数学建模综合评价

1、数学建模中的数学建模中的常用综合评价方法常用综合评价方法 综合评价就是运用多个指标对多个参评单位进综合评价就是运用多个指标对多个参评单位进行评价的方法，称为多变量综合评价方法，又称综行评价的方法，称为多变量综合评价方法，又称综合评价法，其基本思想是将多个指标转化为一个能合评价法，其基本思想是将多个指标转化为一个能够反映综合情况的指标来进行评价。够反映综合情况的指标来进行评价。 特点特点（1 1）评价过程不是逐个指标顺次完成的，而是通过）评价过程不是逐个指标顺次完成的，而是通过一些特殊方法将多个指标的评价同时完成的。一些特殊方法将多个指标的评价同时完成的。（2 2）在综合评价过程中，一般要根据指

2、标的重要性）在综合评价过程中，一般要根据指标的重要性进行加权处理。进行加权处理。（3 3）评价结果不再是具有具体含义的统计指标，而）评价结果不再是具有具体含义的统计指标，而是以指数或分值表示参评单位是以指数或分值表示参评单位“综合状况综合状况”的排序。的排序。指标机型最大速度(马赫)最大范围(公里)最大负载(千克)费用(106美元)可靠性灵敏度12.01500200005.5一般很高22.52700180006.5高一般31.82000210004.5低高42.21800150005.0一般一般引例引例: : 某航空公司在国际市场上购买飞机某航空公司在国际市场上购买飞机, ,按按6 6个决策指

3、标个决策指标对不同型号的飞机进行综合评价，最后决定购买的机型对不同型号的飞机进行综合评价，最后决定购买的机型. . 综合评价的一般步骤综合评价的一般步骤 对某事件进行多因素综合评价的过程，实质上就是对某事件进行多因素综合评价的过程，实质上就是科学研究与科学研究与决策决策的过程，原则上应包括的过程，原则上应包括设计、收集资料和分析资料设计、收集资料和分析资料几个基几个基本阶段，实施中应着重注意以下几个本阶段，实施中应着重注意以下几个基本环节基本环节。选择恰当的评价指标选择恰当的评价指标(evaluation indicator)(evaluation indicator)确定各评价指标权重确定各

4、评价指标权重合理确定各单个指标的评价等级合理确定各单个指标的评价等级(evaluation grade)(evaluation grade)及其界限及其界限建立综合评价模型建立综合评价模型( (syntheticalsynthetical evaluation model) evaluation model)确定多指标综合评价的等级数量界限，并根据实践对已建立模确定多指标综合评价的等级数量界限，并根据实践对已建立模 型考察、修改及完善。型考察、修改及完善。研究目的研究目的评价指标评价指标权重权重的计算的计算 确定指标权重方法确定指标权重方法主观定权法主观定权法客观定权法客观定权法专家评分法专家

5、评分法成对比较法成对比较法Saaty权重法权重法秩和比法秩和比法相关系数法相关系数法其它方法其它方法模糊定权法模糊定权法熵权法熵权法 定权带有一定的主观性，用不同方法确定的权重分配，可能不尽一定权带有一定的主观性，用不同方法确定的权重分配，可能不尽一致，这将导致权重分配的不确定性，最终可能导致评价结果的不确定致，这将导致权重分配的不确定性，最终可能导致评价结果的不确定性。因而在实际工作中，不论用哪种方法确定权重分配，都应当性。因而在实际工作中，不论用哪种方法确定权重分配，都应当依赖依赖于较为合理的专业解释于较为合理的专业解释。 数据的处理数据的处理 (1) 指标的类型指标的类型:定性定性: :

6、优优, ,良良, ,中中, ,一般一般 ，差差; ; 很高很高, ,高高, ,一般一般, ,低低, ,很低很低. .定量定量:极大型极大型(正向正向) ，极小型极小型(逆向逆向) ，居中型，居中型 (2) 定性指标的量化定性指标的量化(评分法评分法) 等级 很低低一般高很高分值13579(3)指标类型的一致化（化为极大型）指标类型的一致化（化为极大型）对于极小型指标令 或则属极大型指标值1 (0 )i ji ji jbaaijb , (0 )ijijbMaMif(1 , 2)in对于居中型指标 ,令 其中：和 分别为指标 允许下界和上界kf2() 22() 2ikikikikikammMmaM

7、mbMamMaMMmkfmM(1, 2)in(4)标准化标准化向量归一化法向量归一化法: 12(,)nxxxxniinniiniixxxxxxx112110,极差变换法极差变换法: :(a) 对于正向指标 :记 , (1, 2)injf1m axjijinaa 0*0i jji jjjaaxaa 01m injijinaa (b) 对于逆向指标对于逆向指标 :记记 kf1maxkiki naa 01minkiki naa *0kikikkkaaxaa(1, 2)in01ijx 则有则有:线性比例变换法线性比例变换法: : (a) 对于正向指标 : 其中 (b) 对于逆向指标 : 其中(1, 2

8、)injf1max0jiji naa *i ji jjaxakf*1m inkikinaa*kikikaxa(1,2)in01ijx(0 )ija一、常用常用综合评价方法综合评价方法 适用条件适用条件: :各评价指标之间相互独立。各评价指标之间相互独立。 对不完全独立的情况，其结果将导致各指标间对不完全独立的情况，其结果将导致各指标间信息的重复，使评价结果不能客观地反映实际。信息的重复，使评价结果不能客观地反映实际。 1. 线性加权综合法线性加权综合法 主要特点：主要特点： （1 1）各评价指标间作用得到线性补偿；）各评价指标间作用得到线性补偿； （2 2）权重系数的对评价结果的影响明显。）权

9、重系数的对评价结果的影响明显。 2. 非非线性加权综合法线性加权综合法 主要特点：主要特点：（1 1）突出了各指标值的一致性，即平衡评价指标值）突出了各指标值的一致性，即平衡评价指标值较小的指标影响的作用；较小的指标影响的作用；（2 2）权重系数大小的影响不是特别明显，而对指标）权重系数大小的影响不是特别明显，而对指标值的大小差异相对较敏感。值的大小差异相对较敏感。 3. 逼近理想点（逼近理想点（TOPSISTOPSIS）方法方法 3. 逼近理想点（逼近理想点（TOPSISTOPSIS）方法方法 层次分析法（层次分析法（AHPAHP）是是美国运筹学家匹茨堡大学教美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂授

10、萨蒂( (T.L.SaatyT.L.Saaty) )于上世纪于上世纪7070年代初，为美国国防年代初，为美国国防部研究部研究“根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配进行电力分配”课题时，应用网络系统理论和多目标课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。 这种方法的特点是在对复杂的决策问题的本质、影这种方法的特点是在对复杂的决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上，利用响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学

11、化，从而为多较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的的决策方法决策方法。 是对难于完全定量的复杂系统作出决策的模型和方是对难于完全定量的复杂系统作出决策的模型和方法。法。二二. . 层次分析法（层次分析法（AHPAHP）基本原理基本原理 层次分析法根据问题的性质和要达到的总目标，将层次分析法根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解为不同的组成因素，并按照因素间的相互关问题分解为不同的组成因素，并按照因素间的相互关联影响以及隶属关系将因素按不同层次聚集组合，形联影响以及隶属关系将因素按不同层次聚

12、集组合，形成一个成一个多层次多层次的分析结构模型，从而最终使问题归结的分析结构模型，从而最终使问题归结为最低层为最低层( (供决策的方案、措施等供决策的方案、措施等) )相对于最高层相对于最高层( (总目总目标标) )的的相对重要权值相对重要权值的确定或相对优劣次序的排定。的确定或相对优劣次序的排定。 目标层目标层O(选择旅游地选择旅游地)P2黄山黄山P1桂林桂林P3北戴河北戴河准则层准则层方案层方案层C3居住居住C1景色景色C2费用费用C4饮食饮食C5旅途旅途引例引例. . 选择旅游地选择旅游地如何在如何在3 3个目的地中选择旅游地点个目的地中选择旅游地点. .“选择旅游地选择旅游地”思维过

13、程的归思维过程的归纳纳 将问题分为将问题分为3个层次：目标层个层次：目标层O，准则层准则层C，方案方案层层P；每层有若干元素，每层有若干元素， 各层元素间的关系用相各层元素间的关系用相连的直线表示。连的直线表示。 通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重。案对每一准则的权重。 将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。权重。层次分析法将层次分析法将定性分析定性分析与与定量分析定量分析结合起来结合起来完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。1135/1

14、3/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11AijjiijnnijaaaaA1, 0,)(层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤构造成对比构造成对比较阵和计算较阵和计算权向量权向量 元素之间元素之间两两对比两两对比，对比采用相对尺度，对比采用相对尺度 设要比较各准则设要比较各准则C1,C2, , Cn对目标对目标O的重要性的重要性ijjiaCC:A成对比较阵成对比较阵A是正互反阵是正互反阵要由要由A确定确定C1, , Cn对对O的权向量的权向量选选择择旅旅游游地地 O C1 C2 C3 C4 C5 C1 1 1/2 4 3 3 C2 2 1 7 5 5 C3 1

15、/4 1/7 1 1/21/3 C4 1/3 1/5 2 1 1 C5 1/3 1/5 3 1 1nnnnnnwwwwwwwwwwwwwwwwwwA21222121211171242/11A成对比较的不一致情况成对比较的不一致情况):(2/ 12112CCa ):(43113CCa ):(83223CCa 一致比较一致比较不一致不一致允许不一致，但要确定不一致的允许范围允许不一致，但要确定不一致的允许范围考察完全一致的情况考察完全一致的情况nwwwW,) 1(21jiijwwa/令权向量),(21Tnwwww成对比较阵和权向量成对比较阵和权向量wAwmaxnnnnnnwwwwwwwwwwwww

16、wwwwwA212221212111成对比较完全一致的情况成对比较完全一致的情况nkjiaaaikjkij, 2 , 1,满足满足的的正互反阵正互反阵A称称一致阵一致阵，如，如 A的秩为的秩为1，A的唯一非零特征根为的唯一非零特征根为n A的任一列向量是对应于的任一列向量是对应于n 的特征向量的特征向量 A的归一化特征向量可作为权向量的归一化特征向量可作为权向量对于不一致对于不一致( (但在允许范围内但在允许范围内) )的的成对比较阵成对比较阵A，对应于最大特征根，对应于最大特征根 的特征向量作为权向量的特征向量作为权向量w ，即，即一致阵一致阵性质性质成对比较阵和权向量成对比较阵和权向量2

17、4 6 8比较尺度比较尺度aij Saaty等人提出等人提出19尺度尺度aij 取值取值1,2, , 9及其互反数及其互反数1,1/2, , 1/9尺度尺度 1 3 5 7 9 ija相同相同 稍强稍强 强强 明显强明显强 绝对强绝对强的重要性jiCC :jiCC :aij = 1,1/2, ,1/9的重要性与上面相反的重要性与上面相反 心理学家认为成对比较的因素不宜超过心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个个 用用13,15,117,1p9p (p=2,3,4,5), d+0.1d+0.9 (d=1,2,3,4)等等27种比较尺度对若干实例构造成对比较种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出

18、权向量，与实际对比发现，阵，算出权向量，与实际对比发现， 19尺度较优。尺度较优。 便于定性到定量的转化：便于定性到定量的转化：成对比较阵和权向量成对比较阵和权向量一致性检验一致性检验对对A确定不一致的允许范围确定不一致的允许范围可证：可证：n 阶正互反阵最大特征根阶正互反阵最大特征根 n, 且且 =n时为一致阵时为一致阵1maxnnCI定义一致性指标定义一致性指标:CI 越大，不一致越严重越大，不一致越严重RI0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 n1 234567891110为衡量为衡量CI 的大小，引入的大小，引入随机一致性指标

19、随机一致性指标 RI随机模随机模拟得到拟得到aij , 形成形成A，计算计算CI 即得即得RI。定义一致性比率定义一致性比率 CR = CI/RI 当当CR0.1时，通过一致性检验时，通过一致性检验Saaty的结果如下的结果如下 如果大了怎么办如果大了怎么办“选择旅游地选择旅游地”中中准则层对目标的权准则层对目标的权向量及一致性检验向量及一致性检验1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11A准则层对目标的准则层对目标的成对比较阵成对比较阵最大特征根最大特征根 =5.073权向量权向量( (特征向量特征向量) )w =(0.263,0.475,0.05

20、5,0.090,0.110)T018.0155073.5CI一致性指标一致性指标随机一致性指标随机一致性指标 RI=1.12 (查表查表)一致性比率一致性比率CR=0.018/1.12=0.0160.1通过一致通过一致性检验性检验组合权向量组合权向量记第记第2层（准则）对第层（准则）对第1层（目标）层（目标）的权向量为的权向量为Tnwww),()2()2(1)2(同样求第同样求第3层层(方案方案)对第对第2层每一元素层每一元素(准则准则)的权向量的权向量12/15/1212/15211B方案层对方案层对C1(景色景色)的成对比较阵的成对比较阵1383/1138/13/112B方案层对方案层对C

21、2(费用费用)的成对比较阵的成对比较阵CnBn最大特征根最大特征根 1 2 n 权向量权向量 w1(3) w2(3) wn(3) 第第3层对第层对第2层的计算结果层的计算结果k)3(kwkkCI10.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.1750.1930.633430.6680.1660.1665组合权向量组合权向量RI= =0.58 (n=3), CIk 均可通过一致性检验均可通过一致性检验. . w(2) 0.2630.4750.0550.0900.110方案方案P1

22、对目标的组合权重为对目标的组合权重为0.595 0.263+ =0.300方案层对目标的组合权向量为方案层对目标的组合权向量为 (0.300, 0.246, 0.456)T P1P2P3P1P2P3P1P2P3P1P2P3P1P2P30.2630.2630.4750.4750.0550.0550.0990.0990.1100.1100.5950.5950.2770.2770.1290.129 0.0820.0820.2630.2630.680.682 20.4290.4290.4290.4290.1420.1420.6330.6330.1930.1930.170.175 50.1660.166

23、0.1660.1660.6680.668W(2)W1(3)W2(3)W3(3)W4(3)W5(3)300. 0110. 0166. 0099. 0633. 0055. 0429. 0475. 0082. 0263. 0595. 0Tnwww),()2()2(1)2()2()3()3(wWw组合组合权向量权向量第第1层层O第第2层层C1,Cn第第3层层P1, PmnkwwwTkmkk, 2 , 1,),()3()3(1)3(第第2层对第层对第1层的权向量层的权向量第第3层对第层对第2层各元素的权向量层各元素的权向量,)3()3(1)3(nwwW构造矩阵构造矩阵则第则第3层对第层对第1层的组合权向

24、量层的组合权向量)2()3() 1()()(wWWWwsss第第s层对第层对第1层的组合权向量层的组合权向量其中其中W(p)是由第是由第p层对第层对第p-1层权向量组成的矩阵层权向量组成的矩阵设设 层层 对上层对上层( ( 层层) )中因素中因素 的层次单排序一致性指标为的层次单排序一致性指标为 ，随机一致性指标，随机一致性指标 ，则层次总排序的一致性比率为：则层次总排序的一致性比率为：BnBBB,21A), 2 , 1(mjAjjCIjRImmmmRIaRIaRIaCIaCIaCIaCR221122111 . 0CR当当 时，认为层次总排序通过一致性检验。层次总时，认为层次总排序通过一致性检

25、验。层次总排序具有满意的一致性，否则需要重新调整那些一致性排序具有满意的一致性，否则需要重新调整那些一致性比率高的判断矩阵的元素取值。比率高的判断矩阵的元素取值。 到此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后决到此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后决策。策。组合组合一致性检验一致性检验层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤1）建立层次分析结构模型）建立层次分析结构模型深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标准则或指标准则或指标方案或对象），上层受下层影响，而层内方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。各因素基本上

26、相对独立。2）构造成对比较阵）构造成对比较阵用成对比较法和用成对比较法和19尺度，构造各层对上一层每一因素的尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。成对比较阵。3）计算权向量并作一致性检验）计算权向量并作一致性检验对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量。检验，若通过，则特征向量为权向量。4）计算组合权向量及组合一致性检验）计算组合权向量及组合一致性检验组合权向量可作为评价决策的定量依据。组合权向量可作为评价决策的定量依据。 层次分析法的优点层次分析法的优点 系统性系统性将对象视作系统，按照分解、比

27、较、判断、将对象视作系统，按照分解、比较、判断、综合的思维方式进行决策综合的思维方式进行决策系统分析（与机理分析、系统分析（与机理分析、测试分析并列）；测试分析并列）； 实用性实用性定性与定量相结合，能处理传统的优化方定性与定量相结合，能处理传统的优化方法不能解决的问题；法不能解决的问题； 简洁性简洁性计算简便，结果明确，便于决策者直接了解计算简便，结果明确，便于决策者直接了解和掌握。和掌握。层次分析法的局限层次分析法的局限 囿旧囿旧只能从原方案中选优，不能产生新方案；只能从原方案中选优，不能产生新方案； 粗略粗略定性化为定量，结果粗糙定性化为定量，结果粗糙； 主观主观主观因素作用大，结果可能

28、难以服人。主观因素作用大，结果可能难以服人。实例分析实例分析某单位拟从某单位拟从3名干部中选拔一名领导，选拔的标准名干部中选拔一名领导，选拔的标准有政策水平、工作作风、业务知识、口才、写作能力有政策水平、工作作风、业务知识、口才、写作能力和健康状况。下面用和健康状况。下面用AHP方法对方法对3人综合评估、量化人综合评估、量化排序。排序。目标层目标层选一领导干部选一领导干部 准则层准则层 1P2P3P 方案层方案层 健康状况健康状况业务知识业务知识口才口才写作能力写作能力工作作风工作作风政策水平政策水平建立层次结构模型建立层次结构模型1132221133/1113/13/115/14/14/12

29、/13512/112/1142112/114111A健康情况健康情况业务知识业务知识写作能力写作能力口才口才政策水平政策水平工作作风工作作风健康情况健康情况业务知识业务知识写作能力写作能力口才口才政策水平政策水平工作作风工作作风A的最大特征值的最大特征值,35. 6max相应的特征向量为：相应的特征向量为：TW)30. 0 ,12. 0 ,05. 0 ,19. 0 ,19. 0 ,16. 0()2(构造成对比较矩阵构造成对比较矩阵07.016635.6CI一致性指标一致性指标随机一致性指标随机一致性指标 RI=1.24 (查表查表)一致性比率一致性比率CR=0.07/1.24=0.05650.

30、1通过一致性检验通过一致性检验假设假设3人关于人关于6个标准的判断矩阵为：个标准的判断矩阵为：13/123142/14/11)3(1B健康情况健康情况1252/1144/14/11)3(2B业务知识业务知识113113/13/131)3(3B写作能力写作能力17/15/171353/11)3(4B口才口才17/17/1711711)3(5B政策水平政策水平15/19/1517/1971)3(6B工作作风工作作风由此可求得各属性的最大特征值和相应的特征向量。由此可求得各属性的最大特征值和相应的特征向量。特征值健康情况 业务知识 写作能力 口才 政策水平 工作作风 3.02 3.02 3.05 3

31、.05 3.00 3.02max各属性的最大特征值各属性的最大特征值05. 007. 007. 046. 057. 024. 017. 047. 065. 022. 033. 063. 077. 047. 028. 032. 010. 014. 0)3(W均通过一致性检验均通过一致性检验从而有从而有30. 012. 005. 019. 019. 016. 005. 007. 007. 046. 057. 024. 017. 047. 065. 022. 033. 063. 077. 047. 028. 032. 010. 014. 0)2()3(WWW26. 034. 040. 0W即在即在3

32、人中应选择人中应选择A担任领导职务。担任领导职务。组合权向量组合权向量三三. . 模糊综合评价模糊综合评价 对方案、人才、成果的评价，人们的考虑的因对方案、人才、成果的评价，人们的考虑的因素很多，而且有些描述很难给出确切的表达，这时素很多，而且有些描述很难给出确切的表达，这时可采用模糊评价方法。它可对人、事、物进行比较可采用模糊评价方法。它可对人、事、物进行比较全面而又定量化的评价。全面而又定量化的评价。秃子悖论秃子悖论: 天下所有的人都是秃子天下所有的人都是秃子设头发根数设头发根数nn=1显然显然若若n=k为秃子为秃子n=k+1亦为秃子亦为秃子模糊概念模糊概念模糊概念：从属于该概念到不属于该

33、概念之间模糊概念：从属于该概念到不属于该概念之间无明显分界线无明显分界线年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬。高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬。模糊子集与隶属函数模糊子集与隶属函数 设设U是论域，称映射是论域，称映射A(x)：U0,1确定了一个确定了一个U上的上的模糊子集模糊子集A，映射映射A(x)称为称为A的的隶属函数隶属函数，它表示，它表示x对对A的的隶属程度隶属程度. 使使A(x) = 0.5的点的点x称为称为A的过渡点，此点最具的过渡点，此点最具模糊性模糊性. 当映射当映射A(x)只取只取0或或

34、1时，模糊子集时，模糊子集A就是经典就是经典子集，而子集，而A(x)就是它的特征函数就是它的特征函数. 可见经典子集就可见经典子集就是模糊子集的特殊情形是模糊子集的特殊情形.例例:有有6条线段，试求出每条线段属于长线段集合条线段，试求出每条线段属于长线段集合的隶属度。的隶属度。X1 X2 X3 X4 X5 X6则，线段属于则，线段属于“长线段长线段”的隶属度为：的隶属度为：161)(iXAi一级模糊综合评价的基本步骤：一级模糊综合评价的基本步骤：步骤步骤1：确定评价指标集：确定评价指标集 U=u1, u2,un 确定评语集确定评语集 V=v1, v2, vm步骤步骤2：求出模糊评价矩阵：求出模

35、糊评价矩阵P（往往根据具体数据往往根据具体数据） 其中其中Pij 表示方案表示方案X在第在第i个指标处于第个指标处于第j级评语的级评语的 隶属度。隶属度。 设各指标的权系数向量为：设各指标的权系数向量为： A（W1，W2，,W）步骤步骤3：利用矩阵的模糊乘法得到综合模糊评价结果：利用矩阵的模糊乘法得到综合模糊评价结果 向量向量B BAP （运算为模糊乘法（运算为模糊乘法,逻辑乘逻辑乘和逻辑加和逻辑加 ）例如：例如：a（0.8，0.5，0.3，0.7）b（0.4，0.7，0.5，0.2）则则abT(0.80.4)(0.5 0.7) (0.3 0.5 )(0.7 0.2)0.4 0.5 0.3 0

36、.2 0.5逻辑乘（两逻辑乘（两者取小）者取小）逻辑加（两者逻辑加（两者取大）取大）例例1：对某品牌电视机进行综合模糊评价：对某品牌电视机进行综合模糊评价 确定指标集和评语集确定指标集和评语集 设评价指标集合：设评价指标集合：U图像，声音，价格；图像，声音，价格；评语集合：评语集合：V很好，较好，一般，不好；很好，较好，一般，不好；例例1：对某品牌电视机进行综合模糊评价：对某品牌电视机进行综合模糊评价 求解模糊评价矩阵求解模糊评价矩阵 通过调查，对于通过调查，对于图像图像假设有假设有30%的人认为很好，的人认为很好，50%的人的人认为较好，认为较好，20%的人认为一般，没有人认为不好，这样的人

37、认为一般，没有人认为不好，这样得到图像的评价结果为得到图像的评价结果为 （0.3, 0.5, 0.2 , 0) 同样对声音有同样对声音有，假设有，假设有40%的人认为很好，的人认为很好，30%的人认为的人认为较好，较好，20%的人认为一般，的人认为一般， 10%的人认为不好，这样得的人认为不好，这样得到声音的评价结果为到声音的评价结果为 （0.4, 0.3, 0.2 , 0.1)假设对价格为假设对价格为：（：（0.1, 0.1, 0.3 , 0.5)得到得到模糊评价矩阵模糊评价矩阵：5 . 03 . 01 . 01 . 01 . 02 . 03 . 04 . 002 . 05 . 03 . 0

38、P设三个指标的权系数向量：设三个指标的权系数向量：A 图像评价，声音评价，价格评价图像评价，声音评价，价格评价（0.5, 0.3, 0.2)所以有综合评价结果为：所以有综合评价结果为：BAP （0.3, 0.5, 0.2, 0.2)0.3, 0.5, 0.2, 0.2)归一化处理：归一化处理：B B（0.25, 0.42, 0.17, 0.17)0.25, 0.42, 0.17, 0.17)所以综合而言，电视机还是所以综合而言，电视机还是比较好比较好的比重大。的比重大。5 . 03 . 01 . 01 . 01 . 02 . 03 . 04 . 002 . 05 . 03 . 0)2 . 0

39、. 3 . 0 , 5 . 0(例例2：对科技成果项目的综合评价：对科技成果项目的综合评价有甲、乙、丙三项科研成果，现要从中评选出优秀项目。有甲、乙、丙三项科研成果，现要从中评选出优秀项目。 设专家评价结果表为：设专家评价结果表为：确定指标集和评语集确定指标集和评语集 设评价指标集合：设评价指标集合：U科技水平，实现可能性，经济效益科技水平，实现可能性，经济效益 评语集合：评语集合：V高，中，低高，中，低 设评价指标权系数向量：设评价指标权系数向量： A（0.2，0.3，0.5）由专家评价结果表，可得甲、乙、丙三个项目由专家评价结果表，可得甲、乙、丙三个项目各自的各自的评价矩阵评价矩阵P、Q、

40、R：6 . 03 . 01 . 00015 . 04 . 01 . 0R1 . 06 . 03 . 07 . 02 . 01 . 01 . 02 . 07 . 0P03 . 07 . 00011 . 06 . 03 . 0Q求模糊评价矩阵求模糊评价矩阵求得：求得：) 3 . 05 . 03 . 0(1， APB) 1 . 03 . 05 . 0(2， AQB)5 . 03 . 03 . 0(R3， AB)27. 046. 027. 0(1，B) 11 . 033. 056. 0(2，B)46. 027. 027. 0(3，B多级模糊综合评价多级模糊综合评价评价因素较多时，很难合理给出评价指标的

41、权重向量评价因素较多时，很难合理给出评价指标的权重向量评价模型：评价模型：nnnBBBARARARAAAC212211B例例3：对某品牌电视机进行多级综合模糊评价：对某品牌电视机进行多级综合模糊评价 确定指标集和评语集确定指标集和评语集 假设评价因素为：平面图像、假设评价因素为：平面图像、 3D图像、立体声、重低图像、立体声、重低音、价格。音、价格。 不妨设评价指标集合：不妨设评价指标集合：U图像，声音，价格；设权重为图像，声音，价格；设权重为(0.5,0.3,0.2) 图像图像=平面图像，平面图像，3D图像图像。设权重为（。设权重为（0.3，0.7） 声音声音=立体声、重低音立体声、重低音。

42、设权重为（。设权重为（0.4, 0.6）评语集合：评语集合：V很好，较好，一般，不好；很好，较好，一般，不好； 通过调查发现，通过调查发现，对于平面图像，对于平面图像，假设有假设有30%的人认为很好，的人认为很好，20%的人认为较好，的人认为较好，40%的人认为一般，的人认为一般， 10%的人认为的人认为不好，这样得到平面图像的评价结果为不好，这样得到平面图像的评价结果为 （0.3, 0.2, 0.4 , 0.1) 同样对同样对3D图像有图像有，假设有，假设有40%的人认为很好，的人认为很好，50%的人的人认为较好，认为较好，10%的人认为一般，的人认为一般， 没有人认为不好，这样没有人认为不

43、好，这样得到得到3D图像图像的评价结果为的评价结果为 （0.4, 0.5, 0.1 , 0) 得到关于图像的得到关于图像的模糊评价矩阵模糊评价矩阵：01 . 05 . 04 . 01 . 04 . 02 . 03 . 01R则对图像的则对图像的评价结果为评价结果为：01 . 05 . 04 . 01 . 04 . 02 . 03 . 0)7 . 0 , 3 . 0(111RAB1 . 03 . 05 . 04 . 0归一化为：归一化为：08. 023. 038. 031. 0不妨设声音的不妨设声音的模糊评价矩阵模糊评价矩阵为：为：5 . 01 . 01 . 03 . 05 . 02 . 02

44、. 01 . 02R则对声音的则对声音的评价结果为评价结果为：5 . 01 . 01 . 03 . 05 . 02 . 02 . 01 . 0)6 . 0 , 4 . 0(222RAB5 . 01 . 01 . 03 . 0假设对价格评价为假设对价格评价为：（：（0.1, 0.1, 0.3 , 0.5)0.1, 0.1, 0.3 , 0.5)则对电视机的则对电视机的评价结果为评价结果为：5 . 03 . 01 . 01 . 05 . 01 . 01 . 03 . 008. 028. 038. 031. 0)2 . 0 , 3 . 0 , 5 . 0(B21nBBBAAC0328. 038. 0

45、31. 0归一化为：归一化为：24. 022. 03 . 024. 0所以综合而言，电视机还是所以综合而言，电视机还是比较好比较好的比重大。的比重大。灰色系统理论（Grey System Theory）诞生于20世纪80年代。邓聚龙教授在1981年上海中-美控制系统学术会议上所作的“含未知数系统的控制问题”的学术报告中首次使用了“ 灰色系统”一词。四、四、灰色系统理论灰色系统理论 灰色系统 是指部分信息已知，部分信息未知的是指部分信息已知，部分信息未知的“小样本，贫小样本，贫信息信息”不确定性系统，即信息不完全的系统。灰色不确定性系统，即信息不完全的系统。灰色系统理论主要通过对系统理论主要通过

46、对“部分部分”已知信息的挖掘、开已知信息的挖掘、开发，提取有价值的信息，实现对系统运行行为、演发，提取有价值的信息，实现对系统运行行为、演化规律的正确描述和有效监控。化规律的正确描述和有效监控。不完全不完全未知未知完全完全若明若暗若明若暗暗暗明朗明朗新旧交替新旧交替新新旧旧多种成分多种成分混沌混沌纯纯扬弃扬弃否定否定肯定肯定宽容宽容放纵放纵严厉严厉非唯一解非唯一解无解无解唯一解唯一解黑黑白白灰灰灰色组合模型灰色组合模型灰色系统模型灰色系统模型灰色预测灰色预测灰序列生成灰序列生成灰色系统分析灰色系统分析基础理论基础理论灰色规划灰色规划灰色控制灰色控制灰色决策灰色决策灰色博弈模型灰色博弈模型灰色系

47、统的应用范畴大致分为以下几方面：灰色系统的应用范畴大致分为以下几方面： （1 1）灰色关联分析灰色关联分析。 （2 2）灰色预测灰色预测：人口预测；初霜预测；：人口预测；初霜预测； 灾变预测灾变预测.等等。等等。 （3 3）灰色决策。）灰色决策。 （4 4）灰色预测控制。）灰色预测控制。204060由图可以看出：养猪业的收入与总收入的关系密切！ 引例引例 某地连续七年的总收入，养猪业，养兔业收入资料某地连续七年的总收入，养猪业，养兔业收入资料见下表：见下表：1234567总收入18202240444860养猪业10151624384050养兔业321210221820四四. . 灰色关联分析灰

48、色关联分析 mxxxX0000,2,)1(def 1 选取参考数列则称 nimxxxXiiii,2,1,2,10000minmin( )( )maxmax( )( )( )125)( )( )maxmax( )( )iiikikiiiikxkx kx kx kkx kx kx kx k（其中k表示时刻。假定n个比较数列为比较数列Xi 对参考数列X0 在k时刻的关联系数。)()(minmin011kxkximkni)()(maxmax011kxkximkni注：注：1）为两级最小差和两级最大差。0.5式中 为分辨系数，在（0，1）内取值，若 越小，关联系数间差异越大，区分能力越强。通常 取2）0

49、11( )miikrkmdef 2 称为比较数列Xi 对参考数列的关联度。1234567总收入18202240444860养猪业10151624384050养兔业321210221820例例1：)20,18,22,10,12, 2 , 3(),50,40,38,24,16,15,10()60,48,44,40,22,20,18(210XXX比较列比较列参考列参考列)()(minmin011kxkximkni)()(maxmax011kxkximkni=5=40,69. 03625)4(,96. 02625)3(, 12525)2(,89. 02825) 1 (1111.71. 03525)7(

50、,89. 02825)6(,96. 02625)5(111, 5 . 05025)4(,83. 03025)3(,66. 03825)2(,71. 03525) 1 (2222.42. 06025)7(,50. 05025)6(,595. 04225)5(22287. 001r60. 002r0000minmin( )( )maxmax( )( )( )125)( )( )maxmax( )( )iiikikiiiikxkx kx kx kkx kx kx kx k（利用利用灰色关联分析法灰色关联分析法进行综合评价进行综合评价 利用灰色关联分析进行综合评价的步骤是：利用灰色关联分析进行综合评价的步骤是： 步骤步骤1 1根据评价目的确定评价指标体系，收集根据评价目的确定评价指标体系，收集评价数据。评价数据。设设n n个数据序列个数据序列（比较列）（比较列）形成如下矩阵：形成如下矩阵： mxmxmxxxxxxxXXXnnnn21212121222111,其中m为指标的个数， nimxxxXTiiii,2,1,2,1 步骤步骤2 2确定参考数据列确定参考数据列 参考数据列应该是一个理想的比较标准（虚拟的），可以以各，可以以各指标的最优值（或最劣值）构成参考数据列，也可根据评价目指标的最优值（或最劣值）