第六章 无限冲击响应(IIR)数字滤波器的设计

1、第6章 IIR数字滤波器的设计模拟滤波器的技术要求模拟滤波器的技术要求巴特沃兹（巴特沃兹（Butterworth）模拟低通滤波器）模拟低通滤波器切比雪夫切比雪夫II型模拟低通滤波器型模拟低通滤波器椭圆低通滤波器椭圆低通滤波器6.1 由模拟滤波器设计由模拟滤波器设计IIR数字滤波器数字滤波器模拟滤波器的技术要求模拟滤波器的技术要求pw w: : 通带截止频率通带截止频率w ws: : 阻带截止频率阻带截止频率d d p: : 通带波动通带波动d d s: 阻带波动阻带波动)1(log2010ppAd d 通带衰减通带衰减(db)(passband Attenuation)ssAd d10log2

2、0 阻带衰减阻带衰减(db )(stopband Attenuation)1|H( jw w)|10通带通带过渡带过渡带阻带阻带pw wsw wsd dpd d w wG(w w)=20log10|H(jw w)| dB 滤波器的滤波器的Gain函数函数w wc10N=1N=3N=50.7076.1 巴特沃斯低通滤波器巴特沃斯低通滤波器NcjH22)/(11)(w ww ww w N: 滤波器阶数滤波器阶数性质：性质：2)幅度响应单调下降幅度响应单调下降(monotonically decreasing),当阶当阶数数N增加时，通带幅频特性变平，阻带衰减更快，逐增加时，通带幅频特性变平，阻带衰

3、减更快，逐渐趋近于理想滤波器的幅频特性。渐趋近于理想滤波器的幅频特性。1)|1)|H( ( j 0)|=1, |H(j)|0, 20)|0, 20log10|H( jw wc)| 3dbw wc: 3db 截频截频, 当当w wc =1时，称其为时，称其为 归一化的归一化的BWF3) |H(jw w)|2在在ww0 0点点1到到2N 1阶导数零。称为最大平坦性。阶导数零。称为最大平坦性。 (maximally flat magnitude filter)在在ww0 0点做点做 Taylor series展开展开NcNcH422)()(1)j (wwwwwNLjH22011)(w ww w 归一

4、化的归一化的Butterworth滤波器滤波器(BWF)任意的任意的BWF和归一化和归一化BWF的关系的关系)/()(0cLsHsHw w 归一化归一化Butterworth滤波器的极点滤波器的极点2j)j ()j()j ()()(wwwwHHHsHsHs条件：条件：h(t)是实的是实的H( jw w ) =H*( jw w )NssHsH2)j(11)()(极点：1/2j 21/2( 1)j(e)jNkNks NkNk2,2, 1;e)21221(j共有共有2N个极点，为了保证系统的稳定，选左个极点，为了保证系统的稳定，选左半平面的半平面的N个极点。个极点。NksNkk,2, 1;e)212

5、21(j为左半平面的为左半平面的N个极点个极点)221)1(221(j1eNkNkNs22)Re(2)(kkkkssssssss1)2) 12(sin(22sNks)21221(jeNk)21221(jeNkks当当N为偶数时为偶数时1)(sin21)(22/1sssHkNk)2/() 12(Nkk例：N=2,)2/()12(Nkk=/4 ; k=1121)(2sssH例：N=4,8/)12(kk / 8, 3 / 8; k1 ,2) 1)8/3sin(2)(1)8/sin(2(1)(22sssssH) 18478. 1)(17654. 0(122ssss当当N为奇数时为奇数时)212/ )1

6、(221(j2/ )1(eNNNs1)(sin21) 1(1)(22/ )1(1ssssHkNk)2/()12(Nkk例：N=1)1(1)(ssHN=3)32/()12(16/) 1)(1(1)(2ssssH1ej例：设计一个满足下列指标BW型模拟滤波器1 . 0wp，4 . 0ws，dBAp1，dBAs10ppAjH1 . 0)(log210wssAjH1 . 0)(log210wNcjH22)/(11)(wwwpANcp1 . 0210)(1wwsANcs1 . 0210)(1ww28. 1)/(log2)110110(log101 . 01 . 010spAAspNww取N=2，将N=2

7、带入通带满足的方程4404. 0) 110(4/11 . 0pcww通带满足指标，阻带超过指标通带满足指标，阻带超过指标222221)(2)(1)(cccccsssssHwwwww2224404. 06228. 04404. 0ss验证：验证： Ap=0.9999db ; As= 18.2795 db模拟Butterworth低通滤波器设计步骤:(1)由滤波器的设计指标wp、ws、Ap、As和式确定滤波器的阶数N)/(log2)110110(log101 . 01 . 010spAAspNw ww w (2) 确定wcNANA2/11 . 0sc2/11 . 0p)110()110(sp w

8、ww ww w(3)确定滤波器的系统函数H(s)切比雪夫滤波器切比雪夫滤波器)/(11)(222cNCjHw ww w w w 1 )coshcosh(1 )coscos()(11xxNxxNxCNw w) )(w wjH1cw wN=2N=3N=7 : 通带波纹通带波纹 cw w：通带截频：通带截频 N：阶数：阶数(由阻带指标确定由阻带指标确定)性质性质1)在在cw ww w 0时，时，2)(w wjH在在 1 和和211 间振荡间振荡(equiripple filter)2)cw ww w 时，时，2)(w wjH单调下降单调下降（N 增大，下降加速）增大，下降加速）3)2211)( w

9、w cjH 控制了通带衰减控制了通带衰减N 为奇时为奇时 1)0(2 jHN 为偶时为偶时 2211)0( jHw w) )(w wjH1cw wN=2N=3N=7211 CB I 型型 AF 设计步骤设计步骤1)通带截频确定通带截频确定pcw ww w 2)通带指标确定通带指标确定 pcAjH)(log20w1101 . 0pA3)阻带指标确定阻带指标确定NssAjH )(log2010w w111cosh (101)cosh (/)sAscNww基本原理基本原理冲击响应不变法设计冲击响应不变法设计DF的的步骤步骤H(z)的确定的确定6.2 冲击响应不变法冲击响应不变法kTtthkh)(H(

10、ejW)和H(jw)的关系：()TnHTHn/ )2( j)/1 ()e(jWW无混叠时：),j ()/1 ()e(jWWWTHTH数字滤波器在W点的频响特性和模拟滤波器w W/ T频响特性只差一个常数因子基本原理基本原理例例: 设H (s)是一个3dB截频为wc的一阶低通滤波器，ccssHww)(1)用冲击响应不变法求出H(z)2)如果用下图所示系统取代H (s)，比较两系统的幅度响应。)()() 1tuethtccwwkuekhkTccww11)(zezHTccwwWWjTcjeeeHcww1)()22/,1)(sTjTceffeejHcwwwwwwA/D离散系统D/Ax(t)xkHr(j

11、w)ykTys(t)yr(t)TccssHww)(2/,11)(eff_norsTjTTeeeHccwwwwww冲击响应不变法设计模拟滤波器冲击响应不变法设计模拟滤波器的的步步骤骤1. 1. 将数字滤波器的频率指标将数字滤波器的频率指标 W Wk 转换为转换为 模拟滤波器的频率指标模拟滤波器的频率指标 w wk kkT/W W w w2. . 设计模拟滤波器的设计模拟滤波器的H(s)。3. 由由hk=T h(t)|t=kT从而得出从而得出H(z)。11( )1inisTiTAH zTez很小时1( )niaiiAHsss11( )1inisTiAH zezWj其中z=e冲激不变法设计冲激不变法

12、设计IIR DF IIR DF 的优缺点的优缺点（1 1）冲激不变法使得数字滤波器的冲激响应完全模）冲激不变法使得数字滤波器的冲激响应完全模仿模拟滤波器的冲激响应，也就是时域逼近良好。仿模拟滤波器的冲激响应，也就是时域逼近良好。（2 2）模拟频率）模拟频率w w 和数字频率和数字频率之间呈线性关系：之间呈线性关系： =wT =wT（3 3）缺点：由于有频率混叠效应，所以冲激响应不）缺点：由于有频率混叠效应，所以冲激响应不变法只适用于限带的模拟滤波器。变法只适用于限带的模拟滤波器。冲激不变法应用的局限性冲激不变法应用的局限性 由于具有频率的混叠效应，所以高通和带阻滤波由于具有频率的混叠效应，所以

13、高通和带阻滤波器不宜采用冲激不变法。因为它们高频部分不衰减，器不宜采用冲激不变法。因为它们高频部分不衰减，将完全混淆在低频中，从而使整个频响面目全非。将完全混淆在低频中，从而使整个频响面目全非。 若要对高通和带阻实行冲激不变法，则必须先对若要对高通和带阻实行冲激不变法，则必须先对高通和带阻滤波器加一保护滤波器，滤掉高于折叠频高通和带阻滤波器加一保护滤波器，滤掉高于折叠频率以上的频带。它会增加设计的复杂性和滤波器的阶率以上的频带。它会增加设计的复杂性和滤波器的阶数，因而只有在一定要追求频率线性关系或保持网络数，因而只有在一定要追求频率线性关系或保持网络瞬态响应不变时才使用。瞬态响应不变时才使用。

14、 对于带通和低通滤波器，需充分限带，若阻带衰对于带通和低通滤波器，需充分限带，若阻带衰减越大，则混叠效应越小。减越大，则混叠效应越小。基本思想: 利用数值积分将模拟系统变换为数字系统。设模拟系统的微分方程为)()(d)(dtaytxtty()TkykTydtdttdykTTk) 1()()()1(dttaytxkTTk)()()1(用梯形面积近似计算等式右边的积分得()()()TkayTkxkTaykTxTTkykTy) 1() 1()()()2/( ) 1()(6.3 双线性变换法双线性变换法所以近似描述离散系统的差分方程为() 1)2/( 1)2/1 ()2/1 (kxkxTkyaTkya

15、T离散系统的系统函数为：azzTzaTaTzTzH11111121)2/1 ()2/1 ()1)(2/()(和模拟系统的系统函数比较可得11112)()(zzTssHzH()()()TkayTkxkTaykTxTTkykTy) 1() 1()()()2/( ) 1()(稳定性稳定性11112zzTssTsTz22wjs2222)/2()/2(wwTTz1)0,|z|1虚轴映射到单位圆上右半平面映射到单位圆外结论： 因果、稳定的AF系统映射为因果、稳定的DF系统W W和和w w 的关系的关系2121TsTsz令s=jw2j12j1wwTTz)2(jtanexp()2(jtanexp(11wwTT

16、)2(tan2 jexp(1wT)2(tan21TwW)2(tan2WTw11112zzTs)2/tan(2WTwW)(WjeH)(wjHpWsWWpwsww缺点：幅度响应不是常数时会产生幅度失真缺点：幅度响应不是常数时会产生幅度失真优点：无混叠优点：无混叠双线性法设计模拟滤波器的步骤：双线性法设计模拟滤波器的步骤：2) 由模拟滤波器的指标设计由模拟滤波器的指标设计H (s)3) H (s)转换为转换为H(z)11112)()(zzTssHzH1)1)将数字滤波器的频率指标将数字滤波器的频率指标 W Wk由由w wk k= =(2/T)tan(tan(W Wk/2) ) 转换为模拟滤波器的频率

17、指标转换为模拟滤波器的频率指标 w wk二、性能分析1.解决了冲激不变法的混叠失真问题。2.它是一种简单的代数关系。11112zzTs 即模拟角频率与数字角频率存在非线性关系。所以双线性变换避免了混叠失真，却又带来了非线性的频率失真。3.由于双线性变换中，2tan()2TwW4.同时，看出双线性变换：(1)在零频附近，模拟角频率与数字角频率变换关系接近线性关系。(2)又要求AF的幅频响应是分段常数型，即幅度变换是线性的所以称之为双线性变换。频率升高时，非线性失真严重。22TwW5.对于分段常数型AF滤波器，经双线性变换后，仍得到幅频特性为分段常数的DF.但在各个分段边缘的临界频率点产生畸变，这

18、种频率的畸变，可通过频率预畸变加以校正。解：设双线性变换中的参数为T1)模拟低通滤波器的3dB截率为)2/(tan2ppTWw2)3dB截率为wp的一阶模拟BW LP 滤波器为1)2/tan(211/1)(ppsTssHWw3)由双线性变换得11) 1)2(tan()2tan(1)1)(2tan()(Wz/z/zHppp11112)1 (zz)2tan(1)2tan(1/ppW例：例：用一阶模拟巴特沃思低通滤波器和双线性变换法，设计一个3dB截止频率为Wp的数字低通滤波器。111)(WWzeezHpp11) 1)2(tan()2tan(1)1)(2tan()(Wz/z/zHppp例：用1阶模拟

19、巴特沃思低通滤波器和双线性变换法，设计一个3dB截止频率为Wp的数字高通滤波器解：取T=2，则AF HP的3dB截频为 )2/tan(ppWwAF LP 的3dB截频为 )2/tan(/1ppWw满足条件的LP AF为 1/1)(pLPssHw满足条件的HP AF为 1)/(11)/1 ()(pLPHPssHsHwsspW)2/tan(1111)()(zzsHPsHzH)1 ()1)(2/tan(1111Wzzzp111)2/tan(1)2/tan(1)1 (1)2/tan(1WWWzzppp1)2/tan(1)2/tan(WWpp令：1)2/tan(21Wp则：,112)1 ()(11zzzH6.4 从原型低通滤波器到其他形式IIR数字滤波器的频带变换法各种模拟滤波器的理想幅频特性（低通）|H(ej )|H(ej )|H(ej )|H(ej )|222（高通）（带通）（带阻）2cwlwhwcwwwwwlwhw模拟高通、带通和带阻滤波器的设计方法：（1）是先将要设计的滤波器的技术指标（主要是 P、 s），通过某种频率转变关系转换成模模拟低通滤波器拟低通滤波器的技术