2.1齐次线性方程组ppt课件

1、第四章线性方程组第四章线性方程组4.14.1齐次线性方程组齐次线性方程组解向量的概念解向量的概念设有齐次线性方程组设有齐次线性方程组 000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa若记若记（1）一、齐次线性方程组的解,aaaaaaaaaAmnmmnn 212222111211 nxxxx21则上述方程组则上述方程组1可写成向量方程可写成向量方程.Ax0 1212111nnx,x,x 假设假设为方程为方程 的的0 Ax解，那么解，那么 121111nx 称为方程组称为方程组(1) 的解向量，它也就是向量方程的解向量，它也就是向量方程(2)的解的解

2、齐次线性方程组解的性质齐次线性方程组解的性质（1 1假设假设 为为 的解，那么的解，那么 21 x,x0 Ax21 x0 Ax也是也是 的解的解. .证明证明 02121 AAA0021 A,A.Axx的解的解也是也是故故021 （2 2假设假设 为为 的解，的解， 为实数，那么为实数，那么 也是也是 的解的解1 x0 Axk1 kx 0 Ax证明证明 .kkAkA0011 由以上两个性质可知，方程组的全体解向量由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线因此构成一个向量空间

3、，称此向量空间为齐次线性方程组性方程组 的解空间的解空间0 Ax证毕证毕.如如果果解解系系的的基基础础称称为为齐齐次次线线性性方方程程组组,0 , 21 Axt ; 0,)1(21的的解解的的一一组组线线性性无无关关是是 Axt .,0)2( 21出出线线性性表表的的任任一一解解都都可可由由tAx 3 3基础解系的定义基础解系的定义的的通通解解可可表表示示为为那那么么的的一一组组基基础础解解系系为为齐齐次次线线性性方方程程组组如如果果0 AxAxt,0,21 ttkkkx 2211.,21是任意常数是任意常数其中其中rnkkk 是是它它的的基基础础解解系系。个个线线性性无无关关的的解解向向量量

4、都都的的任任意意）（个个数数为为的的基基础础解解系系中中的的解解向向量量）（则则）（矩矩阵阵，是是设设定定理理rnAxrnAxrArnmA 02;01,1 . 1 . 4. 0A0 x A ;0A0Ax ,)2(.,0,.0,;)(0;0,;)(0)1 有有非非零零解解只只有有零零解解阶阶矩矩阵阵时时是是当当解解系系因因此此必必有有无无穷穷多多个个基基础础必必有有非非零零解解时时当当础础解解系系有有无无穷穷多多个个基基此此时时有有非非零零解解没没有有基基础础解解系系此此时时只只有有零零解解矩矩阵阵，则则是是设设推推论论（nAAxnmAxnArAxAxnArAxnmA . 0)(;0Anr(A)

5、 20,min)().( 0)(dim0V 0 Ax ).( 0)(dim001 AnArnAAxnmnmArnmArnArnVArnArnVVAx阶阶方方阵阵，所所以以，是是）因因为为（非非零零解解。必必有有此此时时时时，必必有有当当非非零零解解有有只只有有零零解解）证证（证证 直接验证它们构成基础解系的三个条件。首先，直接验证它们构成基础解系的三个条件。首先，它们的个数与已给的基础解系它们的个数与已给的基础解系.002213312321321的的基基础础解解系系一一定定是是，基基础础解解系系，证证明明：的的是是某某个个齐齐次次线线性性方方程程组组，设设例例 AxAx .0)(,0)(,0)

6、(.33213312321 AAAAAArn有有其其次次，显显然然，即即的的个个数数相相同同，都都为为.011101110 321321 ），（），（以写出矩阵等式以写出矩阵等式最后，根据题设条件可最后，根据题设条件可 321 ，的基础解系。的基础解系。必是必是，必线性无关。所以，必线性无关。所以，这说明这说明是可逆矩阵，所以，是可逆矩阵，所以，因为表出矩阵的行列式因为表出矩阵的行列式把它记为把它记为0, 3)()(02011101110P .321321 AxArBrPAPB .02,23,032133212321321的基础解系的基础解系一定是一定是解系，证明：解系，证明：的基础的基础是某

7、个齐次线性方程组是某个齐次线性方程组，设设例例 AxAx , 0)2( A , 0)23( A , 0)( A ,., 3)()(02020131211P .020131211 2133212321321321321 AAAArBrPAB显显然然有有另另外外必必线线性性无无关关，这这说说明明是是可可逆逆矩矩阵阵，所所以以，因因为为表表出出矩矩阵阵的的行行列列式式记记为为，），（），（矩矩阵阵等等式式：根根据据已已知知条条件件可可以以写写出出证证. .齐次线性方程组的通解的求法齐次线性方程组的通解的求法 00001001,1, 111rnrrrnbbbbA设齐次线性方程组的系数矩阵为设齐次线性方

8、程组的系数矩阵为 ，并不妨，并不妨设设 的前的前 个列向量线性无关个列向量线性无关r于是于是 通过初等变换可化为通过初等变换可化为AAA的的基基础础解解系系。证证毕毕。一一定定是是的的三三个个线线性性无无关关的的解解所所以以，0,0321 AxAx 00000100121,1, 111 nrnrrrnxxxbbbb nrn ,rrrrnrn ,rxbxbxxbxbx11111110 Ax现对现对 取下列取下列 组数：组数：nrx,x1 rn nrrxxx21 nrn ,rrrrnrn ,rxbxbxxbxbx1111111分分别别代代入入., 100, 010, 001依次得依次得 rxx1,

9、bbr 0011111 ,0102122 rbb .bbrn,rrn,rn 1001 从而求得原方程组的从而求得原方程组的 个解：个解：rn .bb,rn,rrn, 1,bbr 212,bbr 111,可以看出可以看出 是齐次线性方程组解空是齐次线性方程组解空间的一个基间的一个基rn, 21 100,010,001由于由于 个个 维向量维向量rn rn 线性无关，线性无关，所以所以 个个 维向量维向量 亦线性无关亦线性无关.rn nrn, 21.,)1(21线线性性无无关关证证明明n 说明说明解空间的基不是唯一的解空间的基不是唯一的解空间的基又称为方程组的基础解系解空间的基又称为方程组的基础解

10、系.kkkxrnrn 2211假设假设 是是 的基础解系，的基础解系，那么那么其通解为其通解为 rn, 210 Ax.,21是任意常数是任意常数其中其中rnkkk .,2)( 21线线性性表表示示可可由由证证明明解解空空间间的的任任一一解解都都rn 例例1 1 求齐次线性方程组求齐次线性方程组 0377, 02352, 0432143214321xxxxxxxxxxxx的基础解系与通解的基础解系与通解.解解,0000747510737201137723521111 A对系数矩阵对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩作初等行变换，变为行最简矩阵，有阵，有A .7475,7372432431xxx

11、xxx 便便得得,100143 及及令令xx,7473757221 及及对对应应有有xx,107473,01757221 即得基础解系即得基础解系).,( ,10747301757221214321Rccccxxxx 并由此得到通解并由此得到通解例例2 2 解线性方程组解线性方程组 076530230553203454321543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解解 76513123115531234111A对系数矩阵施对系数矩阵施行初等行变换行初等行变换 00000000001311034111 ,rn,n,rAR352 即方程组有无穷多解，即方程组有无穷多解

12、， 其基础解系中有三个线性无关的解向量其基础解系中有三个线性无关的解向量. 543254321334xxxxxxxxx代代入入 26220262201311034111 543xxx令令, 010, 001. 100所以原方程组的一个基础解系为所以原方程组的一个基础解系为, 001121 故原方程组的通解为故原方程组的通解为.kkkx332211 .k,k,k为任意常数为任意常数其中其中321,xx 1221依依次次得得. 12, 31, 010312 . 100123 例例3 3).()(ARAART 证证明明证证.,维维列列向向量量为为矩矩阵阵为为设设nxnmA ; 0)(, 0)(, 0 xAAAxAAxxTT即即则则有有满满足足若若 . 0, 0)()(, 0)(, 0)( AxAxAxxAAxxAAxTTTT从而推知从而推知即即则则满足满足若若 ,0)(0同解同解与与综上可知方程组综上可知方程组 xAAAxT).()(ARAART 因因此此见书上例题见书上例题6、7、8P115-116）齐次线性方程组基础解系的求法齐次线性方程组基础解系的求法 000010011111rn ,rrrn ,bbbbA四、小结（1对系数矩阵对系数矩阵 进行初等变换，将其化为进行初等变换，将其化为最简形最简形A nrn ,rrrrnrn ,rxbxbxxbxbxAx11111110由于由于令