辽宁师范大学计算机与信息技术学院宋传鸣数字图像处理dtft定理教学文案

1、Page 1辽辽宁宁师师范大范大学计学计算机算机与与信息技信息技术学术学院院 宋宋传传鸣鸣数数字字图图像像处处理理辽宁师范大学计算机与信息技术学院宋传鸣数字图像处理DTFT定理Page 2辽辽宁宁师师范大范大学计学计算机算机与与信息技信息技术学术学院院 宋宋传传鸣鸣数数字字图图像像处处理理连续时间信号的傅里叶变换定义连续时间信号的傅里叶变换定义u连续时间信号连续时间信号xa(t)的频域表示由的频域表示由CTFT给出给出:pCTFT通常也称为通常也称为傅里叶谱傅里叶谱.uxa(t)可由其可由其CTFT通过逆变换得到通过逆变换得到,即即p其中其中, 表示连续时间的角频率变量表示连续时间的角频率变量

2、,量纲为弧度量纲为弧度.u由于由于 称为称为幅度谱幅度谱, 称为称为相位谱相位谱连续时间傅里叶变换连续时间傅里叶变换(CTFT)()()j taaXjxt edt+ - W- W =()()12j taaxtXjedp+ W- =WWRW ()()( )( )()()argajaaaaXjXjeXjqqWW =WW =W()aXjW( )aqWPage 3辽辽宁宁师师范大范大学计学计算机算机与与信息技信息技术学术学院院 宋宋传传鸣鸣数数字字图图像像处处理理连续时间信号的傅里叶变换定义连续时间信号的傅里叶变换定义uCTFT存在的条件存在的条件(狄利克雷狄利克雷Dirichlet条件条件)p在任何

3、一个有限的区间内在任何一个有限的区间内,信号具有有限个不连续点信号具有有限个不连续点,且极值数目有且极值数目有限限p信号绝对可积信号绝对可积u例例1:令令 ,求其求其CTFT.u由于由于 ,它的傅里叶变换为它的傅里叶变换为连续时间傅里叶变换连续时间傅里叶变换(CTFT)()()()0,000taetxttaa-=()01taxt dtedtaa+ + - = 蝌()()()()00arctan/22jttj tajXjeedtedtjeaaaaa+ + -+ W- W-WW = = 1+W =+ W蝌Page 4辽辽宁宁师师范大范大学计学计算机算机与与信息技信息技术学术学院院 宋宋传传鸣鸣数数

4、字字图图像像处处理理连续时间信号的傅里叶变换定义连续时间信号的傅里叶变换定义u例例2:计算理想冲激函数计算理想冲激函数 的的CTFT.u例例3:计算移位冲激函数计算移位冲激函数 的的CTFT.连续时间傅里叶变换连续时间傅里叶变换(CTFT)()td()()1j tjt edtd+ - W- DW =(抽样性质抽样性质)()()0axtttd=-()()00j tj taXjtt edted+ - W- W- W =-=Page 5辽辽宁宁师师范大范大学计学计算机算机与与信息技信息技术学术学院院 宋宋传传鸣鸣数数字字图图像像处处理理带限连续时间信号带限连续时间信号u理想带限信号在有限频率范围理想

5、带限信号在有限频率范围 之外为之外为0,即即 u理想带限信号是不可能产生的理想带限信号是不可能产生的.实际中只能保证实际中只能保证带限信号在其频率范带限信号在其频率范围之外的能量足够小围之外的能量足够小u根据绝大部分能量集中的频率段分类根据绝大部分能量集中的频率段分类:p低通低通: , 称为信号的带宽称为信号的带宽p高通高通:p带通带通:连续时间傅里叶变换连续时间傅里叶变换(CTFT)pW()1,00,aabXj W WW =W W + 0p W W + abW W W0p W W + 0LH W W W + Page 6辽辽宁宁师师范大范大学计学计算机算机与与信息技信息技术学术学院院 宋宋传

6、传鸣鸣数数字字图图像像处处理理一维离散傅里叶正变换一维离散傅里叶正变换 一维离散傅里叶逆变换一维离散傅里叶逆变换离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换(DTFT)( )( )120uxNjNxF uf x ep-=( )( )1201uxNjNxf xF u eNp-=Page 7辽辽宁宁师师范大范大学计学计算机算机与与信息技信息技术学术学院院 宋宋传传鸣鸣数数字字图图像像处处理理 令令f(x,y)表示一幅大小为表示一幅大小为MN的图像的图像,其中其中x=1,2,M1, y=1,2,N1,则则f的傅里叶变换为的傅里叶变换为uu=1,2,M1, v=1,2,N1 F的逆变换为的逆变换为二维离散傅里

7、叶变换二维离散傅里叶变换()()11200,uxvyMNjMNxyF u vf x y ep骣-+琪桫=邋()()11200,uxvyMNjMNuvf x yF u v ep骣-+琪桫=邋Page 8辽辽宁宁师师范大范大学计学计算机算机与与信息技信息技术学术学院院 宋宋传传鸣鸣数数字字图图像像处处理理二维傅里叶变换的平移特性二维傅里叶变换的平移特性u图像在空间域平移图像在空间域平移(a,b),那么在变换域中该图像的傅里叶频谱会发生一那么在变换域中该图像的傅里叶频谱会发生一定的相移定的相移,即乘以一个系数即乘以一个系数二维离散傅里叶变换二维离散傅里叶变换2uavbjMNep骣-+琪桫Page 9

8、辽辽宁宁师师范大范大学计学计算机算机与与信息技信息技术学术学院院 宋宋传传鸣鸣数数字字图图像像处处理理二维傅里叶变换的旋转特性二维傅里叶变换的旋转特性u图像在空间域旋转图像在空间域旋转a度度,那么在变换域中该图像的傅里叶频谱也旋转那么在变换域中该图像的傅里叶频谱也旋转a度度二维离散傅里叶变换二维离散傅里叶变换Page 10辽辽宁宁师师范大范大学计学计算机算机与与信息技信息技术学术学院院 宋宋传传鸣鸣数数字字图图像像处处理理二维傅里叶变换的线性特性二维傅里叶变换的线性特性二维离散傅里叶变换二维离散傅里叶变换DFTDFTDFTAB0.25 * A + 0.75 * BPage 11辽辽宁宁师师范大

9、范大学计学计算机算机与与信息技信息技术学术学院院 宋宋传传鸣鸣数数字字图图像像处处理理二维傅里叶变换的比例特性二维傅里叶变换的比例特性二维离散傅里叶变换二维离散傅里叶变换DFTDFTABPage 12辽辽宁宁师师范大范大学计学计算机算机与与信息技信息技术学术学院院 宋宋传传鸣鸣数数字字图图像像处处理理特殊函数的二维傅里叶变换特殊函数的二维傅里叶变换二维离散傅里叶变换二维离散傅里叶变换Sine wave RectangleIts DFT Its DFT Page 13辽辽宁宁师师范大范大学计学计算机算机与与信息技信息技术学术学院院 宋宋传传鸣鸣数数字字图图像像处处理理特殊函数的二维傅里叶变换特殊

10、函数的二维傅里叶变换二维离散傅里叶变换二维离散傅里叶变换2D Gaussianfunction ImpulsesIts DFT Its DFT Page 14辽辽宁宁师师范大范大学计学计算机算机与与信息技信息技术学术学院院 宋宋传传鸣鸣数数字字图图像像处处理理JPEG中的吉布斯现象中的吉布斯现象离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换(DTFT)Page 15辽辽宁宁师师范大范大学计学计算机算机与与信息技信息技术学术学院院 宋宋传传鸣鸣数数字字图图像像处处理理JPEG中的吉布斯现象中的吉布斯现象离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换(DTFT)Page 16辽辽宁宁师师范大范大学计学计算机算机与与信

11、息技信息技术学术学院院 宋宋传传鸣鸣数数字字图图像像处处理理基于小波的视频编码中的吉布斯现象基于小波的视频编码中的吉布斯现象离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换(DTFT)Page 17辽辽宁宁师师范大范大学计学计算机算机与与信息技信息技术学术学院院 宋宋传传鸣鸣数数字字图图像像处处理理DTFT定理定理:假设假设u线性定理线性定理:u时间反转定理时间反转定理:u时移定理时移定理:u频移定理频移定理: u频域微分定理频域微分定理: u卷积定理卷积定理: u调制定理调制定理: u帕斯瓦尔关系帕斯瓦尔关系: 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换(DTFT) () (),FFjjg nG eh nH

12、eww ()()Fjjg nh nG eH ewwabab+()FjgnG ew-()00Fj njg nneG eww- ()()00jFjneg nG ewww- ()jFdG eng njdww () ()Fjjg nh nG eH eww* ( )()()12jFjg n h nG eH edpwqqpqp- ()()12Fjjg n hnG eHedpwwpwp*-Page 18辽辽宁宁师师范大范大学计学计算机算机与与信息技信息技术学术学院院 宋宋传传鸣鸣数数字字图图像像处处理理利用傅里叶变换的对称性利用傅里叶变换的对称性,采用图像边界褶翻操作将图像采用图像边界褶翻操作将图像变换为偶

13、函数形式变换为偶函数形式,然后对这样的图像进行二维离散傅里然后对这样的图像进行二维离散傅里叶变换叶变换,变换后的结果仅包含余弦项变换后的结果仅包含余弦项,称为离散余弦变换称为离散余弦变换一维离散余弦变换的定义一维离散余弦变换的定义u其中其中一维离散余弦逆变换的定义一维离散余弦逆变换的定义离散余弦变换离散余弦变换(DCT)( )( )( )()()1021cos0,1,2,12NxxuC ua uf xuNNp-=+=-L( )1,02,1,2,1Nua uNuN=- L( )( )( )()()1021cos0,1,2,12Nuxuf xa uC uuNNp-=+=-LPage 19辽辽宁宁师

14、师范大范大学计学计算机算机与与信息技信息技术学术学院院 宋宋传传鸣鸣数数字字图图像像处处理理二维离散余弦变换的定义二维离散余弦变换的定义u其中其中二维离散余弦逆变换的定义二维离散余弦逆变换的定义离散余弦变换离散余弦变换(DCT)( )1,02,1,2,1Nua uNuN=- L()1100(21)(21)( , )( ) ( ),coscos22MNxyxuyvC u va u a vf x yMNpp-=+=邋( )1,02,1,2,1Mva vMvM=- L1100(21)(21)( , )( ) ( ) ( , )coscos22MNuvxuyvf x ya u a v C u vMNp

15、p-=+=邋0,1,2,1;0,1,2,uNvM=-=LL0,1,2,1;0,1,2,xNyM=-=LLPage 20辽辽宁宁师师范大范大学计学计算机算机与与信息技信息技术学术学院院 宋宋传传鸣鸣数数字字图图像像处处理理二维离散余弦变换的示例二维离散余弦变换的示例离散余弦变换离散余弦变换(DCT)Page 21辽辽宁宁师师范大范大学计学计算机算机与与信息技信息技术学术学院院 宋宋传传鸣鸣数数字字图图像像处处理理傅里叶变换和余弦变换的物理意义傅里叶变换和余弦变换的物理意义u将以灰度信息表示的图像转变成以不同频率信息表示的图像将以灰度信息表示的图像转变成以不同频率信息表示的图像u图像的频率表征图像中灰度变化剧烈程度的指标图像的频率表征图像中灰度变化剧烈程度的指标,是灰度在平面空间是灰度在平面空间上的梯度上的梯度u频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系离散余弦变换离散余弦变换(DCT)Page 22辽辽宁宁师师范大范大学计学计算机算机与与信