第一章离散时间信号与系统

1、第一章 离散时间信号与系统第一章第一章 学习目标学习目标 掌握序列的概念及其几种典型序列的定义,掌握序列的基本运算，并会判断序列的周期性。 掌握线性/移不变/因果/稳定的离散时间系统的概念并会判断，掌握线性移不变系统及其因果性/稳定性判断的充要条件。 理解常系数线性差分方程及其用迭代法求解单位抽样响应。 了解对连续时间信号的时域抽样，掌握奈奎斯特抽样定理，了解抽样的恢复过程。本章作业练习本章作业练习 P42: 2(2)(3)(4) 3 4(1) 6(2) 7 8(3)(4)(5)(6)(7) 10 12 14(1)(2) 第一章第一章 离散时间信号与系统离散时间信号与系统x(n)代表第n个序列

2、值， 在数值上等于信号的采样值x(n)只在n为整数时才有意义1.1、离散时间信号序列序列：对模拟信号 进行等间隔采样采样间隔为T，得到n取整数。对于不同的n值， 是一个有序的数值序列 该数字序列就是离散时间信号。实际信号处理中，这些数字序列值按顺序存放于存贮器中，此时nT代表的是前后顺序。为简化，不写采样间隔，形成x(n)信号，称为序列。)(txannTxtxanTta),(| )()(nTxa),.(),0(),(TxxTxaaa,.9 , 8 ,7 , 3 , 2, 1.)(nx离散时间信号的表示方法：离散时间信号的表示方法：n公式表示法n图形表示法n集合符号表示法，1.2、序列的运算 1

3、 基于对幅度的运算 加法 乘法 累加累加 序列的绝对和 序列的能量 序列的平均功率2 基于对n的运算 移位移位 翻褶翻褶 时间尺度变换3 既对幅度又对n的运算 差分差分 卷积和卷积和 相关运算（1）加法 同序列号n的序列值逐项对应相加12( )( )( )x nx nx n（2）乘法同序号n的序列值逐项对应相乘12( )( )( )x nx nx n（3）累加( )( )nky nx k y(n)在某个n点的值等于该n点及其以前所有n点上的x(n)值之和序列的能量、绝对和序列的能量为序列各抽样值的平方和2( )nEx n 序列的绝对和为序列各抽样值的绝对和)(nxS（4）移位序列x(n)，当m

4、0时x(n-m)：延时/右移m位x(n+m)：超前/左移m位（5）翻褶 x(-n)是以n=0的纵轴为对称轴将序列x(n)加以翻褶（6）时间尺度变换 抽取 插值 ()nxm( )( )()( )at nTat mnTx nx tx mnx t()x mn（7）差分前向差分： 后向差分：( )(1)( )x nx nx n( )( )(1)x nx nx n( )(1)x nx n ( )(1)x nx n （8）卷积和设两序列x(n)、 h(n)，则其卷积和定义为：( )( ) ()( )( )my nx m h nmx nh n1.1.3 序列的卷积和设两序列x(n)、 h(n)，则其卷积和定

5、义为：( )( ) ()( )( )my nx m h nmx nh nn ( )( )( )( )()x nx mh nh mhm1）翻褶：()()hmh nm2）移位：( )()x mh nmm 3）相乘：( ) ()mx m h nm4）相加：1）举例说明卷积过程 n-2, y(n)=0n=-1n=0n=1y(-1)=8y(0)=6+4=10y(1)=4+3+6=13n=5n=6n=7y(5)=-1+1=0y(6)=0.5y(n)=0, n7交换律交换律结合律结合律分配律分配律 卷积和与两序列的前后次序无关( )( )( )( ) ()my nx nh nx m h nm() ( )n

6、kx nk h k nmkmnk令 则 ( ) ()( )( )kh k x nkh nx n1.1.4 几种典型序列1）单位抽样序列10( )00nnn2）单位阶跃序列10( )00nu nn( )( )(1)nu nu n0( )()( )(1)(2).mu nnmnnn( )nkk与单位抽样序列的关系单位阶跃序列是单位抽样序列的累加3）矩形序列101( )0nNnNRn其它( )( )()NRnu nu nN10( )()( )(1).(1)NNmRnnmnnnN 与其他序列的关系 4）实指数序列 为实数( )( )nx na u na5）复指数序列00()( )jnjnnx neee0

7、0cos()sin()nnenjen0为数字域频率jnn3x(n)=0.9 e例：6）正弦序列0( )sin()x nAn( )( )sin()at nTx nx tAnT0/sTf 0：数字域频率：模拟域频率T：采样周期sf ：采样频率( )sin()ax tAt 模拟正弦信号：数字域频率是模拟域频率对采样频率的归一化频率？正弦序列的周期性1.1.5 序列的周期性若对所有n存在一个最小的正整数N，满足则称序列x(n)是周期性序列，周期为N。( )()x nx nNn 例：因此，x(n)是周期为8的周期序列( )sin()sin(8)44x nnn讨论一般正弦序列的周期性0( )sin()x

8、nAn()( )( )x nNx nx nN要使，即为周期为 的周期序列000()sin()sin()x nNAnNAnN0022NkNkNkkN则要求，即， ， 为整数，且 的取值保证 是最小的正整数分情况讨论1）当 为整数时2）当 为有理数时3）当 为无理数时02020200221( )kx n1）当为整数时，取，即是周期为的周期序列02sin()8448nN0如， ， 该序列是周期为 的周期序列0022( )PPQQkQNPx nP2）当为有理数时，表示成， ， 为互为素数的整数取，则，即是周期为 的周期序列04425sin()5525n0如， ， ， 该序列是周期为 的周期序列02(

9、)kNx n3）当为无理数时，取任何整数 都不能使 为正整数，不是周期序列0112sin()844n0如， ， 该序列不是周期序列()()666()n NnNjjx nNee 解：( )( )()26x nx nx nNNkNk若为周期序列，则必须满足，即满足，且 ， 为整数例：判断()6( )njx ne是否是周期序列12kNk而不论 取什么整数，都是一个无理数( )x n不是周期序列讨论：若一个数字正弦信号是由连续信号抽样得到，则抽样时间间隔T和连续正弦信号的周期T0之间应是什么关系才能使所得到的抽样序列仍然是周期序列？ 0( )sin()x tAt00( )( )sin()sin()t

10、nTx nx tAnTAn0000021/2 /fTf 000022TTf TT 002TT设连续正弦信号：抽样序列：当为整数或有理数时，x(n)为周期序列令：0NTkT0TNTk3( )sin(2)14x nn00032142143NTkT0143 ( )14TTx n当时，为周期为的周期序列例：N，k为互为素数的正整数即N个抽样间隔应等于k个连续正弦信号周期1.1.6 用单位抽样序列表示任意序列x(n)可以表示成单位取样序列的移位加权和，也可表示成与单位取样序列的卷积和。( )( ) ()( )( )mx nx mnmx nn( )2 (1)( )x nnn1.5 (1)(2)nn0.5

11、(3)n例：1.2 线性移不变系统一个离散时间系统是将输入序列变换成输出序列的一种运算。离散时间系统T x(n)y(n)( ) ( )y nT x n T 记为：1.2.1 线性系统若系统同时满足：可加性：比例性/齐次性：其中：则此系统为线性系统。1 1221122( )( )( )( )T a x na x na y na y n1212 ( )( )( )( )T x nx ny ny n11( )( )T ax nay n12,a a a为常数11( ) ( )y nT x n22( )( )y nT x n T 增量线性系统 线性系统x(n)y0(n)y(n)( )( )y nax n

12、b1112( ) ( )( )sin()97y nT x nx nn解：设2222( )( )( )sin()97y nT x nx nn12122 ( )( ) ( )( )sin()97T x nx nx nx nn1222( )sin()( )sin()9797x nnx nn112( )( )sin()97T ax nax nn1( )ay na， 为常数该系统是线性系统2( )( )sin()97y nx nn例：判断系统是否线性12( )( )y ny n满足可加性满足比例性例：证明由线性方程表示的系统( )( )y nax nb, a b为常数是非线性系统111( ) ( )(

13、)y nT x nax nb证：设222( )( )( )y nT x nax nb1212 ( )( ) ( )( )T x nx na x nx nb12( )( )y ny n该系统是非线性系统12( )( )ax nax nb不满足可加性2、移不变系统移不变系统：系统响应与激励加于系统的时刻无关 移不变系统的参数不随时间而变化的 输入输出关系不随时间而变化则称为移不变系统Tx(n)( ) ()()y nT x nmy nmm对移不变系统，若则 ， 为任意整数2 ()()sin()97T x nmx nmn解：2()()sin()97y nmx nmnm ()T x nm该系统不是移不变

14、系统例：试判断2( )( )sin()97y nx nn是否是移不变系统1.2.3 离散时间线性移不变系统（1）单位抽样响应h(n)：是指输入为单位抽样序列 时的系统输出：( )n( ) ( )h nTnT ( )n( )h n（2）LSI系统输出序列与输入序列在时域的关系卷积和T x(n)y(n)( )( ) ()mx nx mnm任意输入序列： ( ) ( )( ) ()my nT x nTx mnm系统输出：( ) ()mx m Tnm，线性性( ) ( )() ()h nTnh nmTnm( ) ( )iiiiiiTa x naT x n ( ) ()mx m h nm， 移不变性(

15、)( )x nh n一个LSI系统可以用单位抽样响应h(n)来表征，任意输入的系统输出等于输入序列和该单位抽样响应h(n)的卷积和。 LSIh(n)x(n)y(n)( )( )( )y nx nh n( )( )* ( )y nx nh n解：( ) ()mx m h nm( )( )01nh na u na( )( )()x nu nu nNLSI例：某系统，其单位抽样响应为：输入序列为：求系统输出。0nN当时0( )( ) ()1nn mmmy nx m h nma(1)1011nnnmnmaaaaa0( )0ny n当时nN当时( )( ) ()my nx m h nm11001NNn

16、mnmmmaaa111Nnaaa(1)11001( )0111nnNnnay nanNaaanNa01nN 时0( )( ) ()nmy nx m h nm0( )0ny n时( )( )( )( )( )( )( )NMx nx n Rnh nh n Rny n若求输出MN1) 当1NnM 时10( )( ) ()Nmy nx m h nm2MnNM 时11( )( ) ()Nm n My nx m h nm 1( )0nNMy n时01nM 时0( )( ) ()nmy nx m h nm0( )0ny n时MN2) 当1MnN 时1( )( ) ()nm n My nx m h nm 2

17、NnNM 时11( )( ) ()Nm n My nx m h nm 1( )0nNMy n时思考: 当x(n)的非零区间为N1,N2，h(n)的非零区间为M1,M2时，求解系统的输出y(n)又如何分段？结论： 若有限长序列x(n)的长度为N，h(n)的长度为M，则其卷积和的长度L为： L=N+M-1（3）LSI系统卷积和运算的性质a.交换律h(n)x(n)y(n)x(n)h(n)y(n)( )( )( )( )( )y nx nh nh nx nb.结合律h1(n)x(n)h2(n)y(n)h2(n)x(n)h1(n)y(n)h1(n)*h2(n)x(n)y(n)1221( )*( )*(

18、)( )*( )*( )x nh nh nx nh nh n12( )( )*( )h nh nh n( )( )* ( )y nx nh n分配律1212( )* ( )( )( )*( )( )*( )x nh nh nx nh nx nh nh1(n)+h2(n)x(n)y(n)h1(n)x(n)y(n)h2(n)1.2.4 系统的因果性和稳定性系统的因果性和稳定性在系统中，若输出在系统中，若输出y(ny(n) )只取决于只取决于n n时刻，以及时刻，以及n n时刻以前的输入，即时刻以前的输入，即),2(),1(),()(nxnxnxny称该系统是称该系统是因果系统因果系统。对于线性时不

19、变系统，具有因果性的充要条件是对于线性时不变系统，具有因果性的充要条件是系统的单位取样响应满足：系统的单位取样响应满足：0, 0)(nnh如如0, 00,)()(nnanuanhnn因果系统是指输出的变化不领因果系统是指输出的变化不领先于输入的变化的系统。先于输入的变化的系统。1.2.51.2.5稳定系统稳定系统对一个线性时不变系统来说，系统稳定的充要对一个线性时不变系统来说，系统稳定的充要条件是单位取样响应绝对可和，即条件是单位取样响应绝对可和，即nnh)(稳定系统稳定系统是指对于每个有界输入是指对于每个有界输入x(nx(n) )，都产都产生有界输出生有界输出y(ny(n) )的系统。的系统

20、。( )x nM ( )y nP 则若若0( )0nh n解：讨论因果性： 时 该系统是非因果系统讨论稳定性：00( )nnnnnh naa11111aaa11aa当时系统稳定，当时系统不稳定例：某LSI系统，其单位抽样响应为( )()nh na un试讨论其是否是因果的、稳定的。结论：因果稳定的LSI系统的单位抽样响应是因果的，且是绝对可和的，即： ( ) ( )( )nh nh n u nh n 1.3 常系数线性差分方程用差分方程来描述时域离散系统的输入输出关系。一个N阶常系数线性差分方程表示为：00()()NMkmkma y nkb x nm01kmaab ，是常数其中：1.3 常系数

21、线性差分方程用差分方程来描述时域离散系统的输入输出关系。（1）线性常系数差分方程有多种表示方法，可以有多种运算结构（参见第五章）（2）和连续时间的常系数微分方程一样，要求解离散时间系统的N阶差分方程，必须给出N个限制性的边界条件（3）常系数差分方程表示的系统，只是构成线性移不变系统的必要条件，只有边界条件是使系统是初始松弛的（零状态），才能是LSI系统。求解常系数线性差分方程的方法：1）经典解法:求齐次解和特解，进而求得完全解。解法繁琐，工程上很少采用。2）递推解法：又称迭代法，只能求得数值解，不易或不能得到闭合解（公式）。3）卷积和法：这种方法用于初始状态为零的情况，即所谓松弛系统中，得到的

22、是零状态解。4）变换域法：利用Z变换。例1：已知常系数线性差分方程若边界条件求其单位抽样响应。( )(1)( )y nay nx n( 1)0y ( )( )( )( )( 1)0 x nny nh ny解：令输入，则输出，又已知23( )(1)( )(0)( 1)(0)1(1)(0)(1)(2)(1)(2)(3)(2)(3)( )0ny nay nx nyayxyayxayayxayayxay nan由，得，1(1) ( )( )1( 2) ( 1)( 1)01( 3) ( 2)( 2)0( )01y ny nx nayyxayyxay nn 由，得，( )( )( )nh ny na u

23、n例2：已知常系数线性差分方程同上例若边界条件求其单位抽样响应。(0)0y( )( )( )( )(0)0 x nny nh ny解：令输入，则输出，又已知( )(1)( )(1)(0)(1)0(2)(1)(2)0( )01y nay nx nyayxyayxy nn由，得，1231(1) ( )( )11( 1) (0)(0)1( 2) ( 1)( 1)1( 3) ( 2)( 2)( )1ny ny nx nayyxaaayyxaayyxaay nan 由，得，( )( )(1)nh ny na un 例3：已知常系数线性差分方程同上例若边界条件讨论系统的线性性和移不变性。( 1)1y 11

24、1( )( )( 1)1( )x nnyy n解：1）令输入，由，求输出111111111211131111( )(1)( )(0)( 1)(0)1(1)(0)(1)(1)(2)(1)(2)(1)(3)(2)(3)(1)( )(1)0ny nay nx nyayxayayxa ayayxaayayxa ay naan由，得，11111112111111(1)( )( )1( 2)( 1)( 1)1( 3)( 2)( 2)( )1ny ny nx nayyxaayyxaay nan 由，得，11( )(1)( )(1)nny na a u naun 222( )(1)( 1)1( )x nnyy

25、 n2）令输入，由，求输出2222222222222222222122( )(1)( )(0)( 1)(0)(1)(0)(1)1(2)(1)(2)(1)(3)(2)(3)(1)( )(1)1ny nay nx nyayxayayxayayxa ayayxaay naan由，得，2221211(1)( )( )( )1ny ny nx nay nan 同步骤 ），由得，2112( )( )(1)(1)(1)nny nanaau naun 31233( )( )( )( )(1)( 1)1( )x nx nx nnnyy n3）令输入，由，求输出3333332333233322333123( )(

26、1)( )(0)( 1)(0)1(1)(0)(1)1(2)(1)(2)(1)(3)(2)(3)(1)( )(1)1ny nay nx nyayxayayxaayayxa aayayxaaay naaan由，得，3331311(1)( )( )( )1ny ny nx nay nan 同步骤 ），由得，213( )(1) ( )(1)(1)ny nanaaau n1(1)naun 4）结论：2112( )( )(1)(1)(1)nny nanaau naun 2( )(1)x nn当输入时，输出1( )( )x nn当输入时，输出11( )(1)( )(1)nny na a u naun 212

27、1( )(1)( )(1)( 1)1x nx ny ny ny由于，而边界条件下的系统不是移不变系统312( )( )( )( )(1)x nx nx nnn当输入时，输出213( )(1) ( )(1)(1)ny nanaaau n1(1)naun ( 1)1y 边界条件下的系统不是线性系统不满足可加性12( )( )y ny n 一些关于差分方程的结论： 一个差分方程不能唯一确定一个系统 常系数线性差分方程是表示LSI的必要条件 不一定是因果的 不一定是稳定的本课程中，假设条件都是初始松弛条件，因此线性常系数差分方程是LSI的充要条件。差分方程 系统结构Z-1ax(n)y(n)( )(1)

28、( )y nay nx n1.4 连续时间信号的抽样连续时间信号的抽样连续时间连续时间信号信号离散时间离散时间信号信号抽样抽样内插内插抽样就是利用周期性的抽样脉冲序列抽样就是利用周期性的抽样脉冲序列 ，从连续信号从连续信号 中抽取一系列的离散值，得到抽中抽取一系列的离散值，得到抽样信号，及离散时间信号，用样信号，及离散时间信号，用 表示。表示。抽样有两种方法：抽样有两种方法：理想抽样理想抽样实际抽样实际抽样)(pTt)(tp1.4 连续时间信号的抽样连续时间信号的抽样连续时间连续时间信号信号离散时间离散时间信号信号采样采样内插内插1.4.1 模拟信号的抽样模拟信号的抽样思考：思考：1.1. 信

29、号经过采样以后，将发生一些什么变化？例信号经过采样以后，将发生一些什么变化？例如，信号频谱将发生怎样变化；如，信号频谱将发生怎样变化；2.2. 经过采样后信号内容会不会有丢失；经过采样后信号内容会不会有丢失；3.3. 如果信号没有被丢失，其反变换应该怎样进行，如果信号没有被丢失，其反变换应该怎样进行，即由数字信号恢复成模拟信号应该具备那些条件等。即由数字信号恢复成模拟信号应该具备那些条件等。 （1） 理想抽样信号 冲激函数： ( )( )( )() ()aaTamx tx ttx mTtmT()aXj求理想抽样的频谱( )()TmttmT理想抽样输出：( )( )aax tx t ( )( )

30、( )aaTx tx tpt0 ( )( )( )aaTx tx tt当（2）理想抽样信号的频谱 ( )21sjktTkksstA efTT 其中: 为级数的基频，为采样频率222211( )()ssTTjktjktkTTTmAt edttmT edtTT系数: 2211( )sTjktTt edtTT1( )sjktTkteT（2）理想抽样信号的频谱 （2）理想抽样信号的频谱 1()()2aTXjjjd12()()2askXjkdT 1() ()askXjkdT 1()askXjjkT 理想抽样信号的频谱：模拟信号频谱以抽样频率为周期进行周期延拓而成 频谱幅度是原信号频谱幅度的1/T倍（2）理想抽样信号的频谱 （1）信号的最高频率大于折叠频率（抽样频率的1/2） 22shs ， 为折叠频率则延拓分量产生频谱混叠1.4.2 时域抽样定理（2）奈奎斯特抽样定理要想抽样后能够不失真地还原出原信号，则抽样频率必须大于两倍信号谱的最高频率22shshff 即（2）奈奎斯特抽样定理 要想抽样后能够不失真地还原出原信号，则抽样