波动问题的时空高精度模拟

1、波动问题的时空高精度模拟波动问题的时空高精度模拟国家自然科学基金重大研究计划内容提纲内容提纲结构弹塑性地震反应分析的微分求积混合方法结构弹塑性地震反应分析的微分求积混合方法2一维谱元一维谱元微分求积单元格式微分求积单元格式34精度计算量分析精度计算量分析谱元谱元微分求积单元格式的质量矩阵微分求积单元格式的质量矩阵5引言引言时空高精度模拟时空高精度模拟1引言引言时空高精度模拟时空高精度模拟u 结构地震反应问题本质上是有限结构与无限地基组成的开放系统的波动问题。u 波动问题的求解归结于偏微分方程的求解，在计算机日益发展的今天，数值方法成为主要手段。u 大型三维体系波动问题的时空四维离散自由度巨大，

2、过大的计算量难以承受。u 发展新型高效的波动数值模拟方法是尤为重要的一个环节。引言引言时空高精度模拟时空高精度模拟u 以谱元法和微分求积单元法为代表的高精度算法具有计算精度高，计算效率高的特点。u 以高阶型函数与特殊积分方案为特点的高精度算法是近场波动问题的另一条出路。目标：u结合地震工程问题的特点发展适合解决近场波动问题的高精度计算格式。u 力求在保证精度的前提下，稳定高效地求解波动问题。结构弹塑性地震反应分析的微分求积结构弹塑性地震反应分析的微分求积混合方法混合方法u结构地震反应分析的微分求积重构网格多步格式DQM重构网格多步格式实施基本原理v内部离散点取不等距节点，内部离散点取不等距节点

3、，Fung节点或是节点或是CGL节点节点。具有较好的精度和稳定性。具有较好的精度和稳定性。v不等距节点的外荷载通过原节点荷载线性插值得到。不等距节点的外荷载通过原节点荷载线性插值得到。结构弹塑性地震反应分析的微分求积结构弹塑性地震反应分析的微分求积混合方法混合方法v 注意点：集成新计算区间的地震荷载原离散区间的个数设为注意点：集成新计算区间的地震荷载原离散区间的个数设为N，内部内插离散的不规则节点的数量的选取设为内部内插离散的不规则节点的数量的选取设为n(包含端点包含端点)。这。这两个参数是可变可选的。两个参数是可变可选的。v 此种计算格式的基本思想：此种计算格式的基本思想：1.初值常微分方程

4、问题初值常微分方程问题2.DQ法则法则3.多个离散步距集成多个离散步距集成4.网格重构网格重构5.荷载线性插值荷载线性插值结构弹塑性地震反应分析的微分求积结构弹塑性地震反应分析的微分求积混合方法混合方法v 弹塑性恢复力以及本构模型问题弹塑性恢复力以及本构模型问题（1）折线型（结构恢复力模型）折线型（结构恢复力模型） （2）曲线型（土体本构问题）曲线型（土体本构问题）v 结构弹塑性问题求解方法结构弹塑性问题求解方法（1）处理拐点的计算模式）处理拐点的计算模式（2）迭代的计算模式）迭代的计算模式v 结构弹塑性地震反应分析结构弹塑性地震反应分析DQM混合计算格式混合计算格式（1）针对问题）针对问题折

5、线型恢复力模型折线型恢复力模型（2）求解模式）求解模式处理拐点的计算模式处理拐点的计算模式结构弹塑性地震反应分析的微分求积结构弹塑性地震反应分析的微分求积混合方法混合方法v DQM在弹塑性地震反应分析中的应用在弹塑性地震反应分析中的应用（1）精度）精度（2）稳定性）稳定性（3）计算量）计算量DQM重构网格的多步计算格式重构网格的多步计算格式v 所遇到的困难所遇到的困难拐点的处理问题拐点的处理问题1.区间内所有节点上的反应一次性计算得出。区间内所有节点上的反应一次性计算得出。2.大区间计算，计算区间内产生若干次的状态变化，拐点寻找不易，处理大区间计算，计算区间内产生若干次的状态变化，拐点寻找不易

6、，处理麻烦。传统的拐点处理方法无法直接使用。麻烦。传统的拐点处理方法无法直接使用。结构弹塑性地震反应分析的微分求积结构弹塑性地震反应分析的微分求积混合方法混合方法v 结构弹塑性地震反应分析结构弹塑性地震反应分析DQM混合计算格式混合计算格式基本思想：基本思想：（1）在恢复力模型的直线段采用大步长的）在恢复力模型的直线段采用大步长的DQM重构网格多步格式。重构网格多步格式。（2）在拐点附近采用常规小步长逐步积分计算方法。）在拐点附近采用常规小步长逐步积分计算方法。（3）拐点的处理沿用传统的诸如线性插值、泰勒展开以及精确处理方）拐点的处理沿用传统的诸如线性插值、泰勒展开以及精确处理方法等。法等。结

7、构弹塑性地震反应分析的微分求积结构弹塑性地震反应分析的微分求积混合方法混合方法1uu1nu0ufPfuPuDQM重构网格多步计算格式重构网格多步计算格式小步长逐步积分计算格式小步长逐步积分计算格式-newmark方法方法拐点搜寻拐点搜寻DQM重构网格多步计算格式重构网格多步计算格式DQM混合计算格式基本原理图混合计算格式基本原理图结构弹塑性地震反应分析的微分求积结构弹塑性地震反应分析的微分求积混合方法混合方法v DQM混合计算格式混合计算格式“混合混合”体现在体现在（1）重构网格）重构网格DQM计算格式与传统逐步积分方法混合计算格式与传统逐步积分方法混合（2）大步长与小步长混合）大步长与小步长

8、混合v 此种处理模式的优势此种处理模式的优势（1）恢复力模型直线段采用重构网格）恢复力模型直线段采用重构网格DQM计算格式可以达到精度高，计算格式可以达到精度高，计算量低的效果。计算量低的效果。（2）拐点附近采取小步长计算可以解决大区间拐点处理的难题。）拐点附近采取小步长计算可以解决大区间拐点处理的难题。（3）拐点附近的小步长计算采用传统的逐步积分方法可以避免在每一）拐点附近的小步长计算采用传统的逐步积分方法可以避免在每一步计算中内插入多余节点，提高计算效率。步计算中内插入多余节点，提高计算效率。结构弹塑性地震反应分析的微分求积结构弹塑性地震反应分析的微分求积混合方法混合方法v 数值算例数值算

9、例 研究一个二层剪切型结构。案例结构特性见下表。结构的恢复力模型取二折线理想弹塑性恢复研究一个二层剪切型结构。案例结构特性见下表。结构的恢复力模型取二折线理想弹塑性恢复力模型。塑性刚度取力模型。塑性刚度取0。阻尼矩阵为瑞利阻尼，振型阻尼比为。阻尼矩阵为瑞利阻尼，振型阻尼比为0.05和和0.07。外荷载激励选取两条。外荷载激励选取两条典型的地震加速度记录，典型的地震加速度记录，ELCentro波和波和Taft波。为保证结构进入弹塑性，将两条地震动峰值调波。为保证结构进入弹塑性，将两条地震动峰值调整到整到400gal（cm/s2）。计算中，小步长的逐步积分计算方法选取）。计算中，小步长的逐步积分计

10、算方法选取Newmark常加速度方法。分常加速度方法。分别采用别采用DQM混合计算格式和混合计算格式和Newmark方法进行计算对比。计算中拐点处理采用线性插值方法。方法进行计算对比。计算中拐点处理采用线性插值方法。案例结构的特性k1/kNm-1k2/kNm-1m1 /kNs2m-1m2 /kNs2m-1uf1/muf2/m9.01046.751044.01023.01020.04080.0369结构弹塑性地震反应分析的微分求积混结构弹塑性地震反应分析的微分求积混合方法合方法ELTAFTu1,max（m）Error(%)u2,max（m）Error(%)u1,max（m）Error(%)u2,

11、max（m）Error(%)Newmark0.0958640.0000.1368080.0000.0667720.0000.1029910.000DQ N=5n=40.0961690.3180.1370630.1860.0668160.0660.1030340.043n=50.0961490.2980.1370350.1660.0668620.1310.1030740.082n=60.0961250.2720.1370150.1510.0668230.0770.1030460.055n=70.0960930.2390.136990.1330.0668180.0690.1030390.048DQ

12、 N=10n=40.0953040.5850.1364590.2550.0675711.1950.1039260.909n=50.0963090.4640.1371570.2540.0665620.3140.1027990.185n=60.0961090.2550.1370260.1590.0667860.0210.1030360.045n=70.0960460.1900.1370030.1420.0667780.0090.1030040.014n=80.0961010.2470.1369790.1250.0667420.0480.1029870.002n=90.0960890.2340.13

13、69680.1170.0667210.0760.1029610.028n=100.0960610.2050.1369510.1040.0667070.0970.1029420.046n=110.0960880.2330.1369850.1290.0667050.1000.1029450.044DQ N=20n=90.0961460.2940.1370730.1940.0666260.2180.1028660.120n=110.0960850.2310.136970.1180.0667570.0230.1029810.008n=130.0959730.1100.1368660.0420.0667

14、740.0040.1029960.006n=150.0960460.1900.1369460.1000.0667620.0180.1029860.003n=170.0960180.1600.1369210.0820.0667530.0280.1029810.010n=190.0959480.0870.1369260.0860.0667820.0150.1030120.020n=210.0959270.0650.1369270.0870.0667920.0300.1030180.027最大误差最小误差结构弹塑性地震反应分析的微分求积混结构弹塑性地震反应分析的微分求积混合方法合方法-0.08-0.

15、040.000.040.080.12-0.08-0.040.000.040.080.1201020304050-0.08-0.040.000.040.080.12u1/m Newmark DQ N=5,n=5u1/m Newmark DQ N=10,n=7u1/mt/s Newmark DQ N=20,n=10自由度1位移时程对比ELcentro波Taft波-0.08-0.040.000.040.080.12-0.08-0.040.000.040.080.12010203040-0.08-0.040.000.040.080.12u1/m Newmark DQ N=5,n=5u1/m Newma

16、rk DQ N=10,n=7u1/mt/s Newmark DQ N=20,n=10结构弹塑性地震反应分析的微分求积混结构弹塑性地震反应分析的微分求积混合方法合方法-0.15-0.10-0.050.000.050.100.15-0.15-0.10-0.050.000.050.1000.15-0.10-0.050.000.050.100.15u2/m Newmark DQ N=5,n=5u2/m Newmark DQ N=10,n=6u2/mt/s Newmark DQ N=20,n=12自由度2位移时程对比-0.08-0.040.000.040.080.12-0.08

17、-0.040.000.040.080.1201020304050-0.08-0.040.000.040.080.12u2/m Newmark DQ N=5,n=5u2/m Newmark DQ N=10,n=6u2/mt/s Newmark DQ N=20,n=12ELcentro波Taft波结构弹塑性地震反应分析的微分求积结构弹塑性地震反应分析的微分求积混合方法混合方法-0.04 -0.020.000.020.040.060.080.10-4x106-3x106-2x106-1x10601x1062x1063x1064x106-0.04-0.020.000.020.040.06-3x106-

18、2x106-1x10601x1062x1063x106 Newmark DQM N=5 n=5 DQM N=10 n=6 DQM N=20 n=12F/Nux1/m Newmark DQM N=5 n=5 DQM N=10 n=6 DQM N=20 n=12F/Nux2/m滞回曲线对比（ELCentro波）自由度1自由度2结构弹塑性地震反应分析的微分求积结构弹塑性地震反应分析的微分求积混合方法混合方法滞回曲线对比（Taft波）自由度1自由度2-0.06-0.04-0.020.000.020.040.060.08-4x106-3x106-2x106-1x10601x1062x1063x1064x

19、106-0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0.000.01 0.020.03 0.040.05-3x106-2x106-1x10601x1062x1063x106 Newmark DQ N=5,n=5 DQ N=10,n=6 DQ N=20,n=12F/Nux1 Newmark DQ N=5,n=5 DQ N=10,n=6 DQ N=20,n=12F/Nux2结构弹塑性地震反应分析的微分求积结构弹塑性地震反应分析的微分求积混合方法混合方法计算效率对比计算效率对比计算时间/s时间节约率/%Newmark3.8130DQ N=5n=31.81452.42n=42.01647.12n=5

20、2.25040.99n=62.34438.52DQ N=10n=31.43762.31n=41.50160.66n=51.53159.84n=61.60957.80n=71.70355.33n=81.75154.10n=91.79752.87n=101.95348.78DQ N=20n=81.43762.31n=101.48461.08n=121.54759.42n=141.64156.96n=161.65756.54n=181.75154.10n=201.79752.87最大时间节约率结构弹塑性地震反应分析的微分求积结构弹塑性地震反应分析的微分求积混合方法混合方法（1）弹塑性地震反应的重构网

21、格）弹塑性地震反应的重构网格DQM混合求解方法具有高精度，高计算效率的混合求解方法具有高精度，高计算效率的特点。特点。（2）重构网格）重构网格DQM混合求解方法的计算精度与计算效率由参数混合求解方法的计算精度与计算效率由参数N和和n控制。控制。（3）当）当N一定时，若一定时，若n的取值较小，则计算精度不高，而当的取值较小，则计算精度不高，而当n大于某一值时，随着大于某一值时，随着n的提高计算精度没有非常明显的规律性提高，但从总体上看，精度都处于较高的的提高计算精度没有非常明显的规律性提高，但从总体上看，精度都处于较高的水平，符合工程实际需求。水平，符合工程实际需求。（4）N一定时，随着一定时，

22、随着n取值的降低，计算效率在不断提高。在本文采用的参数组取值的降低，计算效率在不断提高。在本文采用的参数组合下，重构网格合下，重构网格DQM混合求解方法的计算效率皆高于传统的混合求解方法的计算效率皆高于传统的Newamrk方法，计方法，计算效率最优的组合时间节约率达到算效率最优的组合时间节约率达到62.31%（5）选取合适的）选取合适的N和和n，可以使本文的方法达到精度和计算效率的最优匹配，可以使本文的方法达到精度和计算效率的最优匹配。v 一些结论一些结论一维谱元一维谱元微分求积单元格式微分求积单元格式基本思想：u空间域和时间域同时采用高精度算法模拟。空间域（谱单元法），时间域（微分求积单元法

23、）1.对基本方程的空间域采用谱元格式进行离散，得到半离散的时空求解方程。2.对半离散的时候求解方程的时间域采用微分求积单元格式进行离散，得到全离散的时空求解方程。3.考虑边界以及初始条件，求解得到最终的时空解答。一维谱元一维谱元微分求积单元格式微分求积单元格式)(xA一维波动方程一维波动方程 fxutu2222等效弱积分形式等效弱积分形式 dxvfdxuvdxuv 单元单元 NiiiexAaxu0)()(空间正交基展开空间正交基展开 )()()(0 xlxuxuiNiieeLegendre谱元法谱元法 Chebyshev谱元法谱元法 Legendre多项式多项式 Chebyshev多项式多项式

24、 )(xAdxvfdxuvdxuveee 空间谱元格式一维谱元一维谱元微分求积单元格式微分求积单元格式Legendre谱元格式谱元格式Chebyshev谱元格式谱元格式 eeeeeFuKuM ijiiiijeJwM)()(/1200kjkikkNiNkkkijellJJwK dTTTTccccNeMlkjlikNlklkjiije)()()()(1(42110,2dTTTTccccNeeKlkjlikNlklkjiije)()()()(1(442110,22FKuuM 单元组装单元组装空间谱元格式一维谱元一维谱元微分求积单元格式微分求积单元格式uAu2 )()()(tFtKutuM T微分求积

25、法则微分求积法则持时：持时：单元：单元：t正则化：正则化： 1 , 0PuK嵌入式初始条件处理嵌入式初始条件处理22)()()(ttFtutKtuM 时间微分求积元格式一维谱元一维谱元微分求积单元格式微分求积单元格式基本参数：1.空间网格单元大小x。2.空间网格单元中空间节点的数量N。3.时间网格单元大小t。4.时间网格单元中时间节点的数量n。波动模拟的计算精度，稳定性和计算效率受这四个参数影响，须合理选择计算参数。一维谱元一维谱元微分求积单元格式微分求积单元格式数值算例：数值算例：一维空间取100m，在坐标50m处，施加一个初始位移函数，位移函数为三次B样条函数，初始位移函数的施加区域为(5

26、0m, 60m),此问题是一个柯西初值波动问题。两端边界取为固定边界。初始速度皆取为0.波速取为1m/s,分别取空间坐标为60m，70m，80m的三个空间点A,B,C作为记录点。基本参数取为（2，5；0.1，5），分别代表（ x， N； t， n）一维谱元一维谱元微分求积单元格式微分求积单元格式0102030400.00.10.20.30.40.50102030400.00.10.20.30.40.50102030400.00.10.20.30.40.5u/mt/s analytical SPEM,DQEMu/mt/s analytical SPEM,DQEMu/mt/s analytical

27、 SPEM,DQEM点Cm,80点Am,60点Bm,70不同空间记录点计算时程Lengendre谱元离散一维谱元一维谱元微分求积单元格式微分求积单元格式不同时间记录点空间快照0204060801000.00.10.20.30.40.50204060801000.00.10.20.30.40.50204060801000.00.10.20.30.40.50204060801000.00.10.20.30.40.5 analytical SPEM,DQEM analytical SPEM,DQEM analytical SPEM,DQEMu/mx/m analytical SPEM,DQEMx/m

28、u/mx/mu/mx/mu/mst5st10st20st30Lengendre谱元离散一维谱元一维谱元微分求积单元格式微分求积单元格式0102030400.00.10.20.30.40.50102030400.00.10.20.30.40.50102030400.00.10.20.30.40.5u/mt/s analytical SPEM,DQEMu/mt/s analytical SPEM,DQEMu/mt/s analytical SPEM,DQEM点Cm,80点Am,60点Bm,70不同空间记录点计算时程Chebyshev谱元离散一维谱元一维谱元微分求积单元格式微分求积单元格式不同时间记

29、录点空间快照0204060801000.00.10.20.30.40.50204060801000.00.10.20.30.40.50204060801000.00.10.20.30.40.50204060801000.00.10.20.30.40.5 analytical SPEM,DQEM analytical SPEM,DQEM analytical SPEM,DQEMu/mx/m analytical SPEM,DQEMx/mu/mx/mu/mx/mu/mst5st10st20st30Chebyshev谱元离散精度计算量分析精度计算量分析1. 现行有限元计算方法的计算精度可以达到工程应

30、用的需求。2. 波动的高精度算法模拟的重点不在精度，而是提高计算效率。3. 源于高精度算法的高计算精度，可以相应调整计算参数，适当降低计算精度，来保证计算效率的大大提高。4. 高精度时空模拟的计算格式的四个计算参数同时影响到计算精度和计算效率。一些注记：精度计算量分析精度计算量分析数值算例数值算例1：一维空间取100m，在坐标50m处，施加一个初始位移函数，位移函数为三次B样条函数，初始位移函数的施加区域为(50m, 60m),此问题是一个柯西初值波动问题。两端边界取为固定边界。初始速度皆取为0.波速取为1m/s,分别取空间坐标为60m，70m，80m,90m的四个空间点A,B,C,D作为记录

31、点。求取四个点的时程的最大值与解析解的误差，在计算中采取多种参数组合。精度计算量分析精度计算量分析60708090-2.5-2.0-1.5-1.0-0.50.0error/%logx/m (2,4;0.1,3) (2,5;0.1,3) (1,4;0.1,4) (1,5;0.1,4) (0.5,4;0.1,4) (0.5,5;0.1,4)位移最大值误差对比（Legendre谱元）精度计算量分析精度计算量分析位移最大值误差对比（Chebyshev谱元）60708090-2.5-2.0-1.5-1.0-0.50.0 (2,4;0.1,3) (2,5;0.1,3) (1,4;0.1,4) (1,5;0

32、.1,4) (0.5,4;0.1,4) (0.5,5;0.1,4)error/%logx/m精度计算量分析精度计算量分析0102030400.00.10.20.30.40.50102030400.00.10.20.30.40.50102030400.00.10.20.30.40.5u/mt/s analytical SPEM,DQMu/mt/s analytical SPEM,DQMu/mt/s analytical SPEM,DQM由此可见高精度格式的精度处于一个较高的水平考虑进一步放宽时间与空间步距：采用参数（5，7；0.2，5），分别代表（ x， N； t， n）0102030400.0

33、0.10.20.30.40.50102030400.00.10.20.30.40.50102030400.00.10.20.30.40.5u/mt/s analytical SPEM,DQMu/mt/s analytical SPEM,DQMu/mt/s analytical SPEM,DQM点Cm,80点Am,60点Bm,70不同空间记录点计算时程对比Legendre谱元Chebyshev谱元精度计算量分析精度计算量分析0204060801000.00.10.20.30.40.50204060801000.00.10.20.30.40.50204060801000.00.10.20.30.4

34、0.50204060801000.00.10.20.30.40.5 analytical SPEM,DQEM analytical SPEM,DQEM analytical SPEM,DQEMu/mx/m analytical SPEM,DQEMx/mu/mx/mu/mx/mu/m0204060801000.00.10.20.30.40.50204060801000.00.10.20.30.40.50204060801000.00.10.20.30.40.50204060801000.00.10.20.30.40.5 analytical SPEM,DQEM analytical SPEM,D

35、QEM analytical SPEM,DQEMu/mx/m analytical SPEM,DQEMx/mu/mx/mu/mx/mu/m不同时间记录点空间快照对比st5st10st20st30Legendre谱元Chebyshev谱元精度计算量分析精度计算量分析采用有限元-中心差分法进行对比：空间网格取0.5，时间步距取0.04不同空间记录点计算时程对比0102030400.00.10.20.30.40.50102030400.00.10.20.30.40.50102030400.00.10.20.30.40.5u/mt/s analytical femu/mt/s analytical f

36、emu/mt/s analytical fem点Cm,80点Am,60点Bm,70精度计算量分析精度计算量分析不同时间记录点空间快照对比0204060801000.00.10.20.30.40.50204060801000.00.10.20.30.40.50204060801000.00.10.20.30.40.50204060801000.00.10.20.30.40.5 analytical fem analytical fem analytical femu/mx/m analytical femx/mu/mx/mu/mx/mu/mst5st10st20st30精度计算量分析精度计算量分

37、析数值算例2：一维空间取100m，在坐标50m处，施加一个初始位移函数，位移函数为三次B样条函数，初始位移函数的施加区域分为三种情况(1).(50m,60m),(2).(50m,70m),(3).(50m,80m)。对应的空间波数为(1),0.1。 (2), 0.05。(3),0.033。初始速度皆取为0.波速取为1m/s。两端边界取为固定边界。取空间坐标80m的空间点A点作为记录点，记取最大位移值并且和解析解进行对比精度计算量分析精度计算量分析精度计算量对比空间波数（1）(0.4,0.01)- (0.4,0.02)-(2,5;0.1;4)(2,5;0.1;3)(2,4;0.1;4)(2,4;

38、0.1;3)05101520253035400.476%0.476%0.163%0.151%0.484%0.483%t/sdifferent method and parameter(0.4,0.01)- (0.4,0.02)-(2,5;0.1;4)(2,5;0.1;3)(2,4;0.1;4)(2,4;0.1;3)05101520253035400.420%0.409%0.274%0.250%0.484%0.483%t/sdifferent method and parameterLegendre谱元Chebyshev谱元精度计算量分析精度计算量分析精度计算量对比空间波数（2）(0.4,0.0

39、1)- (0.4,0.02)-(2,5;0.1;4)(2,5;0.1;3)(2,4;0.1;4)(2,4;0.1;3)051015202530350.051%0.050%0.032%0.031%0.0673%0.0671%t/sdifferent method and paremeter(0.4,0.01)- (0.4,0.02)-(2,5;0.1;4)(2,5;0.1;3)(2,4;0.1;4)(2,4;0.1;3)05101520253035t/sdifferent method and parameter0.0674%0.0651%0.0226%0.0671%0.0673%0.0179%

40、Legendre谱元Chebyshev谱元精度计算量分析精度计算量分析精度计算量对比空间波数（3）(0.4,0.01)- (0.4,0.02)-(2,5;0.1;4)(2,5;0.1;3)(2,4;0.1;4)(2,4;0.1;3)02468100.020%0.021%0.0053%0.0047%0.031%0.029%t/sdifferent method and parameter(0.4,0.01)- (0.4,0.02)-(2,5;0.1;4)(2,5;0.1;3)(2,4;0.1;4)(2,4;0.1;3)02468100.029%0.031%0.0057%t/sdifferent

41、method and parameter0.0509%0.0286%0.0061%Legendre谱元Chebyshev谱元精度计算量分析精度计算量分析一些初步结论与展望：1.时空高精度波动模拟具有高精度的特性。2.在合理控制精度的情况下，高精度波动模拟方法可以取得比有限元中心差分方法大的空间与时间步距。3.在精度控制在同一水平线上时，时空高精度模拟的计算效率优于传统的有限元中心差分方法。4.对于地震动荷载，高精度模拟方法受到地震动特性的影响，其不同于光滑的初值扰动问题，需要进行深入的工作与分析。谱元格式的质量矩阵谱元格式的质量矩阵谱元格式的质量矩阵谱元格式的质量矩阵ijiiiijeJwMdT

42、TTTccccNeMlkjlikNlklkjiije)()()()(1(42110,2Legendre谱元格式谱元格式Chebyshev谱元格式谱元格式对角阵对角阵空间解耦空间解耦符合波速有限概念符合波速有限概念满阵满阵空间耦联空间耦联不符合波速有限概念不符合波速有限概念谱元格式的质量矩阵谱元格式的质量矩阵44eM11eM33eMChebyshev质量阵质量阵一致质量阵一致质量阵集中质量阵集中质量阵22eM空间解耦空间解耦符合波速有限基本概念符合波速有限基本概念eM空间耦连空间耦连不符合波速有限基本概念不符合波速有限基本概念12 , 1,2)(11NixxMiiii0,2)(01ixxMiiN

43、ixxMNNii,2)(1谱元格式的质量矩阵谱元格式的质量矩阵集中质量阵集中质量阵的计算效果：的计算效果：一维空间取100m，在坐标50m处，施加一个初始位移函数，位移函数为三次B样条函数，初始位移函数的施加区域为(50m, 60m),此问题是一个柯西初值波动问题。两端边界取为固定边界。初始速度皆取为0.波速取为1m/s,分别取空间坐标为60m，70m，80m的三个空间点A,B,C作为记录点。基本参数取为（2，5；0.1，5），分别代表（ x， N； t， n）谱元格式的质量矩阵谱元格式的质量矩阵0102030400.00.10.20.30.40.50102030400.00.10.20.30

44、.40.50102030400.00.10.20.30.40.5u/mt/s analytical SPEM,DQEMu/mt/s analytical SPEM,DQEMu/mt/s analytical SPEM,DQEM点Cm,80点Am,60点Bm,70不同空间记录点计算时程Chebyshev集中质量阵谱元格式的质量矩阵谱元格式的质量矩阵不同时间记录点空间快照0204060801000.00.10.20.30.40.50204060801000.00.10.20.30.40.50204060801000.00.10.20.30.40.50204060801000.00.10.20.30.40.5 analytical SPEM,DQEM analytical SPEM,DQEM analytical SPEM,DQEMu/mx/m analytical SPEM,DQEMx/mu/mx/mu/mx/mu/mst5st10st20st30Chebyshev集中质量阵谱元格式的质量矩阵谱元格式的质量矩阵1.Chebyshev集中质量阵具有较好的计算效果。2.Chebyshev集中质量阵从物理概念上讲更加符合波速有限的概念。3.如果时间域采用显式计算格式，则集中质量阵在计算效率中占有巨大优势。4.尽管对于高