导数和函数性质

1、第六讲 导数和函数性质 构造法 在利用导数研究函数的性质，证明不等式等解题过程中，常常要构造函数，构造方程等来促成问题的解决 例1已知函数f(x)ax33x2x1在R上是减函数，求a的取值范围 解析：f (x)3ax26x1. f(x)是R上的减函数f (x)0恒成立 即3ax26x10在xR上恒成立， a0且3612a0，a3. 点评：此类问题的易错点是a3时，该函数也是R上的减函数，符合题目要求，好多学生在解此类问题时，往往丢掉等号 函数yx3axb在(1,1)上为减函数，在(1，)上为增函数，则() Aa1，b1Ba1，bR Ca3，b3 Da3，bR 解析：f (x)3x2a，由条件f

2、 (1)0， a3，bR. 答案：D 答案：A (文)函数yxcosxsinx,0 x2的单调减区间为_ 解析：ycosxx(sinx)cosxxsinx， 当x(0，)时，y0. 此函数的单调减区间是(0， 答案：(0， (理)(09广东)函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是 () A(，2) B(0,3) C(1,4) D(2，) 解析：f (x)ex(x3)exex(x2)， 由f (x)0得，x2. f(x)在(2，)上是增函数 答案：D 例3已知函数f(x)x36x29xm. (1)求f(x)的单调递增区间 (2)若f(x)在区间0,4上的最小值为2，求它在该区间上的最大值 解析

3、：(1)f (x)3x212x93(x1)(x3)，由f (x)0得，1x3. f(x)在区间(1,3)上单调递增 (2)由f (x)0得x3， f(x)在0,1上单调递减，在1,3上单调递增，在3,4上单调递减，f(0)m，f(1)m4，f(3)m，f(4)m4，且m40，f(x)为增函数，x(0,2)时，f (x)0，f(x)为增函数 只有C符合题意，故选C. 答案：C下图是函数yf(x)的导函数yf (x)的图象，对此图象，有如下结论：在区间(2,1)内f(x)是增函数；在区间(1,3)内f(x)是减函数；x2时，f(x)取到极大值；在x3时，f(x)取到极小值其中正确的是_(将你认为正

4、确的序号填在横线上) 答案： 答案：D (理)设a为实数，函数f(x)x3ax2(a21)x在(，0)和(1，)上都是增函数，则a的取值范围是_ 解析：f (x)3x22ax(a21)， 其判别式128a2. 例6函数f(x)是定义在1,0)(0,1上的偶函数，当x1,0)时，f(x)x3ax(aR) (1)当x(0,1时，求f(x)的解析式； (2)若a3，试判断f(x)在(0,1上的单调性，并证明你的结论； (3)是否存在实数a，使得当x(0,1时，f(x)有最大值1? 分析：先用转化的方法求出f(x)在(0,1上的解析式，然后求其导数f (x)，判断f (x)的符号得出其单调性，再结合单

5、调性讨论其最值的存在性，判断能否取得最大值1. 解析：(1)当x(0,1时，x1,0)， f(x)x3ax， 函数f(x)是偶函数， f(x)x3ax(x(0,1) (2)f (x)3x2a， x(0,1，3x23,0)， 又a3，3x2a0. 即f (x)0，f(x)在(0,1上是增函数已知函数f(x)x3bx2cxd的图象过点P(0,2)，且在点M(1，f(1)处的切线方程为6xy70.(1)函数yf(x)的解析式为_；(2)函数yf(x)的单调增区间为_解析：(1)由f(x)的图象经过点P(0,2)知d2，f(x)x3bx2cx2，f (x)3x22bxc.由在点M(1，f(1)处的切线

6、方程是6xy70，知6f(1)70，f(1)1，f (1)6. 重点难点 重点：1.用导数判定函数单调性的方法 2函数极值的概念及求法、函数的最值 难点：导函数的图象与函数单调性的关系 知识归纳 1函数的单调性 (1)设函数yf(x)在区间(a，b)内可导，如果f (x) 0，则f(x)在区间(a，b)内为增函数；如果f (x) 0，则f(x)在区间(a，b)内为减函数f(x0)，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极 值，称x0为函数f(x)的一个极 值点极大值与极小值统称为极值 (2)判断极值的方法：当函数f(x)在点x0处可导且f (x0)0. 如果在x0附近的左侧f (x) 0，右侧

7、f (x) 0，那么f(x0)为极大值； 如果在x0附近的左侧f (x) 0，右侧f (x) 0，那么f(x0)是极小值 (2)如果在某个区间内恒有f (x)0，则f(x)等于常数 对于可导函数f(x)来说，f (x)0是f(x)在(a，b)上为单调增函数的充分不必要条件，f (x)0是f(x)在(a，b)上为单调减函数的充分不必要条件，如f(x)x3在R上为增函数，但f (0)0，所以在x0处不满足f (x)0.(3)利用导数判断函数单调性的一般步骤求导数f (x)；在函数f(x)的定义域内解不等式f (x)0和f (x)0；根据的结果确定函数f(x)的单调区间2函数的极值(1)函数极值的定义：设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有点x，都有f(x)0(或f (x)0(或f (x)0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分条件 2若yf(x)在(a，b)内可导，f (x)0或f (x)0，且yf(x)在(a，b)内导数f (x)0的点仅有有限个，则yf(x)在(a，b)内仍是单调函数 3讨论含参数的函数的单调性时，必须注意分类讨论 4极值与最值的区别和联系 (1)函数的极值不一定是最值，需对极值和区间端点的函数值进