第2讲 映射概念

1、1映射概念映射概念v映射的定义 v映射的性质v逆映射v复合映射21 1 映射的定义映射的定义设设 A, B 是任意给定的两个集合，若存在一个对应法则是任意给定的两个集合，若存在一个对应法则f，使得对于使得对于任意任意xA，均存在唯一均存在唯一的的 y B与它对应与它对应, 则称则称 f 是是A到到B的一个的一个映射映射，记为，记为 f:AB，且，且y=f(x)。 一一 映射的定义映射的定义3注意：映射注意：映射 f 本质上定义为一个对应，这种对应本质上定义为一个对应，这种对应有可能有解析表达式（正如我们通常见到的一有可能有解析表达式（正如我们通常见到的一样），但也可能不存在相应的表达式，如样）

2、，但也可能不存在相应的表达式，如A= a, b, c , B=0, 1规则规则f: a 对应于对应于0， b对应于对应于1， c对应于对应于1。 f 即为即为 A到到B的一个映射。的一个映射。又如又如 A 为有理数集为有理数集, B为实数集为实数集xexBAf,:1特征函数特征函数假定假定A是论域是论域U上的集合，定义上的集合，定义1 , 0:UAAxAxxA, 0, 1)(其中42 2 映射的相等映射的相等设设 f, g 是是A到到B 的两个映射，若对于任意的两个映射，若对于任意xA，均有，均有f(x) = g(x),则称则称映射映射f, g是相等的是相等的，或是同一映射。，或是同一映射。5

3、3 3 几个相关的称谓几个相关的称谓假定假定 f:AB, y=f(x)，通常把，通常把 x称为称为自变量自变量，自变量的取值范，自变量的取值范围称为围称为定义域定义域，记为，记为 dom f。将。将 y 称为称为因变量因变量，而把由所有，而把由所有因变量构成的集合称为因变量构成的集合称为值域值域，记为，记为 ran f。对映射而言：对映射而言： 对映射对映射 f:AB 而言而言, 必有必有 dom f = A, ran f B且如前所述，把因变量且如前所述，把因变量 y 称为称为 x 在映射在映射f下的下的像像或或函数值函数值，记，记为为 y=f(x).6定义定义：设：设 f:AB, 令令 X

4、 A，用，用 f(X) = f(x) | xX表示表示 X 在映射在映射f下的下的像像。 同理令同理令Y B，用，用表示表示Y在映射在映射f下的下的原像原像。注：这里的注：这里的 是一个整体记号。是一个整体记号。)(|)(1YxfxYf)(1Yf7对于集合对于集合 A 和和B，用，用 (B上上A)表示表示A到到B的所有映射组的所有映射组成的集合，即有成的集合，即有AB:|BAffBA【例1-5】若 求,21321yyBxxxA.AB.8,.,2 , 1|ifBiAx1x2x3y1y2BAf:BA8定理定理：对于集合：对于集合 A 和和B，若，若|A|=m, |B|=n，则，则.|mAnB 注意

5、注意: B上上A的记号与该结论的关系的记号与该结论的关系.证明：设证明：设 f:AB, 对于任意的对于任意的 xA,显然显然 f(x) 可取可取B中中n个个元素中任意一个，元素中任意一个， 而而 |A|=m, 根据乘法原理，结论成立。根据乘法原理，结论成立。9n n元函数定义元函数定义 在函数定义中，若在函数定义中，若 ，则对任意，则对任意xA，有，有 ,这时这时 称称 f 为为 到到 B 的的n n元函数元函数。n21AAAA ),(21nxxxx),(),()(2121nnxxxfxxxfxf n21A,A,A10二 映射的性质1 1 单射单射 定义：定义：f:Af:AB B, , 若对任

6、意若对任意 , , A，由，由 可推出可推出 ，（或，（或 ），则称），则称 f 是是 A 到到 B的的单射单射，或称，或称 f 是是 A 到到 B 的的一对一一对一映射映射。2 2 满射满射 定义：定义：f:Af:AB B, , 若对任意若对任意y yB，均存在，均存在xA，使得，使得y=f(x)，则称，则称 f 是是 A 到到 B的的满射满射，或称，或称 f 是是 A 到到 B 的的映上的映上的映射。映射。1x2x)()(21xfxf21xx )()(2121xfxfxx时3 双射双射 定义：定义：f:AB, 若若f既是单射又是满射，则称既是单射又是满射，则称 f 是是 A 到到 B的的双

7、射双射，或称，或称 f 是是 A 到到 B 的的一一对应一一对应。11 125 5 置换置换 若若 A A 是有限集合，通常把是有限集合，通常把 A A 到到 A A的双射称为的双射称为 A A 上上的的置换置换。4 4 变换变换 集合集合 A A 到自身的映射习惯上称为到自身的映射习惯上称为 A A 的一个的一个变换变换。v例例1.建立一个建立一个Z到到N的一一对应。的一一对应。 v例例2.建立一个建立一个(0,1)到到R的一一对应。的一一对应。v例例3. 写出写出A=1,2,3上的所有置换。上的所有置换。13三 逆映射1 1 定义定义 设设f:Af:AB B, , 若将对应关系逆转，能够得

8、到一个集合若将对应关系逆转，能够得到一个集合B B到集合到集合A A的映射，则该映射称为的映射，则该映射称为f f的的逆映射逆映射或或逆函数逆函数，常称为常称为反函数反函数, ,记为记为 。2 2 定理定理 设设f:Af:AB B, , 则则 f f 的逆映射存在的的逆映射存在的充要条件充要条件是：是：f f 是是双射双射。1f14 看下面映射是否存在逆映射？看下面映射是否存在逆映射？15四 复合映射定义定义 设设f:AB,g:BC，对任意的，对任意的 xA，h(x)=g(f(x) 为为 A 到到 C的映射，称的映射，称 h 为为 f 和和 g 的的复合映射复合映射或或复合函数复合函数，记为记

9、为 f g。 由复合函数定义知，由复合函数定义知，)()(xfgxgfx)(xfy zyg)()(xgfz1617恒等映射恒等映射 设设A A是集合，令是集合，令f:Af:AA,f(xA,f(x)=x)=x，称，称f f为集合为集合A A上的上的恒恒等映射等映射，记为，记为 。AI定理定理 若若f:Af:AB B 是双射是双射, , 则有则有特别地，若特别地，若f:Af:AA A是双射，则有是双射，则有,1AIff.1BIff.11AIffff18定理定理 设设 f:AB, g:BC,(1)若若 f 和和 g 是单射，则是单射，则 f g 是单射；是单射；(2)若若 f 和和 g 是满射，则是

10、满射，则f g是满射；是满射；(3)若若 f 和和 g 是双射，则是双射，则f g是是双射双射 且有且有111)(fggf证明：证明：(1) 因为因为 f 是是 A到到B的单射函数，所以当的单射函数，所以当 ， A， ,又因为又因为g是是B到到C单射函数，所以单射函数，所以 ；即当即当 时，时，(f g)( ) (f g)( )，由此可见，复合函数由此可见，复合函数g f是单射函数是单射函数 同理可证明同理可证明(2)与与(3) 。1x2x)()(2121xfxfxx时)()(21xfgxfg21xx 1x2x19定理定理 设设 f:AB, g:BC,(1)若若 f g 是单射，则是单射，则 f 是单射但是单射但 g不一定；不一定；(2)若若 f g 是满射，则是满射，则 g 是满射而是满射而 f 不一定。不一定。 ab123gf同理可证明同理可证明(2)。20定理定理 设 f:AB，g:BC，h:CD，则)()(hgfhgf由上面定理可知，当多个函数求复合时可以不加括号，即由上面定理可知，当多个函数求复合时可以不加括号，即)()(hgfhgfhgf证明证明：对任意：对任意 xA，由于，由于 (f g) h)(x) = h(f g)(x) = hg(f