留数在定积分计算中的应用学习教案

1、会计学1留数在定积分留数在定积分(jfn)计算中的应用计算中的应用第一页，共31页。 20d)sin,(cos R. sin,cos )sin,(cos 的的有有理理函函数数是是其其中中 R思想思想(sxing)方法方法 :封闭封闭(fngb)路线的积分（围道积分法）路线的积分（围道积分法） .把定积分化为一个把定积分化为一个(y )复变函数沿某条复变函数沿某条两个重要工作两个重要工作:1) 积分区域的转化积分区域的转化2) 被积函数的转化被积函数的转化第1页/共30页第二页，共31页。 iez 令令 ddiiez ,ddizz )(21sin iieei ,212izz )(21cos ii

2、ee ,212zz 当当 历经历经2,0时时,1 z绕行一周绕行一周.z 沿正向单位圆周沿正向单位圆周02011ii从而积分化为沿正向从而积分化为沿正向(zhn xin)单位圆周的积分：单位圆周的积分：第2页/共30页第三页，共31页。 d )sin,(cos20 RizzizzzzRzd21,21122 zzfzd )(1 z的有理函数的有理函数(yu l hn sh) , 且在且在单位圆周上分母不单位圆周上分母不为零为零 , 满足留数定满足留数定理的条件理的条件 .包围包围(bowi)在单位圆周在单位圆周内的诸孤立奇点内的诸孤立奇点. .),(Res21 nkkzzfi第3页/共30页第四

3、页，共31页。例例1 .)10(dcos21cos2202的值的值计算计算 pppI 解解 , 10 p由由于于)cos1(2)1(cos2122 pppp内内不不为为零零，在在20 故积分故积分(jfn)有意义有意义.)(212cos22 iiee 由由于于),(2122 zzizzpzzpzzIzd2211221122 第4页/共30页第五页，共31页。izzpzzpzzIzd2211221122 zpzpzizzzd)(1(21124 ,1, 0ppz 被积函数的三个极点被积函数的三个极点内内，在在圆圆周周1, 0 zpz为一级极点，为一级极点，为二级极点，为二级极点，且且pzz 0.d

4、 )(1zzfz 第5页/共30页第六页，共31页。上上被被积积函函数数无无奇奇点点，所所以以在在圆圆周周1 z )(1(21ddlim0),(Res2420pzpzizzzzzfz222243220)(2)21)(1(4)(limzpppzzippzzzzpppzzz ,2122ipp 第6页/共30页第七页，共31页。,)1(21224pipp )(1(21)(lim),(Res24pzpzizzpzpzfpz )1(2121222222pippippiI.1222pp 因此因此(ync)第7页/共30页第八页，共31页。例例2 计算计算(j sun).sin1d02 xx解解 00222

5、cos11dsin1dxxxx 02cos12d2xx,2tx 令令 20cos3dttizzzzzd2) 1(3112 .16d212 zzzzi第8页/共30页第九页，共31页。2231 z极点极点(jdin)为为 : 02sin1dxx所所以以.2 (在单位在单位(dnwi)圆内圆内)2232 z(在单位在单位(dnwi)圆外圆外)223(),(Res 22 zfii 第9页/共30页第十页，共31页。 xxRd)(若有理函数若有理函数(yu l hn sh) R(x)的分母至少比分子高两次的分母至少比分子高两次, 并且并且(bngqi)分母在实轴上无孤立奇点分母在实轴上无孤立奇点.一般

6、一般(ybn)设设2,)()()(1111 nmbzbzazazzRzPzRmmmnnn分析分析可先讨论可先讨论,d)( RRxxR最后令最后令 R即可即可 .第10页/共30页第十一页，共31页。2. 积分积分(jfn)区域的转化区域的转化:取一条连接区间取一条连接区间(q jin)两端的按段光滑曲线两端的按段光滑曲线, 使与区间使与区间(q jin)一起构成一条一起构成一条(y tio)封闭曲线封闭曲线, 并使并使R(z)在其内部除有在其内部除有限孤立奇点外处处解析限孤立奇点外处处解析. (此法常称为此法常称为“围道积分法围道积分法”)1. 被积函数的转化被积函数的转化:(当当z在实轴上的

7、区间内变动时在实轴上的区间内变动时 , R(z)=R(x) RRxxRd)( Czzfd)(可可取取 f(z)=R(z) .第11页/共30页第十二页，共31页。O这里这里(zhl)可补线可补线RC(以原点为中心以原点为中心(zhngxn) , R为半径为半径的在上半平面的在上半平面(pngmin)的半圆周的半圆周)RC与与 RR, 一起构成封闭曲线一起构成封闭曲线C , R(z)在在C及其及其内部内部(除去有限孤立奇点）处处解析除去有限孤立奇点）处处解析.取取R适当大适当大, 使使R(z)所有的在上半平面内的极点所有的在上半平面内的极点kz都包在这积分路线内都包在这积分路线内.根据留数定理得

8、根据留数定理得 : RCkRRzzRizzRxxR,),(Res2d)(d )(z1z2z3 RRxznyCR第12页/共30页第十三页，共31页。，则，则上，令上，令在在 iReRzC RRCCzzQzPzzRd)()(d)(; ) ( ) (0 deRQeiReRPiii 则则的的次次数数至至少少高高两两次次的的次次数数比比分分子子由由于于分分母母, )()(zPzQ. , 0)()(时时当当 zzQzzP. , 0) ( ) (时时当当 RzeRQeReRPiii 即即. ),(Res2d)( kzzRixxR所以所以;0d)(: RCzzRR,d)( zzR RRzzRd)(从而从而(

9、cng r).kz其中 为R(z)在上半复平面所有有限远处的孤立奇点.第13页/共30页第十四页，共31页。例例3 计算计算(j sun)积分积分), 0, 0()()(d022222bababxaxx )()(1)(22222bzazzR 解解 在上半平面有二级极点在上半平面有二级极点,aiz .biz 一级极点一级极点. ),(Res2d)( kzzRixxR. ),(Resd)(21d)(0 kzzRixxRxxR )( 为为偶偶函函数数，则则特特别别地地，若若xR第14页/共30页第十五页，共31页。bizbizaz )()(1222,)(43222322abiaab ),(Res),

10、(ResaizRbizRi .)(4)2(23bababa 222222322)(21)(43abbiabiaabi ),(ResbizR 022222)()(dbxaxx所以所以aizbzaiz )()(1222,)(21222babi ),(ResaizR )()(d2122222bxaxx第15页/共30页第十六页，共31页。例例4 计算计算(j sun)积分积分 dxxxxx91022429102)(242 zzzzzR解解 在上半平面有两个在上半平面有两个(lin )单极点：单极点：.3 ,ii)9)()(2)(lim),(Res22 zizizzzizizRiz.161i )3)(

11、3)(1(2)3(lim3),(Res223izizzzzizizRiz .4873i dxxxxx91022423),(Res),(Res2izRizRi .125 2222(1)(9)zzzz第16页/共30页第十七页，共31页。)0( d)( axexRiax积分存在积分存在(cnzi)要求要求: R(x)是是x的有理函数而分母的次的有理函数而分母的次数至少比分子的次数数至少比分子的次数(csh)高一次高一次, 并且并且R(x)在实轴上在实轴上无孤立无孤立(gl)奇点奇点.z1z2z3zn RROxyCR同前一类型同前一类型: 补线补线RC与与 RR, 曲线曲线C ,使使R(z)所有的在

12、上半所有的在上半kz都包在这积分路线内都包在这积分路线内 .一起构成封闭一起构成封闭RC平面内的极点平面内的极点第17页/共30页第十八页，共31页。zezRxexRiazCRRiaxRd)(d)( ,)(Res2kiazzezRi由留数定理由留数定理(dngl): R令令 ,)(Res2)(limd)(kiazCiazRiaxzezRidzezRxexRR.d)( xexRiax，故只要求出故只要求出 RCiazRdzezR )(lim 就可以就可以(ky)求出积分求出积分第18页/共30页第十九页，共31页。充分大）充分大）ReRzi,0( :)(RCzg沿沿半半圆圆周周设设函函数数. 0

13、)(lim zgCRR上有上有上连续，且在上连续，且在则则. )0( 0 )(lim RCiazRadzezg约当引理：约当引理：证证 得：得：由由0)(lim zgR时时，有有使使当当00 , , 0RRR . ,)(RCzzg 第19页/共30页第二十页，共31页。 RCiazzezgd)(及及由由 ,) ( RieReRgii ideReeRgiiaR eii ) ( 0 sincossin aRiaRaRiaR eeeei 得得 deRzezgaRCiazR 0sind)( deRaR 20sin2由约当不等式（如右图）由约当不等式（如右图） oy2 y sin y2 )20( sin

14、2 第20页/共30页第二十一页，共31页。 deRdeRzezgaRaRCiazR 20220sin22d)()1(aRea .a 从而从而(cng r). )0( 0 )(lim RCiazRadzezg ,)(Res2)(limd)(kiazCiazRiaxzezRidzezRxexRR根据根据(gnj)约当引理约当引理及以上及以上(yshng)的讨论得：的讨论得： ,)(Res2d)(kiaziaxzezRixexR第21页/共30页第二十二页，共31页。axiaxeiaxsincos xaxxRixaxxRdsin)(dcos)( . ,)(Res2 kiazzezRi ,)(Res

15、2d)(kiaziaxzezRixexR将实虚部分将实虚部分(b fen)开，可得积分开，可得积分.dsin)( dcos)(xaxxRxaxxR 及及.kz其中 为R(z)在上半复平面所有有限远处的孤立奇点.第22页/共30页第二十三页，共31页。例例5 计算计算(j sun)积分积分 .0, 0,d)(sin0222 amxaxmxx解解 xaxmxxxaxmxxd)(sin21d)(sin2220222 xeaxximxd)(Im21222在上半平面在上半平面(pngmin)只有二级极点只有二级极点22 2( ),()imzzf zeza,aiz 又又第23页/共30页第二十四页，共31

16、页。xeaxximxd)(222 则则aizimzeaizzzaizf 2)(dd),(Res,4maeam ),(Res2Im21aizfi .4maeam aieazziimz,)(Res2222xaxmxxd)(sin0222 所所以以注意注意 以上两型积分中被积函数中的以上两型积分中被积函数中的R(z)在实轴在实轴上无孤立奇点上无孤立奇点.第24页/共30页第二十五页，共31页。.d Im21dsin 21dsin0 xxexxxxxxix 例例6 计算计算(j sun)积分积分.dsin0 xxx 解解 所所以以是是偶偶函函数数 ,sinxx因函数因函数(hnsh)zeiz在实轴上有

17、一级极点在实轴上有一级极点(jdin), 0 z若被积函数中的若被积函数中的R(z)在实轴上有孤立奇点，则在实轴上有孤立奇点，则),(es21),(e2d)(kkxzRRzzRsRixxR .是是实实轴轴上上的的奇奇点点是是上上半半平平面面的的奇奇点点，其其中中kkxz第25页/共30页第二十六页，共31页。 0 ,Re2102dzesixxeizix 所所以以. lim 0izeziizz .2d Im21dsin0 xxexxxix第26页/共30页第二十七页，共31页。 本课应用本课应用“围道积分法围道积分法”计算了三类计算了三类(sn li)实积分实积分, 熟练熟练掌握应用留数计算定积分是本章的难点掌握应用留数计算定积分是本章的难点.思考题思考题).0(cosd2022 aa 计计算算积积分分第27页/共30页第二十八页，共31页。 2222cosd21 aI)2(2cos21d21222ta 令令 2cos21d21tat 202cos21d21tat.122 aa思考题答案思考题答案(d n)第28页/共30页第二十九页