实验5非线性方程求根及其MATLAB实现

1、分类数学实验之方程求近似实根问题、方程求近似实根问题、高射炮的控制区域问题高射炮的控制区域问题对应书本的第二章 数值计算问题的2.1 及2.4考虑方程考虑方程 f (x) = 0 求根分为两步：求根分为两步：（）先确定某个根的近似值；（）先确定某个根的近似值；（）再将初始近似值加工成满足精度要求的结果。（）再将初始近似值加工成满足精度要求的结果。.两分法迭代两分法迭代（理论基础：零点定理）（理论基础：零点定理）设设f (x)Ca, b，f (a)f (b) 0。区间。区间(a, b)就是方程就是方程根的存在区间，再用下面的方法改善根的精度。根的存在区间，再用下面的方法改善根的精度。方程求根数值

2、算法的基本思想方程求根数值算法的基本思想取取a, b的中点的中点x0=(a+b)/2，若，若f (x0)=0，则，则x0即是根；即是根；否则，否则，f (a)f (x0) 0，令，令a1 = a，b1 = x0(取取a, b的左半部的左半部)； f (x0)f (b) delt %达不到我们需要的精度达不到我们需要的精度 y0=myequation(x0); y1=myequation(x1);%求两个初始点处的求两个初始点处的y值值 x2=(x0+x1)./2; %二分二分 y2=myequation(x2); %求在中点处的值求在中点处的值 if y2=0 %恰好是方程的根恰好是方程的根

3、x0=x2; x1=x2; elseif y0*y20 % 方程的根落在方程的根落在x0和和x2之间之间 x1=x2; %新的两个端点为：新的两个端点为：x0=x0;x1=x2。 else % 方程的根落在方程的根落在y1和和y2之间之间 x0=x2; %新的两个端点为：新的两个端点为：x0=x2;x1=x1。 end i=i+1;enddisp(方程的根为：方程的根为：x=);x0disp(实际迭代次数为：实际迭代次数为：i=);idisp(理论迭代次数为：理论迭代次数为：N=);Nbisect.m两分法迭代的加速：两分法迭代的加速：aba+b2f(a) f(a+b)/2)f(b)f(x)x

4、yc以f(a),f(b)的连线在x轴的交点c作为新的出发点。程序：fastbisect.m( ) -( )c( )( )af bbf acf bf a点坐标可求出为：注：此方法不一定能加速!减速举例：aba+ b2f(a)f(b)f(x)xyc程序：fastbisect.mf(a+b)/2)加速情况举例：.不动点迭代不动点迭代n 称满足方程称满足方程 f(x)=xf(x)=x的点的点x x为函数为函数f f的的不动点不动点. .n求函数求函数f f的不动点。可以从一个初始点的不动点。可以从一个初始点x x0 0出发，出发，以格式以格式 xn+1=f(xn)进行迭代；进行迭代；n x1 =f(x

5、0)，x2 =f(x1)，xk+1 =f(xk)， n得到得到x0,x1,x2,xn,.n如果该数列是收敛的，则如果该数列是收敛的，则11*)lim (*lim;()nnnnxfxxxf将方程将方程 f (x) = 0 化为等价方程化为等价方程 x =(x) （2）取某个定数取某个定数x0，做数列，做数列xn，其中，其中， x1 =(x0)，x2 =(x1)，xk+1 =(xk)， （3）设设(x)连续，且连续，且axnnlima就是方程就是方程f (x) = 0的根。的根。a就是函数就是函数的一个不动点，即的一个不动点，即 a =(a)等价于等价于 f (a) = 0求根求根原理：原理：y=

6、f(x)x0f(x0)x1= f(x0)f(x1)x2= f(x1)y=xx收敛的迭代：观察动态演示：收敛的迭代：观察动态演示：发散的迭代：观察动态演示：发散的迭代：观察动态演示：x0kx)(xy由以上图形可以看出，序列由以上图形可以看出，序列的收敛速度，取决于曲线的收敛速度，取决于曲线在根附近的斜率在根附近的斜率)( )()(1111kkkkkkkkkxxxxxxxx所以在根所以在根x*附近，附近，(x) 恒小于恒小于1，则此迭代序列收敛，则此迭代序列收敛，若若(x) 1,则此序列发散。则此序列发散。 .不动点迭代不动点迭代例例2 求方程求方程 0142 xx在在 x = 3附近的近似实附近

7、的近似实 根。根。解：可将方程写成下三种形式：解：可将方程写成下三种形式： x = 14 x 2 ,114xx12142xxxxxfunction f=iterfun(x)% f=14-x.2;% f=14./(x+1); f=x-(x.2+x-14)./(2*x+1);(1)将三种迭代形式写成函数存起来：(2)演示程序使用的程序：iter.m.不动点迭代不动点迭代收敛性蛛网图一般地，若函数一般地，若函数(x)在含不动点在含不动点的某邻域内一阶导的某邻域内一阶导数连续，且数连续，且 1| )(|00.20.40.60.8100.10.20.30.40.50.60.70.80.91My=x00.

8、20.40.60.8100.10.20.30.40.50.60.70.80.91My=x则存在一个邻域则存在一个邻域：|-x|，对任何的，对任何的x0，其迭代序列必收敛。其迭代序列必收敛。同时我们还提供一个高级程序：zhuwang.m，绘制出迭代格式为41xx的的蛛网图蛛网图。此处用到一个函数:quiver,画出矢量方向。quiver(x,y,u,v):画出在(x,y)处，方向为u,v的矢量供学有余力的、感兴趣的同学们好好体会学习，体会供学有余力的、感兴趣的同学们好好体会学习，体会 Matlab绘图的精妙。绘图的精妙。3.牛顿迭代法牛顿迭代法记记a, b为方程为方程 f (x) = 0的根的存

9、在区间，的根的存在区间，f (a)与与f (b)异号，且对于每个异号，且对于每个xa, b，f (x)0,f (x)保持符号不变。保持符号不变。取取x0a, b，对，对f (x)用用微分中值定理微分中值定理，近似地，近似地，有有 f (x)p (x) = f (x0) + f (x0)(x - x0)令令p (x) = 0，得到，得到f (x) = 0的近似根的近似根 000()()f xxxfx 记为记为x1=为改善根的精确程度，反复实施这一过程，得到牛顿为改善根的精确程度，反复实施这一过程，得到牛顿迭代公式迭代公式:1()()kkkkf xxxfx xk+1就是从线性方程就是从线性方程 f

10、 (xk) + f (xk)(x xk) = 0 (1)中解得的根中解得的根x.以点以点(xk , f (xk)为切点，曲线为切点，曲线y = f (x)的切线方程恰为：的切线方程恰为： y = f (xk) + f (xk)(x xk) (2) 方程（方程（2）与）与 y=0相联立，得到与相联立，得到与x轴的交点，该交点轴的交点，该交点即即xk+1x*x0 x0,f(x0)x10100()()f xxxfxx1,f(x1)x2例例3 求方程求方程 3310 xx 在在 x0 = 2附近的近似实根。附近的近似实根。准确到小数点后准确到小数点后4位数字位数字解：3( )31f xxx 2()33

11、fxx 迭代公式为：3123133kkkkkxxxxx 计算步骤如下：（1）选x0=2,按照迭代公式计算x1；（2）若|x1-x0|0.00001 x0=x1; fun,dfun=fun0(x0); x1=x0-fun/dfun; i=i+1;enddisp(the solution is x1=)x1disp(the iter time is )inewtuniter.m第二部分：高射炮的控制区域问题第二部分：高射炮的控制区域问题问题描述：问题描述：高射炮发射的炮弹在空中呼啸而过划出一条抛射线。高射炮发射的炮弹在空中呼啸而过划出一条抛射线。设坐标原点为发射点，设坐标原点为发射点，x(t)和和

12、y(t)分别是高射炮在分别是高射炮在t时时刻的空间坐标。用刻的空间坐标。用v0为炮弹出膛时的初速度，为炮弹出膛时的初速度，为高为高射炮发射角度，射炮发射角度，g是重力加速度。问：是重力加速度。问：（1）试推高射炮抛射的弹道曲线的参数方程；）试推高射炮抛射的弹道曲线的参数方程；（2）当炮弹出膛速度）当炮弹出膛速度v0确定时，它的最远射程？确定时，它的最远射程？ （3）当炮击目标确定后，如何调整发射角度，）当炮击目标确定后，如何调整发射角度，使炮弹能准确地落在目标位置处爆炸？使炮弹能准确地落在目标位置处爆炸？ （4）一门高射炮可以控制什么样的空间区域？）一门高射炮可以控制什么样的空间区域？第二部分

13、：高射炮的控制区域问题第二部分：高射炮的控制区域问题问题描述：问题描述：高射炮发射的炮弹在空中呼啸而过划出一条抛射线，高射炮发射的炮弹在空中呼啸而过划出一条抛射线，设坐标原点为发射点，抛射的弹道曲线的参数方程为：设坐标原点为发射点，抛射的弹道曲线的参数方程为：问题：问题： （1）当炮弹出膛速度）当炮弹出膛速度v0确定时，它的最远射程？确定时，它的最远射程？ （2）当炮击目标确定后，如何调整发射角度，）当炮击目标确定后，如何调整发射角度，使炮弹能准确地落在目标位置处爆炸？使炮弹能准确地落在目标位置处爆炸？ （3）一门高射炮可以控制什么样的空间区域？）一门高射炮可以控制什么样的空间区域？其中其中v

14、0为炮弹出膛时的初速度，为炮弹出膛时的初速度，为高射炮发射角度，为高射炮发射角度，g是重力加速度。是重力加速度。初值条件： 00(0)0,cos(0)0,sindxxdtdyygtdt即可导出弹道曲线的参数方程为(1)模型建立与分析模型建立与分析消去参数t，可以得到弹道曲线的直角坐标的表达式：2220sec(tan)2gxyx这是我们十分熟悉的抛物线。（1）（2）就形成一族抛物线段.所以，（1）或（2）可以看作是带有参数的平面曲线族。当发射角变化时，取900，相应的弹道曲线(2)控制区与包络线控制区与包络线包络曲线：包络曲线：如果一条曲线的每一点都与曲线簇中的某一曲线相切，则称这条曲线为该曲线

15、簇的包络。对曲线簇F(x,y,c)=0中，对参数c求导，与它自己联立得到方程组：由这个方程组确定的曲线x=x(c) 即y=y (c) 称为单参数曲线簇F(x,y,c)的包络。包络曲线与包络曲线与x=0及及y=0所形成的所形成的区域，即区域，即高射炮的控制区域高射炮的控制区域。0),(0),(cyxFcyxFc(额外知识：额外知识：) 如果曲线族的参数方程形式已给出，则类似可推出其包络线应满足的判别方程组为：（ 由于此部分超出同学们知识范围，过程略）( , )( , )0 xx tyy txyxyt t(额外知识：额外知识：)2202022gyxg可得包络曲线的表达式：3. 模型求解：模型求解：首先建立平面直角坐标系，设坐标原点为发射点。初始速度向量为： 发射点到落点的距离是射程，初始速度不变时，落点仅与发射角有关。落点