复变函数与积分变换第1章1.1.

1、复变函数与积分变换复变函数与积分变换复变函数起源复变函数起源 数学从产生、发展到现在, 已成为分支众多的学科了, 复变函数是其中一个非常重要的分支。以复数作为自变量的函数就叫做复变复变函数函数, 而与之相关的理论就是复变函数论复变函数论。 复数域的建立：ZQRC223x 25x 21x 但最初, 由于对复数的有关概念及性质了解不清楚, 用它们进行计算又得到一些矛盾, 因而, 长期以来, 人们把复数看作不能接受的“虚数”。34十六世纪萌芽微积分的发展复数的几何表示十七十八世纪发展代表人物：欧拉、达拉贝尔代表人物：柯西、黎曼十九世纪全面发展复变函数的发展复变函数的发展复变函数的应用复变函数的应用

2、复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。 比如物理学上有很多不同的稳定平面场（所谓场就是每点对应有物理量的一个区域）对它们的计算就是通过复变函数来解决的。 比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。5使用教材与参考教材使用教材与参考教材使用教材： 复变函数积分变换 苏变萍 陈东立编，高等教育出版社，2009 参考教材：复变函数论 钟玉泉编 高等教育出版社第一节第一节 复数复数一、复数及其代数运算二、复数的几何表示和 复数的乘积与商三、扩充复平面8一、复数及其代数运

3、算一、复数及其代数运算.,称为虚数单位称为虚数单位引入一个新数引入一个新数为了解方程的需要为了解方程的需要i.1 :2在实数集中无解在实数集中无解方程方程实例实例 x对虚数单位的规定对虚数单位的规定: :; 1)1(2 i.)2(四则运算四则运算样的法则进行样的法则进行可以与实数在一起按同可以与实数在一起按同i1;ii 虚数单位的特性虚数单位的特性:21;i 3i ?;ni ,n一一般般地地，如如果果 是是正正整整数数 则则221( 1)2( 1)2 +1kknkkinkiiink 2ii ; i 101.复数的定义复数的定义. , 为复数为复数或或我们称我们称对于任意两实数对于任意两实数iy

4、xzyixzyx , , 的实部和虚部的实部和虚部分别称为分别称为其中其中zyx).Im(),Re( zyzx 记作记作 ; , 0 , 0 称为纯虚数称为纯虚数时时当当iyzyx . ,0 , 0 xixzy我们把它看作实数我们把它看作实数时时当当 11 两复数相等两复数相等当且仅当当且仅当它们的实部和虚部它们的实部和虚部分别相等分别相等. 复数复数 z 等于等于0当且仅当当且仅当它的实部和虚部它的实部和虚部同时等于同时等于0.即即 ,则则111;zab i设设222;zab i12zz 1212,;aa bb即即 ,则则0zxyi0 xy12 0, 和和观察复数观察复数 i , 0 i由复

5、数的定义可知由复数的定义可知 , 0 )1( i若若 ,0 iii 则则 ; , 01 矛盾矛盾即即 , 0 )2( i若若 ,0 iii 则则 . , 01 矛盾矛盾同样有同样有 由此可见由此可见, 在复数中在复数中无法定义大小关系无法定义大小关系.说明说明 两个数如果都是实数两个数如果都是实数,可以比较它们的大可以比较它们的大小小, 因为实数是有序的。如果不全是实数因为实数是有序的。如果不全是实数, 就不就不能比较大小能比较大小, 也就是说也就是说, 复数不能比较大小复数不能比较大小.假设复数能比较大小：假设复数能比较大小：13共轭复数共轭复数: 实部相同而虚部互为相反数的两个复数称实部相

6、同而虚部互为相反数的两个复数称为共轭复数为共轭复数. . , zz 共轭的复数记为共轭的复数记为与与. , iyxziyxz 则则若若142.复数的代数运算复数的代数运算, 222111iyxziyxz 设两复数设两复数(1). 两复数的和与差两复数的和与差:).()(212121yyixxzz (2). 两复数的积两复数的积:12zz 12122112()().x xy yi x yx y1122()()xiyxiy例例1 1.的积的积与与计算共轭复数计算共轭复数yixyix 解解)(yixyix .22yx .,的积是一个实数的积是一个实数两个共轭复数两个共轭复数zz结论：15(3). 两

7、复数的商两复数的商:111222zxiyzxiy 11222222()()()()xiyxiyxiyxiy 1212211222222222.x xy yx yx yixyxy复数的运算满足复数的运算满足加法交换律加法交换律加法结合律加法结合律乘法交换律乘法交换律乘法结合律乘法结合律加法对乘法的分配律加法对乘法的分配律16共轭复数的性质共轭复数的性质:;) 1 (2121zzzz ;2121zzzz ;2121zzzz ;)2(zz ;)Im()Re() 3(22zzzz ).Im(2),Re(2) 4(zizzzzz 17例例2 2 . 的的形形式式将将下下列列复复数数表表示示为为iyx 解

8、解iiii)1()1(22 ii 1212)1)(21(ii .2123i 11iiii 11iiii 18例例3 3解解.112 iiii计算计算iiiiiiiii )1)(1()1)(2(112iiiii 12222ii 231)2)(2()2)(31(iiii 222)2(362iiii .1i 19例例4 解解,43,55 21iziz 设设. 2121 zzzz与与求求iizz435521 )43)(43()43)(55(iiii 25)2015()2015(i .5157i 21 zz.5157i 20例例5 解解,131 iiiz 设设.)Im(),Re(zzzz 与与求求iii

9、z 131 )1)(1()1(3 iiiiiii ,2123i ,21)Im(,23)Re( zz 22)Im()Re(zzzz 222123 .25 21小结小结 本课学习了复数的有关概念、性质及其运本课学习了复数的有关概念、性质及其运算算. 重点掌握复数的运算重点掌握复数的运算, 它是本节课的重点它是本节课的重点.二二 复数的几何表示和复数的复数的几何表示和复数的乘积与商乘积与商1、复平面、复平面2、复数的模、复数的模4、复数的三种表示形式及相互转化、复数的三种表示形式及相互转化3、复数的辐角、复数的辐角5、复数的乘积与商、复数的乘积与商231. 复平面复平面. . , , , . ),(

10、 面面面叫复平面叫复平这种用来表示复数的平这种用来表示复数的平轴轴叫虚轴或叫虚轴或纵轴纵轴轴轴通常把横轴叫实轴或通常把横轴叫实轴或用来表示复数用来表示复数的平面可以的平面可以一个建立了直角坐标系一个建立了直角坐标系因此因此对应对应成一一成一一与有序实数对与有序实数对复数复数yxyxiyxz . ),( 表示表示面上的点面上的点可以用复平可以用复平复数复数yxiyxz ),(yx xyxyoiyxz 242. 复数的模复数的模(或绝对值或绝对值) , 的的模模或或绝绝对对值值向向量量的的长长度度称称为为 zxyxyoiyxz 显然下列各式成立显然下列各式成立, zx , zy ,yxz 0, 0

11、0zzz且22 .zxy 记记为为 OzxiyzzOz从从原原点点 到到点点所所引引的的向向量量与与复复数数 构构成成一一一一对对应应关关系系，因因此此复复数数 在在复复平平面面上上也也可可以以用用向向量量表表示示2z zz25 利用平行四边形法求复数的和差利用平行四边形法求复数的和差xyo1z2z21zz xyo1z2z21zz 2z 两个复数的加减法运算与相应的向量的两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致加减法运算一致. .263. 复数的辐角复数的辐角说明说明,0有无穷多个辐角有无穷多个辐角任何一个复数任何一个复数 z , 0 , 0 , zz时时当当特殊地特殊地的全部辐角为的

12、全部辐角为那么那么 z辐角不确定辐角不确定. 0 , , , Arg. zzOzzz 在在的的情情况况下下 以以正正实实轴轴为为始始边边 以以表表示示的的向向量量为为终终边边的的角角的的弧弧度度数数称称为为的的辐辐角角记记作作1 , 如如果果是是其其中中一一个个辐辐角角1Arg2 (). zkk 为为任任意意整整数数27辐角主值的定义辐角主值的定义:( )2 ()6Arg zkk 辐辐角角为为整整数数 13zi 例例 ：求求复复数数的的辐辐角角与与辐辐角角主主值值1 tan3 解解：arg( )6z 辐辐角角主主值值大家想一想，辐角主值是否唯一？大家想一想，辐角主值是否唯一？ 辐角主值怎么求？

13、辐角主值怎么求？辐角怎么求？辐角怎么求？ (0) Arg , arg .zzz 在在的的辐辐角角中中, , 把把满满足足的的称称为为的的主主值值 记记作作28, 0 x)2arctan2( xy其中其中辐角的主值辐角的主值0 z zarg. 0, 0 yx,arctanxy,2 ,arctan xy,0,0(0),xyy0,0(0),xyy29A 当z落于一,四象限时，不变。 A 当z落于第二象限时，加 。 A 当z落于第三象限时，减 。 30. 实轴对称的实轴对称的复平面内的位置是关于复平面内的位置是关于在在和和一对共轭复数一对共轭复数zzxyoiyxz iyxz zz (1) =0z若若，

14、则则辐辐角角无无意意义义zz想想一一想想， 与与 的的辐辐角角主主值值有有什什么么关关系系？(2) z若若 位位于于负负实实轴轴上上，(3) z若若 不不在在原原点点和和负负实实轴轴上上，arg( )arg( )=zz 则则arg( )-arg( )zz 则则31- -2Arg( 34 ) Arg( 3 4 )ii 例例 ：求求-arg( 34 ) i 解解：-3-arg(4 ) i-Arg( 34 ) i -3-Arg(4 ) i-4arctan3 -4arctan3 -4arctan3 -4arctan3 -4(21)arctan (0,1,2,)3kk -4(21)arctan (0,1

15、,2,)3kk 32利用直角坐标与极坐标的关系利用直角坐标与极坐标的关系复数可以表示成复数可以表示成复数的三角表示式复数的三角表示式再利用欧拉公式再利用欧拉公式复数可以表示成复数可以表示成复数的指数表示式复数的指数表示式欧拉介绍欧拉介绍4 4. .复数的三种表示及其相互转化复数的三种表示及其相互转化cos ,sin ,xryr (cossin)zricossin ,iei izre 5. 5.复数乘积与商复数乘积与商 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.,sin(cos1111）若若

16、irz ,sin(cos2222） irz )sin()cos(21212121 irrzz.ArgArg)(Arg2121zzzz 则有则有 几何意义几何意义复数相乘就是把模相乘复数相乘就是把模相乘, , 辐角相加辐角相加. . , 2倍倍再把它的模扩大到再把它的模扩大到 r从几何上看从几何上看, 两复数对应的向量分别为两复数对应的向量分别为 , ,21zz , 21 旋转一个角旋转一个角按逆时针方向按逆时针方向先把先把 z . 21zzz 就表示积就表示积所得向量所得向量 2 oxyr2r1r 2z1 1z z35221z 特特别别地地，时时，只只需需旋旋转转一一个个角角度度就就行行了了，

17、2izzOZ 相相当当于于将将 所所对对应应的的向向量量沿沿逆逆时时针针方方向向旋旋转转-zzOZ 相相当当于于将将 所所对对应应的的向向量量沿沿逆逆时时针针方方向向旋旋转转-2izzOZ 相相当当于于将将 所所对对应应的的向向量量沿沿顺顺时时针针方方向向旋旋转转36说明说明由于辐角的多值性由于辐角的多值性, 2121ArgArg)(Argzzzz 两端都是无穷多个数构成的两个数集两端都是无穷多个数构成的两个数集.对于左端的任一值对于左端的任一值, 右端必有值与它相对应右端必有值与它相对应.例如，例如，, 1 21izz 设设, 21izz 则则), 2, 1, 0(,2Arg1 nnz),

18、2, 1, 0(,22Arg2 mmz), 2, 1, 0(,22)Arg(21 kkzz. 1,22)(223 nmkknm只须只须故故, 1 k若若 . 0, 2 2, 0 nmnm或或则则, 0= nm若1k =则37由此可将结论推广到由此可将结论推广到 n 个复数相乘的情况个复数相乘的情况: (cossin),(1,2, )kikkkkkziekn 设设12()12.nine 12nzzz 注意注意： 可以换成可以换成 即辐角主值，此时即辐角主值，此时大家应该注意两端允许相差大家应该注意两端允许相差 的整数倍。即的整数倍。即Argzargz2 1 212arg()argarg2.z z

19、zzk 两个复数的商的模等于它们的模的商两个复数的商的模等于它们的模的商; 两个两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.,1212zzzz .ArgArgArg1212zzzz 的指数形式分别为的指数形式分别为和和设复数设复数21zz,111 ierz .)(121212 ierrzz则则,222 ierz ,sin(cos1111）若若 irz ,sin(cos2222） irz 则有则有39例例3 3 将下列复数化为三角表示式与指数表示式将下列复数化为三角表示式与指数表示式:;5cos5sin)2(;212)1( iziz.)3sin3(cos

20、)5sin5(cos)3(32 iiz 解解zr )1(, 4412 , 在第三象限在第三象限因为因为 z122arctan 所以所以 33arctan,65 故三角表示式为故三角表示式为,65sin65cos4 iz40指数表示式为指数表示式为.465iez 5cos5sin)2( iz, 1 zr显然显然 52cos5sin,103cos 52sin5cos,103sin 故三角表示式为故三角表示式为,103sin103cos iz指数表示式为指数表示式为.103iez 41.)3sin3(cos)5sin5(cos)3(32 iiz ,5sin5cos 5 iei 因为因为)3sin()

21、3(cos3sin3cos ii,3 ie 32)3sin3(cos)5sin5(cos ii所以所以3325)()(iiee ,19 ie 故三角表示式为故三角表示式为,19sin19cos iz 指数表示式为指数表示式为.19 iez 42.3-, 2-,14的三角表示式，：写出例ii)2sin+2(cos1=ii)0sin+0(cos1=1i解：)sin+(cos2=2-i)2-sin(+)2-cos(3=3-ii43例例5 5. , 0 ,sincos1 的辐角的主值的辐角的主值并求并求式式三角表示式与指数表示三角表示式与指数表示化为化为把复数把复数ziz 解解 sincos1iz 2

22、cos2sin22sin22 i 2cos2sin2sin2 i 2sin2cos2sin2 i.2sin22ie (三角式三角式)(指数式指数式).2arg z44课堂练习课堂练习cos(1)(2) 0,1sincos2iezi (1) (1) 写写出出复复数数的的三三种种表表示示形形式式试试将将复复数数化化为为 三三角角形形式式和和指指数数形形式式45 根据复数的几何意义，我们知道根据复数的几何意义，我们知道, 很多平很多平面图形能用复数形式的方程面图形能用复数形式的方程(或不等式或不等式)来表示来表示; 也可以由给定的复数形式的方程也可以由给定的复数形式的方程(或不等式或不等式)来来确定

23、它所表示的平面图形确定它所表示的平面图形.下面给出几个具体下面给出几个具体实例实例46例例6 6解解 ),( ),( 2211的直线的方程的直线的方程与与通过两点通过两点yxyx )()( 121121 yytyyxxtxx),( t参数参数所以它的复数形式的参数方程为所以它的复数形式的参数方程为)(121zztzz ),( t参数参数111222 .zxiyzxiy将将通通过过两两点点与与的的直直线线用用复复数数形形式式的的方方程程来来表表示示47 ,21的直线段的参数方程为的直线段的参数方程为到到由由故故zz 10)(121 tzztzz ,21 t若取若取 21的中点坐标为的中点坐标为得

24、线段得线段zz.221zzz 48例例7 7 求下列方程所表示的曲线求下列方程所表示的曲线:解解.2 2 )1(的点的轨迹的点的轨迹为为距离距离表示所有与点表示所有与点方程方程iiz .2 ,的圆的圆半径为半径为即表示中心为即表示中心为i , iyxz 设设, 2)1( iyx, 2)1(22 yx. 4)1( 22 yx圆方程圆方程(1)2;(2)22 ;(3)Im()4.(4)arg4zizizizz 4922)2( ziz.22距离相等的点的轨迹距离相等的点的轨迹和和表示所有与点表示所有与点 i. 22段的垂直平分线段的垂直平分线的线的线和和连接点连接点故方程表示的曲线就是故方程表示的曲

25、线就是 i , iyxz 设设,22 yixiyix化简后得化简后得.xy 4)Im()3( zi , iyxz 设设,)1(iyxzi , 41)Im( yzi. 3 y所所求求曲曲线线方方程程为为50,arg4z 表表示示以以原原点点为为顶顶点点的的射射线线，不不包包括括原原点点(4) 课堂练习课堂练习(1)-56;(2) Re( )0,Im( )0(3) Re()3.(4)arg()4zzzizzi 51例例8 8 指明下列不等式所确定的轨迹或所在范围，指明下列不等式所确定的轨迹或所在范围，并作图并作图. 2 1) 5 (; 4 1 1-) 4(; 31) 3 (; 3 arg) 2(;

26、 1 ) Re() 1 (2zzzzzz解解 , )1(时时当当iyxz ,)Re(222yxz , 11)Re(222 yxz523arg)2( z,3arg33arg zz是角形域是角形域,31)3( z,3131 zz是一原点为中心，是一原点为中心， 为半径的为半径的圆的外部圆的外部1353411)4( zz表示到表示到1, 1的距离之的距离之和为定值和为定值4的点的轨迹的点的轨迹, 是椭圆是椭圆,411 zz ,411表示该椭圆内部表示该椭圆内部 zz21 )5(z圆环形区域54注意注意 通常在求轨迹或者画图时，可以先利通常在求轨迹或者画图时，可以先利用辐角的几何意义直接判断，往往比较

27、简单用辐角的几何意义直接判断，往往比较简单。当该方法不适用时，可以将。当该方法不适用时，可以将 代入，从代入，从而将复条件而将复条件(关于关于 的的)转化为关于转化为关于 的实条的实条件，利用平面解析几何的知识进行判断件，利用平面解析几何的知识进行判断xiy z,x y课堂练习课堂练习_(1)-14;(2)0Re( )1;(3) -13(4)-141;(5)1arg( )1(6)(2)(2)4zzzzzzzz zi zi z 55(1) 南极、北极的定义南极、北极的定义xyPNO, O取取一一个个在在原原点点 与与复复平平面面相相切切的的球球面面 ON通通过过作作垂垂直直于于复复平平面面的的直直线线与与球球面面相相交交于于另另一一点点 , . NO我我们们称称为为北北极极为为南南极极三三 扩充复平面（扩充复平面