理采样定理 采样是将采样脉冲序列采样是将采样脉冲序列p(t)p(t)与信号与信号x(t)x(t)相相乘，取离散点乘，取离散点x(nt)x(nt)的值的过程。的值的过程。x(t)tp(t)广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院X(0), X(1), X(2), , X(n) 5.3 5.3 采样定理采样定理 广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院每周期应该有多少采样点每周期应该有多少采样点 ？最少最少2 2点点: :5.3 5.3 采样

16、定理采样定理 广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院5.3 5.3 采样定理采样定理 广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院实验：实验： 5.3 5.3 采样定理采样定理 广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院频域解释频域解释 0t0f0t0ft00f5.3 5.3 采样定理采样定理 广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院采样定理采样定理 为保证采样后信号能真实地保留原始模拟信为保证采样后信号能真实地保留原始模拟信号信息，信号采样频率必须至少为原信号中最高号信息，信号采样频率必须至少为原信号中最高频率成分的频率成分的2 2倍。这是采样的基本法则，称为采倍。这是采样的基本法则，称为采样定

17、理。样定理。 5.3 5.3 采样定理采样定理 广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院 需注意，满足采样定理，只保证不发生频率需注意，满足采样定理，只保证不发生频率混叠，而不能保证此时的采样信号能真实地反映混叠，而不能保证此时的采样信号能真实地反映原信号原信号x(t)x(t)。工程实际中采样频率通常大于信号。工程实际中采样频率通常大于信号中最高频率成分的中最高频率成分的3 3到到5 5倍。倍。5.3 5.3 采样定理采样定理 广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院频混现象实验：频混现象实验： 5.3 5.3 采样定理采样定理 广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院频混计算：频混计算： F

18、sFsFsFs频混频混正常正常Fs/2工程处理：工程处理：混迭频率混迭频率=Fs-=Fs-信号频率信号频率5.3 5.3 采样定理采样定理 广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院A/DA/D采样前的抗混迭滤波：采样前的抗混迭滤波： 物理信号物理信号对象对象传传感感器器电信号电信号放放大大调调制制电信号电信号A/D转换转换数字信号数字信号展开展开低通滤波低通滤波(0-Fs/2)(0-Fs/2)放大放大5.3 5.3 采样定理采样定理 广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院5.4 5.4 信号的截断、能量泄漏信号的截断、能量泄漏 为便于数学处理，对截断信号做周期延拓，得到虚拟的无限长信号。为便

19、于数学处理，对截断信号做周期延拓，得到虚拟的无限长信号。 用计算机进行测试信号处理时，不可能对无用计算机进行测试信号处理时，不可能对无限长的信号进行测量和运算，而是取其有限的时限长的信号进行测量和运算，而是取其有限的时间片段进行分析，这个过程称信号截断。间片段进行分析，这个过程称信号截断。 广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院 周期延拓后的信号与真实信号是不同的，下面周期延拓后的信号与真实信号是不同的，下面我们就从数学的角度来看这种处理带来的误差情我们就从数学的角度来看这种处理带来的误差情况。况。 设有余弦信号设有余弦信号x(t), x(t), 用矩形窗函数用矩形窗函数w(t)w(t)与其

20、相乘，与其相乘，得到截断信号得到截断信号: y: y(t) =x(t)w(t) (t) =x(t)w(t) 将截断信号谱将截断信号谱 X XT T()()与原始信号谱与原始信号谱X()X()相相比较可知，它已不是原比较可知，它已不是原来的两条谱线，而是两来的两条谱线，而是两段振荡的连续谱段振荡的连续谱. . 原来原来集中在集中在f0f0处的能量被分处的能量被分散到两个较宽的频带中散到两个较宽的频带中去了，这种现象称之为去了，这种现象称之为频谱能量泄漏。频谱能量泄漏。5.4 信号的截断、能量泄漏信号的截断、能量泄漏广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院周期延拓信号与真实信号是不同的：周期延拓信

21、号与真实信号是不同的：能量泄漏误差能量泄漏误差5.4 信号的截断、能量泄漏信号的截断、能量泄漏广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院能量泄漏实验：能量泄漏实验： 5.4 信号的截断、能量泄漏信号的截断、能量泄漏广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院克服方法之一：信号整周期截断克服方法之一：信号整周期截断5.4 信号的截断、能量泄漏信号的截断、能量泄漏广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院为了便于更好地理解DFT的概念，先讨论周期序列及其离散傅里叶级数（DFS）表示。1、离散傅里叶级数（、离散傅里叶级数（DFS）一个周期为N的周期序列，即 ， k为任意整数，N为周期周期序列不能进行Z变换，

22、因为其在 n=-到+ 都周而复始永不衰减，即 z 平面上没有收敛域。但是，正象连续时间周期信号可用傅氏级数表达，周期序列也可用离散的傅氏级数来表示，也即用周期为N的正弦序列来表示。 )()(kNnxnx5.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院nNjene/21)(knNjkene/2)(周期为N的正弦序列其基频成分为： K次谐波序列为：knNjnNkNjee/2)(/2 但离散级数所有谐波成分中只有N个是独立的，这是与连续傅氏级数的不同之处， 即 因此 )()(nenekNk5.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）广西大学机械工程学院广西

23、大学机械工程学院 将周期序列展成离散傅里叶级数时，只需取 k=0 到(N-1) 这N个独立的谐波分量，所以一个周期序列的离散傅里叶级数只需包含这N个复指数， 利用正弦序列的周期性可求解系数 。将上式两边乘以 ，并对一个周期求和 10/2)(1)(NKknNjekXNnx)(kXrnNje)/2(5.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院1010)(2101010)(22)(1)(1)(NkNnnrkNjNnNnNknrkNjrnNjekXNekXNenx111)(10/)(2)(2NkNrkjrkjeeNkXrksNrkeNNnnrkNj01110

24、)(2(5.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院上式中 部分显然只有当k=r时才有值为1,其他任意k值时均为零,所以有 或写为 1) 可求 N 次谐波的系数 2） 也是一个由 N 个独立谐波分量组成的傅立叶级数 3） 为周期序列，周期为N。)()(102rXenxNnrnNj10)()(102NkenxkXNnknNj)(kX)(kX)(kX5.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院)()()()(10/210)(/2kXenxenxmNkXNnknNjNnnmNkNj 时域上周期序列的离散傅里叶级数

25、在频域上仍是一个周期序列。5.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院 是一个周期序列的离散傅里叶级数(DFS)变换对，这种对称关系可表为： 习惯上：记 ， )()(nxkX10/2)()()(NnknNjenxnxDFSkX10/2)(1)()(NnnkNjekXNkXIDFSnxNjNeW/25.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院 DFS变换对公式表明，一个周期序列虽然是无穷长序列，但是只要知道它一个周期的内容（一个周期内信号的变化情况），其它的内容也就都知道了，所以这种无穷长序列实际上只有N个序

26、列值的信息是有用的，因此周期序列与有限长序列有着本质的联系。1010)()(1)()()()(NkknNNnknNkXIDFSWkXNnxnxDFSWnxkXDFS 离散傅里叶级数变换IDFS离散傅里叶级数反变换。则则DFS变换对可写为：变换对可写为：5.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院DFS的几个主要特性：的几个主要特性： 假设 都是周期为 N 的两个周期序列，各自的离散傅里叶级数为： 1）线性）线性 a,b为任意常数)()(nynx、)()()()(nyDFSkYnxDFSkX)()()()(kYbkXanybnxaDFS5.5 离散傅里

27、叶变换（离散傅里叶变换（DFT）广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院 2）序列移位）序列移位 证：因为 及 都是以N为周期的函数，所以有 )()()()(nxwlkXIDFSkXwmnxDFSnlNmkN)(nxknNw101)()()(NnmNmikmNkiNknNwwixwmnxmnxDFS)()()(101kXwwixwwixwmkNNikiNmkNmNmikiNmkN5.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院由于 与 对称的特点，同样可证明)(nx)(kX)()(nxwlkXIDFSnlN5.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）

28、广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院对于复序列 其共轭序列 满足 nx nx* kXnx*DFS kXWnxWnxnxNnnkNNnnkN*10*10*)()(DFS证证: kXnx*DFS同理同理: 3）共轭对称性）共轭对称性 5.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院进一步可得进一步可得 )()(21DFS21ReDFS*kNXkXnxnxnx )()(21ReDFS*ekNXkXkXnx共轭偶对称分量共轭偶对称分量 )()(21ImDFS*okNXkXkXnxj共轭奇对称分量共轭奇对称分量 5.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）

29、广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院4）周期卷积）周期卷积若若 则则 或或 )()()(kYkXkF10)()()()(NmmnymxkFIDFSnf10)()(Nmmnxmy5.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院 周周 期期 卷卷 积积5.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院 这是一个卷积公式，但与前面讨论的线性卷积的差别在于，这是一个卷积公式，但与前面讨论的线性卷积的差别在于，这里的卷积过程只限于一个周期内（即这里的卷积过程只限于一个周期内（即 m=0N-1），称为周期），称为周期卷积。卷

30、积。 例：例： 、 ，周期为，周期为 N=7, 宽度分别为宽度分别为 4 和和 3 ，求周期卷积。求周期卷积。 结果仍为周期序列，周期为结果仍为周期序列，周期为 N 。10)()(1)()()(NkknNwkYkXNkYkXIDFSnf1010)()(1NkNmnkNmkNwkYwmxN101010)()()()(1)(NmNmNkkmnNmnymxwkYNmx)(nx)(ny证证：5.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院)()()(nynxnf1010)()(1)()(1)()(NlNllYlkXNlkYlXNnfDFSkF 由于由于DFS与与

31、IDFS的对称性，对周期序列乘积，存在的对称性，对周期序列乘积，存在着频域的周期卷积公式，着频域的周期卷积公式，若若 则则 5.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院2、离散傅里叶变换（、离散傅里叶变换（DFT） 我们知道周期序列实际上只有有限个序列值有意义，因此我们知道周期序列实际上只有有限个序列值有意义，因此它的许多特性可推广到有限长序列上。它的许多特性可推广到有限长序列上。 一个有限长序列一个有限长序列 x(n)，长为，长为N， 为了引用周期序列的概念，假定一个周期序列为了引用周期序列的概念，假定一个周期序列 ，它由长度，它由长度为为 N 的

32、有限长序列的有限长序列 x(n) 延拓而成，它们的关系：延拓而成，它们的关系： nNnnxnx其余010)()()(nxnNnnxnxrNnxnxr其它010)()()()(5.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院周期序列的主值区间与主值序列： 对于周期序列 ，定义其第一个周期 n=0N-1，为 的“主值区间”，主值区间上的序列为主值序列 x(n)。x(n)与 的关系可描述为： 数学表示： RN（n）为矩形序列。符号（n）N 是余数运算表达式，表示 n 对 N 求余数。)(nx)(nx)(nx)()()()(主值序列的是的周期延拓是nxnxnxn

33、x)()()()()()()(nRnxnRnxnxnxnxNNNN5.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院)(nx)(nx5.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院例：例： 是周期为是周期为 N=8 的序列，求的序列，求 n=11 和和 n=-2 对对 N的的余数。余数。因此因此 )(nx6)2(68) 1(23)11(3811188nn)6()2(),3()11(xxxx5.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院 周期序列 的离散付氏级数 也是一个周期序

34、列，也可给它定义一个主值区间 ，以及主值序列 X(k)。数学表示： )(nx)(kX10NkNNkXkXkRkXkX)()()()()(频域上的主值区间与主值序列：频域上的主值区间与主值序列：5.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院10)()()(10NkWnxnxDFSkXNnkn10)(1)()(10NnWkXNkXIDFSnxNnkn再看周期序列的离散傅里叶级数变换（DFS）公式： 这两个公式的求和都只限于主值区间（0N-1），它们完全适用于主值序列 x(n) 与 X(k) ，因而我们可得到一个新的定义有限长序列离散傅里叶变换定义。5.5

35、离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院 长度为N的有限长序列 x(n) ，其离散傅里叶变换 X(k) 仍是一个长度为N 的有限长序列，它们的关系为： x(n) 与 X(k) 是一个有限长序列离散傅里叶变换对，已知 x(n) 就能唯一地确定 X(k) ，同样已知 X(k) 也就唯一地确定 x(n) ，实际上 x(n) 与 X(k) 都是长度为 N 的序列（复序列）都有N个独立值，因而具有等量的信息。 有限长序列隐含着周期性。10)(1)()(10)()()(1010NnWkXNkXIDFTnxNkWnxnxDFTkXNkknNNnknN5.5 离散傅里叶

36、变换（离散傅里叶变换（DFT）广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院DFT的矩阵方程表示的矩阵方程表示) 1() 1 ()0(,) 1() 1 ()0(NXXXNxxxXxxWXN)1()1()1(2)1()1(2421211111111NNNNNNNNNNNNNNNWWWWWWWWWNW5.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院DFT特性：特性： 以下讨论以下讨论DFT的一些主要特性，这些特性都与周期序的一些主要特性，这些特性都与周期序列的列的DFS有关。有关。 假定假定x(n)与与y(n)是长度为是长度为N的有限长序列，其各自的的有限长序列，

37、其各自的离散傅里叶变换分别为：离散傅里叶变换分别为： X(k)=DFTx(n) Y(k)=DFTy(n)(1) 线性线性 DFTax(n)+by(n)=aX(k)+bY(k) ,a,b为任意常数为任意常数5.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院(2) 循环移位循环移位 有限长序列x(n)的循环移位定义为： f(n)=x(n+m)NRN(n)含义：1) x(n+m)N 表示 x(n) 的周期延拓序列 的移位： 2) x(n+m)NRN(n) 表示对移位的周期序列 x(n+m)N 取主值序列, 所以f(n)仍然是一个长度为N的有限长序列。f（n）实际

38、上可看作序列 x（n）排列在一个N等分圆周上，并向左旋转 m 位。 )(nx)()(mnxmnxN5.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院) 2(nx)(nx)(nfnnn1N1N1N0005.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院移位前左移两位后5.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院证：利用周期序列的移位特性： 实际上，利用WN-mk的周期性，将f(n)=x(n+m)NRN(n)代入DFT定义式，同样很容易证明。 )()(kXwmnxDFSmnxDF

39、SmkNN)()()(nRmnxDFTnfDFTNN)()()()()(kXwkRmnxDFSnRmnxDFTmkNNN序列循环移位后的DFT为 F（k）=DFTf（n）= x（k）mkNw5.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院 同样，对于频域有限长序列X(k)的循环移位，有如下反变换特性： IDFTX(k+l)NRN(k)= x（n）nlNw5.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院（3）循环卷积）循环卷积若 F（k）=X（k）Y（k）则 或 10)()()()()(NmNNnRmnymxkFID

40、FTnf10)()()()()(NmNNnRmnxmykFIDFTnf5.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院证：这个卷积可看作是周期序列 卷积后再取其主值序列。将F（k）周期延拓，得： 则根据DFS的周期卷积公式：因0mN-1时，x(m)N=x(m)，因此经过简单的换元可证明：)()(nynx与)()()(kYkXkF1010)()()()()(NmNNNmmnymxmnymxnf)()()()()()(10nRmnymxnRnfnfNNmNN10)()()()(NmNNnRmnxmynf5.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）广西大学

41、机械工程学院广西大学机械工程学院 这一卷积过程与周期卷积比较，过程是一样的，只是这里只取结果的主值序列，由于卷积过程只在主值区间0mN-1内进行，所以 实际上就是 y（m）的圆周移位，称为“循环卷积”，习惯上常用符号“”表示循环卷积，以区别于线性卷积。 )()()()()()()()()()(1010nxnynRmnxmynRmnymxnynxNmNNNmNNNmny)( 5.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院1）由有限长序列 x(n)、y(n) 构造周期序列循环卷积过程循环卷积过程:)()(nynx与2）计算周期卷积 10)()()(Nmmn

42、ymxnf3）卷积 结果取主值)()()(nRnfnfN5.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院10)()()(1)()(NlNNkRlkYlXNnfDFTkF10)()()(1NlNNkRlkXlYN同样，若 f(n)=x(n)y(n)，则5.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院（4）有限长序列的线性卷积与循环卷积（循环卷积的应用）有限长序列的线性卷积与循环卷积（循环卷积的应用） 实际问题的大多数是求解线性卷积，如信号实际问题的大多数是求解线性卷积，如信号 x（n）通过）通过系统系统 h（n），其

43、输出就是线性卷积），其输出就是线性卷积 y（n）=x（n）*h（n）。而循环卷积比起线性卷积，在运算速度上有很大的优越性。而循环卷积比起线性卷积，在运算速度上有很大的优越性，它可以采用快速傅里叶变换（，它可以采用快速傅里叶变换（FFT）技术，若能利用循环）技术，若能利用循环卷积求线性卷积，会带来很大的方便。卷积求线性卷积，会带来很大的方便。 现在我们来讨论上述现在我们来讨论上述 x（n）与）与h（n）的线性卷积，如果）的线性卷积，如果 x（n）、）、h（n）为有限长序列，则在什么条件下能用循环卷）为有限长序列，则在什么条件下能用循环卷积代替而不产生失真。积代替而不产生失真。 5.5 离散傅里叶

44、变换（离散傅里叶变换（DFT）广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院有限长序列的线性卷积：有限长序列的线性卷积：假定 x（n）为有限长序列，长度为N， y（n）为有限长序列，长度为M，它们的线性卷积f（n）=x（n）*y（n）也应是有限长序列。因 x（m）的非零区间： 0mN-1， y(n-m)的非零区间： 0n-mM-1， 这两个不等式相加，得： 0nN+M-2， 在这区间以外不是x（m）=0，就是y（n-m）=0，因而f（n）=0。因此，f（n）是一个长度为N+M-1的有限长序列。Mmnymxnynxnf)()()(*)()(5.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）广西大学机械工

45、程学院广西大学机械工程学院循环卷积：循环卷积： 重新构造两个有限长序列 x（n）、y（n），长度均为 L maxN,M ，序列 x（n）只有前N个是非零值，后L-N个为补充的零值；序列 y（n）只有前M个是非零值，后L-M个为补充的零值。为了分析 x（n）与y（n）的循环卷积，先看x（n），y（n）的周期延拓： rqrLnynyqLnxnx)()()()(5.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院1010)()()()()(LmLmlmnymxmnymxnf rrLmLmrrLnfmrLnymxmrLnymx)()()()()(1010其中f（n）

46、就是线性卷积，也就是说，x（n）、y（n）周期延拓后的周期卷积，是x（n）、y（n）线性卷积的周期延拓，周期为L。它们的周期卷积序列为：5.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院 根据前面的分析，f（n）具有 N+M-1 个非零序列值，因此，如果周期卷积的周期 LN+M-1，那么 f（n）周期延拓后，必然有一部分非零序列值要重叠，出现混淆现象。只有 LN+M-1 时，才不会产生交叠，这时 f（n）的周期延拓 中每一个周期L内，前N+M-1个序列值是f（n）的全部非零序列值，而剩下的 L （N+M-1）点的序列则是补充的零值。循环卷积正是周期卷积取主

47、值序列： 所以使圆周卷积等于线性卷积而不产生混淆的必要条件圆周卷积等于线性卷积而不产生混淆的必要条件是： LN+M-1 )(nfl)()()()()(nRnfnynxnfLll)()(nRrLnfLr5.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院（5）共轭对称性）共轭对称性 设 x*（n）为 x（n）的共轭复数序列，则 DFTx*（n）=X*(N-k)证： DFTx*(n) 0kN-1 由于因此， DFTx*(n)10*)(NnnkNWnx*10)(NnnkNWnxknNknNnjknNnNNjknNnNNnkNNWWeWeWWW22)()()()()

48、(*10)(kRkNXkNXWnxNNNnnkNN5.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院说明： 当k=0时，应为X*(N-0)=X*(0)，因为按定义X（k）只有N个值，即0kN-1，而XN已超出主值区间，但一般已习惯于把X（k）认为是分布在N等分的圆周上，它的末点就是它的起始点，即XN= X0，因此仍采用习惯表示式 DFTx*（n）=X*（N-k）以下在所有对称特性讨论中，XN均应理解为XN=X0，同样，x(N)=x(0)。5.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院利用循环卷积和共轭对称特性，可证

49、明DFT形式下的Parseval定律： 当y（n）= x（n）时，即为有限长序列的能量： 1010*)()(1)()(NnNkkYkXNnynx101022| )(|1| )(|NnNkkXNnx5.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院 复序列的实部与虚部的复序列的实部与虚部的DFT变换变换 以 xr（n）和 xi（n）表示序列x（n）的实部与虚部 即 x（n）=xr（n）+jxi（n）则 )()(21)()()(21)(*nxnxnjxnxnxnxir 5.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院 则

50、 Xe（k）和X0（K）表示实部与虚部序列的DFT，则 )()(21)()(*nxnxDFTnxDFTkXre)()(21*kNXkX)()(21)()(*0nxnxDFTnjxDFTkXi)()(21*KNXkX5.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院显然， Xe(k)与Xo(k)对称性： 故 因此,Xe(k)具有共轭对称性，称为X(k)的共轭偶对称分量。 )()()(kXkXkXoe*)()(21)(kNNXkNXkNXe)()(21*kXkNX)()(*kNXkXee5.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）广西大学机械工程学院广西大

51、学机械工程学院用同样的方法可得到 X0(k)= - X*0(N-k)即Xo(k)具有共轭反对称特性，称其为X(k)的共轭奇对称分量。 对于纯实数序列 x（n），即x（n）=xr（n），X（k）只有共轭偶对称部分，即X（k）=Xe（k），表明实数序列的DFT满足共轭对称性，利用这一特性，只要知道一半数目的 X（k），就可得到另一半的 X（k），这一特点在DFT运算中可以加以利用，以提高运算效率。)()(kXnxer)()(kXnxoi5.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院 根据x（n）与X（k）的对称性，同样可找到X（k）的实部、虚部与x（n）的

52、共轭偶部与共轭奇部的关系。 分别以xe（n）及x0（n）表示序列x（n）的圆周共轭偶部与圆周共轭奇部：同样应从圆周意义上理解 x（N-0）=x（0）。可证明: DFTxe（n）=ReX（k） DFTx0（n）=jImX（k） )()(21)()()(21)(*nNxnxnjxnNxnxnxoe5.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院（6）选频性）选频性 （对（对0有限制？）有限制？） 对复指数函数 进行采样得复序列 x（n） 0nN-1其中q为整数。当0=2/N时，x（n）=ej2nq/N,其离散傅里叶变换为 写成闭解形式可见，当输入频率为q0时

53、，变换X（K）的N个值中只有 X（q）=N，其余皆为零，如果输入信号为若干个不同频率的信号的组合，经离散傅里叶变换后，不同的k上，X（k）将有一一对应的输出，因此，离散傅里叶变换算法实质上对频率具有选择性。 njqoenx)(10/2/2)(NnNnkjNnqjeekXqkqkNeekXNkqjkqj011)(/ )(2)(2tjqoenx)(5.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院（7）DFT与与Z变换变换 有限长序列可以进行z变换 比较z变换与DFT变换，可见，当z=w-kN时， 即 10)()()(NnnznxnxZzX)()()()(10

54、kXnxDFTwnxzXnNnkNwzkNkNwzzXkX)()(kNjkNewz25.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院图 DFT与z变换ooooooooooo2X（ej）X（k）oRezjImzk1N00o5.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院变量周期分辨率2N2f、ssf、NfskN5.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院 是z平面单位圆上幅角为 的点，即将z平面上的单位圆N等分后的第k点。NjkeXkX)(kNwkN2 1）X(k)也就是z

55、变换在单位圆上等间隔的采样值。 2）X（k）也可看作是对序列付氏变换X（ej）的采样，采样间隔为： N=2/N。即结论：5.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院 采样定律告诉我们，一个频带有限的信号，可以对它进行时域采样而不丢失任何信息； DFT变换进一步告诉我们，对于时间有限的信号（有限长序列），也可以对其进行频域采样，而不丢失任何信息，这正反应了傅立叶变换中时域、频域的对称关系。它有十分重要的意义，由于时域上的采样，使我们能够采用数字技术来处理这些时域上的信号（序列），而DFT的理论不仅在时域，而且在频域也离散化，因此使得在频域采用数字技术处理成为可能。 FFT就是频域数字处理中最有成效的一例。5.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）广西大学机械工程学院广西大学机械工程学院（8）DFT形