大学微积分第五节极限存在准则 两个重要极限

1、机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1第五节第五节 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限 连续复利连续复利一、极限存在准则一、极限存在准则二、两个重要极限二、两个重要极限三、连续复利三、连续复利四、小结四、小结机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2一、极限存在准则一、极限存在准则1. .【夹逼准则夹逼准则】【准则】【准则】 如果数列如果数列nnyx ,及及 nz满足下列条件满足下列条件: : ,lim,lim)2()3 , 2 , 1()1(azaynzxynnnnnnn 那末数列那末数列nx的极限存在的极限存在, , 且且axnn

2、 lim. . 【证证】,azaynn使得使得, 0, 0, 021 NN 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3,1 ayNnn时恒有时恒有当当,max21NNN 取取恒有恒有时时当当,Nn , ayan即即,2 azNnn时恒有时恒有当当, azan上两式同时成立上两式同时成立, , azxyannn,成立成立即即 axn.limaxnn 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 4利用夹逼准则利用夹逼准则关键是将关键是将xn作适当缩放作适当缩放, ,得得到极限容易

3、求的数列到极限容易求的数列yn与与zn，且极限相等且极限相等. .【准则】【准则】 如果当如果当),(0 xUx ( (或或Mx ) )时时, ,有有 ,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那末那末)(lim)(0 xfxxx 存在存在, , 且等于且等于A. . 【注意注意】准则准则 和和准则准则 称为称为夹逼准则夹逼准则. .利用夹逼准则利用夹逼准则关键是对不易求极限的关键是对不易求极限的f( (x) )作适当缩放，得到极限容易求的作适当缩放，得到极限容易求的g( (x) )与与h( (x) )，且，且极限相等极限相等. .机动

4、机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 5【补例补例1】).12111(lim222nnnnn 求求【解解】,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夹逼准则得由夹逼准则得. 1)12111(lim222 nnnnn抓大头抓大头机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 6x1x2x3x1 nxnx2. .【单调有界准则单调有界准则】满足条件满足条件如果数列如果数列nx,121 nnxxxx单调增加单调增加,121 nnxxxx单调减少单调减少广义单调数列广义单调数列【准则准则

5、】 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限. 【几何解释几何解释】AM机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 7【教材教材例例11】存在，并求此极限值存在，并求此极限值证明：证明：，设设nnnnnxxxxxxxx lim,1111, 110010证明：先证其单调性证明：先证其单调性则则设设,1 kkxx0101, 021), 2 , 1 , 0(0 xxxxnxn 即即由于由于单调增加，单调增加，因此数列因此数列nx211211 111 nnnnxxxx再由再由)11()11( 111 kkkkkkxxxxxx0)1)(1(11 kkkkxxxx机动机动 目录目录 上页上

6、页 下页下页 返回返回 结束结束 8则有则有令令极限存在，极限存在，单调增加有上界，故其单调增加有上界，故其所以数列所以数列,limaxxnnn )11(limlim11 nnnnnxxx11 aaa有有251 a解得解得舍去舍去由题意，负值由题意，负值0251 a251lim nnx故故机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 9【练习练习】111lim )1( nn提示提示nn11111 1)1211(lim )2(222 nnnnnn提示提示 22222)1211(nnnnnnnnnnnn11lim )3(0 nxx提示提示nx 1nx 1 x1x 1 nx1机动机动

7、目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1011lim )4(0 xxx提示提示),0(1111 xxxx由夹逼定理得由夹逼定理得.11lim0 xxx【注注】记住记住x的运算性质：的运算性质：xxx 1当当 x 0 时时111 xxx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 11AC二、两个重要极限二、两个重要极限(1)1sinlim0 xxx)20(, xxAOBO 圆心角圆心角设单位圆设单位圆,tan,sinACxABxBDx 弧弧于于是是有有xoBD.ACO ，得，得作单位圆的切线作单位圆的切线,xOAB的的圆圆心心角角为为扇扇形形,BDOAB的高为的高为

8、机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 12,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也成立也成立上式对于上式对于 x ,20时时当当 xxxcos11cos0 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 13【几何解释几何解释】 0 sin处相切处相切图象在图象在与与 xxyxy【注注】该极限推广为更一般地情形该极限推广为更一般地情形1 sinlim0 或或1 sinl

9、im0 【理论根据理论根据】复合函数求极限法则复合函数求极限法则该极限的特点该极限的特点.极限呈极限呈 未定式极限未定式极限型型00常用不等式：常用不等式： sinR xxx )2,2( tan xxx xyo机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 14【例例2】.cos1lim20 xxx 求求【解解】2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 复合函数求极限法则复合函数求极限法则. 正弦号后面的变量与分数线对面的变量，正弦号后面的变量与分数线对面的变量，若符合以上两个特点，则极限为若符

10、合以上两个特点，则极限为1；若若成立、而成立、而不成立，通常是不成立，通常是“凑凑”不含正弦不含正弦号的那一方的变量，使号的那一方的变量，使成立成立. .形式形式上一致上一致. .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 15【例例3】.arcsinlim 0 xxx求求【解解】换元法换元法xtarcsin 令令txsin 则则0 0 tx，时时当当于是由复合函数的极限运算法则可得于是由复合函数的极限运算法则可得xxxarcsinlim 01sinlim0 ttt机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 16(2)exxx )11 (lim【定义定义】enn

11、n )11(limnnnx)11( 设设 21! 2)1(1! 11nnnnn).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn nnnnnnn1!)1()1( exxx 10)1(lim 或或机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 17).11()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)111(! 21111 nnnnnnnnnnnxn,1nnxx 显然显然 ; 是单调递增的是单调递增的nx!1! 2111nxn 1212111 n1213 n, 3 ;是是有有界界的的nx.lim存在存在nnx ennn )11(lim 通常记通常记)

12、71828. 2( e类似地类似地, ,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 18,1时时当当 x, 1 xxx有有,)11()11()111(1 xxxxxx)11(lim)11(lim)11(lim1xxxxxxxx 而而, e 11)111(lim)111(lim)111(lim xxxxxxxx, e .)11(limexxx 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 19, xt 令令ttxxtx )11(lim)11(limttt)111(lim )111()111(lim1 tttt. e exxx )11(lim,1xt 令令ttxxtx

13、)11(lim)1(lim10 . e exxx 10)1(lim机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 20【注注】该极限推广为更一般地情形该极限推广为更一般地情形e ) 11(lim或或e 10 ) 1(lim【理论根据理论根据】复合函数求极限法则复合函数求极限法则该极限的特点该极限的特点.极限呈极限呈 型未定式极限型未定式极限 1.括号中括号中“1”后的项连同符号与指数中后的项连同符号与指数中变量的形式连同符号，互为倒数变量的形式连同符号，互为倒数. .在在成立的前提下，若成立的前提下，若不成立，通常是不成立，通常是“凑凑”指数中变量的形式，使之与括号中指数中变量的形

14、式，使之与括号中“1”后面的后面的项（连同符号）互为倒数项（连同符号）互为倒数. .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 21【例例4】.)11(limxxx 求求【解解】xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式.1e 【例例5】.)23(lim2xxxx 求求【解解】422)211()211(lim xxxx原式原式.2e 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 22【例例6】【解解】2cos122)cos1(lim2xxx 原式原式.2e .)cos1(lim2sec222xxx 求求【例例7】【解解】xxxxx)11()11(li

15、m 原式原式. 11 ee.)11(lim2xxx 求求机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 23则则，年利率为，年利率为称为本金称为本金设一笔贷款设一笔贷款,)(0rA三、连续复利三、连续复利)1(01rAA 一年后本利和一年后本利和2012)1()1(rArAA 两年后本利和两年后本利和kkrAAk)1(0 年后本利和年后本利和，则则，年年利利率率仍仍为为期期计计息息如如果果一一年年分分rn，于于是是一一年年后后的的本本利利和和每每期期利利率率为为nrnnrAA)1(01 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 24nkknrAAk)1(0 年后本利和年后本利和年年后后的的本本利利和和，则则称称为为连连续续复复利利复复利利，即即每每时时每每刻刻计计算算如如果果计计息息期期数数kn)( rkrkrnnnknkeArnAnrAA00011lim)1(lim .,000为贴现率为贴现率称利率称利率称为贴现问题，这时称为贴现问题，这时求求称为复利问题；已知称为复利问题；已知，求求称为将来值，已知称为将来值，已知称为现值，称为现值，其中其中rAAAAAAkkk机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 25三、小结1. .【两个准则两个准则】2. .【两个重要极限两