第7章-给水管网优化设计

1、第第7章章 给水管网优化设计给水管网优化设计管道单位长度造价管道单位长度造价与管道直径有关，可以表示为：与管道直径有关，可以表示为：C=a+bD (7.1) C管道单位长度造价，元管道单位长度造价，元/m； D管段直径，管段直径，m； a、b、管道单位长度造价公式统计参数。管道单位长度造价公式统计参数。管道单位长度的造价包括管材、配件与附件等的材料费和施工费。管道单位长度的造价包括管材、配件与附件等的材料费和施工费。根据中国建筑工业出版社根据中国建筑工业出版社给水排水设计手册给水排水设计手册（第（第10册）（册）（2000年年8月第二版）月第二版）“给水管道工程估算指标给水管道工程估算指标”，

2、不同材料给水管道单位长度造价如表，不同材料给水管道单位长度造价如表7.1所示。所示。7.1管网造价计算管网造价计算管道单位长度造价公式统计参数管道单位长度造价公式统计参数a、b、可以用曲线拟合当地管道单位长度造价统计可以用曲线拟合当地管道单位长度造价统计数据求得。数据求得。有作图法和最小二乘法两种方法有作图法和最小二乘法两种方法。【例例7.1】根据表根据表7.1所给数据，试确定各种管材管道单位长度造价公式统计参数所给数据，试确定各种管材管道单位长度造价公式统计参数a、b和和。【解解】（1）采用作图法求承插铸铁管参数。）采用作图法求承插铸铁管参数。作图法分为两个步骤，首先确定参统作图法分为两个步

3、骤，首先确定参统a，然后确定参数，然后确定参数b和和。第一步以第一步以D为横座标，为横座标，C为纵座标，将为纵座标，将(C,D)的数据点画在方格坐标纸上，并且用光滑的数据点画在方格坐标纸上，并且用光滑曲线连接，曲线延长后与纵轴相交，相交处的截距值即为曲线连接，曲线延长后与纵轴相交，相交处的截距值即为a。如图。如图7.1为根据铸铁为根据铸铁管数据所作曲线，管数据所作曲线，a值为值为100。 第二步将公式改写为：第二步将公式改写为：Dbacloglog)log(如图如图7.2所示，在方格坐标纸上，所示，在方格坐标纸上，以以logD为横座标，为横座标，log(c-a)为纵为纵坐标，点画坐标，点画lo

4、gD，log(c-a)数据，并且画一条最接近这些点数据，并且画一条最接近这些点的直线，该直线与的直线，该直线与logD0的纵的纵坐标线的相交点所对应的坐标线的相交点所对应的log（c-a）值即为）值即为logblog（c-a）8.03，由此可得，由此可得b=3072。该直线。该直线的斜率为的斜率为1.53，即，即=1.53。所以，承插铸铁管造价公式为：所以，承插铸铁管造价公式为：图图7.1 确定造价公式参数确定造价公式参数a 图图7.2 确定参数确定参数b和和 53.13072100Dc222)(iiiiiiiDDNDDcDcaiiDaNcbNcbDaii2)(（2）黄金分割最小二乘法求承插球

5、墨铸铁管造价公式参数）黄金分割最小二乘法求承插球墨铸铁管造价公式参数 a、b、 已知已知为区间（为区间（1.02.0)的一个数值，则的一个数值，则式中式中 N为数据点数；为数据点数；线性拟合均方差，元。线性拟合均方差，元。在在1.02.0区间用黄金分割法取区间用黄金分割法取值，代入式值，代入式(7.4) (7.6)分别求得参数分别求得参数a、b和均方差和均方差，搜索最小均方，搜索最小均方差差，直到，直到步距小于要求值（手工计算取步距小于要求值（手工计算取0.05，用，用计算机程序计算取计算机程序计算取0.01）为止，得）为止，得a、b和和值。值。计算过程见表计算过程见表7.2 。最后得最后得a

6、=112.9，b=3135，=1.5 。(7.4) (7.5) 球墨铸铁和球墨铸铁和预应力钢筋砼给水管造价公式预应力钢筋砼给水管造价公式o 本例承插球墨铸铁给水管数据，可以计算得本例承插球墨铸铁给水管数据，可以计算得a=112.9、b=3135、=1.5，即承插球墨铸铁给水管，即承插球墨铸铁给水管单位长度造价公式为：单位长度造价公式为：(7.9)o 相同的方法，可求得预应力钢筋砼给水管单位长相同的方法，可求得预应力钢筋砼给水管单位长度造价公式为：度造价公式为： 7.2给水管网优化设计数学模型给水管网优化设计数学模型o数学模型：数学模型：描述自然现象或工程对象的一个或一组数学公式。例如：给描述自

7、然现象或工程对象的一个或一组数学公式。例如：给水管网水力计算环方程组、节点方程组。水管网水力计算环方程组、节点方程组。o优化数学模型：优化数学模型：在一定条件下求解一个或多个最大或最小目标值的数学在一定条件下求解一个或多个最大或最小目标值的数学模型。描述目标值的数学表达式称为模型。描述目标值的数学表达式称为目标函数目标函数，需要满足的条件表达式，需要满足的条件表达式称为称为约束条件约束条件。o供水管网优化设计数学模型：供水管网优化设计数学模型：以以管网供水成本最低管网供水成本最低为目标函数，以为目标函数，以供水供水安全性最佳安全性最佳为约束条件的管网工程设计数学模型，表达形式为为约束条件的管网

8、工程设计数学模型，表达形式为经济管径经济管径或或经济流速经济流速。7.2.1给水管网优化设计目标函数给水管网优化设计目标函数 给水管网优化设计的目标是降低管网年费用折算值，亦即在一定投资偿还期（亦给水管网优化设计的目标是降低管网年费用折算值，亦即在一定投资偿还期（亦称为项目投资计算期）内的管网建设投资费用和运行管理费用之和的年平均值。可用称为项目投资计算期）内的管网建设投资费用和运行管理费用之和的年平均值。可用下式表示：下式表示：21YYTCW(7.10) 式中式中 W年费用折算值，元年费用折算值，元/a；C管网建设投资费用，元；管网建设投资费用，元；T管网建设投资偿还期，管网建设投资偿还期，

9、a；取值；取值1520年；年；Y1管网每年折旧和大修费用，元管网每年折旧和大修费用，元/a。CpY1001(7.11) 式中式中 p年折旧和大修费率，一般年折旧和大修费率，一般P=2.53.0；Y2管网年运行费用，元管网年运行费用，元/a，主要考虑运行总电费。，主要考虑运行总电费。7.2.2泵站年运行电费计算泵站年运行电费计算 泵站年运行电费按全年各小时运行电费累计计算，可用下式表示：泵站年运行电费按全年各小时运行电费累计计算，可用下式表示：pppptttptpthPqhqEEhgqy860003652412式中式中 Et 全年各小时电价，元全年各小时电价，元/(KWh) ； 水密度，水密度，

10、t/m3； g 重力加速度，取重力加速度，取9.81 m/s2 ； qpt 全年各小时流量，全年各小时流量，m3/s； hpt 全年各小时扬程，全年各小时扬程，m；t 全年综合效率，为变压器、电机和传动效率之积；全年综合效率，为变压器、电机和传动效率之积； E 最大时电价，元最大时电价，元/KWh；qp 最大时流量，最大时流量，m3/s； Hp 最大时扬程，最大时扬程，m； 泵站最大时综合效率；泵站最大时综合效率；P管网动力费用系数，元管网动力费用系数，元/(m3/sma)，定义为：，定义为：* 注：注： g x 24 x 365 = 85935 86000， 24 x 365 = 8760(

11、7.12) EP86000(7.13) 泵站电费变化系数，即泵站全年平均时电费与最大时电费的比值，即：泵站电费变化系数，即泵站全年平均时电费与最大时电费的比值，即：/8760/365241EhgqEhgqpptttptpt(7.14) 显然，显然， =0，且全年各小时且全年各小时qpt、hpt、t和和Et变变化越大，化越大， 值越小。值越小。能量变化系数能量变化系数：（1）泵站输水至近处水塔或高位水池（前置水塔系统），扬程基本不变）泵站输水至近处水塔或高位水池（前置水塔系统），扬程基本不变(hpthp)，则：则： zhdptptpptptptKKKqqhqhq11876087603652413

12、65241式中式中 Kd管网用水量日变化系数；管网用水量日变化系数； Kh管网用水量时变化系数；管网用水量时变化系数； Kz管网用水量总变化系数，即：管网用水量总变化系数，即： Kz=KdKh。实际情况下，可以采用加权平均法近似计算能量变化系数，即：实际情况下，可以采用加权平均法近似计算能量变化系数，即：(7.17) （2）泵站压力稳定管网能量变化系数）泵站压力稳定管网能量变化系数若泵站扬水至较远处且无地势高差，其扬程全部用于克服管道水头损失若泵站扬水至较远处且无地势高差，其扬程全部用于克服管道水头损失(hptqpt2)，则：则：32333652413333336524133652411) 1

13、(8760.1.)2(87608760zzhavtzhavptptpptptptKKqKKKqqqhqhqz (7.18) )/1 ()/(00pppphhhh(7.19) 式中式中 hp0泵站扬程泵站扬程hp中用于满足地形高差和用户用水压力的部分压力，中用于满足地形高差和用户用水压力的部分压力，m。 和和P计算例题：计算例题：设：设： Kd = 1.25，Kh = 1.25，E = 0.5元元 / KWh；h0 = 30m, hp = 45m； 0.85。解：解： Kz Kd*Kh 1.575； 1/Kz 1/1.575 0.635； (Kz 1)2 + 1 / Kz3 1.33 / 3.9

14、07 0.34； )/1 ()/(00pppphhhhP = 86000*0.537*0.5 / 0.85 = 27166。泵站年运行总电费可以表示为：泵站年运行总电费可以表示为：MipiiiMiihqPyY1122式中式中 y2i管段管段i上泵站的年运行电费，元上泵站的年运行电费，元/a； Pi管段管段i上泵站的单位运行电费指标，元上泵站的单位运行电费指标，元/（m3/sma）；）； qi管段管段i的最大时流量，即泵站设计扬水流量，的最大时流量，即泵站设计扬水流量，m3/s； hpi管段管段i上泵站最大时扬程，上泵站最大时扬程，m。 (30/45) * 0.635 + (130/45)*0.

15、34 0.537；泵站年运行总电费可以表示为：泵站年运行总电费可以表示为：7.2.3给水管网优化设计数学模型的约束条件给水管网优化设计数学模型的约束条件 给水管网优化设计计算必须满足管网水力条件和设计规范要求等，数学表达式如下：给水管网优化设计计算必须满足管网水力条件和设计规范要求等，数学表达式如下：( (1）水力约束条件）水力约束条件 MihhhHHpifiiTiFi, 3 , 2 , 1NjQqjsiji, 3 , 2 , 10)(MilDkqhiminifi, 3 , 2 , 1即给水管网恒定流方程组，其中：即给水管网恒定流方程组，其中：( (2）节点水头约束条件：）节点水头约束条件：N

16、jHHHjjj, 3 , 2 , 1maxmin式中式中 Hmaxj节点节点j最小允许水头（最小允许水头（m），按不出现负压条件确定：），按不出现负压条件确定：为无用水节点为有用水节点jZjHZHjujjjminZj节点节点j的地面标高，的地面标高，m； Huj节点节点j服务水头，服务水头，m，对于居，对于居民用水，一层楼民用水，一层楼10m，二层楼，二层楼12m，以后每层加以后每层加4m； Hmaxj节点节点j的最大允许水头，的最大允许水头，m，按贮水设施水位或管道最大承压力确定：，按贮水设施水位或管道最大承压力确定：为无贮水设施节点为有贮水设施节点jPZjhHZHjjbjbjjjmaxmi

17、nHbj水塔或水池高度，水塔或水池高度，m；水池为埋深，取负值；水池为埋深，取负值；hbj-水塔或水池最低水深，水塔或水池最低水深，m；Pmaxj节点节点j处管道承压能力，处管道承压能力，m。3）供水可靠性和管段设计流量非负约束条件）供水可靠性和管段设计流量非负约束条件Miqqii, 3 , 2 , 1min式中，式中， qmini 管段最小允许设计流量，必须为正值；管段最小允许设计流量，必须为正值；4）非负约束条件）非负约束条件 MiDi, 3 , 2 , 10Mihpi, 3 , 2 , 107.2.4给水管网优化设计数学模型给水管网优化设计数学模型给水管网优化设计的目标就是求解管网中所有

18、管段的一组管径给水管网优化设计的目标就是求解管网中所有管段的一组管径Di，使管网，使管网的年费用折算值最小，可以用下列非线性规划数学模型表达：的年费用折算值最小，可以用下列非线性规划数学模型表达：MihMiDMiqqNjHHHNjQqMihlDkqHHtShqPlbDapTwWMinpiiiijjjsijipiiminiTiFiMipiiiiiMiij, 2 , 10, 2 , 10, 2 , 1, 2 , 1, 2 , 10)(, 2 , 1. .)(1001(minmaxmin11式中式中 wi 管段年费用折算值，元管段年费用折算值，元/a，如下式定义：，如下式定义：MihqPlbDapT

19、wpiiiiii, 2 , 1)(1001(7.36) (7.30) （目标函数）（目标函数）（约束条件）（约束条件）7.2.5数学模型的求解法则数学模型的求解法则（1）目标函数目标函数W不存在由不存在由qi和和hi同时作为变量的极值同时作为变量的极值 假设泵站为所有管段提供能量，克服该管段水头损失，且将式（假设泵站为所有管段提供能量，克服该管段水头损失，且将式（3.17）代入）代入(7.30)，则目标函数可以改写为管段流量则目标函数可以改写为管段流量qi 和管段水头损失和管段水头损失hi 的二元函数：的二元函数：对于任一已经定线的管段为常数。对于任一已经定线的管段为常数。 1(,)(,)()

20、()100nmmmmiiiiiiiiiiiipMinW q hw q habk ql hlPq hT目标函数目标函数W存在极值的必要条件为，存在极值的必要条件为，(7.37) 1()0100mnmnmmmmmmmiiii iiiii iiWpnbk lqhPhnzqhPhqTm 1()0100nmmnmmmmmmmiiiiiiiiiiiWpbk q hlPqzq hPqhTm式中，式中，1()100mmmiipzbk lTm 由二元函数极值判定法则，当由二元函数极值判定法则，当 0时，目标函数时，目标函数W不存在极值，当不存在极值，当 =0时，目标函数时，目标函数W不确定存在极值。不确定存在极

21、值。设设=1.5, n=1.85, m=4.87，则，则n-m0 ，所以，上述三式中，所以，上述三式中，A0，C0。因此。因此可得：可得： 0 。由此判定，目标函数不存在由。由此判定，目标函数不存在由由由qi和和hi同时作为变量的极值。同时作为变量的极值。 目标函数目标函数W存在极值的充分条件证明：存在极值的充分条件证明： 222222222()()()()nmmmiiiinmmmmiiiiiinmmnmmmmmmiiiiiiiWnmAnzqhqmWBnzqhPq hmWmmCz qhzqhhmmBAC 证明：证明：假定管段水头损失假定管段水头损失hi已知，并视作常数，则管段流量已知，并视作常

22、数，则管段流量qi为目标函数为目标函数W的变量，其一阶的变量，其一阶和二阶导数分别为：和二阶导数分别为：（2）使）使W最小的管段流量分配结果是枝状管网最小的管段流量分配结果是枝状管网当当1.5，m4.87时，可得时，可得， piimmimimmnimihPlhqbkmnpTqW)1001(和和mmimimmnimilhqbkmmnmnpTqW222)1001(43. 087. 487. 45 . 1852. 1mmn022iqW即即由函数极值法则，目标函数式（由函数极值法则，目标函数式（7.30）为关于变量）为关于变量qi的凹函数，由求解变量的凹函数，由求解变量qi得到的得到的目标函数极值为最

23、大值，而不是最小值。目标函数极值为最大值，而不是最小值。结论：不存在使目标函数最小的优化管段流量分配。结论：不存在使目标函数最小的优化管段流量分配。 【例例7.3】两根并联管道如图两根并联管道如图7.3所示，假设管道水头损失为常数，该两条管段的水头所示，假设管道水头损失为常数，该两条管段的水头损失必然相等。已知设管段长度分别为损失必然相等。已知设管段长度分别为l1和和l2，流量之和为，流量之和为q，求使目标函数达到极值，求使目标函数达到极值的流量分配值的流量分配值q1和和q2。设设q1=q，则，则q2=(1-)q。目标函数可以改写成关于。目标函数可以改写成关于的函数如下：的函数如下： 求求W对

24、对的导数，并令其等于的导数，并令其等于0，得：，得： 【解解】图示管道的目标函数为：图示管道的目标函数为：1112221()()100() nmmmmnmmmmpWabk ql hlTabk ql hl (7.41) 1122121() ()(1) )1002(1)11()();100100nnmmmmmmmmnmnmmmmmnmmmpWabkql hlabkql hlTabllppaabbk qhTT式中， ， (7.42) 12(1)10nmmnmmmmmmdWnnblbldmm(7.43) 由式由式(7.43)整理，可得，整理，可得， 结论：结论：1）流量分配系数）流量分配系数仅与两条管

25、段的长度有关；仅与两条管段的长度有关；2） 随着随着l2的增大而减小，即管段长度越长，管段流量越大。的增大而减小，即管段长度越长，管段流量越大。显然，这样的流量分配将使管道造价增加，得到的极值是最大值，而不是最小值。显然，这样的流量分配将使管道造价增加，得到的极值是最大值，而不是最小值。 21212(1)()6.373.0452.092mnmmmmlllmmnmllm，亦即，式中，；当 =1.5, n=1.852， m=4.87， 。（3）设管段流量）设管段流量qi已知，求解优化管段水头损失已知，求解优化管段水头损失hi假定管段流量已经分配，即假定管段流量已经分配，即qi已知，并视作常数，则管

26、段水头损失已知，并视作常数，则管段水头损失hi为目标函数为目标函数W的的变量，其一阶和二阶导数分别为变量，其一阶和二阶导数分别为当当0，m0时，可得时，可得和和 结论：结论：（1）当管网中）当管网中管段流量分配已知管段流量分配已知时，以管段水头损失时，以管段水头损失hi为自变量的目标函数式（为自变量的目标函数式（7.30）为凸函数，可以求解优化管段水头损失，目标函数极值为最小值。为凸函数，可以求解优化管段水头损失，目标函数极值为最小值。（2）环状管网优化设计是在）环状管网优化设计是在管段流量已知管段流量已知条件下，求解使年费用折算条件下，求解使年费用折算W值达到最小值达到最小的管段直径、水头损

27、失或节点设计压力。的管段直径、水头损失或节点设计压力。iimmimmimnimiqPlhqbkmpThW)1001(mmimmimnimilhqbkmmmpThW222)1001(7.47) (7.46) 220iWh(7.48) 本节目的：本节目的：环状管网中，满足安全性条件的管段流量（经济）优化分配。环状管网中，满足安全性条件的管段流量（经济）优化分配。 树状管网：树状管网：管段设计流量可以由节点流量连续性方程直接解出，只有唯一管段设计流量可以由节点流量连续性方程直接解出，只有唯一分配方案分配方案； 环状管网：环状管网：管段流量优化分配是完成管径、压力等优化计算的前提条件。管段流量优化分配

28、是完成管径、压力等优化计算的前提条件。 优化流量分配经济性安全性。多目标优化问题。优化流量分配经济性安全性。多目标优化问题。7.3.1管段流量优化分配数学模型管段流量优化分配数学模型 假设管网中每个管段的输水费用是该管段的流量假设管网中每个管段的输水费用是该管段的流量qi和长度和长度li的非线性函数，的非线性函数，使管网输水费用最小的管段流量优化分配的目标函数：使管网输水费用最小的管段流量优化分配的目标函数：7.3 环状管网管段流量近似优化分配计算环状管网管段流量近似优化分配计算)(1iMiiqlqWMin(7.49) 并必须满足节点流量连续性方程约束条件：并必须满足节点流量连续性方程约束条件

29、：NjQqtSiSiij, 3 , 2 , 10)(. .(7.50) 式中，式中，流量指数，取值区间为（流量指数，取值区间为（0,2），），长度指数，取值区间为（长度指数，取值区间为（0,1）。）。讨论：讨论： 当当 0，管段输水费用随管段设计流量的增加而增加。，管段输水费用随管段设计流量的增加而增加。当当 1，目标函数，目标函数(7.49)的解不再是树状管网，而成为环状管网。管段设计的解不再是树状管网，而成为环状管网。管段设计流量比较均匀地分配到各管段上。流量比较均匀地分配到各管段上。当当 1，则管段流量将向输水距离较短的管线集中，安全性较差。，则管段流量将向输水距离较短的管线集中，安全性

30、较差。结论：结论：综合考虑管网输水的经济性和安全可靠性，综合考虑管网输水的经济性和安全可靠性， 一般可取一般可取1.5， 一般可取一般可取0.5左左右。该数学模型可称为管段设计流量分配优化数学模型，可以求解管段设计右。该数学模型可称为管段设计流量分配优化数学模型，可以求解管段设计流量分配的近似优化方案，具有工程实用意义。流量分配的近似优化方案，具有工程实用意义。 1.50.51()MqiiiMinWql. .( )01,2,3,jiii SS tqQjN7.3.2 管段管段流量分配近似优化计算流量分配近似优化计算0kqqW求极值原理：求极值原理：由式（由式（7.49），对），对qi求偏导数得：

31、求偏导数得： 用初分配流量泰勒公式展开，舍去非线性项，经整理变换得：用初分配流量泰勒公式展开，舍去非线性项，经整理变换得： 0)(414313212111lqlqlqlqLklqlqqkkRiiiRiiik, 3 , 2 , 1)() 1()(2)0(1)0()0(近似优化流量分配计算近似优化流量分配计算迭代迭代公式迭代迭代公式：计算收敛条件：计算收敛条件： 允许误差，允许误差，m3/s，手，手工计算可取工计算可取0.0001 m3/s，即，即0.1L/s； 计算机程序计算可取计算机程序计算可取0.00001 m3/s，即，即0.01L/s。 kjkjijiRiqqq)()()1(Lkeqqo

32、ptjk, 3 , 2 , 1)(【例例7.3】某环状管网如某环状管网如图图7.4，管段长度及初分，管段长度及初分配设计流量标于图中，配设计流量标于图中，进行管段设计流量近似进行管段设计流量近似优化计算，优化计算，取取 =1.5， =0.5，e eqoptqopt= 0.1L/s。 图图7.6 管段设计流量分配近似优化管段设计流量分配近似优化 【解解】从初分配管段设计流量从初分配管段设计流量qi开始，由公式（开始，由公式（7.53）（）（7.58）分别计算各管段）分别计算各管段和环的优化迭代参数，列入计算表格中，计算过程如表和环的优化迭代参数，列入计算表格中，计算过程如表7.3所示，其中的第三

33、至第所示，其中的第三至第七次中间计算过程省略。七次中间计算过程省略。 7.4输水管优化设计输水管优化设计 7.4.1压力输水管（水泵增压）压力输水管（水泵增压）假设压力输水管由假设压力输水管由N个节点和个节点和N-1条管段组成，泵站设于管段条管段组成，泵站设于管段1上，如图上，如图7.7 所示。所示。泵站扬程为所有管段的头损失、地面高差和节点服务压力之和：泵站扬程为所有管段的头损失、地面高差和节点服务压力之和：1, 3 , 2 , 1NiHhHHhhdfifdipnnmiiiiiimikqhlkq DlDih由管网优化数学模型目标函数式由管网优化数学模型目标函数式(7.30)，并用公式，并用公

34、式压力输水管优化管径计算目标函数为压力输水管优化管径计算目标函数为MidfiminiiiMiiHlDkqPQlbDapTwWMin11)()(1001(写出目标函数对管径写出目标函数对管径的一阶偏导数，并令其等于的一阶偏导数，并令其等于0，可得，可得0)1001(11iminiiiilDmPQkqlDpTbDW7.4.1压力输水管（水泵增压）压力输水管（水泵增压）(续续)整理得到输水管优化管径公式，又称经济管径公式：整理得到输水管优化管径公式，又称经济管径公式：当输水管沿程流量不变时，成为单一管段，当输水管沿程流量不变时，成为单一管段，qiQ，经济管径公式为：，经济管径公式为：1111()1(

35、)100mnnmmmmiiimkDPQqfPQqpbT(7.63) 式中，式中，f为经济因素，是包括多个管网技术和经济指标的综合参数：为经济因素，是包括多个管网技术和经济指标的综合参数： 1()100mkfpbT11()nmiDfPQ(7.65) 【例例7.5】某压力输水管由某压力输水管由3段组成，第一段上设有泵站，设计流量为段组成，第一段上设有泵站，设计流量为160L/s，第二、，第二、三段设计流量分别为三段设计流量分别为140L/s和和50L/s，有关经济指标为：，有关经济指标为： b=2105，=1.52，T=15，p=2.5，E=0.6， =0.55，=0.7，n=1.852，k=0.

36、00177，m=4.87。管段长度分别为：。管段长度分别为：l1=1660m，l2=2120m，l3=1350m，泵站前的吸水井水位，泵站前的吸水井水位H1=20m，管线末端地面标高，管线末端地面标高H4=32m，管线末端服务压力，管线末端服务压力Hf=16m。（1）计算各管段优化管径；）计算各管段优化管径；（2）求泵站的总扬程）求泵站的总扬程Hp。代入代入7.64式得：式得：【解解】（1）计算优化管径：）计算优化管径：405407 . 06 . 055. 086000860001EP00002939. 052. 12105)1005 . 2151(00177. 087. 4)1001(bpT

37、mkf16. 087. 452. 111 m19. 016. 04054000002939. 0fPQ445. 0)16. 019. 0()(16. 0852. 1111mnfPQqD428. 0)14. 019. 0()(16. 0852. 1122mnfPQqD315. 0)05. 019. 0()(16. 0852. 1133mnfPQqD选用选用500mm管径；管径； 选用选用400mm管径；管径； 选用选用300mm管径。管径。 【例例7.5】（续）（续）（2）计算泵站扬程：）计算泵站扬程：泵站扬程泵站扬程: （m） 当管道摩阻系数当管道摩阻系数k=0.00177，管道的海曾，管道的

38、海曾-威廉系数威廉系数C=100；用海曾用海曾-威廉公式计算各管段水头损失威廉公式计算各管段水头损失hi：44. 35 . 0100166016. 067.1067.1087. 4852. 1852. 187. 41852. 11852. 111DClqh17.104 . 0100212014. 067.1067.1087. 4852. 1852. 187. 42852. 12852. 122DClqh90. 33 . 0100135005. 067.1067.1087. 4852. 1852. 187. 43852. 13852. 133DClqh5 .4516)2032(5 .17)(14

39、31fiipHHHhH7.4.2重力输水管重力输水管重力输水管依靠输水管两端的地形高差所产生的重力克服管线水头损失。重力输水管依靠输水管两端的地形高差所产生的重力克服管线水头损失。如图如图7.8所示，输水管线由所示，输水管线由N个节点和个节点和N-1条管段组成，起点和终点的可利用水头差，条管段组成，起点和终点的可利用水头差，记为记为 依式依式(7.37)，略去电费项，重力输水管优化设计数学模型为：，略去电费项，重力输水管优化设计数学模型为：(7.63) 约束条件：约束条件： 或或 111NNiiHHHhMiimimimnimMiilhlqbkapTwWMin11)(1001(7.67) 110

40、NiihH110Ni iiilH(7.66) (7.68) 7.4.2重力输水管（续）重力输水管（续）由式由式(7.66)和和(7.67)构成的优化数学模型的拉格朗日函数为：构成的优化数学模型的拉格朗日函数为： 式中，式中，拉格朗日乘子。拉格朗日乘子。求求F(hi)对对hi的一阶偏导数，并令其等于的一阶偏导数，并令其等于0，得：，得：(7.69) 由水力坡度由水力坡度 ii=hi/li ，得得(7.72) )()(1001()(111HhlhlqbkapThFNiiMiimimimnimi( )1()()0100nmmimmmmiiiiF hpbk qhlhTm令令1()()100mpAbkT

41、m得得AlhqlhqlhqlhqmmNmmNmnNmmimmimnimmmmmnmmmmmn11222111.112121.nnnnmmmmiNiNqqqqiiii(7.71) 7.4.2重力输水管（续重力输水管（续1）由式由式(7.72)和式和式(7.68)组成的联立方程组，组成的联立方程组，为重力输水管线的经济水力坡度方程组，可以求解各为重力输水管线的经济水力坡度方程组，可以求解各管段经济水力坡度。应用公式管段经济水力坡度。应用公式(7.73)可以得到各管段可以得到各管段的优化管径。的优化管径。(7.73) 11212111.0nnnnmmmmiNiNNi iiqqqqiiiiilH1(/

42、 )nmiiiDkq i。 【例例7.6】仍用前例数据，若改用重力输水，输水管线可利用水头差为仍用前例数据，若改用重力输水，输水管线可利用水头差为18.5m，试确定各管段直径。，试确定各管段直径。(7.73) 【解解】已知：管段设计流量为已知：管段设计流量为q1=0.16m3/s，q2=0.14m3/s，q3=0.05m3/s，管段长度为，管段长度为l1=1660m，l2=2120m，l3=1350m，经济指标参数为，经济指标参数为 =1.52， n=1.852，m=4.87，k=0.00177。所以，。所以， 7.4.2重力输水管（续重力输水管（续2）由方程组（由方程组（7.73），得），得

43、。 解联立方程组，得：解联立方程组，得：i1=0.0042, i2=0.0039, i3=0.0025. 0.4411110.440.44322223331.8521.520.160.450.44,1.524.870.140.420.050.27,nmnnmmqnmiiiqqiiiiii1332331230.451.66670.270.421.5560.2716602120135018.5iiiiiiiii111.85214.87110.00177 0.16()()0.4180.0042nmkqDi111.85224.87220.00177 0.14()()0.4030.0039nmkqDi1

44、11.85234.87330.00177 0.05()()0.2990.0025nmkqDi7.5已定设计流量环状管网优化设计与计算已定设计流量环状管网优化设计与计算 7.5.1泵站加压环状管网优化设计泵站加压环状管网优化设计（1）节点压力优化数学模型）节点压力优化数学模型 对于环状给水管网，任意设定管网中各节点的压力水头对于环状给水管网，任意设定管网中各节点的压力水头Hj，则必然得到任一环中，则必然得到任一环中的管段水头损失之和等于的管段水头损失之和等于0，每个环能量方程约束条件自然得到满足，使管网优化数，每个环能量方程约束条件自然得到满足，使管网优化数学模型得到简化，成为求解管网中各节点优

45、化压力的问题。学模型得到简化，成为求解管网中各节点优化压力的问题。所以，采用节点压力作为管网优化计算未知参数，具有很好的计算简便性。所以，采用节点压力作为管网优化计算未知参数，具有很好的计算简便性。如图如图7.9所示，节点所示，节点1至至8为未知为未知压力节点，其中节点压力节点，其中节点7和和8为水源为水源节点，供水泵站分别从清水池和节点，供水泵站分别从清水池和水塔加压供水，其节点流量已知，水塔加压供水，其节点流量已知，分别为两个水源的已知供水量。分别为两个水源的已知供水量。节点节点9、10和和11为管网末端已知为管网末端已知压力节点，各自要求满足最低服压力节点，各自要求满足最低服务压力。该管

46、网优化设计问题是务压力。该管网优化设计问题是求解节点（求解节点（1）（）（8）的优化压）的优化压力。并由水源节点压力力。并由水源节点压力H7和和H8可以计算泵站的扬程。可以计算泵站的扬程。 管网优化数学模型目标函数式（管网优化数学模型目标函数式（7.37）可以改写为）可以改写为 1()()100nmmmmjkjkjkjkjjpjpMinWabk ql hlPQ hT(7.74) 7.5.1泵站加压环状管网优化设计（续）泵站加压环状管网优化设计（续）管网中任一管段的水头损失和水泵扬程可以分别表示为管网中任一管段的水头损失和水泵扬程可以分别表示为式中，式中， hj管段水头损失（管段水头损失（m），

47、）， hpj连接节点连接节点j的泵站扬程（的泵站扬程（m），）， Hi, Hj节点节点压力（压力（m），），Hjd泵站加压前的水源节点水位（泵站加压前的水源节点水位（m）。）。构成管网节点压力优化数学模型如下：构成管网节点压力优化数学模型如下： (7.78) jkjkhHH和和pjjjdhHH1()()()100nmmmmjkjkjkjkjjjjdpMinWabk qlHHlPQ HHTminmaxminmax. .jjjkkkHHHS tHHH(7.77) 令令 11()100jkjkpAalT21() ()100nmjkjk jkpAb kq lT式（式（7.77）简化为）简化为12()(

48、)mjkjk jkjkjjjjdMinWAAlHHPQ HH7.5.1泵站加压环状管网优化设计（续泵站加压环状管网优化设计（续1）对未知节点压力写出一阶偏导数，并令其等于对未知节点压力写出一阶偏导数，并令其等于0，表达式如下：，表达式如下：式（式（7.79）物理意义：节点压力）物理意义：节点压力Hj变化对管网年费用值影响，其中，第变化对管网年费用值影响，其中，第1项项表示表示Hj对流出节点对流出节点j的管段费用影响，第的管段费用影响，第2项表示项表示Hj对流入节点对流入节点j的管段费用的管段费用影响，第影响，第3项表示项表示Hj对泵站能量费用影响，当对泵站能量费用影响，当j节点无水泵时，节点无

49、水泵时，PjQj=0. 令连接令连接j节点的所有管段虚流量之和为节点的所有管段虚流量之和为Qj，并称，并称Qj为节点为节点j的节点虚流量，则的节点虚流量，则(7.80) (7.79) 式中，流入式中，流入j的管段虚流量为负值，流出的管段虚流量为负值，流出j的管段虚流量为正值。的管段虚流量为正值。 22()()()()0mmmmjkjkjkjkjkkjjjjWAlHHAlHHPQHmm式（式（7.79）可以改写为如下形式：）可以改写为如下形式：22()()()()0mmmmjk jkjkjk jkkjjjkjkjjWAlHHAlHHPQHmm令令 2()()mmjkjk jkjkqAlHHm并定

50、义并定义为管段为管段jk的管段虚流量。的管段虚流量。22()()()()()mmmmjjk jkjkjk jkkjjkkjkjkjQAlHHAlHHqmm(7.82) 7.5.1泵站加压环状管网优化设计（续泵站加压环状管网优化设计（续2）由式由式(7.80)，节点虚流量的值为：，节点虚流量的值为：结论：一般节点上的管段虚流量结论：一般节点上的管段虚流量之和等于之和等于0，节点虚流量等于，节点虚流量等于0，泵站节点泵站节点上的上的管段虚流量之和等管段虚流量之和等于于 PjQj，节点虚流量等于，节点虚流量等于PjQj。 式（式（7.83）称为节点虚流量连续性方程组，简称节点虚流量方程组，即）称为节

51、点虚流量连续性方程组，简称节点虚流量方程组，即节点压力优化节点压力优化数学模型数学模型。(7.83) 可以得到经济管径公式：可以得到经济管径公式：(2) 泵站加压环状管网经济管径公式泵站加压环状管网经济管径公式将管段虚流量公式（将管段虚流量公式（7.81）还原展开，得）还原展开，得 (7.85) ) 0,jkkjjjkjjkjqQqPQ（= （一般节点）；（泵站节点）；21111()()() ()()()10011() ()()()()1001001()100()mmnmmmjkjk jkjkjk jkijkmnnmmmmjk jkijkjk jkjkjk immjkjkjknnjkjkpqA

52、lHHb kq llHHmTmppbb kq llhkq lhh lTmTmDDpbDTmkqfq1()nmjkjkjkDfqq7.5.1泵站加压环状管网优化设计（续泵站加压环状管网优化设计（续3）式中，式中，f称为管网经济因素系数，称为管网经济因素系数， （3）泵站加压环状管网节点压力优化计算）泵站加压环状管网节点压力优化计算 1）节点压力优化线性化方程组求解）节点压力优化线性化方程组求解 设定一组节点压力初始值，节点虚流量方程设定一组节点压力初始值，节点虚流量方程(7.83)可以转化为线性方程：可以转化为线性方程：式式(7.88)可以简写为：可以简写为： (7.88) 1()100mkfp

53、bT对于泵站出流管段，其管段虚流量对于泵站出流管段，其管段虚流量 jkjjkqP q经济管径：经济管径： 11()nmjkjjkDfP q(7.87) 22(0)(0)(0)(0)222(0)(0)2()()()()()()0,()()(),mmmmjkjkjkjkkjkjkjkjmmjkjkjkjjkjAHHHHAHHHHmmAHHHHPQm（一般节点）；（泵站节点）；令令 2(0)(0)(0)22()()mmjkjkjkbAHHm(0)(0)22(0)2(,)()()0,(,)(),jjkjkjkjkkjkjkjjjkjkjkjjkjQHHbHHbHHQHHbHHPQ（一般节点）；（泵站节

54、点）；(7.89) 7.5.1泵站加压环状管网优化设计（续泵站加压环状管网优化设计（续4）将将(7.89)应用泰勒公式展开，仅保留一次项，可得应用泰勒公式展开，仅保留一次项，可得由此，节点压力优化计算方程组转化为求解节点压力校正值由此，节点压力优化计算方程组转化为求解节点压力校正值Hj的迭代方程组：的迭代方程组：式式(7.91)可以写成矩阵方程：可以写成矩阵方程：(7.91) (7.93) (0)(0)(0)(0)(,)(,)0,(,)(,),jjjjkjjkjkkjjkjjjjkjjkjkjjkjjkQQQHHQHHHHHHQQQHHQHHHHP QHH（一般节点）；（泵站节点）；(0)(0

55、)(0)(0)(,),(,),jjjkjjkkjjkjjjkjjjjkkjjkQQHHQHHHHQQHHP QQHHHH（一般节点）；（泵站节点）；(7.90) B HC设系数矩阵设系数矩阵B的元素为的元素为vjk，C为右边向量，其中元素为为右边向量，其中元素为cj，则，则(0)2(0)(0)2,0,jkjkkjjkjkbjkvvbkjjk 当 ，即为对角元素；- 当 ，即节点k与节点j连接； 当 ，即节点k与节点j不连接。(0)(0)(0)(0)(,),(,),jjkjjjkjjQHHcQHHPQ（一般节点）；（泵站节点）；7.5.1泵站加压环状管网优化设计（续泵站加压环状管网优化设计（续5

56、）如图如图7.9所示管网，设未知压力节点的初始压力水头初始值为所示管网，设未知压力节点的初始压力水头初始值为Hj(0)，各管段的初始系，各管段的初始系数矩阵元素为数矩阵元素为 则管网节点压力优化计算的矩阵则管网节点压力优化计算的矩阵方程为：方程为： (7.94) 求解方程组（求解方程组（7.94），得到全部优化节点压力），得到全部优化节点压力 Hj，并计算经济管径：并计算经济管径：2(0)(0)(0)(0)22()()mmjkjkjkjkvbAHHm(0)(0)(0)(0)11121471(0)(0)(0)(0)12222325(0)(0)(0)(0)23333683(0)(0)(0)1444

57、45(0)(0)(0)(0)25455556(0)(0)5666(0)(0)7177(0)83000000000000000000000000000000000000000vbbbbvbbbvbbbvbbbvbbvbvb(0)(0)111(0)(0)222(0)(0)333(0)(0)444(0)(0)555(0)(0)666(0)(7771(0)888(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,0kkkkkkHQHHHQHHHQHHHQHHHQHHHQHHHQHHHv0)77(0)(0)88388(,)PQQHHPQ)11()()nnjk jkjk jkmmjkjkjkkq lkq lDhHH泵

58、站扬程为：泵站扬程为： 7177pdhHH8388pdhHH和和7.5.2 起点水压已知的重力供水环状管网优化设计起点水压已知的重力供水环状管网优化设计（1）重力供水环状管网节点优化压力计算方法）重力供水环状管网节点优化压力计算方法 水源位于高地（例如高地水池和水塔）的供水管网系统，依靠重力克服管网水水源位于高地（例如高地水池和水塔）的供水管网系统，依靠重力克服管网水头损失，属于起点水压已知的重力输水管网系统。求解经济管径的目标是充分利用头损失，属于起点水压已知的重力输水管网系统。求解经济管径的目标是充分利用管网中的地形高差，使管网建设费用和维护费用之和最小。重力供水管网动力费用管网中的地形高

59、差，使管网建设费用和维护费用之和最小。重力供水管网动力费用为为0.采用管网节点压力作为优化计算变量，重力供水管网节点压力优化数学模型如下：采用管网节点压力作为优化计算变量，重力供水管网节点压力优化数学模型如下： 式中，选定路径式中，选定路径i为管网起点到最不利压力节点的管段组合，为管网起点到最不利压力节点的管段组合，Hdi为第为第i路径的可利用路径的可利用重力水头，即该路径的允许最大水头损失。重力水头，即该路径的允许最大水头损失。 1()()100.nmmmmjkjkjkjkjkjkdipMin Wwa bk q lHHlTSthH 选定路径i目标函数：约束条件：如图如图7.11所示，起端节点

60、为所示，起端节点为7和和8，最不利压力节点为，最不利压力节点为9，10和和11。存在多条选定路径，。存在多条选定路径，如管段如管段1、5、8、11和和12，管段，管段1、5和和10，管段，管段4和和7，均可为选定路，均可为选定路径。目标函数中包含了已知节点压力，约束条件已经得到满足。径。目标函数中包含了已知节点压力，约束条件已经得到满足。 (7.99) 7.5.2 起点水压已知的重力供水环状管网优化设计起点水压已知的重力供水环状管网优化设计（1）重力供水环状管网节点优化压力计算方法（续）重力供水环状管网节点优化压力计算方法（续） 设定图设定图7.11所示重力供水管网中未知节点压力的初始值为所示