第九讲(1) 机器人动力学拉格朗日方程

1、山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02牛顿欧拉方程实例 例2：如图所示为两杆平面机器人，为了简单起见，我们假设每个杆件的质量集中于杆件的前尾部，其大小为m1和m2。222111,XlPXlPcc解：每个杆件的质量中心矢量为： 由于点质量假设，每个杆件相对质心的惯性张量为零，即：0, 021ccII山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02牛顿欧拉方程实例末端执行器上无作用力，所以：0, 000基座静止，因此：考虑到引力，我们使用：山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02牛顿欧拉方程实例应用递推公式有：向前：1杆件：山东大学机械工程学院机电工程研究所20

2、10/09/02牛顿欧拉方程实例2杆件：惯性力惯性力矩山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02牛顿欧拉方程实例山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02牛顿欧拉方程实例向后递推：2杆件：1杆件：山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02牛顿欧拉方程实例取力矩的Z分量，得到关节力矩：山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02牛顿欧拉方程实例11212122222212212212222122221221222221211cos)cos(sinsin2coscos2)(glmmglml lml lml lmlml lmlmlmm）（ )cos(si

3、ncos212221221222221221212222glmllmlmllmlm ）（整理得：山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02牛顿欧拉方程实例 通常，机器人的动力学方程常写为抽象的形式，令：离心力科氏力21山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02称 为惯量阵， 是离心力、科氏力等相关部分， 为重力部分。 因为 中仅有速度和位形，上述方程也称状态空间方程。特点： 多变量、时变、非线性、强耦合。机器人机构动力学方程有：QGVM)(),()( 其中： 为广义坐标向量， 为广义力向量。 )(M)(G),(VQ),(V山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09

4、/024.3 机器人拉格朗日动力学方程简介机器人拉格朗日动力学方程简介 拉格朗日方程是基于能量项（动能T、势能V）对系统变量及时间的微分而建立的。 对于简单系统拉格朗日方程法相较于牛顿欧拉方程法更显复杂，然而随着系统复杂程度的增加，拉格朗日方程法建立系统运动微分方程变得相对简单。 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02系统的动能 和位能 之差，称为拉格朗日函数，即：4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介系统拉格朗日方程为： iiidLLQdtqq1, 2,.in式中： niQLkEpEkpLEE 系统的广义坐标数作用在第i个广义坐标上的广义 力或广义力矩第i个广义坐标第i个广义速

5、度iq iq山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/024.3 机器人拉格朗日动力学方程简介 例3：对例2所示两杆平面机器人用拉格朗日方法建立动力学方程。解：1、动能和势能 连杆1的动能为： 设Y0=0为零势面，则连杆1的势能为：21111)(21lmT1111singlmV 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/024.3 机器人拉格朗日动力学方程简介 质量m2的位置表示为：)sin(sin)cos(cos212112212112llyllx)(coscos)(insin212121112212121112llysllx则质量M2的速度平方为：)cos(2)2()(co

6、scos)(insin2121212221212221212212121112212121112222llllllsllyx）（）（)(cos2)2(21212122122212122212122l lllmT所以，M2动能为：速度分量为：势能为：)sin(sin21221122glmglmV山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/024.3 机器人拉格朗日动力学方程简介2、拉格朗日函数)sin(sin)()(cos)(21)(2121221121212122122212222121212211glmglmml lmlmlmmVTVTL3、动力学方程)2(cos)()(2122122

7、1222121211l lmlmlmmL)cos(cos)(212211211glmglmmL222212212212222122221221222221211sinsin2coscos2)( l lml lml lmlml lmlmlmmLdtd山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/024.3 机器人拉格朗日动力学方程简介12212212222cos)(l lmlmL21和21和 广义坐标为 对应的广义外力为作用于的关节上的驱动力距 。)cos()(in212221122122glmslglmL21221212212222212222sincos l lml lmlmlmLdtd

8、222111-LLdtdLLdtd山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/024.3 机器人拉格朗日动力学方程简介代入： 比较例2与例3可知，用牛顿-欧拉法与拉格朗日法得到的结果是相同的。)cos(cossinsin2coscos2)(21221121222212212212222122221221222221211glmglmml lml lml lmlml lmlmlmm）（ )cos(sincos212221221222221221212222glml lmlml lmlm ）（山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/024.3 机器人拉格朗日动力学方程简介步骤总结：

9、 1、机械臂上一点速度 设杆件i上一点ri，它在基坐标系中的位置为：iirTr其中，Ti是i坐标系相对基础坐标系的齐次变换矩阵。 那么，该点的速度为：iijjjiirqqTdtdrv1山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/024.3 机器人拉格朗日动力学方程简介求出速度的平方：21111TTiiTiijkjkjkTiiTiijkjkjkT ra ceT ra ceqqqqT ra ceq qqq vvvvvTTrrTTrr山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/024.3 机器人拉格朗日动力学方程简介 2、求系统动能11111111212Tnniiiikkiijkiijk

10、jkTniiiiijkijkjkEETraceq qqqTraceq qqqTTHTTH 3、求系统位能11nnTPp iii iiiEEm g Tr山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/024.3 机器人拉格朗日动力学方程简介4、计算拉格朗日函数1112111212ktpTniiiiijkijkjknnTa iiiiiiiLEETraceq qqqqm TTHIg T r 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/024.3 机器人拉格朗日动力学方程简介5、代入拉格朗日方程1211Tniiiika ppip kiikpTniiiiijkip jkjkpnTiiiippdLLTraceqqdtqqqqTraceq qqqqmq TTHITTHTgr 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/024.3 机器人拉格朗日动力学方程简介1211Tjnjjijkaiiji kkiTjjnjjjkmji kmkminjTjijiiTraceqqqqTraceq qqqqmqTTQHITTHTgr 作用在关节上的广义力为：山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09