大学物理第四章振动2

1、例例2 2 一质量为一质量为 的物体作简谐运动，其振幅的物体作简谐运动，其振幅为为 ，周期为，周期为 ，起始时刻物体在，起始时刻物体在kg01.0m08. 0s4xm04. 0处，向处，向 轴负方向运动（如图）轴负方向运动（如图）. .试求试求Ox （1 1） 时，物体所处的位置和所受的力；时，物体所处的位置和所受的力； s0 . 1to08. 004. 004. 008. 0m/xv解解:m08. 0A1s22Tm04. 0, 0 xt代入代入)cos(tAxcos)m08. 0(m04. 03300vA3o08. 004. 004. 008. 0m/xv3)s2cos()m08.0(1tx

2、s0 . 1t代入上式得代入上式得m069. 0 xxmkxF2)m069. 0()s2)(kg01. 0(21N1070. 13kg01. 0m3m08. 0A1s2o08. 004. 004. 008. 0m/xv （2 2）由起始位置运动到）由起始位置运动到 处所需要处所需要的最短时间的最短时间. .m04. 0 x 法一法一: : 设由起始位置运动到设由起始位置运动到 处所处所需要的最短时间为需要的最短时间为m04. 0 xt3)s2cos()m08. 0(m04. 01ts23)21(arccosts667. 0s323)s2cos()m08.0(1txo08. 004. 004.

3、008. 0m/x法二法二: :33起始时刻起始时刻 时刻时刻tt3ts667. 0s32t1s2例例3 3 一质点沿一质点沿x x轴作简谐振动，振幅为轴作简谐振动，振幅为1212cmcm，周期为，周期为2 2s s。当。当t=0t=0时时, , 位移为位移为6 6cmcm，且向，且向x x轴正方向运动。求振动方程。轴正方向运动。求振动方程。t=0.5t=0.5s s时，质点的位置、速度和加速度。时，质点的位置、速度和加速度。如果某时刻质点如果某时刻质点位于位于x=-6cmx=-6cm，且向，且向x x轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。所需要

4、的时间。解：解：设简谐振动方程为设简谐振动方程为已知：已知： A=12cm ,T=2s A=12cm ,T=2s 12sTt = 0 t = 0 时时, ,x x0 0 = 0.06m ,v= 0.06m ,v0 0 0 0)cos(tAx)cos(120tx33cos120060ox321cos5 . 05 . 0ttdtdxv5 . 05 . 0ttdtdva振动方程：振动方程： )3cos(12.0tx已知已知 A=12cm A=12cm 31s5 .05 .0)3cos(12.0tttx t=0.5t=0.5s s时，质点的位置、速度和加速度时，质点的位置、速度和加速度m039.115

5、 . 0189. 0)3sin(12. 0smtt25 . 02103. 0)3cos(12. 0smtt)3(cos12. 006. 01t21)3(cos1t343231或tstt132311某时刻某时刻1 1 质点位于质点位于x=-6cmx=-6cm，且向，且向x x轴负方向运动轴负方向运动v 0 0 0法一：法一：vo12. 006. 012. 0 xvt t2 2 时刻质点回到平衡位置时刻质点回到平衡位置 x=0 x=0 tyx32231 1时刻质点位于时刻质点位于x=-6cmx=-6cm，且向，且向x x轴负方向运动轴负方向运动-A/2-A/2)3cos(12.0tx振动方程：振动

6、方程： 653223s6565法二：法二：补充补充1 1 劲度系数为劲度系数为k k的轻弹簧，上端固定，下端悬挂质的轻弹簧，上端固定，下端悬挂质量为量为m m的物体，平衡时弹簧伸长的物体，平衡时弹簧伸长x x0 0，用手向下拉物体，用手向下拉物体，然后无初速释放，证明物体作谐振动，并求振动周期。然后无初速释放，证明物体作谐振动，并求振动周期。xo ox xx x0 0解：解：设平衡位置为坐标原点设平衡位置为坐标原点平衡时平衡时0kxmg kxxxkmgF)(0在任意位置在任意位置x x时，受合力时，受合力kxmaxmkdtxd220222xdtxdmkgxkmT0222或者或者则竖直方向运动的

7、弹簧振子做谐振动则竖直方向运动的弹簧振子做谐振动mgfmgf第四章（补充第四章（补充2 2） 单摆和复摆单摆和复摆lmoAsinmglM22ddtJmgl2mlJ lgt22dd0dd222t)cos(mtlg2令令glT2sin,5时时一一 单摆单摆gmT 简谐运动简谐运动 规定摆锤在平衡位置右方为正，规定摆锤在平衡位置右方为正，负号表示力矩与角位移方向相反。负号表示力矩与角位移方向相反。mgl在月球上？二二 复摆复摆mglM22ddtJmgl0dd222tJmgl2令令)cos(mt)5(mglJT2oC*lgm 简谐运动简谐运动0dd222xtx广义简谐运动定义：广义简谐运动定义：4-1

8、-4 4-1-4 简谐运动的能量简谐运动的能量)(cos2121222ptkAkxE 以弹簧振子为例，任意时刻以弹簧振子为例，任意时刻)sin()cos(tAtAxv2pk21kAEEEmk/2)(sin21212222ktAmmEv)(sin2122tkA（1 1） 振子在振动过程中，动能和势能分别随时间振子在振动过程中，动能和势能分别随时间变化，变化，最大，最大，=0=0；最大，最大，=0=0，但任，但任一时刻总机械能保持不变。一时刻总机械能保持不变。（2 2） 动能和势能的变化频率是弹簧振子振动频率动能和势能的变化频率是弹簧振子振动频率的两倍。的两倍。（3 3）谐振动的总能量与振幅的平方

9、成正比。（适）谐振动的总能量与振幅的平方成正比。（适合于任何谐振系统）合于任何谐振系统）结论结论：2pk21kAEEE)(cos2122ptkAE)(sin2122tkAEk讨论：讨论：txtv221kAE v, xtoTtAmE222ksin214T2T43T能量能量oTt（4 4）简谐运动能量曲线）简谐运动能量曲线tAxcos0tAvsintkAE22pcos21kEpExEBCAApExO（5 5）简谐运动势能曲线）简谐运动势能曲线(6) (6) 由能量守恒定律推导由能量守恒定律推导简谐运动方程简谐运动方程常量222121kxmEv0)2121(dd22kxmtv0ddddtxkxtmv

10、v0dd22xmktx简谐运动微分方程简谐运动微分方程例例1 1 质量为质量为 的物体，以振幅的物体，以振幅 作简谐运动，其最大加速作简谐运动，其最大加速度度为为 ，求：，求：kg10.0m100.122sm0.4（1 1）振动的周期；）振动的周期； （2 2）通过平衡位置的动能；）通过平衡位置的动能；（3 3）总能量；）总能量； （4 4）物体在何处其动能和势能相等？）物体在何处其动能和势能相等？解解 （1 1）2maxAaAamax1s20s314. 02T（2 2）J100 . 23222maxmax,k2121AmmEv（3 3）max,kEE J100 . 23（4 4）kpEE 时

11、，时，J100 . 13pE 2222121xmkxEPcm707. 02p2mEx11A1xx0一一 两个同方向同频率简谐运动的合成两个同方向同频率简谐运动的合成21xxx22112211coscossinsintanAAAA)cos(212212221AAAAA)cos(tAx)cos(111tAx)cos(222tAx两个同方向同频率简谐运动合成后仍为简谐运动。两个同方向同频率简谐运动合成后仍为简谐运动。Ax2x2A24-2 4-2 简谐振动的合成和分解简谐振动的合成和分解xxtoo12)cos()(21tAAxA21AAA1AT1.1.相位差相位差212k), 2 1 0( ，k讨论：

12、讨论：)cos(212212221AAAAA2Axxtoo21AAA2)cos()(12tAAx)cos(212212221AAAAA2A21AA 2.2.相位差相位差) 12(12k) , 1 0( ，k 3.3.一般情况一般情况2121AAAAA21AAA21AAA 1.1.相位差相位差212k)10( ， k相互加强相互加强相互减弱相互减弱 2.2.相位差相位差)12(12k结论：结论：例例2 2 一个质点同时参与两个同方向，同频率的谐振一个质点同时参与两个同方向，同频率的谐振动，振动方程分别为：动，振动方程分别为：)62cos(61tx)()32cos(82cmtx试用旋转矢量法求合振

13、动的振动方程。试用旋转矢量法求合振动的振动方程。解：解：cmAAA10862222212A31A6xA86)3(tg8631tgrad403. 0cmtx)403. 02cos(10相对于相对于 的转动角速度：的转动角速度：2A1A两矢量同向重合时：两矢量同向重合时：合振动振幅合振动振幅 极大极大A合振动振幅合振动振幅 极小极小A两矢量反向重合时：两矢量反向重合时：合振动的振幅时强时弱的现象合振动的振幅时强时弱的现象121AxO212A121A2AAA旋转矢量法旋转矢量法12122122T拍的周期：拍的周期：拍的频率：拍的频率：从解析式来分析：从解析式来分析：)cos(11tAx)cos(22

14、tAx)2cos(2cos2)cos()cos(12122121ttAtAtAxxxttAx2cos2cos212121212当当时3. 3. 相互垂直的简谐运动的合成相互垂直的简谐运动的合成 两个同频率相互垂直简谐运动的合成两个同频率相互垂直简谐运动的合成 )cos(22tAy222sinsincoscosttAy)cos(11tAx111sinsincoscosttAx)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAxyx1222212AyAxyx结论：结论：质点振动轨迹为正椭圆质点振动轨迹为正椭圆212212k或)(sin)cos(21221221222212AAxyAyA

15、x旋转矢量描绘两相互垂直同频率谐振动合成轨迹旋转矢量描绘两相互垂直同频率谐振动合成轨迹)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx 1212 kxAAy120221222212AAxyAyAx0221AyAx结论：结论：质点做线振动质点做线振动xy两相相互垂直同频率不同相位差简谐运动的合成图两相相互垂直同频率不同相位差简谐运动的合成图四四 两相互垂直不同频率的简谐运动的合成两相互垂直不同频率的简谐运动的合成李李 萨萨 如如 图图如何分类？机械波：机械波：机械振动在弹性介质中的传播过程机械振动在弹性介质中的传播过程电磁波：电磁波：交变电磁场在空间的传播过程交变电磁场在空间的传

16、播过程波动的共同特征波动的共同特征反射反射折射折射干涉干涉衍射衍射一一 机械波的产生条件机械波的产生条件1 1. .机械波机械波产生的条件：产生的条件： 3.3.波是波是运动状态的传播运动状态的传播，介质的质点并不随波传播，介质的质点并不随波传播. .弹性介质弹性介质波源、波源、2 2. .机械波的分类：机械波的分类： 横波、纵波横波、纵波 v vx xy y横波：横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直的波质点振动方向与波的传播方向相垂直的波. .（仅在固体中传播（仅在固体中传播 ）外形特征：交替出现波峰和波谷。外形特征：交替出现波峰和波谷。纵波：纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波质

17、点振动方向与波的传播方向互相平行的波. .（可在固体、液体和气体中传播）（可在固体、液体和气体中传播） 外形特征：交替出现密部和疏部外形特征：交替出现密部和疏部. .二二 描述波动的物理量描述波动的物理量 沿波的传播方向，两个相邻的、相位差为沿波的传播方向，两个相邻的、相位差为 的振动质点之间的距离，即一个完整波形的长度的振动质点之间的距离，即一个完整波形的长度. .2y yxuO OA AA A- -波前进一个波长的距离所需要的时间波前进一个波长的距离所需要的时间. .1.1.波长波长 ： T2.2.周期周期 ：T1Tu 周期的倒数，即单位时间内波动所传播的周期的倒数，即单位时间内波动所传播的完整波的数目完整波的数目. . 波动过程中，某一振动状态（即振动相位）波动过程中，某一振动状态（即振动相位）单位时间内所传播的距离单位时间内所传播的距离. .周期或频率只决定于波源的振动。周期或频率只决定于波源的振动。3.3.频率频率