一、主要内容1、向量组的线性相关性,向量组的秩及找一

1、一、主一、主 要要 内内 容容1 1、向量组的线性相关性，、向量组的线性相关性，向量组的秩向量组的秩及找一个最大无关组，及找一个最大无关组，并用该最大无关线性无关组表示向量并用该最大无关线性无关组表示向量组中的其余向量组中的其余向量第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性.,., 21个个分分量量称称为为第第个个数数第第个个数数称称为为该该向向量量的的分分量量这这维维向向量量数数组组称称为为所所组组成成的的个个有有次次序序的的数数iainnaaanin分量全为实数的向量称为分量全为实数的向量称为实向量实向量分量全为复数的向量称为分量全为复数的向量称为复向量复向量定义定义向量的定义向量

2、的定义向量的相等向量的相等),2 , 1(),(),( 2121nibababbbbaaaaiiTTnTnT 则则设设零向量零向量分量全为分量全为0 0的向量称为零向量的向量称为零向量), 2 , 1(0niaOaiT ),2 , 1( ,0niaOaiT 中中至至少少有有一一个个不不为为负向量负向量).,( ,),( 2121aaaaaaaaanTTnT 且且的负向量记作的负向量记作向量向量向量加法向量加法),(:),(),(22112121babababababbbbaaaannTTTTnTnT 的加法为的加法为与与向量向量定义定义设设),(2211babababannTT 向量减法定义为

3、向量减法定义为向量的线性运算向量的线性运算数乘向量数乘向量),(,21akakakakaknTT 定定义义为为简简称称数数乘乘向向量量称称为为向向量量的的数数量量乘乘法法的的乘乘积积与与向向量量数数向量加法和数乘向量运算称为向量的向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运线性运算算，满足下列八条运算规则：，满足下列八条运算规则：;)1( 加加法法交交换换律律);()()2( 加加法法结结合合律律;,)3( O有有对对任任一一个个向向量量除了上述八条运算规则，显然还有以下性质：除了上述八条运算规则，显然还有以下性质：);,0(,0 ) 1(为为任任意意数数为为数数零零其其中中kOkOO ;, 0,)

4、 2(OkOk 或或者者则则或或者者若若.) 3( xx有唯一解有唯一解向量方程向量方程若干个同维数的列（行）向量所组成的集合若干个同维数的列（行）向量所组成的集合叫做向量组叫做向量组定义定义.,:2122112121这这个个线线性性组组合合的的系系数数称称为为的的一一个个线线性性组组合合称称为为向向量量组组向向量量实实数数对对于于任任何何一一组组给给定定向向量量组组kkkAakakakkkkaaaAmmmmm 线性组合线性组合定义定义.,:22112121线线性性表表示示由由向向量量组组能能这这时时称称向向量量的的线线性性组组合合是是向向量量组组则则向向量量使使存存在在一一组组实实数数如如果

5、果和和向向量量给给定定向向量量组组AbAbakakakbkkkbaaaAmmmm 线性表示线性表示定理定理.),(),(2121的的秩秩的的秩秩等等于于矩矩阵阵件件是是矩矩阵阵线线性性表表示示的的充充分分必必要要条条能能由由向向量量组组向向量量baaaBaaaAAbmm 定义定义.,.,:,:2121两两个个向向量量组组等等价价则则称称这这能能相相互互线线性性表表示示与与向向量量组组若若向向量量组组线线性性表表示示能能由由向向量量组组则则称称向向量量组组线线性性表表示示向向量量组组组组中中的的每每个个向向量量都都能能由由若若及及设设有有两两个个向向量量组组BAABABbbbBaaaAsm定义定

6、义., 0,: 22112121否否则则称称它它线线性性无无关关是是线线性性相相关关的的则则称称向向量量组组使使为为零零的的数数如如果果存存在在不不全全给给定定向向量量组组AakakakkkkaaaAmmmm 定理定理.)(;),(,2121mARmaaaAaaamm 是是必必要要条条件件向向量量组组线线性性无无关关的的充充分分于于向向量量个个数数的的秩秩小小条条件件是是它它所所构构成成的的矩矩阵阵线线性性相相关关的的充充分分必必要要向向量量组组线性相关线性相关定理定理.,.,:,:)1(12121也也线线性性无无关关则则向向量量组组线线性性无无关关向向量量组组若若反反言言之之也也线线性性相相

7、关关量量组组则则向向线线性性相相关关若若向向量量组组ABaaaaBaaaAmmm 若若向向量量量量添添上上一一个个分分量量后后得得到到向向即即向向量量设设.), 2 , 1( ,)2(, 111bamjaaabaaajjjrrjjjrjjj 定义定义满满足足个个向向量量中中能能选选出出如如果果在在设设有有向向量量组组,21aaarAAr;,:)1(210线线性性无无关关向向量量组组aaaAr,)1(1)2(都都线线性性相相关关个个向向量量的的话话中中有有如如果果个个向向量量中中任任意意向向量量组组 rArA.);(0的的秩秩称称为为向向量量组组量量个个数数最最大大无无关关组组所所含含向向简简称

8、称最最大大无无关关组组无无关关向向量量组组的的一一个个最最大大线线性性是是向向量量组组那那么么称称向向量量组组ArAA向量组的秩向量组的秩等价的向量组的秩相等等价的向量组的秩相等定理定理 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩它的行向量组的秩定理定理设向量组设向量组B B能由向量组能由向量组A A线性表示，则向量线性表示，则向量组组B B的秩不大于向量组的秩不大于向量组A A的秩的秩推论推论推论推论).()(),()( ,BRCRARCRBACnssmnm 则则设设推论推论（最大无关组的等价定义）（最大无关组的等价定义）设向量组是向量组的部分组

9、，若向量组设向量组是向量组的部分组，若向量组线性无关，且向量组能由向量组线性表示，线性无关，且向量组能由向量组线性表示，则向量组是向量组的一个最大无关组则向量组是向量组的一个最大无关组BABABBA.,;,:,VaRVaVbaVbVaV 则则若若则则若若数数乘乘两两种种运运算算中中可可以以进进行行加加法法及及是是指指在在集集合合所所谓谓封封闭闭定义定义设设 为为 维向量的集合，如果集合维向量的集合，如果集合 非空，且非空，且集合集合 对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合合 为向量空间为向量空间VVVVn向量空间向量空间定义定义.,212121的的子子空

10、空间间是是就就称称若若及及设设有有向向量量空空间间VVVVVV .子子空空间间的的都都是是间间维维向向量量所所组组成成的的向向量量空空任任何何由由RVnn子空间子空间定义定义.,)2( ;,)1( ,1212121维维向向量量空空间间为为并并称称的的维维数数称称为为向向量量空空间间的的一一个个基基就就称称为为向向量量空空间间向向量量组组那那么么线线性性表表示示中中任任一一向向量量都都可可由由线线性性无无关关且且满满足足个个向向量量如如果果为为向向量量空空间间设设rVVrVaaaaaVaaaVaaarVrrrr 基与维数基与维数的系数矩阵和未知量为的系数矩阵和未知量为记齐次线性方程组记齐次线性方

11、程组)1(, 0, 0, 0221122221211212111 xaxaxaxaxaxaxaxaxanmnmmnnnn向量方程向量方程齐次线性方程组齐次线性方程组解向量解向量.)2(,)1(,)1(,1211111212111的的解解它它也也就就是是向向量量方方程程的的解解向向量量称称为为方方程程组组则则的的解解为为若若 nnnxxxx解向量的性质解向量的性质性质性质性质性质.)2(,)2(, 2121的的解解是是也也则则的的解解为为若若 xxx.)2(,)2( 11的解的解也是也是则则为实数为实数的解的解为为若若 kxkx 定义定义.)1(,)1(间间的的解解空空称称为为齐齐次次线线性性方

12、方程程组组是是一一个个向向量量空空间间所所以以集集合合对对向向量量的的线线性性运运算算封封闭闭则则集集合合合合集集的的全全体体解解向向量量所所组组成成的的为为方方程程组组设设SSS定理定理.,)(,rnSrARSOxAnnmnm 的维数为的维数为解空间解空间时时当系数矩阵的秩当系数矩阵的秩是一个向量空间是一个向量空间构成的集合构成的集合的全体解所的全体解所元齐次线性方程组元齐次线性方程组定义定义.)1( 的的基基础础解解系系的的基基称称为为方方程程组组解解空空间间S)4()3(, 22112222212111212111bAxbxaxaxabxaxaxabxaxaxamnmnmmnnnn 可写

13、为向量方程可写为向量方程非齐次线性方程组非齐次线性方程组向量方程向量方程非齐次线性方程组非齐次线性方程组解向量的性质解向量的性质性质性质性质性质.)5(,)4(, 2121的的解解组组为为对对应应的的齐齐次次线线性性方方程程则则的的解解为为若若OAxxxx .)4(,)5(,)4( 的的解解也也是是方方程程则则解解的的是是方方程程的的解解是是方方程程若若 xxx解向量解向量向量方程向量方程 的解就是方程组的解就是方程组 的解向量的解向量)4()3(（）求齐次线性方程组的基础解系（）求齐次线性方程组的基础解系:,)(21可可按按下下面面步步骤骤进进行行不不妨妨设设为为个个解解向向量量解解系系含含

14、线线性性无无关关的的那那么么方方程程组组的的一一个个基基础础程程组组中中未未知知数数的的个个数数为为而而方方的的秩秩若若齐齐次次线线性性方方程程组组 rnrnnrAROAx 线性方程组的解法线性方程组的解法第一步：对系数矩阵进行初等行变换，使其第一步：对系数矩阵进行初等行变换，使其变成行最简形矩阵变成行最简形矩阵;0000000000100010001,1,21,2, 11, 1 ccccccnrrrnrnrA第三步：将其余第三步：将其余 个分量依次组成个分量依次组成 阶阶单位矩阵，于是得齐次线性方程组的一个基础解系单位矩阵，于是得齐次线性方程组的一个基础解系.100,010,001,2, 1

15、2,2,22, 121,1,21, 11 cccccccccnrnnrnrrrrrrrr rn rn （）求非齐次线性方程组的特解（）求非齐次线性方程组的特解.,)()(矩矩阵阵使使其其成成为为行行最最简简形形进进行行初初等等行行变变换换增增广广矩矩阵阵那那么么对对数数为为而而方方程程组组中中未未知知数数的的个个的的秩秩若若非非齐齐次次线线性性方方程程组组BnrBRARbAx ,000000000000100010001,1,2,21,21, 11, 1 dccdccdccrnrrrnrnr将上述矩阵中最后一列的前将上述矩阵中最后一列的前 个分量依次作为个分量依次作为特解的第特解的第 个分量，

16、其余个分量，其余 个分量全部取个分量全部取零，于是得零，于是得rrn r , 2 , 1,0021 dddr 即为所求非齐次线性方程组的一个特解即为所求非齐次线性方程组的一个特解一、向量组线性关系的判定一、向量组线性关系的判定二、求向量组的秩二、求向量组的秩三、齐次方程组的三、齐次方程组的基础解系基础解系典型例题典型例题?,:,21221121其线性组和为零向量其线性组和为零向量也使得也使得的数的数是否存在一组不全为零是否存在一组不全为零一个自然的问题是一个自然的问题是那么那么零向量零向量一个特殊向量一个特殊向量其结果为向量空间中的其结果为向量空间中的时时线性组合线性组合的结合物的结合物量空间

17、中两种基本运算量空间中两种基本运算当我们考虑到向当我们考虑到向而言的而言的定的向量组定的向量组概念都是针对一个特概念都是针对一个特线性相关与线性无关的线性相关与线性无关的kkkkkkmmmm 一、向量组线性关系的判定一、向量组线性关系的判定研究这类问题一般有两个方法研究这类问题一般有两个方法方法方法1 1从定义出发从定义出发 000, 0212222121121112211aaakaaakaaakkkkmnmmmnnmm 令令整理得线性方程组整理得线性方程组方法利用矩阵的秩与向量组的秩之间关方法利用矩阵的秩与向量组的秩之间关系判定系判定.,)(,)().(),(,21212121线线性性相相关

18、关则则若若线线性性无无关关则则若若首首先先求求出出相相应应的的矩矩阵阵就就得得到到一一个个维维向向量量给给出出一一组组 mmmmmARmARARAn 例例研究下列向量组的线性相关性研究下列向量组的线性相关性.201,520,321321 解一解一 000201520321, 0321332211kkkkkk即即令令 整理得到整理得到)(. 0253, 022, 03212131 kkkkkkk.,)(, 0253022101)(321线线性性相相关关从从而而必必有有非非零零解解线线性性方方程程组组的的系系数数行行列列式式线线性性方方程程组组 解二解二,201,520,321321 ,25302

19、2101),(321 A矩阵矩阵.)2(, ,:,22112121线线性性相相关关都都有有使使对对任任何何向向量量为为零零的的数数存存在在不不全全证证明明线线性性相相关关设设 rttttttrrrr 例例2 2分析分析考考察察向向量量方方程程我我们们从从定定义义出出发发 ,0)(22112211 tktktkkkkrrrr即即向向量量方方程程0)()()(222111 tktktkrrr.,21因因此此可可得得如如下下证证明明恒恒有有非非零零解解每每个个而而使使得得对对数数是是否否有有某某组组不不全全为为零零的的 kkkr证明证明0,22112121 rrrrkkkkkk使使为为零零的的数数所

20、所以以存存在在不不全全线线性性相相关关因因为为02211 xkxkxkrr考考虑虑线线性性方方程程都都有有则则对对任任意意向向量量零零解解为为任任一一非非设设它它必必有有非非零零解解因因为为,),(, 221 tttrr .,:,2121一个最大线性无关组一个最大线性无关组成它的成它的个线性无关的向量均构个线性无关的向量均构中任意中任意证明证明的秩是的秩是已知向量组已知向量组rrss 例3例3证明向量组的一个部分组构成最大线性无证明向量组的一个部分组构成最大线性无关组的基本方法就是：关组的基本方法就是：分析分析根据最大线性无关组的定义来证，它往往还根据最大线性无关组的定义来证，它往往还与向量组

21、的秩相联系与向量组的秩相联系证明证明.,), 2 , 1(,212121rskrkiiiksiiirr否否则则这这向向量量组组的的秩秩大大于于相相关关线线性性向向量量组组的的于于是是对对于于任任意意个个线线性性无无关关的的向向量量中中的的任任意意是是设设不不失失一一般般性性 ., 2121线线性性表表出出以以由由可可所所以以线线性性无无关关又又向向量量组组 iiikiiirr., 2121的的一一个个最最大大线线性性无无关关组组是是这这就就证证明明了了由由定定义义 siiir求一个向量组的秩，可以把它转化为矩阵的求一个向量组的秩，可以把它转化为矩阵的秩来求，这个矩阵是由这组向量为行（列）向量秩来求，这个矩阵是由这组向量为行（列）向量所排成的所排成的如果向量组的向量以列（行）向量的形式给如果向量组的向量以列（行）向量的形式给出，把向量作为矩阵的列（行），对矩阵作初等出，把向量作为矩阵的列（行），对矩阵作初等行（列）变换，这样，不仅可以求出向量组的秩，行（列）变换，这样，不仅可以求出向量组的秩，而且可以求出最大线性无关组而且可以求出最大线性无关组若矩阵若矩阵 经过初等行（列）变换化为矩阵经过初等行（列）变换化为矩阵 ，则则 和和 中任何对应的列（行）向量组都有相同的中任何对应的列（行）向量组都有相同的线性相关性线性相关性ABAB二、求向量组的秩二、求向量组的秩.