第20课矩形、菱形和正方形

1、1(2013湖南湘西州)下列说法中，正确的是()A同位角相等B对角线相等的四边形是平行四边形C四条边相等的四边形是菱形D矩形的对角线一定互相垂直【解析】A两直线平行，同位角才相等，故本选项错误；B对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项错误；C四边相等的四边形是菱形，故本选项正确；D矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误故选 C.【答案】C2 (2013四川成都)如图 201， 将矩形 ABCD沿对角线 BD 折叠， 使点 C 和点 C重合若 AB2，则 CD 的长为()A1B2C3D4【解析】在矩形 ABCD 中，CDAB.矩形 ABCD 沿对角线 BD 折叠后点 C 和点

2、 C重合，CDCDAB2.【答案】B3(2012湖南长沙)如图 202，菱形 ABCD中，对角线 AC 与 BD 交于点 O， OEDC且交 BC 于点 E，AD6 cm，则 OE 的长为()A6 cmB4 cmC3 cmD2 cm【解析】提示：OE12AB12AD3 cm.【答案】C4(2012天津)如图 203，在边长为 2 的正方形ABCD 中，M 为边 AD 的中点，延长 MD 至点 E，使 MEMC，以 DE 为边作正方形DEFG， 点 G 在边 CD 上， 则 DG 的长为()A. 31B3 5C. 51D. 51【解析】四边形 ABCD 是正方形，M 为边 DA 的中点，DM12

3、DA1，MC DC2DM2 5.MEMC 5.DEMEDM 51，四边形 EDGF 是正方形，DGDE 51.【答案】D5(2012江苏盐城)如图 204，在四边形ABCD 中，已知 ABDC，ABDC.在不添加任何辅助线的前提下， 要使该四边形成为矩形， 只需再加上的一个条件是(填上你认为正确的一个答案即可)【解析】以A90为例，理由如下：ABDC，ABDC，四边形 ABCD 是平行四边形A90，平行四边形 ABCD 是矩形【答案】A90(答案不唯一)考点一矩形的性质与判定考点一矩形的性质与判定1矩形的性质：(1)矩形的四个角都是直角；(2)矩形的对角线相等且互相平分；(3)矩形既是中心对称

4、图形，又是轴对称图形，它有两条对称轴2矩形的判定：(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形；(2)有三个角是直角的四边形是矩形；(3)对角线相等的平行四边形是矩形考点点拨1矩形是有一角为直角的特殊平行四边形，它具有平行四边形的一切性质2判定矩形往往先判定一个四边形是平行四边形，再结合一个直角或对角线相等来证明【精选考题 1】(2013浙江湖州)如图 205，已知四边形 ABCD 是矩形，把矩形沿直线 AC 折叠，使点 B 落在点 E 处，连结 DE.若 DEAC35，则ADAB的值为()A.12B.33C.23D.22点评：(1)本题主要考查矩形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，

5、难度中等(2)熟记各图形的性质是解决本题的关键解析：矩形沿直线 AC 折叠，点 B 落在点 E 处，BACEAC，AEABCD.矩形 ABCD 的对边 ABCD，DCABAC，EACDCA.设 AE 与 CD 交于点 F，则 AFCF，AEAFCDCF，即 DFEF，DFFCEFAF.又AFCEFD，ACFEDF，DFFCDEAC35.设 DF3x，FC5x，则 AF5x，在 RtADF 中，AD AF2DF2 （5x）2（3x）24x.又ABCDDFFC3x5x8x，ADAB4x8x12.答案：A【预测演练 1】如图 206，在ABC 中，点 O 是 AC边(端点除外)上的一个动点， 过点O

6、作直线MNBC.设 MN 交BCA 的平分线于点 E，交BCA 的外角平分线于点 F，连结 AE，AF.那么当点 O 运动到何处时，四边形 AECF 是矩形？并证明你的结论解析： 当点 O 运动到 AC 的中点(或当 OAOC)时， 四边形 AECF 是矩形证明：CE 平分BCA，BCEACE.又NMBC，BCEDEC，DECACE，EOCO.同理：FOCO.EOFO.又OAOC，四边形 AECF 是平行四边形BCEACE，ACFFCG，BCEFCGACEACF.又BCEFCGACEACF180，ACEACF90.AECF 是矩形考点二菱形的性质与判定考点二菱形的性质与判定1菱形的性质：(1)

7、菱形的四条边都相等；(2)菱形的对角线互相垂直且平分，并且每条对角线平分一组对角；(3)菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有两条对称轴2菱形的判定：(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形(2)四条边相等的四边形是菱形(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形考点点拨1菱形是有一组邻边相等的特殊平行四边形，它具有平行四边形的所有性质2菱形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线相等且平分，两者应于以区分3菱形面积的计算方法：(1)边长高；(2)两条对角线长乘积的一半【精选考题 2】(2013浙江金华)如图207，四边形 ABCD 与四边形AEFG都是菱形， 其中点C在AF 上，点 E， G 分别在

8、BC， CD 上 若BAD 135 ， EAG 75 ， 则ABAE点评：(1)本题考查菱形的性质及解直角三角形的知识， 难度中等(2)解决本题的关键是掌握菱形的对角线平分一组对角解析：BAD135，EAG75，四边形 ABCD 与四边形 AEFG 都是菱形，B180BAD45，BAEBACEAC12BAD12EAG30.过点 E 作 EMAB 于点 M，如解图 1，设EMx.在 RtAEM 中，BAE30，AE2EM2x，AM 3x.在 RtBEM 中，B45，BMEMx.ABAEAMBMAE312.答案：312【预测演练 2】如图 208，在ABCD 中，E，F 分别为边 AB，CD 的中

9、点，BD 是对角线，过点 A 作 AGDB 交 CB 的延长线于点 G.(1)求证：DEBF；(2)若G90，求证：四边形 DEBF 是菱形解析：(1)在ABCD 中，ABCD，ABCD.E，F 分别为 AB，CD 的中点，DF12DC，BE12AB，DFBE，四边形 DEBF 为平行四边形，DEBF.(2)AGBD，GDBC90，DBC 为直角三角形又F 为边 CD 的中点BF12DCDF.又四边形 DEBF 为平行四边形，四边形 DEBF 是菱形考点三正方形的性质与判定考点三正方形的性质与判定1正方形的性质：(1)正方形的四个角都是直角，四条边都相等；(2)正方形的对角线相等，并且互相垂直

10、、平分，每条对角线平分一组对角2正方形的判定：(1)一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；(2)有一个角是直角的菱形是正方形；(3)有一组邻边相等的矩形是正方形；(4)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形考点点拨1正方形具有平行四边形、矩形和菱形的所有性质，正方形有四条对称轴2正方形的对角线与边的夹角为 45，正方形的面积等于其对角线平方的一半3证明一个四边形是正方形，往往先证明它是矩形或菱形，再证明【精选考题 3】(2013江苏南京)如图 209，在四边形 ABCD 中，ABCB，对角线 BD 平分ABC，P 是 BD 上一点，过点 P 作 PMAD，PNCD，垂足分别为

11、 M，N.(1)求证：ADBCDB；(2)若ADC90，求证：四边形 MPND 是正方形点评： (1)本题主要考查全等三角形的判定和性质及正方形的判定，难度中等(2)解决本题的关键是熟记各种几何图形的性质和判定方法解析：(1)对角线 BD 平分ABC，ABDCBD.在ABD 和CBD 中，ABCB，ABDCBD，BDBD，ABDCBD(SAS)，ADBCDB.(2)PMAD，PNCD，PMDPND90.又ADC90，四边形 MPND 是矩形ADBCDB，即 DB 平分ADC，PMPN，四边形 MPND 是正方形【预测演练 3】如图 2010，将三角尺放在正方形 ABCD 上，使三角尺的直角顶点

12、 E 与正方形 ABCD 的顶点 A 重合， 三角尺的一边交 CD 于点 F.另一边交 CB 的延长线于点 G.(1)求证：EFEG；(2)如图 2010，移动三角尺，使顶点 E 始终在正方形 ABCD 的对角线 AC上，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明； 若不成立，请说明理由；(3)如图 2010，将(2)中的“正方形 ABCD”改为“矩形 ABCD”，且使三角尺的一边经过点 B，其他条件不变若 ABa，BCb，求EFEG的值解析：(1)GEBBEF90，DEFBEF90，DEFGEB.又EDBE，DGBE90，FEDGEB，EFEG.(2)成立证明：如解图，过点

13、 E 分别作 BC，CD 的垂线，垂足分别为 H，I，则 EHEI，HEI90.GEHHEF90，IEFHEF90，IEFGEH，FEIGEH，EFEG.(3)如解图，过点 E 分别作 BC，CD 的垂线，垂足分别为 M，N，则MEN90，EMAB，ENAD.CENCAD，CEMCAB，NEADCECA，EMABCECA，NEADEMAB，即ENEMADABba.NEFFEMGEMFEM90，GEMFEN.GMEFNE90，GMEFNE，EFEGENEM，EFEGba.1.在判定矩形、菱形或正方形时，要弄清是在“四边形”还是在“平行四边形”的基础上来求证的，要熟悉各种判定定理的联系和区别，解题

14、时要认真审题，通过仔细分析已知条件来确定用哪一种判定方法2平行四边形、矩形、菱形和正方形之间的联系：(1)在平行四边形的基础上，增加条件“一个角是直角”或“对角线相等”，可得到矩形；(2)在平行四边形的基础上，增加条件“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”，可得到菱形；(3)在平行四边形的基础上，要证该平行四边形是正方形，可以先证明它是矩形， 再证明它是菱形， 或先证明它是菱形， 再证明它是矩形，即可得到正方形3平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质与判定方法很多，很容易混淆，复习时要从这几种图形的定义入手，从边、角、对角线三个角度考虑，准确掌握这几种图形之间的区别与联系1(2013浙江衢州)如图

15、 2011，在菱形ABCD 中，边长为 10，A60.顺次连结菱形 ABCD 各边中点， 可得四边形 A1B1C1D1；顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边形 A2B2C2D2各边中点，可得四边形 A3B3C3D3；按此规律继续下去则四边形A2B2C2D2的周长是；四边形 A2013B2013C2013D2013的周长是点评：(1)本题主要考查菱形的性质以及矩形的性质，难度中等(2)根据已知条件得出边长变化规律是解决本题的关键解析： 菱形 ABCD 中， 边长为 10， A60， 顺次连结菱形 ABCD，A1B1C1D1各边中点，AA1D1是等边三角

16、形，四边形 A2B2C2D2是菱形，A1D15，C1D112AC5 3，A2B2C2D2C2B2A2D25，四边形 A2B2C2D2的周长是 5420.同理： A3D3512， C3D35 312， A5D55122， C5D55 3122，四边形 A2013B2013C2013D2013的周长是：2(55 3)121006(55 3)121005.答案：20(55 3)1210052(2013浙江绍兴)在矩形 ABCD 中，AB4，AD3，P，Q 是对角线 BD 上不重合的两点，点 P 关于直线 AD，AB 的对称点分别是点 E，F，点 Q 关于直线 BC，CD的对称点分别是点 G，H.若由

17、点 E，F，G，H 构成的四边形恰好为菱形，则 PQ 的长为点评：(1)本题是几何变换综合题，难度较大(2)首先根据题意画出图形，然后结合轴对称、矩形及菱形的性质进行分析，明确线段之间的数量关系，最后由等腰三角形和勾股定理求得结果答案：2.8解析：在矩形 ABCD 中，由 AB4，AD3，可得对角线 ACBD5.依题意画出图形，如解图 3 所示由轴对称性质可知，PAFPAE2PAB2PAD2(PABPAD)180，点 A 在菱形 EFGH 的边 EF 上同理可知，点 B，C，D 均在菱形 EFGH 的边上APAEAF，点 A 为 EF 的中点同理可知，点 C 为 GH 的中点连结 AC 交 B

18、D 于点 O，则有 AFCG，且 AFCG，四边形 ACGF 为平行四边形，FGAC5，即菱形 EFGH 的边长等于矩形 ABCD 的对角线长EFFG5.APAEAF，AP12EF2.5.OA12AC2.5，APAO，即APO 为等腰三角形过点 A 作 ANBD 交 BD 于点 N，则点 N 为 OP 的中点由 SABD12ABAD12ACAN，可得 AN2.4.在 RtAON 中，由勾股定理，得 ON OA2AN2 2.522.420.7，OP2ON1.4.同理可得 OQ1.4.PQOPOQ1.41.42.8.3(2013浙江舟山)某校的校门是伸缩门(如图 2012)，伸缩门中的每一行菱形有

19、 20 个， 每个菱形边长为 30 cm.校门关闭时，每个菱形的锐角度数为 60(如图 2012)；校门打开时，每个菱形的锐角度数从 60缩小为 10(如图 2012) 问： 校门打开了多少米(结果精确到 1 m， 参考数据：sin 50.0872，cos 50.9962，sin 100.1736，cos 100.9848)?图 2012点评：(1)本题主要考查菱形的性质和解直角三角形的应用， 难度中等(2)解决本题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题，只要把实际问题抽象到解直角三角形中，一切将迎刃而解解析：如解图 4，校门关闭时，取其中一个菱形 ABCD.根据题意，得BAD60，AB0.3 m.在菱形 ABCD 中，ABAD，BAD 是等边三角形，BDAB0.3 m，此时伸缩门的宽是 0.3206(m)；如解图 4，校门打开时，取其中一个菱形 A1B1C1D1.根据题意，得B1A1D110，A1B10.3 m.在菱形 A1B1C1D1中，A1C1B1D1，B1A1O15，在 RtA1B1O1中，B1O1A1B1sinB1A1O10.3sin 50.02616(m)，B1D12B1O10.05232 m，此时伸缩门的宽是：0.05232201.0464.校门打开的宽度为：61.0464