控制系统优化设计与仿真

1、第6章 控制系统优化设计与仿真 6.1 控制系统参数优化的基本概念6.2 单纯形法6.3 控制系统参数优化设计的实例小结6.1 控制系统参数优化的基本概念6.1.1 两类优化问题6.1.2 问题的提法及专用名词6.1.3 寻优途径及优化方法的评价6.1.4 控制系统优化设计中目标函数的构成6.1.5 数字仿真在优化设计中的作用上一页下一页返回6.1.1 两类优化问题l 当被控对象的数学模型以及对控制系统的技术要求给定之后，为了确定控制器的结构和参数，需要进行大量的计算。通常的工作步骤是：设计者根据对实际系统的了解，先假设控制器参数的一组初始值，通过仿真或者直接在实际系统上做试验，求出系统对典型

2、输入的响应特性；然后设计者分析所得结果，并依据理论分析和以往的经验修改控制器参数；接着再进行仿真计算（或试验）；再分析比较，再修改参数。当记录了若干组不同控制器参数下系统的响应特性后，从中选择出一组参数，此时系统的性能最接近于预定的要求。上一页下一页返回当被控对象比较简单时以上做法可行。对于具有若干个输入的多回路的复杂系统，即使花费了大量的时间和精力，也不见得能够找到满足工程要求的最佳控制器结构以及相应的参数。为了获得最佳的设计效果，出现了最优化技术。为此，提出两类优化问题。上一页下一页返回 1函数优化问题 函数优化问题也称为动态优化问题。在这类问题中，控制器的结构并不知道，需要设计出满足某种

3、优化条件的控制器。 【例6.1】 如图4.1所示。假设某运动物体的初始位置、初始速度、最终位置和最终速度已知，要求该物体在最优控制作用力f(t)作用下从最初位置到达最终位置所需的时间tf为最小。当然，这个力应该是有界的，设其约束条件为| f(t) |1。图6.1上一页下一页返回)(dd22tftym0)(, 0)(0)0(,)0(0fftytyyyy)(tfQtf1)(tf)(*tf上一页下一页返回系统满足的运动方程为初始条件和终止条件为tf是函数f(t)的函数，即泛函。取目标函数为要求在约束条件 下，求函数 ，使泛函tf为最小。这个问题，所求的是一条关于f(t)的变化曲线，属于函数优化问题，

4、可以将它转化为参数优化问题。miiitxtf1)()()(txi其它,0,1111iiiiiiiiitttttttx)(*tf*2*1,m令式中， 是一些简单的已知函数。比如，可以取为这样，寻找一维最优函数 的问题就转化为寻找m个最优参数 的参数优化问题。上一页下一页返回 2参数优化问题 参数优化问题也称为静态优化问题。在这类问题中，控制器的结构、形式已经确定，而需要调整或寻找控制器的参数，使得系统性能在某种指标意义下达到最优。【例6.2】对于如图6.2所示的PID控制系统，要求寻找理想的控制器参数，使系统性能指标为最优。图6.2上一页下一页返回 在该例中，被控对象数学模型G(s)已知，PID

5、控制器的类型和形式已确定，为 式中，Kp ,Ti , Td ,为控制器参数。在某个给定信号r(t)作用下，测量系统输入量r(t)与输出量之间y(t)的偏差e(t) 。显然， e(t)是Kp ,Ti , Td的函数。选择作为指标函数。式中，tf为系统调节时间。sTsTKsGdiPc1)(ftdiptteTTKQ02d)(),(上一页下一页返回 问题提法是：如何选择合适的参数值 ， ， ，使得目标函数Q为最小，即有 本章讨论参数优化问题。ftdipdiptteTTKQTTKQ02*d)(min),(min),(*pK*iT*dT上一页下一页返回6.1.2 问题的提法及专用名词 1.控制系统参数优化

6、问题的一般提法 当被控对象已知，控制器的结构形式也已确定，需要调整或寻找控制器的某些参数，使系统性能在某种指标意义下达到最优。如果目标函数用Q()表示，需要优化的一组参数用向量表示，则对于数学模型为 （6.1）的控制系统（式中，t为时间，x为n维状态向量，F为n维系统运动方程的结构向量， 为m维寻优参数构成的向量），要求在满足 ),(x,FxtTm), 2,(1上一页下一页返回不等式约束 hi()0,i=1,2,q （6.2）等式约束 gj()=0,j=1,2,p （6.3）等式终端约束 Sk(, tf)=0,k=1,2,l （6.4）（式中，tf为终止时间）的情况下，寻找一组参数=*，使目标

7、函数满足 （6.5）称*为极小值点，对应的目标函数值Q(*)为极小值。 )(min)(*QQ上一页下一页返回 2.优化设计专用名词 （1）寻优参数 为m维寻优参数向量，也称之为设计变量（或设计参数）。 （2）约束条件 在优化过程中，寻优参数的某些组合情况，可能会产生一些明显不合理的设计，超出了某些允许范围。在数学上可以化为约束条件。例如，在PID控制器的设计中，三个参数应满足约束条件 Kp0,Ti0, Td0 在许多工程问题中，约束条件往往不能写成寻优参数的显函数形式，只要是“可计算”的函数就可以了。例如，在PID控制系统中，超调量%是控制器参数Kp ,Ti , Td的函数，但是不一定能具体写

8、出来。 上一页下一页返回 （3）目标函数 在控制器的所有可行设计中，有些设计方案比另一些“要好些”。好的设计比差的设计肯定具有更好的某种（或某些）性质。如果这种性质可以表示为寻优参数的一个可计算的函数，那么只需要寻求这个函数的极值，就可以得到“最优”的设计。这个用来使设计得以优化的函数就称为目标函数，为了强调它对寻优参数的依赖性，将其写成Q() 。同样，在工程问题中， Q()不一定能写成显函数形式，只要求是“可计算”的函数。 在前面的问题描述中，假定了使目标函数为极小的设计为最优设计，而在工程问题中有时要求使目标函数为极大的设计方案，此时只需要将目标函数变成-Q()即可。因为当-Q()达到极小

9、时，Q()就达到了极大。 上一页下一页返回（4）约束优化问题的无约束处理 在工程问题中，寻优参数的取值范围总是要受到限制的，即要在一定的约束条件下来求目标函数的最优解。若约束对于寻优参数的限制是很宽的，以至于可以确信在*附近约束都能满足的话，则把它看成是无约束优化问题来处理。若在*附近约束条件可能被破坏，就需要将约束优化问题转换成无约束优化问题来处理。例如,取 （6.6）式中，Q0()不考虑约束条件时的目标函数；gi()=0,i=1,2,p是p个等式约束条件；Ci正数权因子，表示第i个约束条件的重要性；Ci gi2()第i个约束条件不满足时的罚函数。 )()()(120piiigCQQ上一页下

10、一页返回6.1.3 寻优途径及优化方法的评价解决参数优化问题的途径分为间接寻优和直接寻优。1间接寻优法间接寻优法是按照普通极值存在的充分必要条件来进行寻优的方法。目标函数Q()在=*处为极小的充分必要条件为 （6.7）和 （6.8）0,)(*21TmQQQQ*2221222222122122122122)(QmmmmmQQQQQQQQQ为正定阵。 上一页下一页返回 由于在控制系统的参数优化问题中，目标函数Q()一般很难写成解析形式，并且Q()的求导也不易实现，所以间接寻优法一般很少采用。 2直接寻优法 直接寻优法是按照一定的寻优规律改变，并且直接计算目标函数Q()的值，然后判断Q()是否达到极

11、小。若是，则停止搜索；否则再改变，并计算Q()，如此反复迭代直到满足要求为止。 搜索过程如下: 1 预置寻优参数的初始值0，对系统的运动方程 进行仿真，得到目标函数Q(0)； ),()0(xFxt上一页下一页返回),()1( itxFx 2 按照某种寻优规律或方法改变，使(1)= (0)+ h(0) P(0)式中，h(0)是一个实数，称为寻优步距；P(0)是一个m维向量，称为在(0)处的寻优方向。 一般地，对于第i步，其一般形式为 (i+1)=(i)+ h(i) P(i) （6.9）确定(i+1)后，对 进行仿真并计算Q(i+1)。 3 判断是否已搜索到极小值点，是则停止迭代的搜索过程；并有*

12、=(i)，否则，置(i):=(i+1)，重复2，继续迭代计算。上一页下一页返回 3优化方法的评价 在直接寻优法中，不同的确定h(i)和P(i)的方法，对应了不同的优化方法。评价一种优化方法的优劣，主要考虑下列因素。（1）收敛性 寻优过程就是逐步搜索满足Q(*)=minQ()的值的迭代过程。迭代过程的收敛性好坏，表示某种优化方法适用范围的大小。（2）收敛速度 为了求出同样精度的极小值点，不同的优化方法所需要的迭代次数不同。上一页下一页返回 (3）每步迭代所需的计算量 在控制系统的参数优化设计过程中，往往需要对进行许多次迭代计算才能搜索到极小值点*，而每次迭代都需要重新计算h(i)和P(i)，还需

13、要对系统的运动方程进行仿真并计算目标函数。每步迭代所需的计算量也是决定寻优速度的另一重要因素。 上一页下一页返回6.1.4 控制系统优化设计中目标函数的构成 01. 01)(21MxsssrsrDttwttwQ 控制系统参数优化设计中的目标函数一般可分为两大类：加权性能指标型目标函数和误差积分型目标函数。 1加权性能指标型目标函数 这一类目标函数是根据经典控制理论设计系统的性能指标建立起来的，如系统在阶跃信号作用下的上升时间、调整时间、超调量以及振荡次数等。对这些性能指标的要求往往存在矛盾性，此时可以采用加权的方法建立目标函数。例如， （6.11）上一页下一页返回02wMxD时当时当%0sss

14、MxDsst%s式中， 、 为加权系数，满足 表示超调量在目标函数中的成份，其具体取值为 （6.12） 、 和 分别为系统上升时间、调整时间和超调量的期望值。1w2w121 ww01wrst 2误差积分型目标函数对于一般随动系统，误差e(t)定义为输入信号r(t)和系统输出c(t)之差，即 e(t)=r(t)-c(t) （6.13） 上一页下一页返回0d)()(tteQ 02d)()(tteQ ttetQd)()(0ttteQ02d)()(ttetQd)()(02022d)()(ttetQ 常用的目标函数有如下几种：误差绝对值的积分（IAE） （6.14）误差平方的积分（ISE） （6.15）

15、时间乘以误差绝对值积分（ITAE） （6.16）时间乘以误差平方的积分（ITSE） （6.17）时间平方乘以误差绝对值的积分（ISTAE） （6.18）时间平方乘以误差平方的积分（ISTSE） （6.19）上一页下一页返回 上面所有的积分，只有在t时，e(t) 0的情况下才是收敛的。在实际计算时，t不可能取无穷大，而是根据系统的过渡过程时间，即一个足够反映系统响应的有限值来确定。 上一页下一页返回6.1.5 数字仿真在优化设计中的作用 上一页下一页返回 一般控制系统参数优化设计中的目标函数Q()，很难用寻优参数的解析形式表示，只是隐含着这些参数，所以目标函数一般只能在对系统瞬态响应进行仿真的过

16、程中计算出来。控制系统参数优化设计一般采用直接寻优法。 直接寻优法在寻优过程中需要进行两部分计算，确定寻优步距h(i)及寻优方向P(i)和对系统的瞬态响应进行仿真并计算Q()。 整个优化设计过程就是以参数向量作为试验点（或试验条件）进行的一系列数字仿真，获得使目标函数Q()为极小的最优试验点。这种试验优化方法是沿着一定的优化路径逐渐在整个规定的参数空间中寻找最优试验点。后面的试验点是在前面试验点的基础上求得的，并且是单向运算过程（即(i+1)一旦求出后，在后续迭代计算中就不需要(i)了）。所以，这是一种单向优化过程，后一段优化是在前一段优化基础上进行的，通常又将其称为序贯优化。 通过数字仿真进

17、行寻优的过程如图6.3所示。 上一页下一页返回 为了提高仿真寻优速度，应该从三个方面加以考虑。 选择收敛性好的优化算法，以减少在整个寻优过程中计算目标函数的次数，从而减少仿真试验的次数； 选用快速仿真算法，以加快仿真计算速度； 选择合适的参数初始值（这一点通常是依据工程经验来确定的）。 图6.3上一页下一页返回6.2 单纯形法6.2.1 单纯形法原理6.2.2 单纯形的构成6.2.3 改进单纯形法 上一页下一页返回6.2.1 单纯形法原理l 单纯形法的基本思路 预先计算出在若干个点处的目标函数值，然后根据它们之间的大小关系，可以看出Q()变化的大致趋势，为寻求Q()的下降方向提供参考信息。l

18、单纯形法的寻优过程(二维情况，见图6.4) 寻优参数为1和2，图中的实线为Q()=C（C为常数）的等高线族。先取1、2、3点并计算这3点处的目标函数值，对它们的大小进行比较，C1最大，故将1点抛弃，在1点的对面取一点4，构成一个新的三角形。计算4点处的目标函数值，再比较三点处的函数值的大小，C2最大，上一页下一页返回将2点抛弃，在2点的对面取一点5，3、4、5点又构成一个新的三角形。如此不断重复上述过程，直至最后找到极小值点。图6.4上一页下一页返回6.2.2 单纯形的构成l 在一切几何图形（或超几何图形）中以单纯形（参数空间内简单的规则形体）的顶点为最少，所以寻优所用的几何图形以单纯形为最合

19、适，在m维空间中，其顶点个数为m+1。l 求出正规单纯形各顶点的坐标的方法 若已选定(0)和任意两点之间的距离a（即正规单纯形的边长），于是（m+1）个点的坐标为上一页下一页返回miaqmpi, 2 , 1) 1(2222)()0(mjijiaqpji, 2 , 1,)( 2222)()(ammq211ammmp211 显然，(0)-(1)，(0)-(2)，(0)-(m)为m个线性无关的向量。TmmmTmiiiiTmTmpqqqqqpqqqqqqp),(),(),(),()0()0(1)0(2)0(1)()0()0(1)0()0(1)0(2)0(1)()0()0(3)0(2)0(1)1()0(

20、)0(2)0(1)0(（6.20）（6.21） （6.22）有上一页下一页返回6.2.3 改进单纯形法改进单纯形法的基本思想是：给定初始点改进单纯形法的基本思想是：给定初始点(0)和步长和步长a，产生初始单纯形产生初始单纯形S0，通过反射、扩张、收缩和紧缩等一，通过反射、扩张、收缩和紧缩等一系列动作将单纯形翻滚、变形，从而产生一系列的单纯系列动作将单纯形翻滚、变形，从而产生一系列的单纯形形S1，S2，S3，, ,逐渐向极小值点靠拢。当满足精度逐渐向极小值点靠拢。当满足精度指标时，迭代停止，取当前单纯形的指标时，迭代停止，取当前单纯形的“最好点最好点”作为极作为极小点的近似。小点的近似。上一页下

21、一页返回 改进单纯形法的迭代规则: 假设当前单纯形为Sk ,对组成单纯形的(m+1)个顶点，记L为“最好点”, H为“最坏点”, G为“次坏点”,即 首先，计算当前单纯形的(m+1)个顶点中去掉最坏点H后的形心 (6.26) 判别是否满足终止条件，即计算 (6.27) mjQQmjQQmjQQjHjGjHjL,1 ,0)(max)(,1 ,0)(max)(,1 ,0)(min)()()()(Hjjm)(1mjjQQm02)()()(11error上一页下一页返回如果error(为给定的精度指标),则停止迭代,取当前单纯形的“最好点”L作为所极小值点*的近似。否则,计算“最坏点”H关于形心 的反

22、射点R （6.28）对二维单纯形，如图4.5所示。 图4.5根据反射点的目标函数值的大小,共有四种可能：1 Q(R) Q(L) ,即R比“最好点”L还要好。2 Q(L)Q(R)Q(G),即R虽不优于“最好点”L,但优于“次坏点”G。HR 2上一页下一页返回 3 Q(G)Q(R)1为扩张因子。如图6.6所示。 图6.6)(RE上一页下一页返回 如果Q(E)Q(L) ，则扩张成功，以E作为新顶点，取代“最坏点”H，构成新单纯形Sk+1,，如图6.7所示。 图6.7 反之，扩张失败，以R作为新顶点，取代“最坏点”，构成新单纯形Sk+1，如图6.8所示。 图6.8上一页下一页返回 情况情况22 以R取

23、代“最坏点”H，构成新单纯形Sk+1，如图6.8所示。 情况情况33 计算收缩点 （6.30）式中，01为收缩因子。如图6.9所示。图6.9)(RC上一页下一页返回 如果Q(C)Q(H)，以C作为新顶点，取代“最坏点”H，构成新单纯形Sk+1，如图6.10所示。 否则，将当前单纯形的各个顶点向“最好点”L紧缩，即 (6.31)如图6.11所示。LjmjLjLj；，, 1 , 0)(21)()(图6.10图6.11上一页下一页返回 情况情况44 计算收缩点C （6.32）式中，0main 后，显示如图6.24所示的空白界面。点击选择文件栏，选择系统模型名称：ccontroller。在系统模型参数

24、栏中填入对应的参数，控制器名称：corrector；待调参数个数：2；待调参数名称：T1，T2；待调参数初始值：5 5；仿真时间：1.5；目标函数：ISE。选择精度指标：0.0000001。点击“开始仿真”按钮，经过一段时间的运行后得到如图4.29所示的仿真寻优结果。 上一页下一页返回图6.29上一页下一页返回 3运行结果分析 一般而言，如果将任意选定的参数初始值的控制器直接加入到系统中，该系统都不稳定。例如，当T1(0)=15， T2(0)=10时，系统的阶跃响应如图6.30所示。图6.30 （T1=15，T2=10）上一页下一页返回 给定三组不同的参数初始值，经过参数寻优后，得到了三组不同

25、的优化参数及相应的目标函数值： T1(0)=15, T2(0)=10, T1*=1.9535, T2*=0.41391, Q(T1*, T2*)=0.054648 T1(0)=5, T2(0)=5, T1*=1.9454, T2*=0.41220, Q(T1*, T2*)=0.054648 T1(0)=10, T2(0)=15, T1*=1.9553, T2*=0.41449, Q(T1*, T2*)=0.054648 仿真结果表明，3组优化参数的阶跃响应曲线比较相似，没有本质上的差异。上一页下一页返回图6.31所示为第一组优化参数的单位阶跃响应曲线。图6.31（T1=1.9535，T2=0.

26、41391） 从仿真结果中可以看出，系统的阻尼比太小，超调量偏大。上一页下一页返回 三种不同的优化参数均表明，采用误差积分型目标函数进行参数寻优存在两个问题： 寻优结果不可预断。因为误差积分型目标函数是系统整个过渡过程的一个综合性指标，它反映不出系统性能指标的具体要求（例如，超调量，上升时间等性能指标），人们不能确信优化结果结果在实际中是否有意义； 当优化结果不满足要求时，对目标函数无法进行调整。 由此可见，在许多场合下利用误差积分型目标函数进行参数寻优的效果不一定好。上一页下一页返回 4采用参考模型法目标函数的运行结果及分析 采用图4.18的目标函数模型(controller.mdl)，同样

27、给定三组不同的参数初始值，经过参数寻优后，得到了三组不同的优化参数及相应的目标函数值： T1(0)=15, T2(0)=10, T1*=2.188, T2*=0.20661, Q(T1*, T2*)=0.0029808 T1(0)=5, T2(0)=5, T1*=2.1875, T2*=0.20684, Q(T1*, T2*)=0. 0029809 T1(0)=10, T2(0)=15, T1*=2.188, T2*=0.20634, Q(T1*, T2*)=0. 0029808 图6.32所示为第一组优化参数的单位阶跃响应曲线。 上一页下一页返回 从仿真结果中可以看出，系统特性趋向于参考模型的特性。 参考模型法的目标函数是按过渡过程中每一点的系统响应与参考模型响应之差作为指标来进行计算的。目标函数就是要求实际系统响应