理论力学 4摩擦

1、第四章 摩擦41 滑动摩擦的概念滑动摩擦的概念滑动摩擦的概念滑动摩擦的概念滑动摩擦的分类滑动摩擦的分类 (1) 按二物体接触面间是否有润滑分类按二物体接触面间是否有润滑分类干摩擦：干摩擦： 由固体表面直接接触而产生的摩擦。由固体表面直接接触而产生的摩擦。湿摩擦：湿摩擦： 固体表面之间存在某种液体，则这时出现的摩擦。固体表面之间存在某种液体，则这时出现的摩擦。半干摩擦：半干摩擦：当润滑油不足时，固体表面将部分保持直接接触，当润滑油不足时，固体表面将部分保持直接接触，这种在中间状态下出现的摩擦。这种在中间状态下出现的摩擦。2.滑动滑动摩擦的分类摩擦的分类 当一物体沿着另一物体的表面（或接触面）滑动

2、或具有滑当一物体沿着另一物体的表面（或接触面）滑动或具有滑动的趋势时，该表面会产生切向阻力的现象称为动的趋势时，该表面会产生切向阻力的现象称为滑动摩擦滑动摩擦，简，简称称摩擦摩擦。这个切向阻力称为这个切向阻力称为滑动摩擦力滑动摩擦力，简称，简称摩擦力摩擦力。1.1.滑动摩擦的概念滑动摩擦的概念静（滑动）摩擦：静（滑动）摩擦：仅出现相对滑动趋势而未发生运动仅出现相对滑动趋势而未发生运动 时的摩擦。时的摩擦。(2) 按二物体接触点（面）之间有无相对速度分类按二物体接触点（面）之间有无相对速度分类动（滑动）摩擦：动（滑动）摩擦：已发生相对滑动的物体间的摩擦。已发生相对滑动的物体间的摩擦。42 滑动摩

3、擦的性质滑动摩擦的性质静摩擦力的性质静摩擦力的性质静摩擦力极限摩擦定律静摩擦力极限摩擦定律动摩擦定律动摩擦定律摩擦角、摩擦锥、自锁摩擦角、摩擦锥、自锁摩擦力的大小有如下变化范围：摩擦力的大小有如下变化范围：0FFmaxFN= G极限值极限值Fmax称为称为极限摩擦力极限摩擦力（最大摩擦力）（最大摩擦力）。当推力当推力FP增加到等于增加到等于Fmax时的平衡称为时的平衡称为临界平衡状态临界平衡状态。FP =F摩擦力的方向摩擦力的方向总是和物体的相对滑动趋势的方向相反。总是和物体的相对滑动趋势的方向相反。1. 静摩擦力的性质静摩擦力的性质 静摩擦力的最大值静摩擦力的最大值Fmax与物体对支承面的正

4、压力或法与物体对支承面的正压力或法向反作用力向反作用力 FN 成正比。成正比。即：即： Fmax=fs FN fs : 静摩擦因数静摩擦因数2. 静摩擦力极限摩擦定律静摩擦力极限摩擦定律动摩擦动摩擦力的方向力的方向总是和物体的相对滑动的速度方向相反。总是和物体的相对滑动的速度方向相反。 动摩擦力动摩擦力Fd d与物体对支承面的正压力或法向反作与物体对支承面的正压力或法向反作用力用力FN 成正比。成正比。即：即： Fd d = =fd d FNfd d : 动摩擦因数动摩擦因数3. 动摩擦定律动摩擦定律 摩擦角摩擦角 全反力全反力全反力全反力 FR=FN+FNtanFF最大全反力最大全反力对法向

5、反力对法向反力的偏角的偏角f 。 f最大全反力最大全反力 FRm=FN+FmaxNmaxftanFF4. 摩擦角、摩擦锥、自锁摩擦角、摩擦锥、自锁NmaxftanFF sNNsfFFf由此可得重要结论：由此可得重要结论：摩擦角的正切摩擦角的正切=静摩擦系数静摩擦系数 摩擦角摩擦角最大全反力最大全反力对法向反力对法向反力的偏角的偏角f 。 f最大全反力最大全反力 FRm=FN+FmaxNmaxftanFF以支承面的法线为轴作出的以以支承面的法线为轴作出的以2f 为顶角的圆锥为顶角的圆锥。 摩擦锥摩擦锥性质：当物体静止在支承面时，支承面的全反力的偏角性质：当物体静止在支承面时，支承面的全反力的偏角

6、 不大于摩擦角。不大于摩擦角。 摩擦锥的性质摩擦锥的性质摩擦角更能形象的说明有摩擦时的平衡状态。摩擦角更能形象的说明有摩擦时的平衡状态。物体平衡时有物体平衡时有0FFmax则有则有0 f所以物体平衡范围所以物体平衡范围0FFmax也可以表示为也可以表示为0 f。NtanFFfNmaxtanFFNmaxFFNFF 两个重要结论两个重要结论 如果作用于物体的主动力合力的作用线在摩擦锥内，如果作用于物体的主动力合力的作用线在摩擦锥内，则不论这个力多大，物体总能平衡。则不论这个力多大，物体总能平衡。 f这种现象称为这种现象称为自锁。自锁。 如果作用于物体的主动力合力的作用线在摩擦锥外，如果作用于物体的

7、主动力合力的作用线在摩擦锥外，则不论这个力多小，物体都不能保持平衡。则不论这个力多小，物体都不能保持平衡。 f 两个重要结论两个重要结论利用摩擦角测定静摩擦系数利用摩擦角测定静摩擦系数螺旋千斤顶螺旋千斤顶斜面自锁条件斜面自锁条件GFNFGsin f sGcos由由 FFmax= fs FN平衡时平衡时F = Gsin,FN= Gcos ffs tan tanf43 考虑滑动摩擦时的考虑滑动摩擦时的平衡问题平衡问题临界平衡状态分析临界平衡状态分析非临界平衡状态分析非临界平衡状态分析1. 临界平衡状态分析临界平衡状态分析 应用应用 Fmax= fs FN 作为补充方程作为补充方程 。 考虑摩擦时的

8、平衡问题的分析与前面相同。但要特别注考虑摩擦时的平衡问题的分析与前面相同。但要特别注意摩擦力的分析，其中重要的是判断摩擦力的方向和大小。意摩擦力的分析，其中重要的是判断摩擦力的方向和大小。根据物体的运动趋势来判断其接触处的摩擦力根据物体的运动趋势来判断其接触处的摩擦力方向，不能任意假设。方向，不能任意假设。在许多情况下其结果是一个不等式或范围。在许多情况下其结果是一个不等式或范围。两种情况两种情况 考虑摩擦时的平衡问题的分析与前面相同。但要特别注考虑摩擦时的平衡问题的分析与前面相同。但要特别注意摩擦力的分析，其中重要的是判断摩擦力的方向和大小。意摩擦力的分析，其中重要的是判断摩擦力的方向和大小

9、。两种情况两种情况2. .非临界平衡状态分析（平衡范围分析）非临界平衡状态分析（平衡范围分析） 应用应用 F fs FN 作为补充方程作为补充方程 。 当物体平衡时，摩擦力当物体平衡时，摩擦力F 和支承面的正压力和支承面的正压力FN彼此独立。彼此独立。 摩擦力摩擦力F的指向可以假定，大小由平衡方程决定。的指向可以假定，大小由平衡方程决定。, 0 xFcos 0sFF, 0yF0 sinNFGF2. . 列平衡方程。列平衡方程。 1. . 取物块取物块A为研究对象，受力分析如图。为研究对象，受力分析如图。解解: :yAxA 例例4-1 4-1 小物体小物体A重重G =10 N，放在粗糙的水平固定

10、面上，放在粗糙的水平固定面上，它与固定面之间的静摩擦因数它与固定面之间的静摩擦因数fs s= 0.3= 0.3。今在小物体。今在小物体A上施加上施加F =4 =4 N的力的力, , =30 =30，试求作用在物体上的摩擦力。，试求作用在物体上的摩擦力。例题 4-13.3.联立求解。联立求解。4 cos 303.46 NsF maxsFF3.46 NsF N 6 . 3 sinsNsmaxFGfFfF最大静摩擦力最大静摩擦力yAx因为因为所以作用在物体上的摩擦力为所以作用在物体上的摩擦力为物体不再处于平衡状态，将水平向右滑动。物体不再处于平衡状态，将水平向右滑动。N28. 21219. 0 Nd

11、dFfF 若若 fs = 0.2 , 动摩擦因数动摩擦因数 fd= 0.19。求作用在物体求作用在物体 上的摩擦力。上的摩擦力。, 0 xFcos0sFF由由4 cos303.46 NsF 得得比较得比较得作用在物体上的动摩擦力为作用在物体上的动摩擦力为yAxN 4 . 2 sinsNsmaxFGfFfFmaxsFF 讨论取物块为研究对象。取物块为研究对象。 1. .设设 F 值较小但仍大于维持平衡的最小值值较小但仍大于维持平衡的最小值Fmin，受力分析如图。受力分析如图。列平衡方程列平衡方程解:, 0 xFcos sin 0sFFG, 0yF0 sin cosNFGFyx 例4-2 4-2

12、在倾角在倾角大于摩擦角大于摩擦角 f 的固定斜面上放有重的固定斜面上放有重G的物块，为了维的物块，为了维持这物块在斜面上静止不动，在物块上作用了水平力持这物块在斜面上静止不动，在物块上作用了水平力F。试求这力容许值。试求这力容许值的范围。的范围。例题 4-2sin cos sFGF sin cosNFGF联立求解得联立求解得yx将将 代入上式得代入上式得fs tanfsN0 ,sFf F在平衡范围内在平衡范围内所以所以解得使物块不致下滑的解得使物块不致下滑的F值值 cossinFG)sincos(sFGfGffFtan 1tan s（a）ftanGGffFtan 1tan s 2. .设设F

13、值较大但仍小于维持平衡的最大值值较大但仍小于维持平衡的最大值Fmax， 受力分析如图。受力分析如图。xy, 0 xF, 0yFcos sin 0sFFG0 sin cosNFGFsin cos sFGF sin cosNFGF联立求解联立求解列平衡方程列平衡方程在平衡范围内在平衡范围内所以所以sN0 ,sFf F cossinFG)sincos(sFGf3. .综合条件综合条件（a）和和（b），得所求，得所求为了维持这物块在斜面上静止不动，在物为了维持这物块在斜面上静止不动，在物块上所作用水平力块上所作用水平力F的容许值范围的容许值范围xyfftan tanGFG解得使物块不致上滑的力解得使物

14、块不致上滑的力F值值将将 代入上式得代入上式得fs tanfGffFtan 1tan ss（b）ftan GGffFtan 1tan ss cossinFG)sincos(sFGf 例例4-34-3 图示匀质木箱重图示匀质木箱重G = 5 kN，它与地面间的静摩擦它与地面间的静摩擦因因数数 fs = 0.4。图中图中h = 2a = 2 m， =30。（1）问当当D处的拉力处的拉力F = 1 kN时，木箱是否平衡？时，木箱是否平衡？（2）求求能保能保持木箱平衡的最大拉力。持木箱平衡的最大拉力。haAD例题 4-4解:因为因为 Ff 0 ，所以木箱，所以木箱不会翻倒不会翻倒。解方程得解方程得m

15、171.0 N, 500 4 N, 866NfdFF（2）不绕点不绕点A翻倒翻倒，即，即 d 0 。02 cos, 00 sin, 00 cos, 0NNfdFaGhFMFGFFFFFAyxFhdaAD 2. 求平衡时最大拉力，即求滑动临界与翻倒临界时的最小力求平衡时最大拉力，即求滑动临界与翻倒临界时的最小力F。 02 cos, 00 sin, 00 cos, 0NNfdFaGhFMFGFFFFFAyxF列平衡方程列平衡方程（方程（方程 同上）同上）解得解得N 876 1 sin cosssfGfF滑木箱发生滑动的条件为木箱发生滑动的条件为 Ff=Fmax= fsFNN 443 1 cos2h

16、GaF翻木箱绕木箱绕 A 点翻倒的条件为点翻倒的条件为d= 0，则则F = F翻=1 443 N由于由于F翻F滑，所以保持木箱平衡的所以保持木箱平衡的最大拉力为最大拉力为hdaAD0 sin, 00 cos, 0NfFGFFFFFyx列平衡方程列平衡方程解得解得N 876 1 sin cosssfGfF滑补充方程补充方程 Ff=Fmax= fsFNhaAD也可以如下分析：也可以如下分析：(1)木箱有向左滑动趋势木箱有向左滑动趋势 讨论02 cos, 0aGhFMAF列平衡方程列平衡方程解得解得N 443 1 cos2hGaF翻F = F翻=1 443 N由于由于F翻F滑，所以保持木箱平衡的最大

17、拉力为所以保持木箱平衡的最大拉力为haAD(2)木箱处于绕木箱处于绕 A 点翻倒的临界平衡状态点翻倒的临界平衡状态44 滚动摩阻的概念滚动摩阻的概念滚动摩阻的定义滚动摩阻的定义滚动摩阻性质与产生原因滚动摩阻性质与产生原因滚动摩阻定律滚动摩阻定律ARO 当一物体沿着另一物体的表面滚动或具有滚动的趋势时，当一物体沿着另一物体的表面滚动或具有滚动的趋势时，除可能受到滑动摩擦力外，还受到一个阻力偶的作用。这个除可能受到滑动摩擦力外，还受到一个阻力偶的作用。这个阻力偶称为滚动摩阻。阻力偶称为滚动摩阻。 2. 滚动摩阻性质与产生原因滚动摩阻性质与产生原因FPFfWFNWAROFPW，FN 组成阻止滚动的力

18、偶，即滚阻力偶组成阻止滚动的力偶，即滚阻力偶 Mr。由平衡条件得由平衡条件得W= FN ，Ff= FPAOFRWFPdFfFN1. 滚动摩阻的定义滚动摩阻的定义AOMrFfFNWFPMr= FN dMr,max=FNWAROFPAOFRWFPdFfFN 3. 滚动摩阻定律滚动摩阻定律 实验表明：实验表明：滚动摩阻力偶矩具有极限值滚动摩阻力偶矩具有极限值Mr,max，力偶矩一旦力偶矩一旦增大到超过增大到超过Mr,max，滚子就不能保持平衡。滚子就不能保持平衡。 滚阻力偶矩的极限值（最大值）可表示为滚阻力偶矩的极限值（最大值）可表示为 Mr,max= FN 称为滚阻系数，具有长度量纲。它与滚子以及

19、支承面的材料、称为滚阻系数，具有长度量纲。它与滚子以及支承面的材料、 硬度等物理因素有关。硬度等物理因素有关。AOMrFfFNWFPWAROFPAOFRWFPdFfFNAMr,maxyx 1. .取轮子为研究对象取轮子为研究对象, ,受力分析受力分析如图。如图。解解: : 例例4-5 4-5 匀质轮子的重量匀质轮子的重量G = 3 kN，半径，半径 r = 0.3 m；今在；今在轮中心施加平行于斜面的拉力轮中心施加平行于斜面的拉力FH，使轮子沿与水平面成，使轮子沿与水平面成=30=30的斜面匀速向上作纯滚动。已知轮子与斜面的滚阻系的斜面匀速向上作纯滚动。已知轮子与斜面的滚阻系数数= 0.05

20、cm，试求力，试求力FH的大小。的大小。例题 4-5, 0yF0 cosNGF2. .列平衡方程。列平衡方程。, 0AM0 sinHmax, rrFrGM3. .联立求解。联立求解。 cos sinHrGFkN 504 1HFHmaxr, FM补充方程补充方程Mr,maxyxWAROFP1.1.取轮子为研究对象。取轮子为研究对象。2.2.受力分析如图。受力分析如图。 例例4-6 4-6 匀质轮子的重量匀质轮子的重量 W =10 kN，半径，半径 R= 0.5 m；已；已知轮子与地面的滚阻系数知轮子与地面的滚阻系数= 0.005m，摩擦因数摩擦因数 fs=0.2， 问轮问轮子是先滚还是先滑？子是

21、先滚还是先滑？通过比较达到临界滑动和临界滚动所需的水平力来判断。通过比较达到临界滑动和临界滚动所需的水平力来判断。解解: :AOMr,maxFfFNWFP例题 4-6例题 4-6,0 yF0NWF3.3.列平衡方程。列平衡方程。, 0AM0Pmaxr,RFM讨论滑动：讨论滑动：, 0 xF0fP FF临界时 Ff =Fmax= fsFNFP1=Ff = fs FN = fs W = 0.2 10 =2 kN讨论滚动：讨论滚动：临界时 M r=Mr,max= FNkN 1 . 0Nr2PRWRFRMF比较可知先滚动。比较可知先滚动。AOMr,maxFfFNWFP轮子只滚动而不滑动的条件轮子只滚动

22、而不滑动的条件临界时临界时 FP2 FP1 RWRFRMFNr2PFP1=Ff = fs FN=fsWWfRWs s fR即即实际上实际上s fR所以轮子一般先滚动。所以轮子一般先滚动。AOMr,maxFfFNWFP 讨论1.1.向左滚动趋势。向左滚动趋势。 2.2.向右滚动趋势。向右滚动趋势。3.3.滑动趋势滑动趋势 。 例例4-7 4-7 匀质轮子的重量匀质轮子的重量 W=300 N，由半径，由半径 R= 0.4 m和和半径半径 r = 0.1 m两个同心圆固连而成。两个同心圆固连而成。已知轮子与地面的滚已知轮子与地面的滚阻系数阻系数= 0.005 m，摩擦因数摩擦因数 fs =0.2，求

23、拉动轮子所需力，求拉动轮子所需力FP的最小值。的最小值。轮子可能发生的三种运动趋势：轮子可能发生的三种运动趋势：解:WArOFPR例题 4-7列平衡方程列平衡方程1. 1. 轮不滑动，处于向左滚动的临界状态。轮不滑动，处于向左滚动的临界状态。WArOFPRMr,maxFFN, 0yF0NWF, 0OM0maxr,PFRMrF, 0 xF0PFF临界时临界时 M r=Mr,max= FN解得解得N 300NWFFF PMr,max=FN=1.5 NmN 5maxr,PrRMF负值说明轮不可能负值说明轮不可能有向左滚动的趋势。有向左滚动的趋势。列平衡方程列平衡方程WArOFPRMr,maxFFN,

24、 0yF0NWF, 0OM0maxr,PFRMrF, 0 xF0PFF临界时临界时 M r=Mr,max= FN解得解得N 300NWFFF PMr,max=FN=1.5 NmN 5maxr,PrRMF2. 2. 轮不滑动，处于向右滚动的临界状态。轮不滑动，处于向右滚动的临界状态。此时滑动摩擦力为此时滑动摩擦力为N 5P FF轮子轮子向右滚动向右滚动。此时静摩擦力达到最大值此时静摩擦力达到最大值F=Fmax= fs FN = fs W= 60 N远远大于滚动所需的力远远大于滚动所需的力FN值。所以值。所以拉动轮子的力最小值拉动轮子的力最小值 FN = 5 N。3. 3. 轮处于滑动的临界状态。

25、轮处于滑动的临界状态。WArOFPRMr,maxFFN 例例4-8 4-8 制动器的构制动器的构造和主要尺寸如图所示。造和主要尺寸如图所示。制动块与鼓轮表面间的制动块与鼓轮表面间的摩擦摩擦因因数为数为fs，试求制试求制动鼓轮转动所必需的力动鼓轮转动所必需的力F1。OABCabcRO1r例题 4-8 1. 取鼓轮为研究对象，受力分析如图。取鼓轮为研究对象，受力分析如图。解:列平衡方程列平衡方程 (a) 0, 0f1RFFrMOF解方程得解方程得(b) fGRrFRrFOABCabcRO1r2. 取杠杆为研究对象，受力分析如图。取杠杆为研究对象，受力分析如图。OABCabcRO1rAOB列平衡方程

26、列平衡方程 (c) 0, 0Nf1bFcFaFMOF由于由于GRrFRrFf补充方程补充方程(d) NsfFfF解方程可得解方程可得cFfcFaFbFNsf1N aFcfbF1sN 或或cfbaFFs1N 得得cfbaFfFs1sf 代入式代入式(d)得得, S1cfbaFRrGRafcfbrGFss1 所以所以AOB 例例4-9 4-9 长为长为l的梯子的梯子AB一端靠在一端靠在墙壁上，另一端搁在地板上，如图所墙壁上，另一端搁在地板上，如图所示。假设梯子与墙壁的接触是完全光示。假设梯子与墙壁的接触是完全光滑的，梯子与地板之间有摩擦，其静滑的，梯子与地板之间有摩擦，其静摩擦因数为摩擦因数为fs

27、。梯子的重量略去不计。梯子的重量略去不计。今有一重为今有一重为G的人沿梯子向上爬，如的人沿梯子向上爬，如果保证人爬到顶端而梯子不致下滑，果保证人爬到顶端而梯子不致下滑，求梯子与墙壁的夹角求梯子与墙壁的夹角。 laAB例题 4-9 以梯子以梯子AB为研究对象，人的位置用距为研究对象，人的位置用距离离 a 表示，梯子的受力如图。表示，梯子的受力如图。解：使梯子保持静止，必须满足下列平衡方程使梯子保持静止，必须满足下列平衡方程, 0 xF0FFB, 0yF0GFA , 0FAM0 cos sinlFGaB（a）（b）（c）BAFalF sin cos由式由式（b）和和（c）得得ylaABx同时满足条

28、件同时满足条件（d）AFfFs 由式由式（a）和和（d）得得, sABFfFBBFalfF sin cos s或或（e）s tanfla 因因 0al， 当当 a=l 时，式时，式（e）左边达到左边达到最大值。即就是人爬到梯子的顶端时梯子不最大值。即就是人爬到梯子的顶端时梯子不下滑，则人在人梯子任何位置上，梯子都不下滑，则人在人梯子任何位置上，梯子都不会下滑。所以为了保证人沿梯子爬到顶端时会下滑。所以为了保证人沿梯子爬到顶端时而梯子不下滑，只需以而梯子不下滑，只需以a = l 代入式代入式（e），得得ABfEC式中式中f 为梯子与地板间的摩擦角。为梯子与地板间的摩擦角。s tanfla或或（e）fs tanf 例例4-10 4-10 半径