第三章资金的时间价值与等值计算

1、掌握资金时间价值的概念； 掌握单利及复利计息方法；掌握复利公式的使用（会写规格化因子、查用因子表）；掌握名义利率与实际利率的概念及换算公式。重点：资金等值的概念；基本复利公式；名义利率与实际利率的概念。难点：复利公式的适用条件；实际利率的概念。深度和广度：熟练运用基本计算公式进行等值换算；掌握实际利率的应用。 资金与货币 货币是资金的一种重要表现形式。 参与社会再生产的货币才能称之为资金。 资金的运动过程货币实物售卖阶段购买阶段生产阶段实物货币实物实物 资金在生产和流通过程中，即产品价值形成的过程资金在生产和流通过程中，即产品价值形成的过程中，随着时间的推移而产生的资金增值，中，随着时间的推移

2、而产生的资金增值， 称为资金称为资金的时间价值。的时间价值。 用于投资会带来利润；用于储蓄会得到利息。用于投资会带来利润；用于储蓄会得到利息。 资金的运动规律就是资金的价值随时间的变化而变化，资金的运动规律就是资金的价值随时间的变化而变化，主要研究资金随时间增值的现象。主要研究资金随时间增值的现象。 现金流出：新项目所有的资金支出现金流出：新项目所有的资金支出. 现金流入：新项目所有的资金收入现金流入：新项目所有的资金收入. 现金流量：项目系统中现金流入和流出的货币数量现金流量：项目系统中现金流入和流出的货币数量. 净现金流量：现金流入量与现金流出量之差。净现金流量：现金流入量与现金流出量之差

3、。 绝对尺度纯收益:利息 相对尺度收益率利率P+P;PP即为利息PPi产生P的时间长度单位本金在单位时间（一个计息周期）产生的利息。比较常用的是年利率。放弃资金使用权所得的报酬或占用资金所付出的代价利率周期利息利息一定数额货币经过一定时间后资金的绝对增一定数额货币经过一定时间后资金的绝对增 值，用值，用“I”表示。表示。 利率利率利息递增的比率，用利息递增的比率，用“i”表示表示。 每单位时间增加的利息每单位时间增加的利息 本金本金100%利率利率(i%)= 计息周期通常用年、月、日表示，也可用半年、计息周期通常用年、月、日表示，也可用半年、季度来计算，用季度来计算，用“n”表示。表示。广义的

4、利息广义的利息信贷利息信贷利息经营利润经营利润 单利法单利法 只对本金计息，利息只对本金计息，利息到期不付到期不付不再生息。不再生息。 利息I(P)Pi 复利法复利法PinPInPFt)1 (niP 某人以3.24单利存入银行10000元，存期为3年，到期后的本利和为多少?P10000303F3=10000+3*10000*3.24%=10972F 不仅本金计息，利息不仅本金计息，利息到期不付到期不付也要生息。也要生息。 基本公式：基本公式：iFItt1nniPF)1 ( 复利复利公式的推导公式的推导如下如下：年份年份年初本金年初本金P当年利息当年利息I年末本利和年末本利和F P(1+i)2P

5、(1+i)n-1 P(1+i)n 1 PPiP(1+i)2P(1+i)P(1+i) in1P(1+i)n-2P(1+i)n-2 i n P(1+i)n-1P(1+i)n-1 i年年 初初欠欠 款款年年 末末 应应 付付 利利 息息年年 末末欠欠 款款年年 末末偿偿 还还1234实例实例:假如以年利率假如以年利率6%借入资金借入资金1000元元,共借共借4年年,其偿其偿还的情况如下表还的情况如下表:年年10001000 0.06=601060010601060 0.06=63.601123.6001123.601191.0201191.021262.481262.481123.60 0.06=6

6、7.421191.02 0.06=71.46某人以8单利借出1500元，借期为3年，到期后又把所得的本息以7的复利再借出10年，问此君在该借期满时可得到本利和为多少？ 前面的分析计算都是假设计算利息的时间单位和利率的时间单位相同。如果前面的分析计算都是假设计算利息的时间单位和利率的时间单位相同。如果计算利计算利息息的时间单位与利率的时间单位不同，情况会怎样呢的时间单位与利率的时间单位不同，情况会怎样呢?如利率的时间单位为一年，如利率的时间单位为一年，而而计息周期计息周期为月，为月，其计算结果会怎样呢其计算结果会怎样呢?这就涉及到名义利率和实际利率的问题。这就涉及到名义利率和实际利率的问题。1.

7、 实际利率实际利率若利率为年利率，实际计息周期也是一年，这种利率称为实际利率。若利率为年利率，实际计息周期也是一年，这种利率称为实际利率。2. 名义利率名义利率若利率为年利率，而实际计息周期小于一年（如每季、月或年计息一次），则这种若利率为年利率，而实际计息周期小于一年（如每季、月或年计息一次），则这种利率叫名义利率。利率叫名义利率。3 名义利率与实际利率得关系名义利率与实际利率得关系推导名义利率和有效利率的换算公式。推导名义利率和有效利率的换算公式。 设设r表示年表示年名义利率名义利率，I表示年表示年实际利率实际利率，m表示表示1年中年中计息次数计息次数，则计，则计息周期的实际息周期的实际利

8、率为利率为r/m，根据复利计，根据复利计息公式，本金息公式，本金P在在1年后的本利和为：年后的本利和为：F=P（1+r/m）m1年中得到的利息为：年中得到的利息为：F-P=P（1+r/m）m-1则年实际利率为：则年实际利率为：I=(F-P)/P=(1+r/m)m-1 讨论：讨论：当当m=1时，时， i=r当当m1时，时， ir，且，且m越大，相差也越大。实际越大，相差也越大。实际利率相对于名义利率就越高。利率相对于名义利率就越高。名义利率的处理有两种方法：名义利率的处理有两种方法：a、将名义利率换算为实际利率，再计算复利；、将名义利率换算为实际利率，再计算复利；b、按照实际的计息周期和期数，按

9、名义利率、按照实际的计息周期和期数，按名义利率计算，即对计息次数不同的各种名义利率，相互计算，即对计息次数不同的各种名义利率，相互没有可比性，应化为实际利率后比较。没有可比性，应化为实际利率后比较。 例例 年利率为年利率为12%，每季度记息一次，年初存款为，每季度记息一次，年初存款为100万元。则年实际利率为万元。则年实际利率为 ？年末本利和为？年末本利和为 ？年利率12，每季度计息一次，11000元的借款10年，将来值？ 考虑资金时间价值的情况下，不同时期相不同时期相同金额的资金价值是不等的；而不同时期、同金额的资金价值是不等的；而不同时期、不同金额的资金却可以具有相等的价值不同金额的资金却

10、可以具有相等的价值。 如果两笔资金在某个时刻等值，则在同一利率的情况，则其在任何时刻都是等值的。 等值计算等值计算是工程经济分析中的重要工作，必须达到掌握的程度。3.1 等值的概念 在某项经济活动中，如果两个方案的经济在某项经济活动中，如果两个方案的经济效果相同，就称这两个方案是等值的。效果相同，就称这两个方案是等值的。 例如，在年利率例如，在年利率6%情况下，现在的情况下，现在的300元等值元等值于于8年末的年末的300 (1+0.06)8 =478.20元。这两个等值元。这两个等值的现金流量如下图所示。的现金流量如下图所示。478.20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 年 300 i=

11、6% 0 1 2 3 4 5 6 7 8 年 i=6% 同一利率下不同时间的货币等值同一利率下不同时间的货币等值 近期的资金比远期资金更具有价值近期的资金比远期资金更具有价值。3.2 资金等值的概念： 在考虑资金时间价值的情况下，不同时期、相同金额的资金价值是不等的；而不同时期、不同金额的资金却可以具有相等的价值。 资金的等值包括资金的等值包括三个因素三个因素 数额值数额值时点资金发生的时刻时点资金发生的时刻利率尺度利率尺度 在经济活动中，在经济活动中，等值是一个非常重要的概念等值是一个非常重要的概念，在在方案评价、比较中广泛应用。方案评价、比较中广泛应用。 利用等值的概念，可把一个时点的资金

12、额换算成利用等值的概念，可把一个时点的资金额换算成另一时点的等值金额。另一时点的等值金额。 进行资金等值换算还需阐明以下几个概念： (1)现值。现值是指资金现在的价值，是资金处于资金运动起点时 刻的价值。以符号P表示。 (2)终值。终值是指资金经过一定时间的增值后的资金值，是现值 在未来时点上的等值资金。相对现值而言，终值又称为将来值、本利 和，以符号F表示。 (3)时值。资金的时值是指资金在其运动过程中处于某一时点的 价值。 (4)等年值。等年值是指分期等额收付的资金值。由于各期间隔 通常为1年，且各年金额相等，故又称为年金，以符号A表示。通常指年末发生。通常指年末发生。 (7)贴现与贴现率

13、。把终值换算为现值的过程叫贴现或折现。贴 现时所用的利率称为贴现率或折现率。 基本复利公式 一次支付公式 等额支付公式 i利率（折现率），计算资金时间增值程度的尺度 n计息次数（寿命、期数） P现值（本金）Present Value F终值（未来值）Future Value A年值（等额年金）Annual Value 后付年值、预付年值其中利率是核心。 等值换算就是根据给定的利率i，在一定的时间段内完成不同时点的资金的时间价值换算，如将现值P换成未来值F、未来值F换成年值A等.4 一次支付复利公式一次支付复利公式 0 1 2 3 n 1 n F=？P (已知）已知） (1+i)n 一次支付复利

14、系数一次支付复利系数F = P(1+i)F = P(1+i)n n= =P(F/P,i,n)P(F/P,i,n)4.1 已知已知n，i，P ，求 F 某人以8利率存入我校50000元，存期为5年，到期后的本利和为多少?P50000505F5=50000*（1+8%）5 =73466.5实例实例:F一次支付现值系数一次支付现值系数),/()1 (1niFPFiFPn 0 1 2 3 n 1 n F (已知）已知）P =？ 4.2 已知已知n，i， F ，求P 例如年利率为例如年利率为6%，如在第四年年末得到的本利，如在第四年年末得到的本利和为和为1262.5元，则第一年年初的投资为多少？元，则第

15、一年年初的投资为多少？ 10007921. 05 .1262%6115 .1262)1 (14niFP 将未来时刻的资金换算至现在时刻，称为折现。5 等额支付系列复利公式等额支付系列复利公式),/(1)1 (niAFAiiAFn 0 1 2 3 n 1 n F =？ A (已知）5.1等额分付终值计算公式已知已知等额分付终值计算公式已知已知n，i，A ，求，求 F年金终值因子（系数）年金终值因子（系数）后付年值后付年值A1累累 计计 本本 利利 和和 （ 终终 值值 ）等额支付值等额支付值年末年末23AAnAAA+A(1+i)A+A(1+i)+A(1+i)2A1+(1+i)+(1+i)2+(1

16、+i)n-1=F 0 1 2 3 n 1 n F =？ A (已知）已知）后付年值后付年值 即即 F= A+A(1+i)+A(1+i)2+ A(1+i)n-1 (1) 以以(1+i)乘乘(1)式式,得得 F(1+i)= A(1+i)+A(1+i)2+A(1+i)n-1 +A(1+i)n (2) (2) (1) ，得得F(1+i) F= A(1+i)n A),/(1)1 (niAFAiiAFn 例如连续例如连续5年每年年末借款年每年年末借款1000元，按年利率元，按年利率6%计算，第计算，第5 年年末积累的借款为多少？年年末积累的借款为多少？ 解：解：)(1.56376371.51000%61%

17、611000),/(1)1(5元niAFAiiAFn 按政府有关规定，贫困学生在大学学习期间可享受政府贷款。某学生在大学四年学习期间，每年年初从银行贷款7000元用以支付当年学费及部分生活费，若年利率5%，则此学生四年后毕业时借款本息一共多少？),/(1)1 (niFAFiiFAn 0 1 2 3 n 1 n F (已知） A =？5.2等额分付偿债基金公式已知已知等额分付偿债基金公式已知已知n，i ，F ，求，求 A 偿债基金因子（系数）、储备基金因子（系数）后付年值后付年值 例：当利率为例：当利率为8%时，从现在起连续时，从现在起连续6年的年末等年的年末等额支付为多少时与第额支付为多少时与

18、第6年年末的年年末的10000 等值？等值？ A=F（A/F,8%,6）=10000 (0.1363) =1363 元元/年年 计算表明，当利率为计算表明，当利率为8%时，从现在起连续时，从现在起连续6年年1363 元的元的年末等额支付与第年末等额支付与第6年年末的年年末的10000 等值。等值。解：10000 0 1 2 3 4 5 6 年 i=8% 0 1 2 3 4 5 6 年 A=？ i=8% 年金现值公式年金现值公式),/()1 (1)1 (niAPAiiiAPnn 0 1 2 3 n 1 n P=？ A (已知） 5.3等额分付现值计算公式已知已知等额分付现值计算公式已知已知n，i

19、 ， A ，求，求PF = P(1+i)F = P(1+i)n n= =P(F/P,i,n)P(F/P,i,n)F =A F =A (1+i)(1+i)n n 1 1i i P(1+i)P(1+i)n n =A=A (1+i)(1+i)n n 1 1i i ),/()1 (1)1 (niAPAiiiAPnn根据 例：当利率为例：当利率为10%时，从现在起连续时，从现在起连续5年的年年的年末等额支付为末等额支付为600元，问与其等值的第元，问与其等值的第0年的年的现值为多大？现值为多大？ 解：解： P=A(P/A,10%,5)=2774.59元元 计算表明，当利率为计算表明，当利率为10%时，从

20、现在起时，从现在起连续连续5年的年的600元年末等额支付与第元年末等额支付与第0年的现值年的现值2274.50元是等值的。元是等值的。 某公司发行的股票目前市值每股100元，第一年股息6%，预计以后每年股息增加1元。假设10年后股票能以原值的1.5倍卖出。若10年内希望达到10%的投资收益率，问目前投资购进该股票是否合算？资金恢复因子（系数）资金恢复因子（系数）),/(1)1 ()1 (niPAPiiiPAnn 0 1 2 3 n 1 n P(已知） A =？5.4等额分付资本回收公式已知已知等额分付资本回收公式已知已知n，i ，P ，求，求 A 根据F = P(1+i)F = P(1+i)n

21、 n= =P(F/P,i,n)P(F/P,i,n)F =A F =A (1+i)(1+i)n n 1 1i i ),/(1)1 ()1 (niPAPiiiPAnnP(1+i)P(1+i)n n =A=A (1+i)(1+i)n n 1 1i i 例某工程项目初始投资1000万元，预计年投资收益率为15，每年年末至少要等额回收多少资金，才能在5年内将全部投资收回？ 解 已知P=1000，i15n5，求A。 由资金回收公式可得 AP，(AP，i，n)1000(AP，15，5) 1000029832983(万元) 即每年至少应等额回收2983万元才能将全部投资收回。 以按揭货款方式购房，货款20万元

22、，假定年名义利率12%，10年内按（年）月等额分期付款，每（年）月应付多少？1. 一次支付类型（1）复利终值公式（一次支付终值公式、整付本利和公式） （2）复利现值公式（一次支付现值公式）),/()1(niPFPiPFn),/()1 (niFPFiFPn2. 等额分付类型（1）等额分付终值公式（等额年金终值公式 ）（2）等额分付偿债基金公式（等额存储偿债基金公式）（3）等额分付现值公式（4）等额分付资本回收公式),/(1)1 (niAFAiiAFn),/(1)1 (niFAFiiFAn),/()1(1)1(niAPAiiiAPnn),/(1)1 ()1 (niPAPiiiPAnn支付类型计算简

23、图计算公式因 子 式说 明因子式表达式名词一次支付（F/P，i,n)终值系数整存已知整取多少（P/F，i,n)现值系数整取多少整存已知等额支付（F/A，i,n)终值系数零存已知整取多少（A/F，i,n)偿债基金系数整取多少零存已知（P/A，i,n)现值系数零取多少整存已知（A/P，i,n)回收系数整存已知零取多少PFiAFi(1)nFPi(1)nPFi(1)1niFAi(1)1niA Fi(1)1(1)nniPAii(1)(1)1nniiAPi(1)ni(1)ni(1)1nii(1)1(1)nniii(1)1nii(1)(1)1nniiiAPi小结：基本复利系数之间的关系小结：基本复利系数之间

24、的关系 与 互为倒数 与 互为倒数 与 互为倒数 iniFAniPA),/(),/(),/(niPF),/(niFP),/(niAF),/(niFA),/(niAP),/(niPA推导iniFAiiiiiiiiiiiniPAnnnnn),/(1)1 (1)1 ()1 (1)1 ()1 (),/(PFP A0 1 2 3 4 5 6 7 n基本公式相互关系示意图 例例:假定现金流量是第假定现金流量是第6年年末支付年年末支付300元，第元，第9、10、11、12年末各支付年末各支付60元，第元，第13年年末支付年年末支付210元，第元，第15、16、17年年末各获得年年末各获得80元。按年利率元。

25、按年利率5计息，与此等值的现金流量的现值计息，与此等值的现金流量的现值P为多少？为多少？P=?03006789 10 11 12 13 1415 16 172106080解：P=300(P/F,5%,6) 60(P/A,5%,4)(P/F,5%,8) 210(P/F,5%,13) +80(P/A,5%,3)(P/F,5%,14) =3000.716260 3.5456 0.6768210 0.5303 +80 2.7232 0.5051 =369.16 也可用其他公式求得 P=300(P/F,5%,6) 60(F/A,5%,4)(P/F,5%,12) 210(P/F,5%,13) +80(F/

26、A,5%,3)(P/F,5%,17) =3000.746260 4.3101 0.5568210 0.5303 +80 3.153 0.4363 =369.16 年利率为年利率为lo，每半年计息，每半年计息1次，从现在起连续次，从现在起连续3年的等额年末支付为年的等额年末支付为500元，与其等值的第元，与其等值的第0年的年的现值是多少现值是多少? 方法一：先求出支付期的有效利率，支付期为方法一：先求出支付期的有效利率，支付期为1年，则有效年利率为年，则有效年利率为方法二：可把等额支付的每一个支付看作为一次支付，利用一次支付现值公式算： 方法三：取一个循环周期，使这个周期的年末支付变成等值的计息

27、期末的等额支付系列，从而使计息期和支付期完全相同，则可将实际利率直接代入公式计算。在年末存款500元的等效方式是在每半年末存入 A=500(AFi、n) 500(AF，5，2) 500048782439 P=A (PA, i, n) =2439(PA、5,6) =2439x 50757 =123797 1、 某公司购买了一台机器，估计能使用20年，每4年要大修1次，每次大修费用假定为1000元，现在应存入银行多少钱才足以支付20年寿命期间的大修费用。按年利率12计，每半年计息1次。 2、某公司购买了台机器原始成本为12000元，估计能使用20年，20年末的残值为2000元，运行费用为每年800元此外每5年要大修1次。大修费用为每次2800元，试求机器的年等值费用，按年利率12计。 7.1等差现金流量序列公式 即每期期末收支的现金流量序列是成等差变 化的，其现金流量序列如图所示。 每期期末现金支出分别为A1，A2，A3，An-1，An，并且它们是一个等差序列，公差为G，令A1A，A 2A十GA3A十2G，A4=A十3G，AnlA十(n一2)GAnA+(n一1)G。 根据前述收支总额的复利终值概念，若以F表示总额复利终值，则其中 表示变额部分复利终值部分。FA=表示等额年金复利终值部分。下面推导FG的表达式： 由公式上面可得：上式称为梯度系数通常用(AG，I,n