第3章 时域分析

1、1第第3 3章章 时域分析法时域分析法l3.1 典型输入信号和时域性能指标典型输入信号和时域性能指标l3.2 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析l3.3 控制系统的暂态性能分析控制系统的暂态性能分析 l3.4 控制系统的稳态性能分析控制系统的稳态性能分析l3.5 MATLAB用于时域响应分析用于时域响应分析 23.1 典型输入信号和时域性能指标典型输入信号和时域性能指标3.1.1 典型输入信号典型输入信号. .阶跃信号阶跃信号000)(tAttr，拉氏变换式：，拉氏变换式： sAsR)(2.2.斜坡信号斜坡信号000)(tAtttr2( )AR ss3.3.抛物线信号抛物线信号200(

2、)102tr tAtt3( )AR ss，拉氏变换式：，拉氏变换式： ，拉氏变换式：，拉氏变换式： 3.脉冲信号脉冲信号00,( )0tthr tAthh 0h ( ) t当当，A A1 1时称为单位脉冲信号，记作时称为单位脉冲信号，记作 。1)()(tLsR5.正弦信号正弦信号tAtrsin)(22)(sAsR ，拉氏变换式：，拉氏变换式： 43.1.2 时域性能指标时域性能指标 稳定系统的阶跃响应具有衰减振荡和单调变化两种类型。稳定系统的阶跃响应具有衰减振荡和单调变化两种类型。 1.1.暂态性能指标：暂态性能指标：上升时间上升时间 ，峰值时间峰值时间 ，调整时间调整时间 ， （最大）超调量

3、（最大）超调量 。rtptstp2.稳态性能指标：稳态性能指标： 稳态误差稳态误差sse 上升时间和峰值时间反映系统响应初始阶段的快慢；最大超上升时间和峰值时间反映系统响应初始阶段的快慢；最大超调量反映了暂态过程的平稳性；调节时间反映了系统的快速性。调量反映了暂态过程的平稳性；调节时间反映了系统的快速性。，反映了系统的控制精度。，反映了系统的控制精度。 53.2 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析3.2.1 稳定的概念稳定的概念 稳定性是系统能够正常工作的首要条件。稳定性是系统能够正常工作的首要条件。 稳定性的概念：稳定性的概念：一个处于某平衡状态的系统，在扰动信号的一个处于某平衡状态的

4、系统，在扰动信号的作用下，会偏离原来的平衡状态，当扰动作用消失后，系统又能作用下，会偏离原来的平衡状态，当扰动作用消失后，系统又能够逐渐地恢复到原来的平衡状态，或者说系统的零输入响应具有够逐渐地恢复到原来的平衡状态，或者说系统的零输入响应具有收敛性质，称系统是稳定的。反之，若系统不能恢复到原平衡状收敛性质，称系统是稳定的。反之，若系统不能恢复到原平衡状态，即系统的零输入响应具有发散性质，或者进入振荡状态，则态，即系统的零输入响应具有发散性质，或者进入振荡状态，则系统是不稳定的。系统是不稳定的。 稳定性是系统去掉外作用后，自身的一种恢复能力，所以是稳定性是系统去掉外作用后，自身的一种恢复能力，所

5、以是系统的一种固有特性，它只取决于系统的结构参数而与初始条件系统的一种固有特性，它只取决于系统的结构参数而与初始条件及外作用无关。及外作用无关。63.2.2 线性定常系统稳定的充分必要条件线性定常系统稳定的充分必要条件 设系统的闭环传递函数为设系统的闭环传递函数为: : 21122111)2()()()()()(nknknkknjjmiisspszsKsDsMs系统系统单位脉冲单位脉冲响应为响应为: :1211( )sin()0jknknnp ttjkdkkjkc tA eD ett R(s)=1线性定常系统稳定的充分必要条件是线性定常系统稳定的充分必要条件是：闭环系统特征方程：闭环系统特征方

6、程的根均具有负实部；或者说，闭环传递函数的极点都位于的根均具有负实部；或者说，闭环传递函数的极点都位于S S平面的左半部。平面的左半部。73.2.3 劳斯劳斯(Routh)稳定判据稳定判据设线性系统的特征方程为设线性系统的特征方程为1. 线性定常系统稳定的必要条件线性定常系统稳定的必要条件 0123123( )0nnnnnnnnD sa sasasasa10,nna aa式中，特征方程的系数式中，特征方程的系数 为实数。为实数。 系统稳定的必要条件是系统稳定的必要条件是：特征方程的所有系数都大于零。：特征方程的所有系数都大于零。 劳斯稳定判据是利用特征方程的系数进行代数运算来劳斯稳定判据是利用

7、特征方程的系数进行代数运算来确定特征方程根的位置，以判定控制系统的稳定性，也称确定特征方程根的位置，以判定控制系统的稳定性，也称为代数稳定判剧。为代数稳定判剧。 82. 劳斯稳定判据劳斯稳定判据（1）建立劳斯表）建立劳斯表 2411352123145123113131 2151 3123112121101.nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnsaaasaaaaaa aaaa asbbbaabaabbaabscccbbseesfsg将特征方程的系数按以下方法构成一个将特征方程的系数按以下方法构成一个n+1n+1行的劳斯表：行的劳斯表： 9（2）劳斯稳定判据）劳斯稳定判据 系统稳定的充

8、分必要条件是：系统稳定的充分必要条件是：劳斯表第一列数都劳斯表第一列数都大于零。如果劳斯表第一列数出现小于或等于零的数，大于零。如果劳斯表第一列数出现小于或等于零的数，则系统不稳定。且劳斯表第一列数符号改变的次数等则系统不稳定。且劳斯表第一列数符号改变的次数等于特征方程正实部根的个数。于特征方程正实部根的个数。10 设某控制系统的特征方程为设某控制系统的特征方程为: :例例3-2 432( )33220D sssss判定系统的稳定性。判定系统的稳定性。 解解 特征方程的系数都大于零，满足稳定的必要条件。特征方程的系数都大于零，满足稳定的必要条件。 列劳斯表列劳斯表: : 符号改变一次符号改变一

9、次）同乘674763273(6230123737321332323101234sssss 由于劳斯表第一列数不全为正，故由于劳斯表第一列数不全为正，故系统不稳定系统不稳定。第一列。第一列数符号改变了两次，故系统有两个正实部根。数符号改变了两次，故系统有两个正实部根。11（3）两种特殊情况的劳斯判据）两种特殊情况的劳斯判据 1 1）在劳斯表的某一行中，第一列数为零，而其余数）在劳斯表的某一行中，第一列数为零，而其余数不全为零。按照劳斯判据，因第一列元素不全大于不全为零。按照劳斯判据，因第一列元素不全大于0 0，可，可以确定系统不稳定。如需要了解根的分布情况，可用一个以确定系统不稳定。如需要了解根

10、的分布情况，可用一个有限小的正数代替有限小的正数代替0 0，完成劳斯表。，完成劳斯表。 例例3-33-3 某控制系统的特征方程为某控制系统的特征方程为 ，判定该系统的稳定性。判定该系统的稳定性。5432( )22350D ssssss 2 2）劳斯表某行元素全为零，表示特征方程具有对称于原）劳斯表某行元素全为零，表示特征方程具有对称于原点的根存在。可用全零行的前一行数值组成辅助方程点的根存在。可用全零行的前一行数值组成辅助方程 ，并用这个方程的导数并用这个方程的导数 的系数代替全零行的各项，完成劳的系数代替全零行的各项，完成劳斯表。利用辅助方程斯表。利用辅助方程 可解得那些对称根。可解得那些对

11、称根。 ( )P s( )P s( )P s123. 劳斯判据的应用劳斯判据的应用（1 1） 确定闭环系统稳定时的参数条件确定闭环系统稳定时的参数条件（2 2）检验系统的稳定裕量）检验系统的稳定裕量 例例3-63-6 确定图确定图3-43-4所示系统稳定时所示系统稳定时K的取值范围。的取值范围。( )C s2(1)(4)Ks sss ( )R s解解 系统的特征方程为系统的特征方程为432( )5540D sssssK列劳斯表：列劳斯表： 432101554021215(558425215sKssKKKssK同乘 ）系统稳定条件：系统稳定条件： 0, 84250,0KKK84即25133.2.

12、4 胡尔维茨（胡尔维茨（Hurwith）稳定判据）稳定判据 胡尔维茨稳定判据胡尔维茨稳定判据: :线性系统稳定的充分必要条线性系统稳定的充分必要条件是，由系统特征方程各项系数构成的主行列式：件是，由系统特征方程各项系数构成的主行列式：135241321012000000000000000000000000000000nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaa及其主对角线上的各子行列式及其主对角线上的各子行列式 均为正。均为正。 )1,3 ,2, 1(nii143.3 控制系统的暂态性能分析控制系统的暂态性能分析3.3.1 一阶系统分析一阶系统分析( )1( )( )1C ssR

13、 sTs一阶系统的传递函数和典型结构为一阶系统的传递函数和典型结构为 系统阶跃响应的拉氏变换式为系统阶跃响应的拉氏变换式为 111( )( ) ( )11TC ss R sTsssTs 可得系统的单位阶跃响应可得系统的单位阶跃响应 -1( )L ( )10tTc tC set 一阶系统的单位阶跃响应是单调上升的指数曲线。一阶系统的单位阶跃响应是单调上升的指数曲线。34 ,stTT或0,p性能指标：性能指标：0sse 153.3.1 二阶系统分析二阶系统分析1. 1. 数学模型数学模型 22 222( )1( )( )212nnnC ssR sT sTsss典型二阶系统的结构和闭环传递函数： 系

14、统的特征方程为系统的特征方程为 0222nnss特征方程的根，即闭环系统的极点为特征方程的根，即闭环系统的极点为 122, 1nns特征方程根的性质由特征方程根的性质由 的值完全决定了。的值完全决定了。 1nT其中，其中， 为系统的阻尼比；为系统的阻尼比； 为无阻尼振荡频率（或自然为无阻尼振荡频率（或自然振荡频率）。振荡频率）。162.2.单位阶跃响应单位阶跃响应 单位阶跃响应的拉氏变换式为单位阶跃响应的拉氏变换式为 ssssssCnnn121)()(22222212nnnssss（1 1） 无阻尼情况无阻尼情况0njs2, 1221( )nsC sss0cos1)(tttcn 响应为响应为等

15、幅振荡等幅振荡曲线，其振荡的角频率为曲线，其振荡的角频率为 ，系统系统不能稳定工作。不能稳定工作。n一对纯虚根一对纯虚根 17（2 2） 欠阻尼情况欠阻尼情况01dnnnjjs22 , 11为一对具有负实部的共轭复数根为一对具有负实部的共轭复数根 单位阶跃响应为单位阶跃响应为: : 22221( )()()nnndndsC sssstetetcdtdtnnsin1cos1)(22211 1cossin1ntddett 0)sin(1112ttedtn2arctan( 1/)其中，18 欠阻尼二阶系统响应的暂态分量，是幅值随时间欠阻尼二阶系统响应的暂态分量，是幅值随时间按指按指数规律衰减数规律衰

16、减的正弦振荡项。其振荡的角频率为阻尼的正弦振荡项。其振荡的角频率为阻尼振荡频振荡频率率 ，即特征方程根的虚部；其，即特征方程根的虚部；其衰减的速度衰减的速度由由 ，即特，即特征方程根的实部的绝对值决定。征方程根的实部的绝对值决定。dn19（3 3） 临界阻尼情况临界阻尼情况1ns2, 1一对相等的负实数根 2222111( )2()nnnnnnsC sssssss( ) 1(1)0ntnc tett 响应为单调上升、无响应为单调上升、无振荡及超调的曲线振荡及超调的曲线 （4 4） 过阻尼情况过阻尼情况1122, 1nns2 2个不相等负实根个不相等负实根 212ns s212121211( )

17、(1)(1)(1)(1)nAAC ssTsTsssTsT1212( )10t Tt Tc tAeA et 121211,ssTT 令响应的暂态分量是两个单调衰减的指数项，响响应的暂态分量是两个单调衰减的指数项，响应曲线与临界阻尼时一样，无振荡单调上升应曲线与临界阻尼时一样，无振荡单调上升 不同阻尼比不同阻尼比时系统特征方程的根在时系统特征方程的根在S S平面的位置及其单平面的位置及其单位阶跃响应曲线位阶跃响应曲线 )ajn100110010212. 2. 欠阻尼典型二阶系统暂态性能指标计算欠阻尼典型二阶系统暂态性能指标计算 21( )1sin()01ntdc tett欠阻尼单位阶跃响应式：欠阻

18、尼单位阶跃响应式：（）上升时间（）上升时间（）峰值时间（）峰值时间21rdnt可得：21pdnt( )1sin()0rd rc tt令，则( )0dc tdt令，得 和和 都与阻尼振荡频率都与阻尼振荡频率 成反比。成反比。 rtptd22（）最大超调量（）最大超调量%100)1exp(%100)()()(2cctcpp p 可见，只与 有关,阻尼比 越大，超调量越小，系统的平稳性越好。p0.40.50.60.680.7070.8 （%）2516.3954.31.5p23（4 4）调整时间）调整时间 40.0230.05snsntt 当阻尼比很小时当阻尼比很小时 ，经过二次近似后，常，经过二次近

19、似后，常用下列两式计算调整时间用下列两式计算调整时间 (0.8) 而实际的调整时间而实际的调整时间 ，当，当 0.70.7之后，之后， 增大，增大， 会变大，会变大，快速性变差。快速性变差。 stst 由以上分析计算可知，为了限制超调量，并使调节时间较短，由以上分析计算可知，为了限制超调量，并使调节时间较短，阻尼比一般应取阻尼比一般应取0.40.40.80.8之间，这时超调量约在之间，这时超调量约在 25251.51.5之间，而调节时间比较短。工程上常取之间，而调节时间比较短。工程上常取 作为设计依据，作为设计依据，称之为称之为“二阶最佳系统二阶最佳系统”。此时，超调量为此时，超调量为 4.3

20、4.3，而调整时，而调整时间最小。间最小。 707. 024掌握二阶欠阻尼系统动态性能指标掌握二阶欠阻尼系统动态性能指标计算方法计算方法: : (1)(1)已知系统的结构、参数计算性能指标。已知系统的结构、参数计算性能指标。(2)(2)由要求的性能指标，确定系统的某些参数。由要求的性能指标，确定系统的某些参数。25例例3-113-11 控制系统结构图如图所示。控制系统结构图如图所示。 ( )R s( )C s(1)Ks Ts （1 1） 讨论系统参数讨论系统参数K K、T T对系统暂态性能的影响。对系统暂态性能的影响。 （2 2） 当当K=4,T=0.25K=4,T=0.25时，计算系统的暂态

21、性能指标时，计算系统的暂态性能指标 。 （3 3） 当当T=0.25T=0.25时，若要求将系统设计成二阶最佳，应如时，若要求将系统设计成二阶最佳，应如何改变值何改变值? ?解解 (1) (1) 系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为 TKsTsTKKsTsKs1)(22211,21,22nnnnTK TTK TKT26 例例3-123-12 某单位负反馈二阶系统的单位阶跃响应曲线某单位负反馈二阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示，试确定系统的开环传递函数。如图所示，试确定系统的开环传递函数。01t( )c t1.30.1解解 由图可知，该系统为欠阻尼二阶系统。且有由图可知，该系统为欠阻尼二阶系

22、统。且有 30%,0.1ppt1.012npt3 . 0)1exp(2p由由解得：解得：358. 03 .1145. 1)(ln)(ln222pp63.33358. 014 .31122pnt所以，系统的开环传递函数为：所以，系统的开环传递函数为：) 1 .24(1131)2()(2sssssGnn27 4. 二阶系统性能改善二阶系统性能改善 （1）误差的比例）误差的比例-微分控制微分控制( )E s( )R s( )Cs2(2)nns ss 系统引人比例微分控制后系统引人比例微分控制后闭环传递函数为闭环传递函数为 2222222(1)(1)( )( )( )22nnnnnnnssC ssR

23、ssssss n21 可见阻尼比增大，使减小超调量，平稳性提高。但增可见阻尼比增大，使减小超调量，平稳性提高。但增加了一个零点加了一个零点其中：其中：28（2） 速度负反馈控制速度负反馈控制( )R s( )C s2(2)nns ss 系统引人速度负反馈控制后系统引人速度负反馈控制后闭环传递函数为闭环传递函数为 2222222( )( )( )22nnnnnnnC ssR ssssss 其中：其中：n21 可见阻尼比增大，使减小超调量，平稳性提高。但可见阻尼比增大，使减小超调量，平稳性提高。但开环增益也减小了。开环增益也减小了。)2()(22nnnsssG293.3.3 高阶系统分析高阶系统分

24、析 三阶及以上系统，传递函数表示成零、极点形式三阶及以上系统，传递函数表示成零、极点形式1212211()( )()(2)mriinnjknknkjkKszsspss 设系统没有重极点。系统单位阶跃响应为设系统没有重极点。系统单位阶跃响应为 211221021)()(nknknkkkknjjjssCsBpsAsAsssC12011( )sin()0jknknnp ttjkdkkjkc tAA eD ett 1. 高阶系统的暂态响应分析高阶系统的暂态响应分析30 如果所有闭环极点都具有负实部，即所有极点都位如果所有闭环极点都具有负实部，即所有极点都位于于S S平面的左半部，随着时间的增大，暂态分

25、量均衰减趋平面的左半部，随着时间的增大，暂态分量均衰减趋于零，系统是稳定的。于零，系统是稳定的。 各暂态分量衰减的快慢，取决于各暂态分量衰减的快慢，取决于对应极点离虚轴的距离。极点离虚轴越远，该极点对应对应极点离虚轴的距离。极点离虚轴越远，该极点对应的暂态分量衰减越快。的暂态分量衰减越快。 2. 闭环主导极点闭环主导极点 高价系统所有的闭环极点中，若距虚轴最近的极点周围高价系统所有的闭环极点中，若距虚轴最近的极点周围没有闭环零点，且其实部小于其它极点实部的没有闭环零点，且其实部小于其它极点实部的1/51/5，那么，那么，这样的极点所对应的暂态分量系数大而衰减缓慢，在系统的这样的极点所对应的暂态

26、分量系数大而衰减缓慢，在系统的动态响应过程中起主导作用，这样的动态响应过程中起主导作用，这样的闭环极点称为主导极点。闭环极点称为主导极点。31 利用主导极点的概念，可以将高阶系统近似用一、利用主导极点的概念，可以将高阶系统近似用一、二阶系统表达，以便估算系统的性能指标。二阶系统表达，以便估算系统的性能指标。 例如，某四阶系统的闭环传递函数为例如，某四阶系统的闭环传递函数为2( )2(21)( )( )(2.051)(0.1251)(0.20.41)C sssR sssss22( )22 5( )( )0.20.4125C ssR sssss系统的闭环传递函数可近似为系统的闭环传递函数可近似为3

27、23.4 控制系统的稳态性能分析控制系统的稳态性能分析3.4.1 误差及稳态误差的定义误差及稳态误差的定义 稳态误差是控制系统稳态响应的性能指标，用以评稳态误差是控制系统稳态响应的性能指标，用以评价系统的稳态精度，表示系统跟踪输入信号或抑制干扰价系统的稳态精度，表示系统跟踪输入信号或抑制干扰信号的能力。信号的能力。 （1) 1) 从输出端定义：以被控量的从输出端定义：以被控量的期望值和实际值之差定义为误差。期望值和实际值之差定义为误差。 1( )( )( )rE sC sC s( )C s( )C s1( )E s( )N s2( )G s1( )( )G s H s1( )H s( )rC

28、s)b( )C s( )C s( )E s( )N s2( )G s1( )G s( )H s( )B s)a等效单位等效单位反馈系统反馈系统但这种误差但这种误差无法测量无法测量33 (2) (2) 从输入端定义：以输入信号与主反馈信号之从输入端定义：以输入信号与主反馈信号之差，即偏差信号定义为误差。差，即偏差信号定义为误差。 )()()()()()(sCsHsRsBsRsE 这种误差可以测量，便于用结构图进行分析计算，故在这种误差可以测量，便于用结构图进行分析计算，故在工程上应用较多。在本教材，采用从系统输入端定义的误差工程上应用较多。在本教材，采用从系统输入端定义的误差. . 两种定义的误

29、差信号间的关系：两种定义的误差信号间的关系：1( )( )( )E sE sH s34稳态误差稳态误差: 系统误差当系统误差当 时的值被称为稳态误差，用时的值被称为稳态误差，用 表示。表示。 tsse由第由第2 2章得到的误差信号为章得到的误差信号为: : 2( )( )1( )( )( )( )( )1( )( )1( )( )rnG s H sE sR sN sE sEsG s H sG s H s根据拉氏变换的终值定理即可求出系统的稳态误差根据拉氏变换的终值定理即可求出系统的稳态误差 2000( )( )( )( )lim( )limlim1( )( )1( )( )ssssssrsnG

30、 s H s N sR sesE sssG s H sG s H see353.4.2 给定信号作用下的稳态误差给定信号作用下的稳态误差 研究给定信号作用下稳态误差的普遍规律，必须研究研究给定信号作用下稳态误差的普遍规律，必须研究不同结构类型系统在不同输入作用下的稳态误差。不同结构类型系统在不同输入作用下的稳态误差。 控制系统分类：控制系统分类： 以开环传递函数中含零值极点数以开环传递函数中含零值极点数 （积分环节的数（积分环节的数目）分类，分别称系统为目）分类，分别称系统为0 0型、型、1 1型、型、2 2型系统。型系统。 1. 阶跃信号输入 pssrKAsAsHsGse1)()(1lim0

31、)()(lim0sHsGKsp，称为系统的，称为系统的位置稳态误差系数位置稳态误差系数。 对于对于0 0型系统，型系统， KAeKKsrp1,1 1型及以上系统，型及以上系统， 0,srpeK362. 斜坡信号输入 vssrKAsAsHsGse20)()(1lim)()(lim0sHssGKsv，称为系统的，称为系统的速度稳态误差系数速度稳态误差系数。 对于对于0 0型系统，型系统， 1 1型系统，型系统，2 2型及以上系统，型及以上系统，0,vsrKe,vsrAKKeK,0vsrKe sset( )r t( )b t1.型系统0.型系统2.型系统037 3. 抛物线信号输入 assrKAsA

32、sHsGse30)()(1lim)()(lim20sHsGsKsa，称为系统的，称为系统的加速度稳态误差系数加速度稳态误差系数。 对于对于1 1型以下系统型以下系统 sraeK, 02 2型系统型系统 ,asrAKKeK38输入信号作用下输入信号作用下稳态误差的计算稳态误差的计算方法有两种：方法有两种： 1 1）终值定理法）终值定理法 由系统结构图求出由系统结构图求出 后，直后，直接用终值定理接用终值定理 求极限求得稳态误差；求极限求得稳态误差； 2 2）误差系数法）误差系数法 根据输入信号的形式求出相应根据输入信号的形式求出相应的误差系数后求稳态误差。的误差系数后求稳态误差。( )E s0l

33、im( )ssE s例例3-133-13 已知控制系统的开环传递函数为已知控制系统的开环传递函数为 )2)(1() 12(10)()(sssssHsG试求：输入信号试求：输入信号 时系统的稳态误差。时系统的稳态误差。( )121( )r ttt（）0lim( )( )psKG s H s 0lim( )( )5vsKsG s H s4 . 04 . 00211vpsrKKe解解 先判定系统的稳定性先判定系统的稳定性 由系统的特征方程由系统的特征方程，可确定系统是稳定的。可确定系统是稳定的。 求两个误求两个误差系数：差系数： 393.4.3 扰动信号作用下的稳态误差扰动信号作用下的稳态误差)()()(1)()(lim)(lim200sNsHsGsHssGssEesnssn 说明，扰动输入引起的稳态误差，除了与开环传递函数说明，扰动输入引起的稳态误差，除了与开环传递函数的类型以及扰动信号的形式有关外，还取决于扰动作用点的的类型以及扰动信号的形式有关外，还取决于扰动作用点的位置。位置。 ( )R s( )E s1( )N ss( )C s1K2Ks31KTs ( )E s( )R s( )C s2Ks1K31KTs1( )