大学理论力学 刚体的平面运动

1、第九章第九章 刚体的平面运动刚体的平面运动9-1 9-1 刚体平面运动的概述和运动分解刚体平面运动的概述和运动分解9-2 9-2 求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的基点法9-3 9-3 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法9-4 9-4 用基点法求平面图形内各点的加速度用基点法求平面图形内各点的加速度 9-5 9-5 运动学综合应用举例运动学综合应用举例9-1 9-1 刚体平面运动的概述和运动分解刚体平面运动的概述和运动分解在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相等的距离。这种运动称为持相等的距离。这种

2、运动称为平面运动平面运动。一、平面运动一、平面运动9-1 9-1 刚体平面运动的概述和运动分解刚体平面运动的概述和运动分解例如例如: 曲柄连杆机构中连杆曲柄连杆机构中连杆AB的运的运动，动，A点作圆周运动，点作圆周运动，B点作直线点作直线运动运动，因此，因此，AB 杆的运动既不是杆的运动既不是平动也不是定轴转动，而是平面运平动也不是定轴转动，而是平面运动动9-1 9-1 刚体平面运动的概述和运动分解刚体平面运动的概述和运动分解 刚体的平面运动是工程上常见的一种刚体的平面运动是工程上常见的一种运动，这是一种较为复杂的运动对它的研究运动，这是一种较为复杂的运动对它的研究可以在研究刚体的平动和定轴转

3、动的基础上，可以在研究刚体的平动和定轴转动的基础上，通过运动合成和分解的方法，将平面运动分解通过运动合成和分解的方法，将平面运动分解为上述两种基本运动然后应用合成运动的理为上述两种基本运动然后应用合成运动的理论，推导出平面运动刚体上一点的速度和加速论，推导出平面运动刚体上一点的速度和加速度的计算公式度的计算公式9-1 9-1 刚体平面运动的概述和运动分解刚体平面运动的概述和运动分解刚体的平面运动可以简刚体的平面运动可以简化为平面图形化为平面图形S在其自身平面在其自身平面内的运动即在研究平面运内的运动即在研究平面运动时，不需考虑刚体的形状动时，不需考虑刚体的形状和尺寸，只需研究平面图形和尺寸，只

4、需研究平面图形的运动，确定平面图形上各的运动，确定平面图形上各点的速度和加速度点的速度和加速度 二平面运动的简化二平面运动的简化9-1 9-1 刚体平面运动的概述和运动分解刚体平面运动的概述和运动分解为了确定代表平面运动刚体的平面图形的位置，我们只需确定为了确定代表平面运动刚体的平面图形的位置，我们只需确定平面图形内任意一条线段的位置平面图形内任意一条线段的位置 任意线段任意线段O M的位置的位置可用可用O点的坐标和点的坐标和O M与与x轴夹角表示因此图形轴夹角表示因此图形S 的位置决定于的位置决定于三个独立的参变量所以三个独立的参变量所以,ooyx三平面运动方程三平面运动方程平面运动方程平面

5、运动方程)(1otfx)(2otfy)(3tf对于每一瞬时对于每一瞬时 t ，都可以求出对，都可以求出对应的应的 ， 图形图形S在该瞬时在该瞬时的位置也就确定了。的位置也就确定了。,ooyx9-1 9-1 刚体平面运动的概述和运动分解刚体平面运动的概述和运动分解四平面运动分解为平动和转动平面运动分解为平动和转动 当图形当图形上上O点不动时，则刚体作定轴转动点不动时，则刚体作定轴转动当图形当图形上上 角不变时，则刚体作平动角不变时，则刚体作平动故刚体平面运动可以看成是平动和转动的合成运动故刚体平面运动可以看成是平动和转动的合成运动9-1 9-1 刚体平面运动的概述和运动分解刚体平面运动的概述和运

6、动分解9-1 9-1 刚体平面运动的概述和运动分解刚体平面运动的概述和运动分解例如车轮的运动例如车轮的运动 车轮的平面运动可以看车轮的平面运动可以看成是车轮随同车厢的平动和成是车轮随同车厢的平动和相对车厢的转动的合成相对车厢的转动的合成车轮对于静系的平面运动车轮对于静系的平面运动（绝对运动）（绝对运动）车厢（动系车厢（动系O x y ) 相对静系的平动相对静系的平动（牵连运动）（牵连运动）车轮相对车厢（动系车轮相对车厢（动系O x y ）的转动）的转动（相对运动）（相对运动） 我们称动系上的原点我们称动系上的原点O为基点。为基点。9-1 9-1 刚体平面运动的概述和运动分解刚体平面运动的概述和

7、运动分解绕基点绕基点O的转动的转动车轮的平面运动车轮的平面运动随基点随基点O的平动的平动 刚体的平面运动可以刚体的平面运动可以分解为随基点的平动和绕分解为随基点的平动和绕基点的转动基点的转动 结论：结论：9-1 9-1 刚体平面运动的概述和运动分解刚体平面运动的概述和运动分解例如例如: 平面图形平面图形在在 t 时间内从位置时间内从位置I运动到位置运动到位置II21以以A为基点为基点: 随基点随基点A平动到平动到AB后后, 绕基点转绕基点转 角到角到AB1以以B为基点为基点: 随基点随基点B平动到平动到AB后后, 绕基点转绕基点转 角到角到AB221 因为：因为：AB AB AB ，所以：所以

8、：, limlim20t10ttt; 21,ttdddd219-1 9-1 刚体平面运动的概述和运动分解刚体平面运动的概述和运动分解BBBAAA12 平面运动随基点平动的运动规律与基点的平面运动随基点平动的运动规律与基点的选择有关，而绕基点转动的规律与基点选取无选择有关，而绕基点转动的规律与基点选取无关关( (即在同一瞬间，图形绕任一基点转动的即在同一瞬间，图形绕任一基点转动的 , , 都是相同的）基点的选取是任意的。都是相同的）基点的选取是任意的。( (通常通常选取运动情况已知的点作为基点选取运动情况已知的点作为基点) )结论：结论：9-1 9-1 刚体平面运动的概述和运动分解刚体平面运动的

9、概述和运动分解曲柄连杆机构曲柄连杆机构AB杆作平面运动杆作平面运动平面运动的分解平面运动的分解9-1 9-1 刚体平面运动的概述和运动分解刚体平面运动的概述和运动分解OvOvMvOvMOM平面图形的平面运动可分解为两个运动：平面图形的平面运动可分解为两个运动：1.牵连运动牵连运动，即随基点即随基点O的平动；的平动；2.相对运动相对运动，即绕基点，即绕基点O的转动。的转动。已知：已知：vO ，求，求 vM 。 于是，平面图形上点于是，平面图形上点M的运动是两个运动的合成，因的运动是两个运动的合成，因此可用速度合成定理求它的速度，这种方法称为此可用速度合成定理求它的速度，这种方法称为基点法基点法。

10、牵连运动：牵连运动：MOvvMOr相对运动：相对运动：eOvv 点点M的绝对速度：的绝对速度：MOOMvvv取点取点O为基点。为基点。9-2 9-2 求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的基点法一、一、 基点法（合成法）基点法（合成法）结论：结论：平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。图形绕基点转动速度的矢量和。vBvAvBAvABA取点取点A为基点，则点为基点，则点B的速度为的速度为BAABvvv根据这个结论，平面图形内任根据这个结论，平面图形内任意两点的速度必存在一定的关系。意两点的速度必存在一定的关

11、系。其中其中 ABvBA方向垂直方向垂直AB。9-2 9-2 求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的基点法 同一平面图形上任意两点的速同一平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影相等。度在该两点连线上的投影相等。vAvBvBA()()B ABA ABvv速度投影定理：速度投影定理：这种求解速度的方法称为这种求解速度的方法称为速度投影法速度投影法二速度投影法二速度投影法9-2 9-2 求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的基点法 由于由于A ，B点是任意的，因此点是任意的，因此 表示了图形上任表示了图形上任意两点速度间的关系由于恒有意两点速度间的关系由于恒有 ，因此将

12、上式在，因此将上式在AB上投上投影，有影，有 BAABvBAABvvv例：例：半径为半径为R的车轮，沿直线轨道作无滑动的滚动。已知的车轮，沿直线轨道作无滑动的滚动。已知轮轴以匀速轮轴以匀速v0前进。求轮缘上前进。求轮缘上A、B、C、D各点的速度。各点的速度。vOvOvOvOvOvAOvDOvBOvCOvDvBvA解：解：取点取点O为基点，则点为基点，则点C的速度的速度COOCvvvRvCO因轮纯滚动，所以因轮纯滚动，所以vC=0，则，则RvO0RvO点点A:点点D:点点B:OAOvRvOAvv2ODOvRvODvv2OBOvRvOBvv29-2 9-2 求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内

13、各点速度的基点法例：例：曲柄长曲柄长OA=r=40cm，以匀角速度，以匀角速度=5rad/s转动。连杆转动。连杆 AB长长l=200cm，求当曲柄与水平线成，求当曲柄与水平线成45角时，滑块角时，滑块B的速的速度及连杆度及连杆AB的角速度。的角速度。9-2 9-2 求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的基点法解：解：杆杆OA作定轴转动作定轴转动cm/s200rvAvAvBAvBvA取点取点A为基点，则点为基点，则点B速度速度BAABvvv作速度图，得作速度图，得)45sin()90sin(45sinBAABvvv45sinsinrl10245sinsinlr1027sin1cos2

14、)45sin(cosABvvlvABABcm/s16245sincos1Avlrad/s714. 09-2 9-2 求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的基点法例：例：曲柄曲柄OA以匀角速度以匀角速度0转动。求在图示瞬时，点转动。求在图示瞬时，点C的的速度。已知：速度。已知：OA=O1B=r，BC=2r。OAB=45。9-2 9-2 求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的基点法vAvBvBAvA解：解：杆杆OA绕绕O轴转动轴转动OOArOAv取点取点A为基点，则点为基点，则点B的速度的速度BAABvvv作速度图，得作速度图，得OABBArvvv2245cosOBABAA

15、BCOAvABv212ABC9-2 9-2 求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的基点法2618135sinarcsinCBvvvCBvCvBvAvBvBAvAABC再取点再取点B为基点，则点为基点，则点C的速度的速度CBBCvvvOBrv22OOABCCBrrBCv21245cos222CBBCBBCvvvvvOr2109-2 9-2 求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的基点法例：例：曲柄曲柄OA长长100mm，以角速度，以角速度=2rad/s转动。连杆转动。连杆AB带动摇杆带动摇杆CD，并拖动轮，并拖动轮E沿水平面滚动。已知沿水平面滚动。已知CD=3CB，图示位置

16、时图示位置时A，B，E三点恰在一水平线上，且三点恰在一水平线上，且CDED。求此瞬时点求此瞬时点E的速度。的速度。9-2 9-2 求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的基点法vDvBvAvE30解：解：杆杆OA绕绕O轴转动轴转动OAvA由速度投影定理，得由速度投影定理，得ABvv30cosm/s34 . 032ABvv摇杆摇杆CD绕绕C轴转动，有轴转动，有CDCBvvBD由速度投影定理，得由速度投影定理，得DEvv30cosm/s8 . 0EvBv3m/s32 . 1m/s2 . 09-2 9-2 求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的基点法点点C称为称为瞬时速度中心瞬

17、时速度中心，简称，简称速度瞬心速度瞬心。一、定理一、定理一般情况，在每一瞬时，平面图形上都唯一地存在一一般情况，在每一瞬时，平面图形上都唯一地存在一个速度为零的点。个速度为零的点。vAAMCvAvAvMAvCA证明：过点证明：过点A作作vA的垂线的垂线AN。NMAAMvvvMAvvAM随着点随着点M在在AN上的位置不同，上的位置不同，vM的大的大小也不同。因此可找到一点小也不同。因此可找到一点C, 该点的该点的瞬时速度等于零。如令瞬时速度等于零。如令AvAC 0ACvvAC取点取点A为基点，则为基点，则AN上点上点M的速度为的速度为9-39-3求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的

18、瞬心法二、平面图形内各点速度及其分布二、平面图形内各点速度及其分布DACB点点C为速度瞬心，即为速度瞬心，即 vC=0。取点取点C为基点，则为基点，则A, B, D各点的速度各点的速度ACACCAvvvvBCBCCBvvvvDCDCCDvvvv由此的结论：由此的结论：平面图形内任一点的速度等于该点随图形绕瞬时平面图形内任一点的速度等于该点随图形绕瞬时速度中心转动的速度。速度中心转动的速度。ACvvACABCvvBCBDCvvDCDvAvBvD9-9- 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法三、确定速度瞬心位置的方法三、确定速度瞬心位置的方法1. 平面图形沿一固定表面作无滑动的

19、滚动。平面图形沿一固定表面作无滑动的滚动。CCABvAvB2. 已知图形内任意两点已知图形内任意两点A和和B的速度方向。的速度方向。9-9- 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法3. 已知图形上两点已知图形上两点A和和B的速度相互平行，并且速度的方的速度相互平行，并且速度的方向垂直于两点的连线向垂直于两点的连线AB。ABvAvBCABvAvBCABvAvB4. 某瞬时，图形上某瞬时，图形上A，B两点的速度相等，即两点的速度相等，即 vA=vB。瞬时平动瞬时平动9-9- 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法例如例如: 曲柄连杆机构在图示位置时，曲柄连杆机构

20、在图示位置时，连杆连杆BC的运动为瞬时平动的运动为瞬时平动设匀角速度设匀角速度 ，则，则)(2ABaanBB而的方向沿而的方向沿AC，cBaa ca此时连杆此时连杆BC的图形角速度的图形角速度 。0BCvBvCaBBC杆上各点的速度都相等杆上各点的速度都相等. 但各点的加速度并不相等但各点的加速度并不相等aC9-2 9-2 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法注意的问题注意的问题（1 1）速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间不）速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间不 断变化的。在任一瞬时是唯一存在的。断变化的。在任一瞬时是唯一存在的。 （2 2）速度

21、瞬心处的速度为零）速度瞬心处的速度为零, , 加速度不一定为零。不同于定轴转动加速度不一定为零。不同于定轴转动（3 3）刚体作瞬时平动时，虽然各点的速度相同，但各点的加速）刚体作瞬时平动时，虽然各点的速度相同，但各点的加速 度是不一定相同的。不同于刚体作平动。度是不一定相同的。不同于刚体作平动。9-9- 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法例：例：行星轮半径为行星轮半径为r，在半径为，在半径为R的固定轮上作无滑动的滚的固定轮上作无滑动的滚动。已知曲柄动。已知曲柄OA以匀角速度以匀角速度0 转动。求在图示位置，行转动。求在图示位置，行星轮上星轮上M1、M2、M3的速度。的速度

22、。9-9- 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法vM1vM2vM3C解：解：杆杆OA绕绕O轴转动轴转动00)(RrOAvA点点C为行星轮的速度瞬心为行星轮的速度瞬心vArvA0rRr 01)(21RrCMvM03)(23RrCMvM02)(22RrCMvM9-9- 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法例：例：图示机构：图示机构：OA=0.15m，n=300 rpm，BC=BF=0.53m。 AB=0.76m，图示位置时图示位置时, AB水平。求：该位置时的水平。求：该位置时的BC、AB 及及 vC。9-9- 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速

23、度的瞬心法C1C2vAvBvC解：解：杆杆OA绕绕O轴转动轴转动30nOAOAvAm/s5 . 1点点C1为杆为杆AB的速度瞬心的速度瞬心m/s72. 21ABBBCv点点C2为杆为杆BC的速度瞬心的速度瞬心rad/s13. 52BCvBBCm/s72. 213. 553. 02BCCCCvrad/s16. 71ACvAABABBC9-9- 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法例：例：平面机构中平面机构中, 楔块楔块M: =30, v=12cm/s ; 盘盘: r = 4cm , 与楔块间无滑动。求圆盘的与楔块间无滑动。求圆盘的 及轴及轴O的速度和的速度和B点速度。点速度。

24、9-9- 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法vAvOvBCA解：解：圆盘无滑动圆盘无滑动vvA点点C为圆盘的速度瞬心为圆盘的速度瞬心30cosrvACvArad/s3230cos412cm/s34OCvOcm72120cos222OBOCOBOCBCcm/s33.182143272BCvB9-9- 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法例：例：平面机构图示瞬时平面机构图示瞬时, O点在点在AB中点中点, =60,BCAB, 已已知知O、C在同一水平线上在同一水平线上, AB=20cm, vA=16cm/s , 试求该瞬试求该瞬时时AB杆杆, BC杆的角速

25、度及滑块杆的角速度及滑块C的速度。的速度。9-9- 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法C1C2vOvBvC解：解：点点C1为为AB杆的速度瞬心杆的速度瞬心3/20161ACvAABABBC38 . 03201ABBBCvrad/s38 . 0cm/s16点点C2为为BC杆的速度瞬心杆的速度瞬心rad/s336 . 1310162BCvBBCcm/s16336 . 13102BCCCCv9-9- 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法例：例：导槽滑块机构，曲柄导槽滑块机构，曲柄OA= r, 匀角速度匀角速度 转动转动, 连杆连杆AB的中点的中点C处连接一滑

26、块处连接一滑块C可沿导槽可沿导槽O1D滑动滑动, AB=l，图，图示瞬时示瞬时O，A，O1三点在同一水平线上，三点在同一水平线上，AO1C= =30。OAAB，求：该瞬时，求：该瞬时O1D的角速度。的角速度。9-9- 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法解：解：杆杆OA绕绕O轴转动轴转动vAvBrOAvA因为因为vA平行平行vB，杆，杆AB瞬时平动瞬时平动rvvvCBA取杆取杆AB上点上点C为动点，动系固为动点，动系固连于杆连于杆O1D上。上。CvrvaveO1Drvv23cosaelrCOvDO231e19-9- 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法例

27、：例：已知：已知：OA=0.1m，BD=0.1m，DE=0.1m，EF=0.1 m；曲柄曲柄OA的角速度的角速度=4rad/s。在图示位置时，曲柄。在图示位置时，曲柄OA与水与水平线平线OB垂直；且垂直；且B, D和和F在同一铅直线上在同一铅直线上, 又又DE垂直于垂直于EF。求杆求杆EF的角速度和点的角速度和点F的速度。的速度。39-9- 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法m/s462. 011FCECvvEFrad/s333. 11ECvEEF解：解：杆杆OA绕绕O轴转动轴转动vAvBvCvEvFC1m/s4 . 0OAvA杆杆AB作瞬时平动作瞬时平动m/s4 . 0

28、ABvv点点D为杆为杆BC的速度瞬心的速度瞬心m/s4DCDCBDvvBC三角块绕三角块绕D轴转动轴转动m/s4 . 0DEDCvvCE点点C1为杆为杆EF的速度瞬心的速度瞬心EF9-9- 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法aBA取取B为动点，则为动点，则B点的运动分解为相对运点的运动分解为相对运动为圆周运动和牵连运动为平动动为圆周运动和牵连运动为平动tnrBABABA aaaa于是于是,由牵连平动时加速度合成定理由牵连平动时加速度合成定理 可得如下公式：可得如下公式：aera =a +atnBABABAaaaa一一. . 基点法基点法 ( (合成法合成法) ) 已知：图

29、形已知：图形S 内一点内一点A 的加速度和图形的加速度和图形 的的 , （某一瞬时）。（某一瞬时）。求：求： 该瞬时图形上任一点该瞬时图形上任一点B的加速度。的加速度。Aa取取A为基点，将平动坐标系固结于为基点，将平动坐标系固结于A点点nBAatBAaAa;aB aa;eA aaaB9-3 9-3 用基点法用基点法求平面图形内各点的加速度求平面图形内各点的加速度aBAnBAatBAaAaaB其中：其中： ，方向，方向 AB，指向与，指向与 一致；一致；tBAaAB ，方向沿，方向沿AB，指向，指向A点。点。2nBAABa即即平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕平面图形内任一点

30、的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。这种求解加速度。这种求解加速度的方法称为的方法称为基点法基点法，也称为，也称为合成法合成法。是求解平面图形内一点加速。是求解平面图形内一点加速度的基本方法。度的基本方法。上述公式是一平面矢量方程。需知其中六个要素，方能求上述公式是一平面矢量方程。需知其中六个要素，方能求出其余两个。由于出其余两个。由于 方位总是已知，所以在使用该公式方位总是已知，所以在使用该公式中，只要再知道四个要素，即可解出问题的待求量。中，只要再知道四个要素，即可解出问题的待求量。tn,BABAaatnB

31、ABABAa = a + a+ a9-3 9-3 用基点法用基点法求平面图形内各点的加速度求平面图形内各点的加速度由于由于 的大小和方向随的大小和方向随B点的不同而不同点的不同而不同,所以总可以所以总可以在图形内找到一点在图形内找到一点Q，在此瞬时，相对加速度，在此瞬时，相对加速度 大小恰与基点大小恰与基点A的加速度的加速度 等值反向，其绝对加速度等值反向，其绝对加速度Q点就称为图形在该瞬时的点就称为图形在该瞬时的加速度瞬心加速度瞬心QAaAa0QatnBABA, aa(1)一般情况下一般情况下,加速度瞬心与速度瞬心不是同一个点加速度瞬心与速度瞬心不是同一个点(2)一般情况下，对于加速度没有类

32、似于速度投影定理的关一般情况下，对于加速度没有类似于速度投影定理的关 系式系式. 即一般情况下即一般情况下,图形上任意两点图形上任意两点A, B的加速度的加速度()()AABBABaa 二加速度瞬心二加速度瞬心 若某瞬时图形若某瞬时图形 =0, 即瞬时平动即瞬时平动, 则有则有 即：即：若平面图形在运动过程中某瞬时的角速度等于零，则该瞬若平面图形在运动过程中某瞬时的角速度等于零，则该瞬时图形上任意两点的加速度在这两点连线上的投影相等时图形上任意两点的加速度在这两点连线上的投影相等()()AABBABaa9-3 9-3 用基点法用基点法求平面图形内各点的加速度求平面图形内各点的加速度 （3 3）

33、由于加速度瞬心的位置不象速度瞬心那样容易确定，故由于加速度瞬心的位置不象速度瞬心那样容易确定，故常采用基点法求图形上各点的加速度或图形的角加速度常采用基点法求图形上各点的加速度或图形的角加速度tnCOCOCOaaaaRvO/ （） 例例 半径为半径为R的车轮沿直线作纯滚动的车轮沿直线作纯滚动, 已知轮心已知轮心O点的速度点的速度及加速度及加速度 ,求车轮与轨道接触点求车轮与轨道接触点C的加速度的加速度OvOaC为速度瞬心，为速度瞬心，分析：分析：大小：大小：？ 2方向：方向：？ 解：解：轮轮O作平面运动，作平面运动，9-3 9-3 用基点法用基点法求平面图形内各点的加速度求平面图形内各点的加速

34、度 RatvRtOOdd1dd（） 由此看出，速度瞬心由此看出，速度瞬心C的加速度并不等于零，即它不是加速度的加速度并不等于零，即它不是加速度瞬心当车轮沿固定的直线轨道作纯滚动时，其速度瞬心瞬心当车轮沿固定的直线轨道作纯滚动时，其速度瞬心C的加的加速度指向轮心速度指向轮心2n22 ()OOCOvvaRRRRnCyCOaanPOatCOaOa 以以O为基点，为基点，t , COOaRaxytCxOCOaaa=02noCCOvaaR由于由于 在任何瞬时都成立，且在任何瞬时都成立，且O点作直线运动，故而点作直线运动，故而RvO/9-3 9-3 用基点法用基点法求平面图形内各点的加速度求平面图形内各点

35、的加速度tnCOCOCOaaaa将将 分别投影到分别投影到x、y轴上，有：轴上，有：tnCOCOCOaaaa(a)BvAv(b)AB杆作平动，杆作平动，ttAB aaBOAO21 式式中中21例例已知已知O1A=O2B, 图示瞬时图示瞬时 O1A /O2B 试问试问(a),(b)两种情况下两种情况下 1和和 2， 1和和 2是否相等？是否相等？AB , vvAB aanAanBa,/AOvA11而而;/BOvB22 t11/, AaO At22/;BaO B解：解：(a)21nnABaatAatBa9-3 9-3 用基点法用基点法求平面图形内各点的加速度求平面图形内各点的加速度(b)nBatB

36、anAatAa(b) AB杆作平面运动杆作平面运动, 0AB2211/ BOvAOvBAntntB ABB ABAABAAB()()()()aaaaincossincos1121122222sAOAOBOBO cot22112图示瞬时图示瞬时AB杆作瞬时平动杆作瞬时平动, vAvB即即对对AB杆，以杆，以A为基点求为基点求B点的加速度点的加速度ntnttnBBAABABAaaaaaatAanAatBAaABvv式中式中0nBAa将上式投影到将上式投影到AB轴上，有：轴上，有：AABB AB()()即 aa9-3 9-3 用基点法用基点法求平面图形内各点的加速度求平面图形内各点的加速度12 即A

37、B aa当当杆做瞬时平动时杆做瞬时平动时例例 曲柄滚轮机构，滚子半径曲柄滚轮机构，滚子半径R=OA=15cm, n=60 rpm，作纯滚动。，作纯滚动。求：当求：当 =60时时 (OA AB),滚轮的滚轮的 ， 9-3 9-3 用基点法用基点法求平面图形内各点的加速度求平面图形内各点的加速度9-3 9-3 用基点法用基点法求平面图形内各点的加速度求平面图形内各点的加速度 OA杆作定轴转动杆作定轴转动,AB杆和轮杆和轮B作平面运动作平面运动rad/s 32153 /30/1APvAABcm/s 30215 OAvAC为其速度瞬心为其速度瞬心cm/s 3203215321ABBBPv分析分析: 要

38、想求出滚轮的要想求出滚轮的 , 先要求出先要求出vB, aBvAvBC1rad/s 2306030/n解：解：研究研究AB杆：杆： ABAB9-3 9-3 用基点法用基点法求平面图形内各点的加速度求平面图形内各点的加速度取取A为基点，为基点，2222cm/s60)2(15OAaAnBABABAaaaa222nBA3320)32(153ABABa将上式向将上式向x轴上投影轴上投影nBAB30cosaa30/cosnBABaa2BBBPv/BB2dd/ddBvaBPttC2为其速度瞬心为其速度瞬心C2BAanBAaAaBaAax22cm/s513123/3320.研究轮研究轮B：rad/s25715320./2rad/s778155131./. B B9-3 9-3 用基点法用基点法求平面图形内各点的加速度求平面图形内各点的加速度例例 曲柄滑块机构，曲柄滑块机构，OAr，ABl，曲柄以等角速度，曲柄以等角速度 0绕绕O轴旋转。求：图示瞬时，滑块轴旋转。求：图示瞬时，滑块B的加速度的加速度aB和连杆和连杆AB的角的角加速度加速度 AB90o30oOBA 09-3 9-3 用基点法用基点法求平面图形内各点的加速度求平面图形内各点的加速度1、确定连杆的角速度：、确定连杆的角速度：BA90o30ovAvAvBvBA3