常系数线性微分方程的解法

1、第四章第四章 高阶线性微分方程高阶线性微分方程Higher-Order Linear ODE1 12022-6-18常微分方程-重庆科技学院-李可人 4.2 常系数线性微分方程的常系数线性微分方程的解法解法 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE3 3 4.1 4.1内容内容回顾回顾 ).()()()()()(24 0111xtaxtaxtaxnnnn解的性质与结构。解的性质与结构。方程方程(4.2)(4.2)的一组的一组n n个线性无关解称为它的一个个线性无关解称为它的一个基本基本解组解组。n 阶齐次线性方程的所有解构成一个阶齐次

2、线性方程的所有解构成一个 n 维线性空间。维线性空间。 4.1 4.1General Theory of General Theory of Higher-Order Linear ODE2022-6-18常微分方程-重庆科技学院-李可人4本节要求本节要求/ /Requirements/Requirements/ 熟练掌握常系数齐次线性方程的求解方法熟练掌握常系数齐次线性方程的求解方法 熟练掌握常系数熟练掌握常系数非齐次线性方程非齐次线性方程的求解方法的求解方法 熟练掌握欧拉方程的求解方法熟练掌握欧拉方程的求解方法2022-6-18常微分方程-重庆科技学院-李可人5 5非齐线性方程的通解等于对

3、应齐次方程的非齐线性方程的通解等于对应齐次方程的结构结构通解与自身的一个特解之和。通解与自身的一个特解之和。齐线性方程的通解可由其基本解组线性表示。齐线性方程的通解可由其基本解组线性表示。非齐线性方程非齐线性方程齐线性方程齐线性方程非齐线性方程通解非齐线性方程通解特解特解基解组基解组表示表示关键关键常数变易法 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-6-18常微分方程-重庆科技学院-李可人64.2.1 4.2.1 复值函数与复值解复值函数与复值解/ /Complex Function and Complex Solu

4、tion/Complex Function and Complex Solution/一一 定义定义 , )()()(，battittz , )()(上的实函数。是定义在，batt极限极限 , )(lim)(lim)(lim0000，battittztttttt 连续连续 , )()(lim000，battztztt 导数导数 0000000ttttitttttttztztt)()(lim)()(lim)()(lim )( )()(lim0000000 dtdidtddtdztztttztztttttttt 4.2 Solving Method of Constant Coefficients

5、 Linear ODE2022-6-18常微分方程-重庆科技学院-李可人7 7易验证易验证dttdzdttdztztzdtd)()()()(2121 dttdzctczdtd)()(11 dttdztztzdttdztztzdtd)()()()()()(212121 如如 , 21 )()()(，bat, jtittzjjj )()()()()()(221121tittitdtdtztzdtd )()()()(ttittdtd2121)()()()(ttdtdittdtd2121)()(2211dtdidtddtdidtd dttdzdttdz)()(21 4.2 Solving Method

6、 of Constant Coefficients Linear ODE2022-6-18常微分方程-重庆科技学院-李可人8 8二二 关于关于kte，共轭复数 ik 定义定义titee )sin(costitet tiktee)( tie)()sin(costitet titetisincos titetisincos ik 表示表示为实变量。，为实数tik , tiktee)( tie)( )sin(costitet )sin(costitet kte 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-6-18常微分方程-重

7、庆科技学院-李可人9 9kte的性质的性质tkke)(21 tke1 tke2 1）ktktkedtde 2）ktnnktnekdted 3）结论结论l实变量的复值函数的求导公式与实变量的实值函实变量的复值函数的求导公式与实变量的实值函 数的求导公式一致。数的求导公式一致。l实变量的复指数函数的求导公式与实变量的实指实变量的复指数函数的求导公式与实变量的实指 数函数的性质一致。数函数的性质一致。 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-6-18常微分方程-重庆科技学院-李可人1010三三 线性方程的复值解线性方程的复

8、值解/Complex Solution of Linear Higher-Order ODE如果定义在如果定义在 ,ba上的实变量的复值函数上的实变量的复值函数)(tzx 满足方程满足方程).()()()()(14 1111tfxtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnn)(tzx 为方程的一个复值解。为方程的一个复值解。则称则称如果方程如果方程4.2中所有系数中所有系数),)(nitai21都是实值函数，而都是实值函数，而)()()(tittzx是方程的复数解，是方程的复数解，)(tz的实部的实部)(t，虚部，虚部)(t和共轭复数函数和共轭复数函数)(tz也是方程也是方程4.2的解。的

9、解。 定理定理8 8)2 . 4( 0)()()(1111xtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnn则则 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-6-18常微分方程-重庆科技学院-李可人11定理定理9 9 若方程若方程)()()()()(1111tivtuxtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnn 有复数解有复数解)()(tiVtUx,这里这里),.,)(nitai21及及)(tv都是实函数。那么这个解的实部都是实函数。那么这个解的实部)(tu和虚部和虚部)(tV分别是方分别是方程程)()()()(1

10、111tuxtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnn 和和)()()()(1111tvxtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnn 的解。的解。)(tU 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-6-18常微分方程-重庆科技学院-李可人124.2.2 常系数齐线性方程和欧拉方程常系数齐线性方程和欧拉方程/Coefficient Linear Homogenous Higher-Order ODE And Euler Equation/01111 xadtdxadtxdadtxdxLnnnnnn.(4.19

11、)naaa,.,21为常数。为常数。其中其中为了求方程为了求方程(4.19)的通解，只需求出它的基本解组。的通解，只需求出它的基本解组。 n 阶常系数齐次线性方程阶常系数齐次线性方程tex 0111 tntntntnteaeaeaeeL0111 nnnnaaa )(F.(4.21)te0)( F满足满足tetex 结论：结论：tex 是方程是方程(4.19)的解的充要条件的解的充要条件满足满足0)( F特征方程特征方程特征根特征根)(FeeLtt 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-6-18常微分方程-重庆科技学

12、院-李可人13下面根据特征根的不同情况分别进行讨论。下面根据特征根的不同情况分别进行讨论。 1)1)特征根为单根的情况特征根为单根的情况n,21是特征方程（是特征方程（4.214.21）的）的n个互不相等的根，个互不相等的根，tttneee,21 设设则相应的方程（则相应的方程（4.19）有如下）有如下n个解个解这这n个解在区间个解在区间t的基本解组。事实上，的基本解组。事实上，上线性无关，从而组成方程上线性无关，从而组成方程0111 nnnnaaa )(F 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-6-18常微分方程

13、-重庆科技学院-李可人1414tnntntntntttttnnneeeeeeeeetW1121121.)(2121211121121)(.1.1121 nnnnntne0 tttneee,21 是方程的基本解组。是方程的基本解组。方程方程4.19的通解可表示为的通解可表示为tnttnecececx 2121范德蒙范德蒙(Vandermonde)行列式行列式ji)(ji 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-6-18常微分方程-重庆科技学院-李可人15如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数。复根将成如果特征方程有

14、复根，则因方程的系数是实常数。复根将成i1对共轭的出现，设对共轭的出现，设i 2方程的一个特征根方程的一个特征根也是一个特征根也是一个特征根则方程（则方程（4.19）有两个复值解）有两个复值解tie )( )sin(cos titet tie )( )sin(cos titet 对应两个实值解对应两个实值解tetettsin ,cos 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-6-18常微分方程-重庆科技学院-李可人1616例例1求方程求方程044 xdtxd的通解。的通解。解解第一步：求特征根第一步：求特征根01)(

15、4 Fi 4, 32, 1 , 1第二步：求出基本解组第二步：求出基本解组, ,ttee tt sin ,cos第三步：写出通解第三步：写出通解tctceectxttsincos c)(4321 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-6-18常微分方程-重庆科技学院-李可人1717例例2求方程求方程033 xdtxd的通解。的通解。解解第一步：求特征根第一步：求特征根01)(3 F2321 , 13 ,21i 第二步：求出基本解组第二步：求出基本解组,te tetett2323sin ,cos2121第三步：写出通

16、解第三步：写出通解tectecectxttt2332321sin cos )(2121 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-6-18常微分方程-重庆科技学院-李可人18182) 2) 特征根有重根的情况特征根有重根的情况m,21是特征方程是特征方程（4.21）的的m个互不相等的根。个互不相等的根。设设01111 xadtdxadtxdadtxdxLnnnnnn.(4.19)0111 nnnnaaa )(F.(4.21)mkkk,21重数重数1 ,21 imknkkkI.设设01 是是 k1 重特征根重特征根011

17、11 kknnnaa0111 knnnaaa0111111 kkknnnnndtxdadtxdadtxd01 kna 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-6-18常微分方程-重庆科技学院-李可人1919显然显然121, 1 kttt是方程的是方程的 k1 个线性无关的解，个线性无关的解，方程方程(4.19)有有 k1 重零特征根重零特征根方程恰有方程恰有 k1 个线性无关的解个线性无关的解121, 1 ktttII.设设01 是是 k1 重特征根重特征根令令tyex 1 01111 xadtdxadtxdadtx

18、dxLnnnnnn0111111 kkknnnnndtxdadtxdadtxd.(4.19) 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-6-18常微分方程-重庆科技学院-李可人20200)(1)2(2) 1(1)(1 ybybybybyennnnnt.(4.23)特征方程特征方程)24. 4(0)(111 nnnnbbbG 1tyeL01)2(2)1(1)(1 ybybybybyyLnnnnn 1tyeL11yLettmtmtmtmmtmyeeymmemyeyyex111111)2(21)1(1)()()(! 2) 1

19、()( 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-6-18常微分方程-重庆科技学院-李可人2121)()(1GF (4.19)的的 k1重特征根重特征根1(4.23)的的 k1 重特征根零重特征根零11, 2 , 1 ,)()(kjddGddFjjjj teF)(11)( )(1teL 1 tteeL 11tteLe )()(1Get 1tyeL11yLet121 011kjFj,)()( 011,)()(kF 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE

20、2022-6-18常微分方程-重庆科技学院-李可人2222方程方程(4.23)恰有恰有 k1 个线性无关的解个线性无关的解121, 1 kttt由由tyex 1 方程方程(4.19)恰有恰有 k1 个线性无关的解个线性无关的解tktttetettee1111112, 类似地类似地11ktktttetettee1111112, 22ktktttetettee2222212, mmktktttmmmmmetettee12, 1 ,21 imknkkk基本解组基本解组(4.26) 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-6

21、-18常微分方程-重庆科技学院-李可人2323证明证明 假若这些函数线性相关，则存在不全为零的数假若这些函数线性相关，则存在不全为零的数 使得使得)(rjA tkketAtAA111)(1)1(1)1(1)1(0 tkketAtAA222)(1)2(1)2(1)2(00)(1)(1)(1)(0 tkmkmmmmmetAtAA0)()()(2121 tmttmetPetPetP(4.27)假定多项式假定多项式)(tPm至少有一个系数不为零，则至少有一个系数不为零，则)(tPm不恒为零，不恒为零，0)()()()()(21112 tmtmetPetPtP微分微分 k1 次次 4.2 Solving

22、 Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-6-18常微分方程-重庆科技学院-李可人2424)()(11)(ktrretP trkrkrrkrretPtPktP)(1)1(11)(111)()()()()( trretQ)(1)( )(tQm0)()()()(2112 tmtmetQetQ)()(tPtQmm )()(tPtQrr 不恒为零，不恒为零，0)()(1 tmmmetR)()(tPtRmm )(tRm不恒为零，不恒为零，0)(1 tmme矛盾！矛盾！中函数线性无关，其构成的解本解组。中函数线性无关，其构成的解本解组。(4.26) 4

23、.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-6-18常微分方程-重庆科技学院-李可人2525i1i 2方程的一个方程的一个 重特征根重特征根也是一个也是一个 重特征根重特征根kk它们对应它们对应2 个线性无关的实解是个线性无关的实解是k ,cos, ,cos ,cos 1 tetttetetktt ,sin, ,sin ,sin 1 tetttetetktt 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-6-18常微分方程-重庆科技学院-李可人2626

24、例例3求方程求方程0332233 xdtdxdtxddtxd的通解。的通解。解解第一步：求特征根第一步：求特征根0133)(23 F , 13 ,2, 1 第二步：求出基本解组第二步：求出基本解组,te第三步：写出通解第三步：写出通解tttetctecectx2321 )( ,tte,2tet 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-6-18常微分方程-重庆科技学院-李可人2727例例4求方程求方程022244 xdtxddtxd的通解。的通解。解解第一步：求特征根第一步：求特征根012)(24 Fi 2, 1第二步

25、：求出基本解组第二步：求出基本解组,sin ,sin ,cos ,costttttt第三步：写出通解第三步：写出通解二重根二重根ttctcttctctxsin sin cos cos)(4321 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-6-18常微分方程-重庆科技学院-李可人2828可化为常系数线性方程的方程可化为常系数线性方程的方程-欧拉欧拉(Euler) 方程方程 ).()(294 11111xfyadxdyxadxydxadxydxnnnnnnnn naaa,.,21为常数。为常数。其中其中引入自变量代换引入自

26、变量代换tex tx lndtedxt dtdyedxdtdtdydxdyt dtdyx 1 )(22dtdyedxddxydtdxdtdtydedtdyett)(22)(222dtdydtydet )(1222dtdydtydx 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-6-18常微分方程-重庆科技学院-李可人2929假设假设自然数自然数 m 有以下关系式成立，有以下关系式成立，)(11111dtdydtyddtydxdxydmmmmmmmm )(1111111dtdydtyddtydxdxddxydmmmmmmmm

27、 dxdtdtdydtyddtydedtdmmmmmmt )(1111tmmmmmmtmmmmmmtedtdydtyddtyddtdedtdydtyddtydme)()(11111111 )(11111dtdydtyddtydxmmmmmm 为常数121, m 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-6-18常微分方程-重庆科技学院-李可人3030对一切自然数对一切自然数 m 均有以下关系是成立，均有以下关系是成立，)(11111dtdydtyddtydxdxydmmmmmmmm 原方程原方程).()(304 111

28、1tnnnnnnefybdtdybdtydbdtyd 可化为常系数线性方程可化为常系数线性方程 ).()(294 11111xfyadxdyxadxydxadxydxnnnnnnnn tex 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-6-18常微分方程-重庆科技学院-李可人3131欧拉方程欧拉方程tex 常系数线性方程常系数线性方程tkey kxy 0)( kF0)( kF确定确定求解欧拉方程的过程求解欧拉方程的过程011111 yadxdyxadxydxadxydxnnnnnnnn设设kxy 是欧拉方程的解是欧拉方程

29、的解011112knknknkxakxaxkkaxnkkk)()()( 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-6-18常微分方程-重庆科技学院-李可人32320211111 knnxakankkankkk)()()()(0)2() 1() 1() 1(11 nnakankkkankkk )(kFnnakankkkankkk 11)2() 1() 1() 1(解齐次欧拉方程的步骤解齐次欧拉方程的步骤第一步：写出特征方程，并求特征根第一步：写出特征方程，并求特征根第二步：求出的基本解组第二步：求出的基本解组先求出变换以

30、后方程的基本解先求出变换以后方程的基本解组组再求出原方程的基本解组再求出原方程的基本解组第三步：写出原方程的通解第三步：写出原方程的通解 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-6-18常微分方程-重庆科技学院-李可人3333例例5求方程求方程0222 ydxdyxdxydx的通解。的通解。解解01) 1()( kkkkF , 12, 1 k,te第三步：写出通解第三步：写出通解tte第一步：写出特征方程，并求特征根第一步：写出特征方程，并求特征根第二步：求出基本解组第二步：求出基本解组tex xxxln ,xxcx

31、cxyln)(21 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-6-18常微分方程-重庆科技学院-李可人3434例例6求方程求方程053222 ydxdyxdxydx的通解。的通解。解解053) 1()( kkkkF 212, 1ik tetett2sin ,2cos 第三步：写出通解第三步：写出通解第一步：写出特征方程，并求特征根第一步：写出特征方程，并求特征根第二步：求出基本解组第二步：求出基本解组tex 0522 kkxxxxln2sin1 ,ln2cos1)ln2sinln2cos(1)(21xcxcxxy 4.

32、2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-6-18常微分方程-重庆科技学院-李可人xLdtdD nnnnaDaDaDL111), 2 , 1(niai)(tf令令L L 为线性微分算子。为线性微分算子。为常数，为常数，为连续函数。为连续函数。).()(3241111tfxadtdxadtxdadtxdnnnnnn 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE4.2.3比较系数法与拉普拉斯变换法比较系数法与拉普拉斯变换法/ Comparison Coeffici

33、ents Method And Laplace Transform /2022-6-183535常微分方程-重庆科技学院-李可人0 xL0)(11nnnaaF基本解组或通解基本解组或通解)(tfxL常数变易法常数变易法特解特解相相加加比较系数法与拉普拉斯变换法比较系数法与拉普拉斯变换法 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-6-183636常微分方程-重庆科技学院-李可人tmmmmebtbtbtbtf 1110)()(mbbb,10（一）比较系数法（一）比较系数法/Comparison Coefficients M

34、ethod/类型类型/Type One/其中其中为确定的实常数。为确定的实常数。 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE结论结论方程方程 (4.32) 有一特解为以下形式有一特解为以下形式tmmmmkeBtBtBtBtx 1110)(其中其中mBBB,10为待定系数，为待定系数，k对应的特征方程对应的特征方程 来决定，来决定，由由(4.32)0)(F是特征根时，是特征根时，k为为 的重数，的重数，不是特征根时，不是特征根时，0k2022-6-183737常微分方程-重庆科技学院-李可人texdtdxdtxd3222ttAte

35、Aetx 032213,tetxdtdxdtxd)(132222022 ()()ttxtAtBtC eAtBtC e 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-6-183838常微分方程-重庆科技学院-李可人即证明即证明 能由已知条件唯一确定。能由已知条件唯一确定。（1） 不是特征根不是特征根0mmmmbtbtbtbtf1110)(0)0(F0nammmmBtBtBtBx1110iB1）0要证明要证明(4.32)有解有解比较同次幂的系数，得比较同次幂的系数，得xL).()(3241111tfxadtdxadtxdadt

36、xdnnnnnn事实上，将其代入方程，事实上，将其代入方程， 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-6-183939常微分方程-重庆科技学院-李可人00bBan1011bmBaBann202112) 1() 1(bBmmaBmaBannnmmnmnmnbBaBaBa221120namBBB,10可唯一确定。可唯一确定。 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-6-184040常微分方程-重庆科技学院-李可人其特征方程为其特征方程为 011

37、kknnnaa（2） 是是 k 重特征根重特征根0也就是也就是011knnnaaa0kna原方程为原方程为)(111tfdtxdadtxdadtxdkkknnnnn令令zdtxdkk)(mmmmkBtBtBtBtx1110 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-6-184141常微分方程-重庆科技学院-李可人).()(364111tfzadtzdadtzdknknknknkn0kna对方程对方程(4.36) ，0不是不是 (4.36) 的特征根，的特征根，有如下形式的特解有如下形式的特解mmmmBtBtBtBz11

38、10mmmmkkBtBtBtBdtxd1110 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-6-184242常微分方程-重庆科技学院-李可人 为确定的数。为确定的数。tBtmBtmBdtxdmmmkk111011)(110mmmktttxm,10 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-6-184343常微分方程-重庆科技学院-李可人).()(3241111tPexadtdxadtxdadtxdmtnnnnnn).( 374 01111mmnn

39、nnnnbtbyAdtdyAdtydAdtyd为确定的常数。为确定的常数。nAAA,212 2）如果）如果0tyex 引入引入当当 是是(4.32) 的的 k 重特征根，重特征根，则则0就是就是 (4.37) 的的 k 重特征根重特征根 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-6-184444常微分方程-重庆科技学院-李可人当当 不是不是(4.32) 对应齐次方程的特征根，对应齐次方程的特征根，则则 0 就不是就不是(4.37)的特征根。的特征根。利用利用1）的讨论，）的讨论，故故 (4.37)有形如以下的特解有形如

40、以下的特解mmmmBtBtBtBy1110tyex(4.32)有形如有形如)(mmmmtBtBtBtBex1110的特解的特解 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-6-184545常微分方程-重庆科技学院-李可人当当 是是(4.32) 的的 k 重特征根，重特征根，)(mmmmkBtBtBtBty1110(4.32)有特解为有特解为tmmmmkeBtBtBtBtx 1110)(则则0就是就是 (4.37) 的的 k 重特征根重特征根 4.2 Solving Method of Constant Coefficie

41、nts Linear ODE2022-6-184646常微分方程-重庆科技学院-李可人例例1 1 133222txdtdxdtxd解解1032213,通解通解ttecec3212用比较系数法求一特解用比较系数法求一特解0 0不是特征根，不是特征根， 则方程有形如则方程有形如 的特解的特解BAtx13)(32tBAtA13233BAA31, 1BA通解通解31321tececxtt求方程求方程的通解的通解.先求对应齐次方程的通解先求对应齐次方程的通解3 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-6-184747常微分方程

42、-重庆科技学院-李可人texdtdxdtxd3222解解 13 1,ttececx3212-1-1是特征根，是特征根，ttAteAetx ttAteAextttttAteAeAteAeAex 2tttttteAteAteAeAteAe3)(2241Attex413通解通解tttteececx41321例例2 2求方程求方程的通解的通解 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-6-184848常微分方程-重庆科技学院-李可人)5(332233texdtdxdtxddtxdt解解101332313 , 2, 1tetct

43、cc)(23212设设teBAttx)(3241A65B3ttettetctccx)20(241)(32321例例3 3求方程求方程的通解的通解 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-6-184949常微分方程-重庆科技学院-李可人例例4 4 求求 的通解的通解. .txx txt 642set lnst064) 1(kkk0652 kk3 221kk,06522dsdxdsxdsexdsdxdsxd6522原方程化为原方程化为 解解变换后，对应齐次方程的特征方程为变换后，对应齐次方程的特征方程为变换后，为常系数方

44、程变换后，为常系数方程ssecec3221 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODEssAeAesx0165AAAtexs212121A原方程的通解为原方程的通解为 ttctctx213221)(ssseececsx213221)(2022-6-185050常微分方程-重庆科技学院-李可人)()(tftfxL21若若)(tfxL1有特解有特解)(tx1)(tfxL2)(tx2有特解有特解则则)()(tftfxL21有特解有特解)()(txtx21 4.2 Solving Method of Constant Coefficie

45、nts Linear ODE2022-6-185151常微分方程-重庆科技学院-李可人练习练习222331td xdxxtedtdt 032213,特解特解BAt 311B,A311 tx特解特解 tAte41Attex412ttttetececx4131231 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-6-185252常微分方程-重庆科技学院-李可人类型类型/Type Two/Type Two/tettBttAtf sin)(cos)()(,)(),(tBtAtmtBtA)(),(max(其中其中为实数，为实数，是是

46、的实系数多项式的实系数多项式 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE方程方程(4.32)(4.32)有特解有特解tkettQttPtxsin)(cos)()(),(tQtPmk由由i决定决定当当i是特征方程是特征方程0)(F为重数为重数k是次数不高于是次数不高于的多项式，的多项式，的根时，的根时，0k当当i不是特征方程不是特征方程0)(F的根时，的根时，结论结论2022-6-185353常微分方程-重庆科技学院-李可人ttietite sincos)(ttietite sincos)(2 tititeete)()(cosie

47、etetitit2 )()(sin)()()(titieei21 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-6-185454常微分方程-重庆科技学院-李可人()()()()( )( )( )()22ititititeeB tf tA tieetettBttAtf sin)(cos)()(titietiBtAetiBtA)()()()()()(22)()(tftf21 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE显然显然)()()()()(_tfetiBtA

48、tfti212)(tfxL1)(tfxL2tiketDtx)()(1tiketDtx)()(221xxxtiktiketDtetDttx)()()()()(2022-6-185555常微分方程-重庆科技学院-李可人tiktiketDtetDttx)()()()()()()(tititketDetDet )sin)(cos()sin)(cos(tittDtittDettk 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE)sin)(cos)(ttQttPettk)sin)()(cos)()(ttDtDittDtDettk )sin)(c

49、os()sin)(cos(tittDtittDettk )(),(tQtPm是次数不高于是次数不高于的多项式。的多项式。2022-6-185656常微分方程-重庆科技学院-李可人例例5 5 求方程求方程 的通解的通解 txdtdxdtxd2cos44220442221,tetcc221)(tBtAx2sin2cos04841484BABABA81 0BA,tx2sin81tetcctxt2sin81)()(221设方程的特解形如：设方程的特解形如：解解齐次方程的通解齐次方程的通解为为原方程的通解为原方程的通解为 4.2 Solving Method of Constant Coefficien

50、ts Linear ODE2022-6-185757常微分方程-重庆科技学院-李可人练习练习2244cos22sind xdxxttdtdt解解2244cos2d xdxxtdtdt的特解的特解. .22442sind xdxxtdtdt试求方程 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE2022-6-185858常微分方程-重庆科技学院-李可人若若0dttfest）（）（sF0dttfest）（)( tf), 0)(tf)()(sFtfL（二（二 ）拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法 /Laplace Transform /附录附录

51、1拉普拉斯变换拉普拉斯变换拉普拉斯变换定义拉普拉斯变换定义/Definition of Laplace Transform/ 对于在对于在上有定义的函数上有定义的函数对于已给的一些对于已给的一些 （一般为复数）存在，则称（一般为复数）存在，则称s为函数为函数的拉普拉斯变换，记为的拉普拉斯变换，记为TstTdttfe0）（lim2022-6-185959常微分方程-重庆科技学院-李可人f (t)称为称为Laplace Transform 的原函数，的原函数，F(s)称为称为f (t)的的象函数象函数. 拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法存在性存在性/E Existence of Laplace Tra

52、nsform/ 是分段连续的是分段连续的, 并且并且 常数常数)(tf0t0M00ttMetf )(sRe)(tf假若函数假若函数在在的每一个有限区间上的每一个有限区间上使对于所有的使对于所有的都有都有成立成立则当则当时时,的的Laplace Transform是存在的。是存在的。1 Definition of Laplace Transform 2022-6-186060常微分方程-重庆科技学院-李可人1)(tf)(0 t01dtest 例例1 limsessTT11s10sRe)(Re0 11ssL当当即即limTstTes011 Definition of Laplace Transfo

53、rm 2022-6-186161常微分方程-重庆科技学院-李可人例例2 ( 是给定的实数或复数是给定的实数或复数 ) ztetf)(zzteL0dteeztst)0)(Re( zs)Re(Rezs 0dtetzs)(zs1zteLzs11 Definition of Laplace Transform 2022-6-186262常微分方程-重庆科技学院-李可人拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质/ Properties of Laplace Transform/ )(),(tgtf)()()()(tgLtfLtgtfL1 线性性质线性性质 如果如果是原函数是原函数,和和是任意两个常数是

54、任意两个常数(可以是复数可以是复数)，则有，则有左左=0dttgtfest)()(00dttgedttfestst)()()()(tgLtfL右右2 Properties of Laplace Transform 2022-6-186363常微分方程-重庆科技学院-李可人显然，若显然，若 为实函数，为实函数，vutivtutf,),()()( )()()(tviLtuLtfLs)(tfL000)()()(dttveidttuedttfeststst)( tvL)()(tviLtuL)(ImtfL例例1 如果原函数为如果原函数为为实函数，则为实函数，则则则)( tuL)(RetfL2 Prope

55、rties of Laplace Transform 2022-6-186464常微分方程-重庆科技学院-李可人00dtedteetwisiwtst)(12sstLcos112stLsin22wsswtLcos22wswwtLsin)(0 1siws2222wswiwsssincoswtiLwtLiwteLwtiwtetfiwtsincos)(2 Properties of Laplace Transform 2022-6-186565常微分方程-重庆科技学院-李可人2 原函数的微分性质原函数的微分性质)(,),(),()(tftftfn )(tfL)()(0ftfsL)()(tfLn)(tf

56、Lsn)(01fsn)()()(0012nnffs)()(tfk0t)0()(kf( )0lim( )kTfT如果如果都是原函数，则有都是原函数，则有或或如果如果在在处不连续，则处不连续，则理解为理解为2 Properties of Laplace Transform 2022-6-186666常微分方程-重庆科技学院-李可人 )(tfL)(limtdfestTT0证证0)( dttfestTstTstTdttfestfe00)()(lim)()(0ftfsL)(Re0s)()(tfLn 1)()(tfLsn 1)()()()(000232nnnffsfs假定假定成立成立2 Propertie

57、s of Laplace Transform 2022-6-186767常微分方程-重庆科技学院-李可人)()(tfLn)()(tfsLn 1)()(01nf)()()()()()()(00 001221nnnnnfsffsfstfLs证毕证毕3 象函数的微分性质象函数的微分性质)()(tfLsF0)()(dttftesFst0)()() 1()(dttfetsFstnnn)()()(tfLdsdtftLnnnn12 Properties of Laplace Transform 2022-6-186868常微分方程-重庆科技学院-李可人)()()(tfLdsdtftLnnnn1 另外，另外，令令1)(tf)(Re!)()(0 111ssnsdsdtLnnnnn拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换 /Inverse of Laplace Transform /已知象函数，求原函数已知象函数，求原函数)()(tfsFL1也具有线性性质也具有线性性质)()(sFcsFcL22111)()(sFLcsFLc2121112022-6-186969常微分方程-重庆科技学院-李可人)()(sFcsFcL22111)()(0220111dttfecdttfecLstst)()(dt