材力讲稿扭转学习课程

1、外加力偶矩与功率和转速的关系060 (kW)2( / min)PMn r9.549(kN m)Pn扭矩：受扭构件横截面上的内力偶矩，记为T。扭矩符号：按右手螺旋法则。扭矩矢量的指向与截面外法线的指向一致，为正；反之为负。TnnT（+）TnnT（-）上节回顾第1页/共60页第一页，编辑于星期日：十八点 五十五分。（+）BMAMCM扭矩图：扭矩随构件横截面的位置变化的图线。AMT 1（-）CMT2扭矩图扭 转/杆受扭时的内力计算上节回顾第2页/共60页第二页，编辑于星期日：十八点 五十五分。三、薄壁圆轴的扭转第3页/共60页第三页，编辑于星期日：十八点 五十五分。扭 转/薄壁圆轴的扭转薄壁圆轴-壁

2、厚远小于其平均半径( t r0)的空心圆轴。TT薄壁圆轴扭转试验预先在圆轴的表面画上等间距的纵向线和圆周线，从而形成一系列的格子。圆周线保持不变；纵向线发生倾斜。观察到的现象r0 平均半径，t 壁厚第4页/共60页第四页，编辑于星期日：十八点 五十五分。ABDCABDC（1）（2）其他变形现象：圆周线之间的距离保持不变，仍为圆形， 绕轴线产生相对转动。扭 转/薄壁圆轴的扭转设想薄壁圆轴扭转后，横截面保持为形状、大小均无改变的平面，相邻两横截面绕圆轴轴线发生相对转动。第5页/共60页第五页，编辑于星期日：十八点 五十五分。横截面上没有正应力，只有切应力。且横截面上的切应力的方向是沿着圆周的切线方

3、向，并设沿壁厚方向是均匀分布的(壁厚较小)。mm(c)ABCD薄壁圆轴两端截面之间相对转动的角位移，称为 ，用 表示。薄壁圆轴表面上每个格子的直角的改变量，称为 。用 表示 。ACDB扭 转/薄壁圆轴的扭转第6页/共60页第六页，编辑于星期日：十八点 五十五分。TdAA rT02TA t扭 转/薄壁圆轴的扭转A0=r02, r0 平均半径，t 壁厚0tanrltan几何关系切应变0rl小变形条件切应力静力关系第7页/共60页第七页，编辑于星期日：十八点 五十五分。dxdydz0 :(dd ) d(dd ) d0zMxzyyzx切应力互等定理：二个相互垂直的截面上，垂直于两截面交线的切应力大小相

4、等，方向均指向或离开该交线。扭 转/薄壁圆轴的扭转薄壁圆轴纵截面上的切应力第8页/共60页第八页，编辑于星期日：十八点 五十五分。剪切胡克定律ACDBcD其中G是材料的剪切弹性模量。且实验证明：当切应力不超过材料的比例极限 时，切应力 与切应变 成正比。即pG单位：MPa、GPa.)1(2EG扭 转/薄壁圆轴的扭转第9页/共60页第九页，编辑于星期日：十八点 五十五分。剪切胡克定律G扭 转/薄壁圆轴的扭转参考拉压胡克定律E02TA t切应变0rl切应力切应力互等定理第10页/共60页第十页，编辑于星期日：十八点 五十五分。四、圆轴扭转时的应力和变形第11页/共60页第十一页，编辑于星期日：十八

5、点 五十五分。TT实验观察 假设 理论分析研究方法：1、实验观察扭 转/圆轴扭转时的应力和变形横截面上的应力分布第12页/共60页第十二页，编辑于星期日：十八点 五十五分。 观察到的变形现象ABCD（1）横截面上存在切应力！（2）圆周线大小、位置、形状、间距保持不变，绕轴线产生相 对转动。横截面上不存在正应力！ABCD（3）圆轴右端截面上所绘的径向线保持直线。2、假设刚性平面假设：即圆轴扭转时横截面象刚性平面一样绕轴线作相对转动。扭 转/圆轴扭转时的应力和变形第13页/共60页第十三页，编辑于星期日：十八点 五十五分。圆轴许多个套在一起的薄壁圆轴(管)，各个薄壁圆轴扭转时横截面的相对扭转角相同

6、。横截面上的切应力处处垂直于径向， 且方向同T 旋转方向。扭 转/圆轴扭转时的应力和变形第14页/共60页第十四页，编辑于星期日：十八点 五十五分。T横截面上各点 切应力的方向。3、理论分析(1)几何分析TTdx扭 转/圆轴扭转时的应力和变形第15页/共60页第十五页，编辑于星期日：十八点 五十五分。T小变形条件下dtandRxtand( )dRRx扭 转/圆轴扭转时的应力和变形R第16页/共60页第十六页，编辑于星期日：十八点 五十五分。同理ddx ddx式中 表示扭转角沿轴长的变化率称为单位扭转角，在同一截面上， =常数。ddx扭 转/圆轴扭转时的应力和变形第17页/共60页第十七页，编辑

7、于星期日：十八点 五十五分。(2)物理条件剪切胡克定律GGconst,const,GT扭 转/圆轴扭转时的应力和变形; 0, 0max, R第18页/共60页第十八页，编辑于星期日：十八点 五十五分。 称为极惯性矩，是截面的几何性质，与截面的几何形状、尺寸有关。pI(3)静力平衡条件TdAAT2ddAATAGA2dAGApIpG IpTGI(单位扭转角, 单位：rad/m)扭 转/圆轴扭转时的应力和变形第19页/共60页第十九页，编辑于星期日：十八点 五十五分。在扭矩相同的条件下，pp( ),( );( ),( )GIGI因此 表示圆轴抵抗变形的能力，称为圆轴的抗扭刚度。pGIpTGI横截面上

8、切应力计算公式maxpTRRI当时，pTWppIWR式中 称为抗扭截面模量。扭 转/圆轴扭转时的应力和变形GpTGI第20页/共60页第二十页，编辑于星期日：十八点 五十五分。扭 转/圆轴扭转时的应力和变形应力分布情况（实心截面）（空心截面）第21页/共60页第二十一页，编辑于星期日：十八点 五十五分。D=2R(4)公式中几何量 与 的计算。pIpWda、实心圆截面d2dA 因此2pdAIA202dR 42R432D而ppIWR32R316DdA扭 转/圆轴扭转时的应力和变形第22页/共60页第二十二页，编辑于星期日：十八点 五十五分。b、空心圆截面Dd44p3232IDd)1 (3244D式

9、中Dd而pp/2IWD)1 (1643D扭 转/圆轴扭转时的应力和变形内外径之比第23页/共60页第二十三页，编辑于星期日：十八点 五十五分。讨论 由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的剪切弹性模量分别为G1和G2，且G12G2。圆轴尺寸如图中所示。 圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横截面上的切应力分布，有图中(A)、(B)、(C)、(D)所示的四种结论，请判断哪一种是正确的。 扭 转/圆轴扭转时的应力和变形TpTGI第24页/共60页第二十四页，编辑于星期日：十八点 五十五分。等直圆杆扭转时斜截面上的应力1. 低碳钢试件：沿横截面断开。2.灰铸铁试件：沿与轴线约成45的螺旋线断开

10、。因此还需要研究斜截面上的应力。扭 转/圆轴扭转时的应力和变形两种扭转破坏方式第25页/共60页第二十五页，编辑于星期日：十八点 五十五分。1. 点M的应力单元体如图(b)：(a)M(b)(c)2. 斜截面上的应力； 取微元体如图(d)：(d)x扭 转/圆轴扭转时的应力和变形第26页/共60页第二十六页，编辑于星期日：十八点 五十五分。(d)xnt转角规定：x轴正向转至截面外法线逆时针：为“+”顺时针：为“”由平衡方程：0)cossind()sincosd(d ; 0AAAFn0)sinsind()coscosd(d ; 0AAAFt解得： sin2 ; cos2 扭 转/圆轴扭转时的应力和变

11、形第27页/共60页第二十七页，编辑于星期日：十八点 五十五分。2cos ; 2sin 分析：当 = 0时，max00 , 0当 = 45时，0 , 45min45当 = 45时，0 , 45max45当 = 90时，max9090 , 045 由此可见：圆轴扭转时，在横截面和纵截面上的切应力为最大值；在方向角 = 45的斜截面上作用有最大压应力和最大拉应力。根据这一结论，就可解释前述的破坏现象。扭 转/圆轴扭转时的应力和变形第28页/共60页第二十八页，编辑于星期日：十八点 五十五分。五、圆轴的强度条件和刚度条件第29页/共60页第二十九页，编辑于星期日：十八点 五十五分。（一）强度条件塑性

12、材料脆性材料扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件第30页/共60页第三十页，编辑于星期日：十八点 五十五分。受扭圆轴失效的标志：塑性材料：屈服，扭转屈服应力： ；s脆性材料：断裂，扭转强度应力： ；b统称扭转极限应力：u因此圆轴的强度条件为maxpmax TW式中nu（许用切应力，n 为安全系数）扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件第31页/共60页第三十一页，编辑于星期日：十八点 五十五分。（二）刚度条件max或maxmaxp180 (/ m)TGI单位：的数值按照对机器的要求决定：精密机器的轴： (0.15 0.5) /m 一般传动轴： (0.5 1) / m精度要求不高的轴： (1 2.5) /

13、 m扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件第32页/共60页第三十二页，编辑于星期日：十八点 五十五分。扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件三类强度计算问题 校核强度： 设计截面尺寸： 计算许可载荷：maxmaxp TWmaxp TWmaxp TW33p4 16 116DWD实：空：（）maxpmax TW第33页/共60页第三十三页，编辑于星期日：十八点 五十五分。扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件三类刚度计算问题： 校核刚度： 设计截面尺寸： 计算许可载荷： max maxp T IGp max TGImaxmaxp180 (/ m)TGI单位：第34页/共60页第三十四页，编辑于星期日：十八点 五十

14、五分。解：由传动轴的尺寸计算抗扭截面模量：)1 (1643DWp)2(1 1643DtDD6329.24 10m轴的最大切应力例题3-2 某汽车传动轴，用45号钢无缝钢管制成，其外径D=90mm,壁厚t=2.5mm，使用时最大扭矩为T=1500 N.m,试校核此轴的强度。已知=60MPa。若此轴改为实心轴，并要求强度仍与原空心轴相当，则实心轴的直径 为？1D扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件第35页/共60页第三十五页，编辑于星期日：十八点 五十五分。maxmaxpTW6150051.3MPa29.24 10 60MPa所以此轴安全。若此轴改为实心轴，而maxmaxp151.3MPaTW3p11

15、16WD式中解得：max316160.053m53mm51.3 10TD扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件第36页/共60页第三十六页，编辑于星期日：十八点 五十五分。实心轴的横截面面积为2114DA22205mm空心轴的横截面面积2222()687mm4ADd空心轴与实心轴的重量之比：221168731%2205WAWA扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件第37页/共60页第三十七页，编辑于星期日：十八点 五十五分。例题3-3 图示等截面圆轴，已知d=90mm , l=50cm, , 。轴的材料为钢，G=80GPa,求（1）轴的最大切应力；（2）截面B和截面C的扭转角；（3）若要求BC段的单位扭转

16、角与AB段的相等，则在BC段钻孔 的孔径d 应为多大？18kN.mM 23kN.mM 1M2MAllBCd扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件第38页/共60页第三十八页，编辑于星期日：十八点 五十五分。1M2MAllBCd（+）5 kN.m（-）3 kN.m扭矩图解：(1)轴的最大切应力作扭矩图：2211123kN.mTM2125kN.mTMMmax25kN.mTT因此maxmaxpTW3316105d25.5MPa扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件第39页/共60页第三十九页，编辑于星期日：十八点 五十五分。1M2MAllBCd（2）扭转角截面B：2pABBBAT lGI493) 1 . 0(3

17、210825 . 01050.1780.00311rad扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件第40页/共60页第四十页，编辑于星期日：十八点 五十五分。截面CCAC0.00125radBACB00311.01pBCTlGI493) 1 . 0(3210825 . 010300311.00.0721M2MAllBCd扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件第41页/共60页第四十一页，编辑于星期日：十八点 五十五分。（3）BC段孔径d1M2MAllBCd由BCAB21p2p1TTGIGI得441p1p22()32TIddIT解得：14210.08 m8 cmTddT 扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件第42页

18、/共60页第四十二页，编辑于星期日：十八点 五十五分。例题3-4 图示圆截面杆AB左端固定，承受一集度为t的均布力偶矩作用。试导出计算截面B的扭转角公式。Lt xdx解：取微段作为研究对象。T(x)T(x) L-xtT(x)根据平衡条件求得横截面上的扭矩为：)(xLtT微段两端截面的相对扭转角为p( )ddT xxGIAB扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件第43页/共60页第四十三页，编辑于星期日：十八点 五十五分。因此p( )ddBBALLT xxGI0p()dLt LxxGI2p2tLGI扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件Lt第44页/共60页第四十四页，编辑于星期日：十八点 五十五分。例 长

19、为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，G=80GPa ，许用切应力 =30MPa，试设计杆的外径；若=2/m ，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。解：设计杆的外径maxp TW34pD 1 16W（）314max 116）（TD扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件第45页/共60页第四十五页，编辑于星期日：十八点 五十五分。314max 116）（TD40NmxT代入数值得：D 0.0226m 由扭转刚度条件校核刚度maxmaxp180TGI扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件第46页/共60页第四十六页，编辑于星期日：十八点 五十五分。40N

20、mxTmaxmaxp180TGI 8911108018040324429.)(D右端面转角为：222000ppp402010dd(4) 0.033 (LTxxxxxGIGIGIrad）扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件第47页/共60页第四十七页，编辑于星期日：十八点 五十五分。扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件根据轴传递的功率以及轴每分钟的转数，确定作用在轴上的外加力偶的力偶矩。应用截面法确定轴的横截面上的扭矩，当轴上同时作用有两个以上的绕轴线转动的外加扭力矩时，需要画出扭矩图。根据轴的扭矩图，确定可能的危险面以及危险面上的扭矩数值。校核、设计轴的直径以及确定许用载荷。计算危险截面上的最大切应力

21、或单位长度上的相对扭转角。根据需要，应用强度设计准则与刚度设计准则对圆轴进行强度与刚度校核、设计轴的直径以及确定许用载荷。第48页/共60页第四十八页，编辑于星期日：十八点 五十五分。例 某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率N1 = 500 马力， 输出功率分别 N2 = 200马力及 N3 = 300马力，已知：G=80GPa ， =70M Pa， =1/m ，试确定： AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ？ 若全轴选同一直径，应为多少？ 主动轮与从动轮如何安排合理？解：图示状态下,扭矩如 图，由强度条件得： 500400N1N3N2ACBTx7.024 4.2

22、1(kNm)7.024(kN m)NMn扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件第49页/共60页第四十九页，编辑于星期日：十八点 五十五分。31p 16 dTW mm4671070143421016163632.Td 4p 32 dTIG mm801070143702416163631.Td由刚度条件得：500400N1N3N2ACBTx7.0244.21(kNm)扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件第50页/共60页第五十页，编辑于星期日：十八点 五十五分。 mm47411080143180421032 3249242.GTd mm8411080143180702432 3249241 .GTd mm

23、75 mm8521 d,d综上：全轴选同一直径时 mm851 dd扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件 可见：此轴的直径是由刚度条件控制的第51页/共60页第五十一页，编辑于星期日：十八点 五十五分。 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应 该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径 为 75mm。Tx 4.21(kNm)2.814扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件第52页/共60页第五十二页，编辑于星期日：十八点 五十五分。六、扭转的超静定问题第53页/共60页第五十三页，编辑于星期日：十八点 五十五分。扭转的超静定问题受扭圆杆的未知反力偶或扭矩数超过独立的静力平衡方程数。超静定问题的解法：（1）建立静力平衡方程；（2）由变形协调条件建立变形协调方程；（3）应用扭矩与相对扭转角之间的物理关系： ， 代入变形协调方程，得到补充方程；pGITl（4）补充方程与静力平衡方程联立，求解所有的未知反力偶或扭矩。扭 转/扭转的超静定问题第54页/共60页第五十四页，编辑于星期日：