简谐运动的合成与分解学习教案

1、会计学1第一页，共33页。2021012021010coscossinsin AAAAtg )cos(1011 tAx)cos(2022 tAx21xxx )cos(0 tAx)cos(21020212221 AAAAA同方向同频率两个简谐振动同方向同频率两个简谐振动(zhndng)的合成仍为简谐振动的合成仍为简谐振动(zhndng)。x20 x0 x10 x02010P .Aot M2A1AA2A1A一、同方向同频率一、同方向同频率(pnl)(pnl)两个简谐振动的两个简谐振动的合成合成第1页/共32页第二页，共33页。讨论两个讨论两个(lin )(lin )特例特例 (1)两个两个(lin

2、 )振动同相振动同相,21020 k ,.2, 1, 0 k)cos(21020212221 AAAAA由由212122212AAAAAAA )cos(21020212221 AAAAA由由(2)两个两个(lin )振动反相振动反相212122212AAAAAAA ,)12(1020 k,.2, 1, ok如果如果21AA 则则 A=0to2TT23T2Tx2x1x合成振动合成振动xto2TT23T2T合成振动合成振动第2页/共32页第三页，共33页。一般情况一般情况为其他任意值，则：为其他任意值，则：)(2121AAAAA 上述结果说明两个振动上述结果说明两个振动(zhndng)的相位差对合

3、振动的相位差对合振动(zhndng)起着重要作用。起着重要作用。合成合成(hchng)振动振动t2TT23T2Txo第3页/共32页第四页，共33页。O OA例例: : 两个沿同一直线且具有相同两个沿同一直线且具有相同(xin tn)(xin tn)振幅和周期的谐振动合成后，产生一个具有相同振幅和周期的谐振动合成后，产生一个具有相同(xin tn)(xin tn)振幅的谐振动，求原来两个振动的相位差。振幅的谐振动，求原来两个振动的相位差。解：解： 21AAA AAA 213212 1A2A第4页/共32页第五页，共33页。例例: N个同方向，同频率个同方向，同频率(pnl)的谐振动，若它们相位

4、依次为的谐振动，若它们相位依次为， 2，,试求它们的合振幅试求它们的合振幅;并证明当并证明当N=2k 时的合振幅为零。时的合振幅为零。 A合合XOBCA0解：合振幅解：合振幅(zhnf)A2sin2 NRA 由由OPa可看出可看出(kn ch)2sin20 RA2sin2sin0 NAA 分析：分析：当当N=2k 时的合振幅为零。时的合振幅为零。请大家自行练习！请大家自行练习！ N QRPab /2请记住这个结论！做笔记！请记住这个结论！做笔记！当当=2k 时的合振幅为最大。时的合振幅为最大。第5页/共32页第六页，共33页。A -仍为简谐振动仍为简谐振动(zhndng)x12A 1A 2若若

5、 1 1= = 2 2 , ,则则 不变；不变；若若 1 1 2 2 , ,则则 变；变；-为一复杂为一复杂(fz)运动运动同方向同频率两个同方向同频率两个简谐简谐振动的合成振动的合成二.同方向不同频率两个简谐振动的合成同方向不同频率两个同方向不同频率两个简谐简谐振动的合成振动的合成第6页/共32页第七页，共33页。 tA2cos212 t2cos21 21xxxtAx11cos tAx22cos 设两振动振幅相同，并以它们设两振动振幅相同，并以它们(t men)的初相位都为零时为计时起点的初相位都为零时为计时起点位移位移x xt to o2TT T23T2 2T T分振动分振动1 1分振动分

6、振动2 2合振动合振动122 为为一复杂振动一复杂振动和频和频差频差频振幅周期性变化振幅周期性变化第7页/共32页第八页，共33页。&着重研究着重研究21, 相近情况相近情况拍现象拍现象(xinxing)（Beat)即即 1- 2 1 or 2第8页/共32页第九页，共33页。toxx1x2&着重研究着重研究21, 相近情况相近情况拍现象拍现象(xinxing)（Beat)即即 1- 2 1 or 2 x tA2cos212 t2cos21 21xxx 振幅随时间的变化非常缓慢振幅随时间的变化非常缓慢振幅调制因子振幅调制因子Amplitude modulation factor第9页/共32页

7、第十页，共33页。 x tA2cos212 t2cos21 振幅变化缓慢振幅变化缓慢振幅变化缓慢振幅变化缓慢 |2|12一个强弱一个强弱(qin ru)变化变化所需的时间所需的时间toxx1x221xxx 合振幅合振幅(zhnf)变化的频率即拍频变化的频率即拍频|2|1212 拍拍第10页/共32页第十一页，共33页。手风琴的中音簧：手风琴的中音簧： 键盘键盘(jinpn)式手风琴（式手风琴（Accordion)的两排中音簧的频率大概相差的两排中音簧的频率大概相差6到到8个赫兹，其作用就是产生个赫兹，其作用就是产生“拍拍”频。而俄罗斯的频。而俄罗斯的“巴扬巴扬”-纽扣式手风琴则是单簧片的，因此

8、没有拍频造成的颤音效果。纽扣式手风琴则是单簧片的，因此没有拍频造成的颤音效果。利用拍频测速利用拍频测速 从运动物体反射回来的波的频率由于多普勒效应要发生微小的变化，通过测量反射波与入射波所形成的拍频，可以算出物体的运动速度。这种方法广泛应用于对卫星、各种交通工具从运动物体反射回来的波的频率由于多普勒效应要发生微小的变化，通过测量反射波与入射波所形成的拍频，可以算出物体的运动速度。这种方法广泛应用于对卫星、各种交通工具(jiotng gngj)(jiotng gngj)的雷达测速装置中。的雷达测速装置中。 &拍现象拍现象(xinxing)(xinxing)是一种很重要的是一种很重要的物理现象物理

9、现象(xinxing)(xinxing)。第11页/共32页第十二页，共33页。)cos(1011 tAx)cos(2022 tAy)(sin)cos(210202102021222212 AAxyAyAx消去消去 得到轨道方程得到轨道方程t（椭圆方程）（椭圆方程） 102001020 21AAyx 21AAyx yx质点的轨迹曲线质点的轨迹曲线仍为谐振动，仍为谐振动，但是振动方向但是振动方向(fngxing)改改变了！变了！三、两个互相(h xing)垂直同频率简谐振动的合成12 A22 A第12页/共32页第十三页，共33页。yx21020 1222212 AyAx21AA 轨迹为圆轨迹为

10、圆右旋！右旋！提问提问(twn)：若：若y方向振动落后方向振动落后x方向，则结果如何？方向，则结果如何？画合运动的轨迹：可在画合运动的轨迹：可在x、y方向分别选一旋转矢量如图。把小点方向分别选一旋转矢量如图。把小点(xio din)按顺序用曲线联起来，即可得所求合运运动的轨迹。按顺序用曲线联起来，即可得所求合运运动的轨迹。第13页/共32页第十四页，共33页。两个互相垂直不同振幅同频率简谐振动两个互相垂直不同振幅同频率简谐振动(zhndng)(zhndng)的合成的合成22301020 12 A22 A2443454749与合成与合成(hchng)相反：一个圆运动或椭圆运动可分解为相互垂直的两

11、个简谐振动。相反：一个圆运动或椭圆运动可分解为相互垂直的两个简谐振动。第14页/共32页第十五页，共33页。四、两个互相垂直不同频率四、两个互相垂直不同频率(pnl)(pnl)简谐振简谐振动的合成动的合成 如果两个相互垂直的振动的频率不相同如果两个相互垂直的振动的频率不相同(xin tn)，它们的合运动比较复杂，而且轨迹是不稳定的。下面只讨论简单的情形。，它们的合运动比较复杂，而且轨迹是不稳定的。下面只讨论简单的情形。&两振动两振动(zhndng)(zhndng)的频率只有很小的差异的频率只有很小的差异 则可以近似地看做同频率的合成，不过相差在缓慢地变化，因此则可以近似地看做同频率的合成，不过

12、相差在缓慢地变化，因此合成运动轨迹将要不断地按上图所示的次序，在图示的矩形范围内自直线变成椭圆再变成直线等等。合成运动轨迹将要不断地按上图所示的次序，在图示的矩形范围内自直线变成椭圆再变成直线等等。第15页/共32页第十六页，共33页。如果已知一个如果已知一个(y )振动的周期，就可以根据李萨如图形求出另一个振动的周期，就可以根据李萨如图形求出另一个(y )振动的周期，这是一种比较方便也是比较常用的测定频率的方法。振动的周期，这是一种比较方便也是比较常用的测定频率的方法。则合成则合成(hchng)运动又具有稳定的封闭的运动轨迹。这种图称为李萨如图。运动又具有稳定的封闭的运动轨迹。这种图称为李萨

13、如图。&如果两振动的频率相差较大如果两振动的频率相差较大(jio d)，但有简单的整数比，但有简单的整数比第16页/共32页第十七页，共33页。五、谐振五、谐振(xizhn)(xizhn)分析和频谱分析和频谱 在自然界和工程技术中，我们所遇到的振动大多不是简谐振动，而是复杂的振动，处理在自然界和工程技术中，我们所遇到的振动大多不是简谐振动，而是复杂的振动，处理(chl)这类问题，往往把复杂振动看成由一系列不同频率的间谐振动组合而成，也就是把复杂振动分解为一系列不同频率的间谐振动，这样分解在数学上的依据是傅立叶级数和傅立叶积分的理论，因此这种方法称为傅立叶分析。这类问题，往往把复杂振动看成由一系

14、列不同频率的间谐振动组合而成，也就是把复杂振动分解为一系列不同频率的间谐振动，这样分解在数学上的依据是傅立叶级数和傅立叶积分的理论，因此这种方法称为傅立叶分析。（自学（自学(zxu)）第17页/共32页第十八页，共33页。 先看一个倍频谐振动的例子。下图，两种虚线代表两份振动，频率之比为先看一个倍频谐振动的例子。下图，两种虚线代表两份振动，频率之比为3:1，实线代表它们的合振动，图（，实线代表它们的合振动，图（a),(b), (c)分别表示分别表示(biosh)三种不同的初相位所对应的合振动。三种不同情况，和振动各有不同形式，它们不再是简谐振动，但仍然是周期运动，而且合振动的频率与分振动中的最

15、低频率（基频）相等三种不同的初相位所对应的合振动。三种不同情况，和振动各有不同形式，它们不再是简谐振动，但仍然是周期运动，而且合振动的频率与分振动中的最低频率（基频）相等.第18页/共32页第十九页，共33页。 如果分振动不止两个，而且它们的振动频率是基频地整数倍（倍频）则它们的合振动仍然如果分振动不止两个，而且它们的振动频率是基频地整数倍（倍频）则它们的合振动仍然(rngrn)是周期运动，其频是周期运动，其频 率等于倍频。按规律：率等于倍频。按规律： 如果增加合成的项数，就可以得到方波形如果增加合成的项数，就可以得到方波形(b xn)的振动：的振动：)7cos715cos513cos31(c

16、os)( ttttAtx 第19页/共32页第二十页，共33页。 既然一系列倍频简谐振动的合成是频率等于基频的周期运动，那么，与之相反，任意周期性振动都可以分解为一系列简谐振动，各个分振动的频率都是原振动频率的整数倍，其中与原振动频率一致的分振动称为基频振动，其它的分振动则依照各自的频率相对于基频的倍数而相应的称为二次、三次既然一系列倍频简谐振动的合成是频率等于基频的周期运动，那么，与之相反，任意周期性振动都可以分解为一系列简谐振动，各个分振动的频率都是原振动频率的整数倍，其中与原振动频率一致的分振动称为基频振动，其它的分振动则依照各自的频率相对于基频的倍数而相应的称为二次、三次(sn c)、

17、谐频振动。这种把一个复杂的周期振动分解为一系列简谐振动之和的方法，称为谐振分析。谐频振动。这种把一个复杂的周期振动分解为一系列简谐振动之和的方法，称为谐振分析。 10sincos2)(nnntbtnaatx 100cos)(nntnAAtx 第20页/共32页第二十一页，共33页。 TttttxTa00d)(20各系数各系数(xsh)可由公式得可由公式得 TttnttntxTa00dcos)(2 TttntttxTb00dsin)(2 其中其中(qzhng)：22nnnbaA nnnbaarctan 第21页/共32页第二十二页，共33页。 为了显示实际振动中所包含的各个简谐振动的振动情况（振

18、幅、相位），常用图线把它表示出来。若用横坐标表示各谐频振动为了显示实际振动中所包含的各个简谐振动的振动情况（振幅、相位），常用图线把它表示出来。若用横坐标表示各谐频振动 的频率，纵坐标表示相应的频率，纵坐标表示相应(xingyng)的振幅，就得到谐频振动的振幅分布图，称为振动的频谱。不同的周期运动，具有不同的频谱，周期运动的各谐振成分的频率都是基频的整数倍，的振幅，就得到谐频振动的振幅分布图，称为振动的频谱。不同的周期运动，具有不同的频谱，周期运动的各谐振成分的频率都是基频的整数倍，所以它的频谱是分立谱。所以它的频谱是分立谱。不同乐器奏出的统一音调的音色各不不同乐器奏出的统一音调的音色各不相同

19、，就是由于各种乐器所包含的谐相同，就是由于各种乐器所包含的谐频振动频振动(zhndng)的振幅不同所致。的振幅不同所致。下图表示小提琴和钢琴同奏基频为下图表示小提琴和钢琴同奏基频为440Hz(A调）的振动调）的振动(zhndng)曲线曲线和相应的频谱：和相应的频谱：第22页/共32页第二十三页，共33页。近年来，配备有数字电子计算机的专用仪器相继问世，如频率分析仪、快速傅立叶变换处理机、信号处理机等，近年来，配备有数字电子计算机的专用仪器相继问世，如频率分析仪、快速傅立叶变换处理机、信号处理机等， 使用这类仪器可以在很短的时间内完成使用这类仪器可以在很短的时间内完成(wn chng)频谱分析。

20、频谱分析。第23页/共32页第二十四页，共33页。在阻尼在阻尼(zn)较小时，较小时， 0，)cos(00 teAxt由牛顿第二由牛顿第二(d r)定律定律txkxtxmdddd22 令令;20 mk 2 m代入上式（代入上式（ 称为阻尼因子）称为阻尼因子）txFtdd （ 称为阻尼称为阻尼(zn)系数）系数）对于摩擦阻尼，对于摩擦阻尼， 当当 不太大时不太大时&阻尼振动（摩擦阻尼，辐射阻尼）阻尼振动（摩擦阻尼，辐射阻尼）略讲自学略讲自学第24页/共32页第二十五页，共33页。 阻尼振动阻尼振动(zhndng)(zhndng)的特点：的特点：1.1.振幅特点振幅特点: :振幅振幅A(t) =

21、A0e-A(t) = A0e- t t振幅随振幅随t t衰减衰减( (因为振动因为振动(zhndng)(zhndng)能量不断损耗能量不断损耗) ) 2. 2.周期特点周期特点: :严格讲，阻尼振动严格讲，阻尼振动(zhndng)(zhndng)不是周期性振动不是周期性振动(zhndng)(zhndng)，更不是简谐振动，更不是简谐振动(zhndng)(zhndng)，因为位移，因为位移x(t)x(t)不是不是t t的周期函数。但阻尼振动的周期函数。但阻尼振动(zhndng)(zhndng)有某种重复性。有某种重复性。.220 式中式中称为阻尼振动称为阻尼振动(z n zhn dn)振幅。振幅

22、。)cos(00 teAxtOtxteA 0A第25页/共32页第二十六页，共33页。00220222TT 曲线曲线,为为过阻尼过阻尼振动振动)(0曲线为曲线为临界阻尼临界阻尼)(0在生产在生产(shngchn)实际中实际中根据不同要求控制阻尼大根据不同要求控制阻尼大小。小。图中曲线图中曲线1,2为为阻尼振动阻尼振动)(0设设 为物体相继两次通过极大为物体相继两次通过极大(或极小或极小)位置所经时间位置所经时间T34512xt阻尼阻尼(zn)(zn)、临界阻尼、临界阻尼(zn)(zn)和过阻尼和过阻尼(zn)(zn)： 第26页/共32页第二十七页，共33页。&受迫振动受迫振动(shu p z

23、hn dn)驱动力驱动力tFF cos0 运动运动(yndng)(yndng)方程方程tFtxkxtxm cosdddd022稳态振动稳态振动(zhndng)(zhndng)后，方程的解为后，方程的解为)cos(0 tAx对于一定的对于一定的振动系统，当一定时，位移振幅振动系统，当一定时，位移振幅A随频率随频率而改变。而改变。0F注意注意: :稳态时的稳态时的受迫振动与无阻尼自由振动实质受迫振动与无阻尼自由振动实质有所不同有所不同。令令,20 mk 2 m)cos()cos(02200 tAteAxt22222004)( mFA频率为外力频率，频率为外力频率，与振动系统固有频与振动系统固有频率无关！率无关！第27页/共32页第二十八页，共33页。tg =-2 02- 2第28页/共32页第二十九页，共33页。2202 共共振振0 共共振振&共振共振(gngzhn)（2）速度共振速度共振（图（图2）（1）位移共振位移共振（图（图1）vm 0A 0在一定条件下，振幅出现在一定条件下，振幅出现(chxin)(chxin)极大值，振动剧烈的现象。