第6节多元函数的极值与最值学习教案

1、会计学1第第6节多元节多元(du yun)函数的极值与最值函数的极值与最值第一页，共44页。2(1)(2)(3)例1例例第1页/共43页第二页，共44页。3播放(b fn)第2页/共43页第三页，共44页。4第3页/共43页第四页，共44页。5第4页/共43页第五页，共44页。6第5页/共43页第六页，共44页。7第6页/共43页第七页，共44页。8第7页/共43页第八页，共44页。9第8页/共43页第九页，共44页。10第9页/共43页第十页，共44页。11第10页/共43页第十一页，共44页。12极值(j zh)的求法（称驻点(zh din)） 驻点(zh din)极值点注意：定理1（必要

2、条件） 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？第11页/共43页第十二页，共44页。13定理(dngl)2（充分条件）第12页/共43页第十三页，共44页。14例4解 无极值(j zh)极小值-5极大值31无极值(j zh)驻点(zh din)第13页/共43页第十四页，共44页。15 若根据实际问题,目标函数有最大值(或最小值),而在定义区域内部有唯一的极大(j d)(小)值点,则可以断定该极大(j d)(小)值点即为最大(小)值点. 设生产某种商品需原料A和B，设A的单价(dnji)为2，数量为x；而B 的单价(dnji)为1，数量为y，而产量为 例5解且商品售价为5,求最大利润. 利润函数

3、为 第14页/共43页第十五页，共44页。16yxyyxxyxL 2)521020(5),(22令解得唯一(wi y)驻点 唯一(wi y)驻点为极大值点，即为最大值点，最大利润(lrn)为 第15页/共43页第十六页，共44页。17例6解第16页/共43页第十七页，共44页。18222224sin4 sin2 sincos024 cos2cos(cossin)0 xSxxSxxx 令第17页/共43页第十八页，共44页。19解*例7总利润(lrn)为 第18页/共43页第十九页，共44页。20令解得第19页/共43页第二十页，共44页。21 用铁皮(tip)做一个有盖的长方体水箱,要求容积为

4、V,问怎么做用料最省？ 实际问题中,目标函数(hnsh)的自变量除了受到定义域的限制外, 往往还受到一些附加条件的约束,这类极值问题称条件极值问题. 例8解即表面积最小. 代入目标函数,化为无条件极值问题： xyz第20页/共43页第二十一页，共44页。22内部唯一(wi y)驻点,且由实际问题S有最大值,故做成立方体表面积最小. 这种做法(zuf)的缺点： 1.变量之间的平等(pngdng)关系和对称性被破坏； 2.有时隐函数显化困难甚至不可能. 第21页/共43页第二十二页，共44页。23拉格朗日乘数(chn sh)法引入拉格朗日函数(hnsh)令,0),(0),(),(0),(),( y

5、xFyxyxfFyxyxfFyyyxxx 若这样的点唯一,由实际(shj)问题,可直接确定此即所求的点.第22页/共43页第二十三页，共44页。24则构造(guzo)拉格朗日函数为 令第23页/共43页第二十四页，共44页。25 用铁皮做一个有盖的长方体水箱,要求容积(rngj)为V,问怎么做用料最省？ 例8解由实际(shj)问题,即为最小值点. xyz第24页/共43页第二十五页，共44页。26 在实际问题中,经常要求某多元函数在已知区域D内的最大值和最小值.根据实际情况,我们往往可以判断最大值或最小值在区域D的内部达到，若函数在D内仅有一个(y )驻点，则可以断定该驻点就是最大值点或最小值

6、点. 第25页/共43页第二十六页，共44页。27例9解解得唯一(wi y)驻点 即做成正三角形(zhn sn jio xn)时面积最大. 第26页/共43页第二十七页，共44页。28三角形中,以正三角形(zhn sn jio xn)面积为最大: 四边形中,以正方形面积(min j)为最大： 第27页/共43页第二十八页，共44页。29解xyo6 yxD*例10先求函数在D内的驻点(zh din)， 解方程组 ,02 ACB,0 A第28页/共43页第二十九页，共44页。30 xyo6 yxD64)2 , 4( f为最小值.第29页/共43页第三十页，共44页。31例11解第30页/共43页第

7、三十一页，共44页。32由由实际问题，此即最佳分配(fnpi)方案. 第31页/共43页第三十二页，共44页。33解法(ji f)1例12因驻点唯一，且由问题的实际(shj)含义可知必有最大利润， 第32页/共43页第三十三页，共44页。34因驻点(zh din)唯一，且由问题的实际含义可知必有最大利润， 解法(ji f)2例12第33页/共43页第三十四页，共44页。35P317 习题(xt)八第34页/共43页第三十五页，共44页。36第35页/共43页第三十六页，共44页。37例 价格与供给量的观察(gunch)数据见下表：x (元元) 2 3 4 5 6 810 12 14 16y (

8、吨吨) 15 20 25 30 35 45 60 80 80 110散点图由图可以看出，x 与 y 之间存在一定的相关(xinggun)关系，且这种关系是线性关系.第36页/共43页第三十七页，共44页。38达到(d do)最小.上述估计a,b的方法称为(chn wi)最小二乘法.LSE (Least Square Estimation)求线性经验公式(回归直线(zhxin)方程)使第37页/共43页第三十八页，共44页。39 称为(chn wi)正规方程组其中 niiniiynyxnx111,1第38页/共43页第三十九页，共44页。40系数(xsh)行列式所以(suy)方程组有唯一解第39

9、页/共43页第四十页，共44页。41记则显然回归直线经过散点图的几何中心. ),(yx第40页/共43页第四十一页，共44页。42例 价格(jig)与供给量的观察数据见下表：x (元元) 2 3 4 5 6 810 12 14 16y (吨吨)15 20 25 30 35 45 60 80 80 110求 y 对 x 的回归方程.解第41页/共43页第四十二页，共44页。43所以(suy)所求回归方程为第42页/共43页第四十三页，共44页。NoImage内容(nirng)总结会计学。若根据实际问题,目标函数有最大值(或最小值),而在定义(dngy)区域内部有唯一的极大(小)值点,则可以断定该极大(小)值点即为最大(小)值点.。设生产某种商品