数学问题解决教学设计(含附中案例)

1、1数学问题解决教学设计数学问题解决教学设计l 所谓所谓“问题问题”，就意味着要去寻找适当的行动，以达到一个，就意味着要去寻找适当的行动，以达到一个可见而可见而不立即可及不立即可及的目标。的目标。 波利亚（美籍匈牙利著名数学家、数学教育家）波利亚（美籍匈牙利著名数学家、数学教育家）l 问题是对人具有智力挑战特征的、没有现成的直接方法、程序或算问题是对人具有智力挑战特征的、没有现成的直接方法、程序或算法的待解决问题情境。法的待解决问题情境。 第六届国际数学教育大会（第六届国际数学教育大会（ICME-6ICME-6）问题的特征问题的特征l 不稳定性（问题性）不稳定性（问题性） 系统（系统（S, R）

2、即问题，若构成）即问题，若构成R的诸要素中至少有一个是的诸要素中至少有一个是S不知道的。不知道的。 其中，其中，S表示人，表示人，R表示集合或系统。表示集合或系统。l 障碍性障碍性 不能顺利实现解决问题的过程。不能顺利实现解决问题的过程。 问题的障碍性构成了对学生认识或思维的挑战。问题的障碍性构成了对学生认识或思维的挑战。 对小学生而言，它是一个问题。对小学生而言，它是一个问题。 对于一个高中生来说，它并非如此。对于一个高中生来说，它并非如此。 对于未学过二次函数知识、或从未解决对于未学过二次函数知识、或从未解决 过类似问题的学生而言，会感到困难；过类似问题的学生而言，会感到困难； 有过类似解

3、题经验，或学习了二次函数的有过类似解题经验，或学习了二次函数的 知识的学生，稍作分析即可解决问题。知识的学生，稍作分析即可解决问题。问题的特征问题的特征l 相对性相对性 x2=2求求“抛出去的铅球在到达抛出去的铅球在到达其其最高点时距离地面的高度最高点时距离地面的高度”结构良好的问题结构良好的问题 构成问题的各种成分对于学生来说都是确定的。构成问题的各种成分对于学生来说都是确定的。如对一名高三学生来说，解方程如对一名高三学生来说，解方程 2x2+3x-7=0，是一个结构良好的问题。是一个结构良好的问题。结构不良问题结构不良问题 构成问题的各种成分对学生来说不都是完全确定的。构成问题的各种成分对

4、学生来说不都是完全确定的。张、王、李三人分别掷张、王、李三人分别掷5个石子，结构如下图所示，规定所投石子个石子，结构如下图所示，规定所投石子“散度散度”（分散程度）最小者为优胜。请选出优胜者。（分散程度）最小者为优胜。请选出优胜者。问题的类型问题的类型l 按问题的结构分按问题的结构分 张张王王李李 数学问题解决数学问题解决即数学地解决一个初次遇到的新问题的过程。即数学地解决一个初次遇到的新问题的过程。数学问题解决的含义数学问题解决的含义l 数学问题解决的概念数学问题解决的概念 l 数学问题解决与解题数学问题解决与解题 解题：通常指解答习题。解题：通常指解答习题。 解题的实质解题的实质 解题指的

5、是找到一种一般的数学原理（定义、公理、定理、法则、定解题指的是找到一种一般的数学原理（定义、公理、定理、法则、定律、公式）或条件的推论（中间结果），通过一定的程序得到习题所要律、公式）或条件的推论（中间结果），通过一定的程序得到习题所要求的答案。求的答案。 问题解决与解题的相互关系问题解决与解题的相互关系 解题是一种基本的数学活动，但解题是一种基本的数学活动，但解题解题不能与不能与问题解决问题解决划等号。划等号。数学问题解决教学活动模式数学问题解决教学活动模式创设情境，创设情境，提出问题提出问题弄清问题弄清问题制定计划制定计划执行计划执行计划总结回顾总结回顾思考与交流思考与交流教材分析教材分析

6、1 人教旧版教材：人教旧版教材：全日制普通高级中学教科书全日制普通高级中学教科书数学数学（必修）（必修） 第一册第一册(上上) 。 全日制普通高级中学教科书全日制普通高级中学教科书数学数学（必修）（必修） 第一册第一册( (上上) ) 人教旧版人教旧版特殊特殊函数函数全日制普通高级中学教科书全日制普通高级中学教科书数学数学（必修）（必修） 第一册第一册( (上上) ) 人教旧版人教旧版特殊特殊函数函数全日制普通高级中学教科书全日制普通高级中学教科书数学数学（必修）（必修） 第一册第一册( (上上) ) 人教旧版人教旧版特殊特殊函数函数归纳归纳概括概括全日制普通高级中学教科书全日制普通高级中学教

7、科书数学数学（必修）（必修） 第一册第一册( (上上) ) 人教旧版人教旧版特殊特殊函数函数归纳归纳概括概括对于单调区间，对于单调区间，学生的认识是否学生的认识是否有困难？有困难？全日制普通高级中学教科书全日制普通高级中学教科书数学数学（必修）（必修） 第一册第一册( (上上) ) 人教旧版人教旧版教材分析教材分析2 人教新版教材：人教新版教材：普通高中课程标准实验教科书普通高中课程标准实验教科书数学数学 （必修（必修1 ）案例：案例：“一元一次不等式（组）、方程与函数的应用一元一次不等式（组）、方程与函数的应用”教学设计教学设计H. 弗赖登塔尔弗赖登塔尔（1905-1991）l以手机卡消费的

8、问题为素材创设问题情境以手机卡消费的问题为素材创设问题情境（该问题情境的解题条件和解题目标均不明确（该问题情境的解题条件和解题目标均不明确结构不良的问题情境）结构不良的问题情境）l要求学生根据情境信息，从已有知识、经验出发，通过独立思考与合要求学生根据情境信息，从已有知识、经验出发，通过独立思考与合作交流相结合的方式提出问题，进而师生合作，提供解决问题。最后作交流相结合的方式提出问题，进而师生合作，提供解决问题。最后拓展问题。拓展问题。l固定通话时间，哪种卡合算固定通话时间，哪种卡合算/l固定月话费，哪种卡合算？固定月话费，哪种卡合算？l各种卡分别在何种情况下使用才是合算的？各种卡分别在何种情

9、况下使用才是合算的？ 教学策略与方法：对于较为复杂的问题，师生一起分析、探求解决。注重教学策略与方法：对于较为复杂的问题，师生一起分析、探求解决。注重方法多样性，寻求最佳解法。方法多样性，寻求最佳解法。 学生情况分析：学生情况分析：l考虑到学生的能力水平，给出的情境信息力求清晰，简明。解决问题考虑到学生的能力水平，给出的情境信息力求清晰，简明。解决问题需考虑的因素不宜太多。需考虑的因素不宜太多。l学生最初的问题表达可能不是标准的数学问题，在解决问题时要让学学生最初的问题表达可能不是标准的数学问题，在解决问题时要让学生用数学语言清晰表达，并体会其意义。生用数学语言清晰表达，并体会其意义。l在具体

10、背景中理解一次函数、一元一次方程、一元一次不等式的意义，并能在具体背景中理解一次函数、一元一次方程、一元一次不等式的意义，并能有选择地应用它们来解决现实生活中的问题；有选择地应用它们来解决现实生活中的问题；l提高用函数、方程、不等式（组）表示、处理实际问题中的数量关系和变化提高用函数、方程、不等式（组）表示、处理实际问题中的数量关系和变化规律的能力；规律的能力；l提高分析和解决复杂的现实生活问题的能力，掌握解决问题的一般思维方法。提高分析和解决复杂的现实生活问题的能力，掌握解决问题的一般思维方法。 过程与方法过程与方法l经历从实际问题中抽象出数量关系、建立实际问题的数学模型。通过模型求经历从实

11、际问题中抽象出数量关系、建立实际问题的数学模型。通过模型求解来求得实际问题的解的过程；解来求得实际问题的解的过程；l经历将复杂问题分解、转化成简单问题、用数学语言表达现实问题的过程。经历将复杂问题分解、转化成简单问题、用数学语言表达现实问题的过程。 过程与方法过程与方法l体会方程、不等式、函数内容的联系，以及它们在解决实际问题中的作用。体会方程、不等式、函数内容的联系，以及它们在解决实际问题中的作用。l体会数学语言的精确性、数学思维的严谨性。体会数学语言的精确性、数学思维的严谨性。l一元一次不等式（组）、一元一次方程与一次函数的应用。一元一次不等式（组）、一元一次方程与一次函数的应用。 难点难

12、点l体会一元一次不等式（组）、一元一次方程与一次函数三者的联系。体会一元一次不等式（组）、一元一次方程与一次函数三者的联系。l问题情境的设计是关系本节课教学的成败的重要因素问题情境的设计是关系本节课教学的成败的重要因素l对贵阳市的初中学生而言，手机付费问题贴近生活，能激发兴趣，调动他们对贵阳市的初中学生而言，手机付费问题贴近生活，能激发兴趣，调动他们决绝问题的愿望。决绝问题的愿望。 课堂上，使用学生提出的问题。课堂上，使用学生提出的问题。 课后，设计必做题和选择题。课后，设计必做题和选择题。l独立思考与合作交流相结合。独立思考与合作交流相结合。l必做题：总结当天学习内容，写一篇数学周记；必做题

13、：总结当天学习内容，写一篇数学周记； 以其他生活问题为素材创设情境，问题结构与课堂类似，以其他生活问题为素材创设情境，问题结构与课堂类似，l选做题：对课堂问题作深化，给学有余力的同学做。选做题：对课堂问题作深化，给学有余力的同学做。 多媒体材料多媒体材料lPPT1：情境资料（展示信息）：情境资料（展示信息）lPPT2：拓展问题（展示信息）：拓展问题（展示信息）lPPT3：家庭作业必做题：家庭作业必做题lFlash课件：图像法解问题课件：图像法解问题2（提供示范）（提供示范） 板书（展示事实、呈现过程、解释原理）板书（展示事实、呈现过程、解释原理）（一）复习（一）复习l一元一次不等式（组）、一元

14、一次方程与一次函数的概念及其联系。一元一次不等式（组）、一元一次方程与一次函数的概念及其联系。 （二）引入情境（二）引入情境为为迎接迎接5.17电信日的到来电信日的到来,某电信公司推出三种手机卡供用户某电信公司推出三种手机卡供用户选择选择,收费标准如下收费标准如下:经济卡经济卡:月租费月租费30元元,通话费通话费0.2元元/分钟分钟亲情卡亲情卡:月租费月租费12元元,通话费通话费0.4元元/分钟分钟如意通如意通:没有月租费没有月租费,通话费通话费0.6元元/分钟分钟作为一名手机消费者作为一名手机消费者,你想了解哪些信息呢你想了解哪些信息呢?欢迎广大手机用户选择使用！欢迎广大手机用户选择使用！（

15、二）提出要求（二）提出要求对这则广告，同学们肯定有很多想法和疑问，请大家积极思考对这则广告，同学们肯定有很多想法和疑问，请大家积极思考, ,大胆发大胆发言。如果你是顾客，你将怎样做出选择？言。如果你是顾客，你将怎样做出选择？ 思考与交流思考与交流 形成问题的总框架形成问题的总框架 l问题性质：手机消费卡的最优决策问题问题性质：手机消费卡的最优决策问题l已知信息：三种手机卡及其收费标准，顾客根据自己的情况加以选已知信息：三种手机卡及其收费标准，顾客根据自己的情况加以选择。择。l所求问题：找出最合算的手机卡。（学生独立思考，再全班交流，所求问题：找出最合算的手机卡。（学生独立思考，再全班交流，教师

16、板书）教师板书） 表征情境信息表征情境信息l将三种卡的收费情况用数学关系表达出来，列出三种卡的通话费将三种卡的收费情况用数学关系表达出来，列出三种卡的通话费用用y(y(元元) )与通话时间与通话时间x(x(分钟分钟) )的函数关系式：的函数关系式：经济卡经济卡:y=0.2x+30 :y=0.2x+30 （1 1）亲情卡亲情卡:y=0.4x+12 :y=0.4x+12 （2 2）如意通如意通:y=0.6x :y=0.6x （3 3）l顾客情况：他每个月的通话时间、他每个月能花多少钱在手机的消顾客情况：他每个月的通话时间、他每个月能花多少钱在手机的消费上等等。费上等等。l合算：省钱（话费少）、可多

17、打电话（通话时间长）合算：省钱（话费少）、可多打电话（通话时间长） 将要解决的问题转化为具体较易解决的问题将要解决的问题转化为具体较易解决的问题 （学生可能用自然语言或数学语言表达他们的问题）（学生可能用自然语言或数学语言表达他们的问题）l 每月通话每月通话100100分钟时，使用哪种卡合算？分钟时，使用哪种卡合算？l 什么情况下，使用经济卡合算？什么情况下，使用亲情卡合算？什么情什么情况下，使用经济卡合算？什么情况下，使用亲情卡合算？什么情况下，使用如意通合算？况下，使用如意通合算？l 每月付费每月付费200200元时，使用哪种卡使自己能多打几分钟电话？元时，使用哪种卡使自己能多打几分钟电话

18、？l 如果一天打如果一天打1010分钟，一个月以三十天计，那么使用哪种卡合算？分钟，一个月以三十天计，那么使用哪种卡合算？l 什么情况下，三种卡收费相同？什么情况下，三种卡收费相同？l 一个人在某月中没有通话，应选哪种卡？一个人在某月中没有通话，应选哪种卡？l 当每月通话时间大于当每月通话时间大于250250分钟时，使用哪种卡合算？分钟时，使用哪种卡合算？l 每月话费每月话费150150元，使用哪种卡合算？元，使用哪种卡合算？ 进一步表征问题进一步表征问题 每月通话每月通话100100分钟时，使用哪种卡合算？分钟时，使用哪种卡合算？ 通话时间为多少分钟时，经济卡的花费最少？通话时间为多少分钟时

19、，通话时间为多少分钟时，经济卡的花费最少？通话时间为多少分钟时，亲情卡的花费最少？通话时间为多少分钟时，如意通的花费最少？亲情卡的花费最少？通话时间为多少分钟时，如意通的花费最少？ 若每月付费若每月付费200200元时，使用哪种卡通话时间最长？元时，使用哪种卡通话时间最长？ 如果一天打如果一天打1010分钟，一个月以三十天计，那么使用哪种卡花费最少？分钟，一个月以三十天计，那么使用哪种卡花费最少？ 每月通话时间为多少时，三种卡的通话费用相同？每月通话时间为多少时，三种卡的通话费用相同？ 某人因特殊情况在一个月不需用手机通话，那么他在该月应该选择买哪某人因特殊情况在一个月不需用手机通话，那么他在

20、该月应该选择买哪种手机卡？种手机卡？ 探索问题解法，并对问题按方法进行归类探索问题解法，并对问题按方法进行归类 问题问题1,4,61,4,6自变量一定，比较不同函数函数值的大小自变量一定，比较不同函数函数值的大小解一元一次方程解一元一次方程问题问题3,83,8函数值一定，比较不同函数自变量的取值大小函数值一定，比较不同函数自变量的取值大小问题问题2 2根据不同函数值之间的关根据不同函数值之间的关系，求自变量的取值范围。系，求自变量的取值范围。不等不等解一元一次不等式组解一元一次不等式组问题问题5 5相等相等解一元一次方程解一元一次方程问题问题7 7在自变量的某变化范围内比较不同函数函数值在自变量的某变化范围内比较不同函数函数值的大小。的大小。 试误法试误法 确定问题解决的顺序确定问题解决的顺序 按照学生对解题方法熟悉的程度，可确定如下问题解决顺序：按照学生对解题方法熟悉的程度，可确定如下问题解决顺序： 问题问题1,4,61,4,6问题问题3,83,8问题问题22问题问题55问题问题7 7 资源配置资源配置 学生非常熟悉问题学生非常熟悉问题1,4,61,4,6和问题和问题3,83,8的解法，由学生独立完成，每人从中的解法，