高等教育出版社简明材料力学第二版 第3章扭矩2

1、（一）扭（一）扭转变形：（相对扭转角）转变形：（相对扭转角）PGITdxddxGITLP扭转角单位：弧度扭转角单位：弧度（rad） GIP抗扭刚度抗扭刚度。dxGITdPpGITlpiiiGIlT单位长度的扭转角单位长度的扭转角mrad3.5 3.5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形扭转变形与内力计扭转变形与内力计算式，沿轴算式，沿轴线线x x积分，可得距离为积分，可得距离为L L的两截的两截面间的相对扭转角：面间的相对扭转角：扭矩不变的等直轴扭矩不变的等直轴PGITdxd各段扭矩为不同值的阶梯轴各段扭矩为不同值的阶梯轴 例如：例如：图图示阶梯圆杆，如各段示阶梯圆杆，如各段材料也不同，材料也不

2、同，AB 两截面的相对扭两截面的相对扭转角为：转角为： 13nniiA BipiMlnG I T单位长度扭转角：单位长度扭转角：相距为相距为1 1单位长度的两截面的单位长度的两截面的相对扭转角，称单位长度扭相对扭转角，称单位长度扭转角，单位转角，单位rad/m。pdTdxGIrad/mrad/m180pTGI/m/m单位长度的扭转角单位长度的扭转角mradPGITdxd 圆轴受扭时，除满足强度条件外，还须满足一定的刚度要求。圆轴受扭时，除满足强度条件外，还须满足一定的刚度要求。通常是限制单位长度上的最大扭转角不超过规范给定的许通常是限制单位长度上的最大扭转角不超过规范给定的许用值。用值。圆轴受

3、扭时刚度条件可写作圆轴受扭时刚度条件可写作 )(maxmaxmax）或（PPGITGIT 0maxmax180)(PGITm3 3、刚度条件应用：、刚度条件应用：1)1)、校核刚度、校核刚度； max max pGMIn3)3)、确定外载荷、确定外载荷: :2)2)、设计截面尺寸、设计截面尺寸: : maxpnGIMm3.5 3.5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形刚度计算刚度计算扭转强度条件扭转强度条件已知已知T T 、D D 和和，校核强度校核强度已知已知T T 和和，设计截面设计截面已知已知D D 和和，确定许可载荷确定许可载荷max tTW3116tWD扭转刚度条件扭转刚度条件已知已知

4、T T 、D D 和和/ / ，校核刚度校核刚度已知已知T T 和和/ / ，设计截面设计截面已知已知D D 和和/ / ，确定许可载荷确定许可载荷maxpTGI413 2pID小结小结例例 已知：已知：MA = 180 N.m， MB = 320 N.m， MC = 140 N.m，Ip= 3105 mm4，l = 2 m，G = 80 GPa， = 0.5 ( )/m 。 AC=? 校校核轴的刚度核轴的刚度解：解：1. 1. 内力、变形分析内力、变形分析mN 1801 AMTmN 1402 CMTrad 101.502-p1 GIlTAB rad 101.172-p2 GIlTBC BCA

5、BAC rad 1033. 01017. 1101.502-2-22. 2. 刚度校核刚度校核p111ddGITxp222ddGITxp11maxmaxdd GITx故故 m/ )( 43. 0180)m1010Pa)(3.010(80mN 180412-59max轴的刚度足够例例 实心圆轴受力如图示，已知材料的实心圆轴受力如图示，已知材料的试设计轴的直径试设计轴的直径 D 。 980,0.3,80 10MPam GPa 扭矩图扭矩图解解 （一）绘制扭矩图如图。（一）绘制扭矩图如图。 （二）由强度条件设计（二）由强度条件设计 D 。 解得：解得： 66Dmm （三）由刚度条件设计（三）由刚度条

6、件设计 D 。 解得：解得： 102Dmm 从以上计算可知，该轴直径应由刚度条件确定，选用从以上计算可知，该轴直径应由刚度条件确定，选用 D=102mm 。 mKNT5 . 4maxmaxmaxpWT 16D max3TWp180maxmaxPGIT 18032D max4GTIp 例例 有一阶梯形圆轴，轴上装有三个皮带轮如图有一阶梯形圆轴，轴上装有三个皮带轮如图a所示。轴的直径所示。轴的直径分别为分别为d140mm，d270mm。已知作用在轴上的外力偶矩分别为。已知作用在轴上的外力偶矩分别为T10.62 kNm，T20.81 kNm，T31.43 kNm。材料的许用切应力。材料的许用切应力

7、=60 MPa，G8104 MPa，轴的许用单位长度扭转角为，轴的许用单位长度扭转角为2/m，试校核该轴的强度和刚度。，试校核该轴的强度和刚度。 解（解（1 1）作出扭矩图）作出扭矩图 （2 2）强度校核）强度校核 由于由于AC 段和段和BD 段的直径不相段的直径不相同，横截面上的扭矩也不相同，因同，横截面上的扭矩也不相同，因此，对于此，对于AC 段轴和段轴和BD 段轴的强度段轴的强度都要进行校核。都要进行校核。0.62 kNm1.43 kNmAC 段段MPaMPadWMn604 .4910)40(1610621. 01610621. 09333max31MPaMPadWMn602 .2110

8、)70(161043. 1161043. 19333max32BD 段段 （3 3）刚度校核）刚度校核AC 段段 mmGIMon/2/77. 118010)40(32101081062. 0124643maxmmGIMoon/2/434. 018010)70(32101081043. 1124643maxBD 段段 计算结果表明，轴的强度和刚度是足够的。计算结果表明，轴的强度和刚度是足够的。0.62 kNm1.43 kNm例 试求图示轴两端的反力偶矩解解: : 受力分析,建立平衡方程(a) 0 , 0MMMMBAx未知力偶矩2个，平衡方程1个，一次超静定四、扭转超静定问题四、扭转超静定问题变形

9、分析,列变形协调方程0 CBACAB (b) 0bMaMBA联立求解方程(a)与(b) baMaMbaMbMBA ，p1GIaTAC p)(GIaMA p2GIbTCB pGIbMB 建立补充方程代入上式例例 长为长为 L=2 m 的圆杆受均布力偶的圆杆受均布力偶 m=20 Nm/m 的作用，如图，若的作用，如图，若杆的内外径之比为杆的内外径之比为 =0.8 ，外径，外径 D=0.0226 m ，G=80 GPa，试试求：固定端的反力偶。求：固定端的反力偶。解解：杆的受力图杆的受力图02mmmBA几何方程：几何方程：0BA 物理方程：物理方程：LPBAdxGIxT0)(mN 20 AM 由平衡

10、方程得由平衡方程得：另另: :此题可由对称性直接求得结果。此题可由对称性直接求得结果。mN 20BMxLPBAdxGIxT0)(0)(AMmxxT0 xmmxMxTA)(xMA202020dxGIxMPA0402PAGIM0BA02mmmBA平衡方程平衡方程几何方程几何方程)(xTxAM3 3-6 -6 圆轴扭转破坏分析圆轴扭转破坏分析低碳钢试件低碳钢试件：沿横截面断开。：沿横截面断开。铸铁试件：铸铁试件：沿与轴线约成沿与轴线约成4545 的螺旋的螺旋线断开。线断开。 材料抗拉能力差，构材料抗拉能力差，构件沿件沿4545斜截面因拉应力而斜截面因拉应力而破坏（脆性材料）。破坏（脆性材料）。 材料

11、抗剪切能力差，构材料抗剪切能力差，构件沿横截面因切应力而发生件沿横截面因切应力而发生破坏破坏( (塑性材料）；塑性材料）； x分析方法分析方法取单元体（单元体上的应力认为是均匀分布的）取单元体（单元体上的应力认为是均匀分布的）, 0n, 0t2sin2cos设：设：ef 边的面积为边的面积为 dA 则则 xntefbeb 边的面积为边的面积为dAcos bf 边的面积为边的面积为dAsin 0sin)sin(cos)cos(dAdAdAsin)cos(dAdAcos)sin(dA0 若材料抗拉压能力差，构件沿若材料抗拉压能力差，构件沿4545斜截面发生破坏（脆性材料）。斜截面发生破坏（脆性材料

12、）。结论：结论： 若材料抗剪切能力差，构件沿横截面发生破坏若材料抗剪切能力差，构件沿横截面发生破坏( (塑性材料）；塑性材料）；2cos ; 2sin 分析：分析： 45:,)1minmax,450;max,450;min:)2max,0;max横截面上！横截面上！3 3-7 -7 矩形截面杆的自由扭转矩形截面杆的自由扭转常见的非圆截面受扭杆为矩形截面杆和薄壁杆件圆杆扭转时圆杆扭转时 横截面保持为平面；横截面保持为平面；非圆杆扭转时非圆杆扭转时横截面由平面变为横截面由平面变为曲面（发生翘曲）。曲面（发生翘曲）。非圆截面杆扭转的研究方法：弹性力学的方法研究弹性力学的方法研究非圆截面杆扭转的分类：

13、1 1、自由扭转（纯扭转），、自由扭转（纯扭转）， 2 2、约束扭转、约束扭转。自由扭转自由扭转：各横截面翘曲程度不受任何约束（可自由凹凸），：各横截面翘曲程度不受任何约束（可自由凹凸）， 任意两相邻截面翘曲程度相同。任意两相邻截面翘曲程度相同。应力特点：应力特点：横截面上正应力等于零，切应力不等于零。横截面上正应力等于零，切应力不等于零。约束扭转约束扭转：由于约束条件或受力限制，造成杆各横截面翘由于约束条件或受力限制，造成杆各横截面翘 曲程度不同。曲程度不同。应力特点：应力特点：横截面上正应力不等于零，切应力不等于零。横截面上正应力不等于零，切应力不等于零。1、 横截面上角点处，切应力为零2、 横截面边缘各点处，切应力 / 截面周边3、 横截面周边长边中点处，切应力最大021 0 21 故故0n 0 n 故故矩形截面杆自由扭转时应力分布特点矩形截面杆自由扭转时应力分布特点（弹性力学解）（弹性力学解）2tmaxhbTWTmax1 3tbhGTlGITl系数系数 , , , ,