复变函数2-习题课

1、2一、重点与难点一、重点与难点重点：重点：难点：难点：1. 解析函数的概念；解析函数的概念；2. 函数解析性的判别函数解析性的判别1. 解析函数的概念；解析函数的概念；2. 初等函数中的多值函数及主值的概念初等函数中的多值函数及主值的概念3二、内容提要二、内容提要复变函数复变函数导数导数微分微分解析函数解析函数初等解初等解析函数析函数指指 数数 函函 数数三三 角角 函函 数数对对 数数 函函 数数 幂幂 函函 数数 性质性质解析函数解析函数的判定方法的判定方法可导与微分的关系可导与微分的关系可导与解可导与解析的判定析的判定定理定理双双 曲曲 函函 数数41 1）导数的定义）导数的定义.)()

2、(limdd)(,)(.)(,)()(lim,)(000000000000zzfzzfzwzfzzfzzfzzfzzfDzzDzDzfwzzzz 记作记作的导数的导数在在这个极限值称为这个极限值称为可导可导在在那么就称那么就称存在存在如果极限如果极限的范围的范围不出不出点点点点中的一中的一为为定义于区域定义于区域设函数设函数1. 复变函数的导数与微分复变函数的导数与微分5.,)(可导可导称在区域内称在区域内我们就我们就内处处可导内处处可导在区域在区域如果函数如果函数DDzf定义定义2)2)可导与连续可导与连续 函数函数 f (z) 在在 z0 处可导则在处可导则在 z0 处一定连续处一定连续,

3、 但但函数函数 f(z) 在在 z0 处连续不一定在处连续不一定在 z0 处可导处可导.3)3)求导公式与法则求导公式与法则 . , 0)()1(为复常数为复常数其中其中cc .,)()2(1为正整数为正整数其中其中nnzznn ).()()()()3(zgzfzgzf 6 ).()()()()()()4(zgzfzgzfzgzf )0)(.)()()()()()()()5(2 zgzgzgzfzgzfzgzf)( ).()()()6(zgwzgwfzgf 其中其中0)( ,)()( ,)(1)()7( wwzzfwwzf 且且函数函数两个互为反函数的单值两个互为反函数的单值是是与与其中其中7

4、则则线性部分线性部分的的的改变量的改变量是函数是函数小小的高阶无穷的高阶无穷是是式中式中则则可导可导在在设函数设函数. )( )( , )(, 0)(lim ,)()()()(,)(000000wzfwzzfzzzzzzzzfzfzzfwzzfwz .)(d , )( )(000zzfwzzfwzzf 记作记作的微分的微分在点在点称为函数称为函数4)4)复变函数的微分复变函数的微分.d)(zzf 8. )( , 00可微可微在在则称函数则称函数的微分存在的微分存在如果函数在如果函数在zzfz .)(00可微是等价的可微是等价的可导与在可导与在在在函数函数zzzfw .)( ,)(内可微内可微区

5、域区域在在则称则称内处处可微内处处可微区域区域在在如果函数如果函数DzfDzf可导与微分的关系可导与微分的关系91)1)定义定义. )( , )(000解析解析在在那末称那末称导导的邻域内处处可的邻域内处处可及及在在如果函数如果函数zzfzzzf).( )( .)( ,)(全纯函数或正则函数全纯函数或正则函数个解析函数个解析函数内的一内的一区域区域是是或称或称内解析内解析区域区域在在则称则称内每一点解析内每一点解析区域区域在在如果函数如果函数DzfDzfDzf 2. 解析函数解析函数.)( , )(00的奇点的奇点为为那末称那末称不解析不解析在在如果函数如果函数zfzzzf10 . )( )(

6、 )( )(内解析内解析在在除去分母为零的点除去分母为零的点和、差、积、商和、差、积、商的的与与内解析的两个函数内解析的两个函数在区域在区域DzgzfDa. )( , )( , . )( , )( )(内解析内解析在在那末复合函数那末复合函数于于都属都属的对应值的对应值函数函数内的每一个点内的每一个点对对如果如果内解析内解析平面上的区域平面上的区域在在函数函数内解析内解析平面上的区域平面上的区域在在设函数设函数DzgfwGhzgzDGhhfwDzzghb (c) 所有多项式在复平面内处处解析所有多项式在复平面内处处解析.2)性质性质. , )()( )(点点奇奇使分母为零的点是它的使分母为零的

7、点是它的为零的点的区域内解析为零的点的区域内解析在不含分母在不含分母任何一个有理分式函数任何一个有理分式函数zQzPd11.,),(),(),(:)(),(),()(1xvyuyvxuyxyxvyxuyixzDzfDyxivyxuzf , , , , 程程该点满足柯西黎曼方该点满足柯西黎曼方并且在并且在可微可微在点在点与与条件是条件是可导的充要可导的充要内一点内一点在在则则内内域域定义在区定义在区设函数设函数定理定理)RC(条件条件柯西黎曼条件柯西黎曼条件 3)可导与解析的判定可导与解析的判定12.),(),(:),(),()(2程程并且满足柯西黎曼方并且满足柯西黎曼方内可微内可微在在与与内解

8、析的充要条件是内解析的充要条件是域域在其定义在其定义函数函数定理定理 , , DyxvyxuDyxivyxuzf :,),(),()(则其导数公式则其导数公式可导可导处处在点在点若函数若函数 yixzyxivyxuzf yuixuxvixuzf )(.xviyvyuiyv 134)4)解析函数的判定方法解析函数的判定方法. . , , 内是解析的内是解析的在在解析函数的定义断定解析函数的定义断定则可根据则可根据内处处存在内处处存在的导数在区域的导数在区域数数导法则证实复变函导法则证实复变函如果能用求导公式与求如果能用求导公式与求DzfDzfa)()()(. )( ,R C ), ( , )(

9、)(内解析内解析在在条件可以断定条件可以断定要要那末根据解析函数的充那末根据解析函数的充方程方程并满足并满足可微可微因而因而、连续、连续的各一阶偏导数都存在的各一阶偏导数都存在内内在在中中如果复变函数如果复变函数DzfvuDvuivuzfb 143.3.初等解析函数初等解析函数1)1)指数函数指数函数.)sin(cos.的指数函数的指数函数为为称称设设zyiyeeiyxzxz 定义定义; 0, 0,)( zxzeeeza则则对任意复数对任意复数性质性质;)(,)(zzzeezeb 而且而且平面上处处解析平面上处处解析在在;)(2121zzzzeeec .2)(为周期的周期函数为周期的周期函数是

10、以是以iedz 15 2) 2)三角函数三角函数.,2cos.,2sin余弦函数余弦函数正弦函数正弦函数定义定义称为称为称为称为izizizizeezieez .cos,sin)1(是偶函数是偶函数是奇函数是奇函数zz 性质性质.cos)cos(,sin)sin(zzzz .cos)2cos(,sin)2sin(zzzz .sincos)3(zizeiz .2)2(为周期为周期以以正弦函数和余弦函数都正弦函数和余弦函数都16(4)正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数.sin)(cos,cos)(sinzzzz .cossintan正切函数正切函数定义

11、定义称为称为zzz .cos,sin, 1cossin)5(22不是有界函数不是有界函数但但zzzz ).tan()tan(:tan)1(zzz 是奇函数是奇函数 性质性质.tan)tan(:tan)2(zzz 为周期的周期函数为周期的周期函数是以是以 17其它复变三角函数的定义其它复变三角函数的定义,sincoscot zzz 余切函数余切函数,cos1ec zzs 正割函数正割函数.sin1csc zz 余割函数余割函数.cos1)(tantan)3(2zzz 在解析区域有在解析区域有 18 3) 3)双曲函数双曲函数.,2ch.,2sh双曲余弦函数双曲余弦函数双曲正弦函数双曲正弦函数定义

12、定义称为称为称为称为zzzzeezeez ;sh)sh(:sh)1(zzz 是奇函数是奇函数 性质性质;ch)ch(:chzzz 是偶函数是偶函数 ;2ch,sh)2(为周期的周期函数为周期的周期函数都是以都是以izz ;sh)(ch,ch)(shzzzz 且且平面上处处解析平面上处处解析在在,ch ,sh )3(zzz; 1shch)4(22 zz.ch)cos(,sh)sin()5(zizziiz 194 4）对数函数）对数函数.Ln , )( )0( zwzfwzzew 记为记为称为对数函数称为对数函数的函数的函数满足方程满足方程因此因此zizzwArglnLn ikziz 2argln

13、)., 2, 1, 0( k所以所以支支的的数数称为对数函称为对数函其中其中),(Ln)arg(arglnln主值主值zzzizz )., 2, 1, 0(2lnLn kikzz20. . , , , , 的一个分支的一个分支称为称为可确定一个单值函数可确定一个单值函数对于每一个固定的对于每一个固定的zkLn;Ln )1(是一个无穷多值的函数是一个无穷多值的函数z性质性质;LnLnLn,LnLnLn, 0, 0)2(2121212121zzzzzzzzzz 则则设设且且处解析处解析处处实轴外实轴外在平面上除去原点和负在平面上除去原点和负,ln, )3(z.1)(lnzz 215)5)幂函数幂函

14、数:, 0,的幂函数的幂函数用下列等式定义用下列等式定义对于对于是任意复数是任意复数设设zz 定义定义).0(Ln zezwz . 0,0, zz时时补充规定补充规定是正实数时是正实数时当当;,lnLn., )1(ln的主值的主值称为幂函数称为幂函数时时取主值取主值当当是一个无穷多值函数是一个无穷多值函数一般说来一般说来 zezzzzz 性质性质.)()2(1 zz22三、典型例题三、典型例题.)(33仅在原点有导数仅在原点有导数证明函数证明函数iyxzf 例1例1证证zfzfz)0()(lim0 iyxiyxyx 330),(lim0)(lim220),( yxyixyx. 00)(处的导数

15、为处的导数为在在故故 zzf.在在再证其他处的导数不存再证其他处的导数不存23)()()()(0030303300iyxiyxiyxiyxzzzfzf 则则沿路径沿路径若若,0yyz 030300)()(xxxxzzzfzf 则则沿路径沿路径若若,0 xxz )(3)()()(020030300yyyyyiiyiyzzzfzf 当当.)(, 000的导数不存在的导数不存在否则否则故除非故除非zfyx )(3020 xxx当当24例例2 2 函数函数 在何处在何处可导，何处解析可导，何处解析.)2()()(222yxyixyxzf 解解,),(22xyxyxu ;2, 12yuxuyx ,2),

16、(2yxyyxv ;22,2yxvyvyx .,xyyxvuvu 故故 仅在直线仅在直线 上可导上可导.)(zf21 y,21)(,不解析不解析上处处上处处在直线在直线由解析函数的定义知由解析函数的定义知 yzf故故 在复平面上处处不解析在复平面上处处不解析.)(zf时，时，当且仅当当且仅当21 y25例例3 3 设设 为解析函数，求为解析函数，求 的值的值.)(2323cxyxiybxay cba,解解 设设ivucxyxiybxayzf )()()(2323故故2323,cxyxvybxayu ,2bxyxu ,2cxyyv ,322cyxxv ,322bxayyu 由于由于 解析，所以解

17、析，所以)(zfxvyuyvxu ,即即,22cbcxybxy 3,3332222 bcacyxbxay故故. 3, 3, 1 cba26例例4 4 讨论函数讨论函数 在原点的可导性在原点的可导性. 0,00,)(21zzezfz01lim0)0()(lim)0(2100 xexzfzffxz 211lim0)0()(lim00yeyizfzfyz,0)0()(lim0 zfzfz故故 在原点不可导在原点不可导.)(zf,0时时趋于趋于函数沿函数沿xz 解解当当 沿正虚轴沿正虚轴 趋于趋于0时，有时，有iyz z27 设设 为为 平面上任意一定点平面上任意一定点,000iyxz z0000)R

18、e(1)()(zzzzzzzfzf 当点当点 沿直线沿直线 趋于趋于 时时,有有z)(0 xiyxz0z00001)()(xxxxzzzfzf 2 解解例例5 5 研究研究 的可导性的可导性.zzzfRe)( 28)(01)()(000yyizzzfzf , 1 当点当点 沿直线沿直线 趋于趋于 时时,有有z)(0 yiyxz0z的任意性知的任意性知处不可导且由处不可导且由在在故故00)(zzzf例例5 5 研究研究 的可导性的可导性.zzzfRe)( .)(处处不可导处处不可导zf29例例6 6 解方程解方程0sin z解解0212sin2 izizizizieeieez12 izeikizee 22. kz), 2, 1, 0( k30例例7 7 求出求出 的值的值.2)2( 解解)2ln(22)2( e )2(2ln2 kie)12(2sin)12(2cos2ln2 kike), 2, 1, 0( k31解解例例8 8 试求试求 函数值及其主值函数值及其主值:ii 1)1()1ln()1(1)1(iiiei kiie242ln)1( 2ln24242lnkike 2ln4sin2ln4cos224iek), 2, 1, 0( k令令 得主值得主值:0 k.2ln4sin2ln4cos2)1(4)1( ieii 2ln24242lnkike32例例9 9 证明证明;2sin