工程力学第七章轴向拉伸和压缩

1、工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案第七章第七章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩7- -3 材料在拉（压）时的力学性能材料在拉（压）时的力学性能7- -4 许用应力、安全系数和强度条件许用应力、安全系数和强度条件 7- -5 轴向轴向拉拉( (压压) )杆内的变形杆内的变形 7- -6 拉（压）杆超静定问题拉（压）杆超静定问题7- -8 连接件的强度计算连接件的强度计算7- -7 应力集中的概念应力集中的概念7- -2 轴向拉（压）杆的内力、应力轴向拉（压）杆的内力、应力7- -1 轴向拉伸和压缩的基本概念轴向拉伸和压缩的基本概念7- -9 拉压杆内的应变能（选讲）拉压杆内的应变能（选

2、讲）工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案7- -1 轴向拉伸和压缩的基本概轴向拉伸和压缩的基本概念念第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩 工程中有很多构件，例如屋架中的杆，是等直杆，作用于杆上的外力的合力的作用线与杆的轴线重合。在这种受力情况下，杆的主要变形形式是轴向伸长或缩短。屋架结构简图工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案桁架的示意图受轴向外力作用的等截面直杆拉杆和压杆（未考虑端部连接情况）第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案7- -2 轴向拉（压）杆的内力、应力轴向拉（压）杆的内力、应力 材料力学中所研究的内力

3、物体内各质点间原来相互作用的力由于物体受外力作用而改变的量。一.内力根据可变形固体的连续性假设，内力在物体内连续分布。 通常把物体内任一截面两侧相邻部分之间分布内力的合力和合力偶简称为该截面上的内力(实为分布内力系的合成)。第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案二. 截面法轴力及轴力图FN=F第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩（1）假想地截开指定截面；（2）用内力代替另一部分对所取分离体的作用力；（3）根据分离体的平衡求出内力值。步骤：工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案 横截面mm上的内力FN其作用线与杆的轴线重合(垂直于横

4、截面并通过其形心)轴力。无论取横截面mm的左边或右边为分离体均可。 轴力的正负按所对应的纵向变形为伸长或缩短规定: 当轴力背离截面产生伸长变形为正；反之，当轴力指向截面产生缩短变形为负。轴力背离截面FN=+F工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案 用截面法求内力的过程中，在截取分离体前，作用于物体上的外力(荷载)不能任意移动或用静力等效的相当力系替代。轴力指向截面FN=-F第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案 轴力图(FN图)显示横截面上轴力与横截面位置的关系。第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩F(c)F(f)工工 程程 力力

5、 学学 电电 子子 教教 案案例题例题7- -1 试作此杆的轴力图。等直杆的受力示意图第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩(a)工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案为求轴力方便，先求出约束力 FR=10 kN为方便，取横截面11左边为分离体，假设轴力为拉力，得FN1=10 kN(拉力)解：解：第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案为方便取截面33右边为分离体，假设轴力为拉力。FN2=50 kN(拉力)FN3=-5 kN （压力），同理，FN4=20 kN (拉力)第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学

6、电电 子子 教教 案案轴力图(FN图)显示了各段杆横截面上的轴力。kN502NmaxN, FF思考：为何在F1，F2，F3作用着的B，C，D 截面处轴力图 发生突变？能否认为C 截面上的轴力为 55 kN？第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案例题7-2：试作此杆的轴力图。FFFqFR112233FFFFRF=2qlFF =RFFFl2lllFq 解：第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案FF =RFF=N1FFF=3NqFFF =RFx1N2FFlFxF1N2FFF =RFx1lFxF1 2N

7、F0-201RN2lFxFFFFx2FFFq11233FF =Rx第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案FFq=F/ll2llF第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩FN 图FFF+-+工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案三、应力三、应力拉拉( (压压) )杆内的应力杆内的应力.应力的概念 受力杆件(物体)某一截面的M点附近微面积A上分布内力的平均集度即平均应力， ，其方向和大小一般而言，随所取A的大小而不同。AFpm第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案 该截面上M点处分布内力的

8、集度为 ，其方向一般既不与截面垂直，也不与截面相切，称为总应力。AFAFpAddlim0第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案总应力 p法向分量正应力s某一截面上法向分布内力在某一点处的集度切向分量切应力t某一截面上切向分布内力在某一点处的集度应力量纲：ML-1T-2应力单位：Pa(1 Pa = 1 N/m2，1 MPa = 106 Pa)。第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案.拉(压)杆横截面上的应力AAFdNs (1) 与轴力相应的只可能是正应力s，与切应力无关； (2) s在横截面上的变

9、化规律横截面上各点处s 相等时可组成通过横截面形心的法向分布内力的合力轴力FN；横截面上各点处s 不相等时，特定条件下也可组成轴力FN。第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案为此： 1. 观察等直杆表面上相邻两条横向线在杆受拉(压)后的相对位移：两横向线仍为直线，仍相互平行，且仍垂直于杆的轴线。 2. 设想横向线为杆的横截面与杆的表面的交线。平截面假设原为平面的横截面在杆变形后仍为平面，对于拉(压)杆且仍相互平行，仍垂直于轴线。第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案 3. 推论：拉(压)杆受力后

10、任意两个横截面之间纵向线段的伸长(缩短)变形是均匀的。根据对材料的均匀、连续假设进一步推知，拉(压)杆横截面上的内力均匀分布，亦即横截面上各点处的正应力s 都相等。4. 等截面拉(压)杆横截面上正应力的计算公式 。AFNs第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案注意： 1. 上述正应力计算公式来自于平截面假设；对于某些特定杆件,例如锲形变截面杆，受拉伸(压缩)时，平截面假设不成立，故原则上不宜用上式计算其横截面上的正应力。 2. 即使是等直杆，在外力作用点附近，横截面上的应力情况复杂，实际上也不能应用上述公式。 3. 圣维南(Saint-Vena

11、nt)原理：“力作用于杆端方式的不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响”。第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案 这一原理虽被许多实验所证实，但没有经过严格的理论证明，也没有确切的数学表达式，因此不能随便使用。上图为不能应用圣维南(Saint-Venant)原理的例子（详见奚绍中编 材料力学精讲，p15)。第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩q=F/AqF/2F/2F/2F/2FFFFFFFF（a）（b）工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案 例题7-3 试求此正方形砖柱由于荷载引起的横截面上的最大工作应力。已知

12、F = 50 kN。 第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案段柱横截面上的正应力12ss所以，最大工作应力为 smax= s2= -1.1 MPa (压应力） 解：段柱横截面上的正应力 MPa87. 0Pa1087. 0 )m24. 0()m24. 0(N10506311N1AFs(压应力)MPa1 . 1Pa101 . 1 m37. 0m37. 0N101506322N2AFs(压应力)第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案 例题7-4 试求薄壁圆环在内压力作用下径向截面上的拉应力。已知：d

13、= 200 mm，= 5 mm，p = 2 MPa。 第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案2RNFF 而 pbddpbF)sind2(0R所以MPa 40Pa 1040 m) 102(5m) Pa)(0.2 102(2)2(163-6spdpbdb 解：薄壁圆环 (两平行的斜截面之间的所有纵向线段伸长变形相同。第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案斜截面上的总应力： scoscoscos/0AFAFAFp推论：斜截面上各点处轴向分布内力的集度相同，即斜截面上各点处的总应力p相等。 式中， 为拉

14、(压)杆横截面上( =0)的正应力。 AF0s第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案斜截面上的正应力(normal stress)和切应力(shearing stress)： ss20coscos pst2sin2sin0 p正应力和切应力的正负规定： )(s)(t)(s)(t第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案思考：1. 写出图示拉杆其斜截面k-k上的正应力s和切应力t与横截面上正应力s0的关系。并示出它们在图示分离体的斜截面k-k上的指向。 2. 拉杆内不同方位截面上的正应力其最大值出现在

15、什么截面上？绝对值最大的切应力又出现在什么样的截面上？ 第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩FF45Fkk工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案 3. 对于拉(压)杆知道了其横截面上一点处正应力s0(其上的切应力t0= 0)，是否就可求出所有方位的截面上该点处的应力，从而确定该点处所有不同方位截面上应力的全部情况该点处的应力状态(state of stress)？ 第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩FF工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案7- -3 材料在拉（压）时的力学性能材料在拉（压）时的力学性能 . 材料的拉伸和压缩试验 拉伸试样 圆截面试样：l = 10

16、d 或 l = 5d(工作段长度称为标距)。 矩形截面试样： 或 。 Al3 .11Al65. 5第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案试验设备 ：(1) 万能试验机：强迫试样变形并测定试样的抗力。 (2) 变形仪：将试样的微小变形放大后加以显示的仪器。 压缩试样 圆截面短柱(用于测试金属材料的力学性能) 31dl正方形截面短柱(用于测试非金属材料的力学性能) 31bl第七章第七章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案实验装置（万能试验机）第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电

17、电 子子 教教 案案. 低碳钢试样的拉伸图及低碳钢的力学性能 拉伸图 纵坐标试样的抗力F(通常称为荷载) 横坐标试样工作段的伸长量 第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案低碳钢试样在整个拉伸过程中的四个阶段： (1) 阶段弹性阶段 变形完全是弹性的，且l与F成线性关系，即此时材料的 力学行为符合胡克定律。第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案 (2) 阶段屈服阶段 在此阶段伸长变形急剧增大，但抗力只在很小范围内波动。 此阶段产生的变形是不可恢复的所谓塑性变形；在抛光的试样表面上可见大约与轴线成4

18、5的滑移线( ，当=45时 的绝对值最大)。st2sin20第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案(3) 阶段强化阶段 第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案卸载及再加载规律 若在强化阶段卸载，则卸载过程中Fl关系为直线。可见在强化阶段中，l=le+lp。 卸载后立即再加载时，Fl关系起初基本上仍为直线(cb)，直至当初卸载的荷载冷作硬化现象。试样重新受拉时其断裂前所能产生的塑性变形则减小。 第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案 (4) 阶段局

19、部变形阶段 试样上出现局部收缩颈缩，并导致断裂。 第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案低碳钢的应力应变曲线(s e曲线) 为消除试件尺寸的影响，将低碳钢试样拉伸图中的纵坐标和横坐标换算为应力s和应变e，即 ， 其中：A试样横截面的原面积， l试样工作段的原长。 AFslle第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案低碳钢 se曲线上的特征点： 比例极限sp(proportional limit) 弹性极限se(elastic limit)屈服极限ss (屈服的低限) (yield limit)强度

20、极限sb(拉伸强度)(ultimate strength)Q235钢的主要强度指标：ss = 240 MPa，sb = 390 MPa第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案低碳钢拉伸破坏第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩低碳钢拉伸试件 工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案低碳钢拉伸破坏断口第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案低碳钢的塑性指标： 伸长率 %1001lll断面收缩率：%1001AAAA1断口处最小横截面面积。 Q235钢：60%1 l第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴

21、向拉伸与压缩Q235钢： %30%20(通常 5%的材料称为塑性材料)工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案注意： 1. 低碳钢的ss，sb都还是以相应的抗力除以试样横截面的原面积所得，实际上此时试样直径已显著缩小，因而它们是名义应力。 2. 低碳钢的强度极限sb是试样拉伸时最大的名义应力，并非断裂时的应力。 3. 超过屈服阶段后的应变还是以试样工作段的伸长量除以试样的原长而得， 因而是名义应变(工程应变)。第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案 4. 伸长率是把拉断后整个工作段的均匀塑性伸长变形和颈缩部分的局部塑性伸长变形都包括在内的

22、一个平均塑性伸长率。标准试样所以规定标距与横截面面积(或直径)之比，原因在此。 思考： 低碳钢的同一圆截面试样上，若同时画有两种标 距（l = 10d 和 l = 5d），试问所得伸长率10和5 哪一个大？ 第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案. 其他金属材料在拉伸时的力学性能 第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案由se曲线可见： 第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩材料锰钢强铝退火球墨铸铁弹性阶段屈服阶段强化阶段局部变形阶段伸长率%5%5%5工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教

23、案案sp0.2(规定非比例伸长应力，屈服强度)用于无屈服阶段的塑性材料 第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案割线弹性模量 用于基本上无线弹性阶段的脆性材料 脆性材料拉伸时的唯一强度指标： sb基本上就是试样拉断时横截面上的真实应力。 第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩铸铁拉伸时的应力应变曲线工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案铸铁拉伸破坏断口第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案. 金属材料在压缩时的力学性能 低碳钢拉、压时的ss基本相同。 低碳钢压缩时se的曲线 第七章第七

24、章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案低碳钢材料轴向压缩时的试验现象第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案铸铁压缩时的sb和 均比拉伸时大得多；不论拉伸和压缩时在较低应力下其力学行为也只近似符合胡克定律。灰口铸铁压缩时的se曲线第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案 试样沿着与横截面大致成5055的斜截面发生错动而破坏。 材料按在常温(室温)、静荷载(徐加荷载)下由拉伸试验所得伸长率区分为塑性材料和脆性材料。 第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工

25、 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案铸铁压缩破坏断口：第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩铸铁压缩破坏工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案. 几种非金属材料的力学性能 (1) 混凝土压缩时的力学性能 使用标准立方体试块测定端面润滑时的破坏形式端面未润滑时的破坏形式第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案 压缩强度sb及破坏形式与端面润滑情况有关。以se曲线上s = 0.4sb的点与原点的连线确定“割线弹性模量”。 混凝土的标号系根据其压缩强度标定，如C20混凝土是指经28天养护后立方体强度不低于20 MPa的混凝土。 压缩强

26、度远大于拉伸强度。 第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案 木材的力学性能具有方向性，为各向异性材料。如认为木材任何方面的力学性能均可由顺纹和横纹两个相互垂直方向的力学性能确定，则又可以认为木材是正交各向异性材料。 松木在顺纹拉伸、压缩和横纹压缩时的s e曲线如图。(2) 木材拉伸和压缩时的力学性能 木材的横纹拉伸强度很低(图中未示)，工程中也避免木材横纹受拉。木材的顺纹拉伸强度受木节等缺陷的影响大。第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案(3) 玻璃钢（玻璃纤维与热固性树脂粘合而成的复合材料）

27、纤维单向排列的玻璃钢沿纤维方向拉伸时的s e曲线如图中(c)，纤维增强复合材料所用的纤维尚有碳纤维、硼纤维等。第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案7- -4 强度条件强度条件许用应力许用应力安全因数安全因数. 拉(压)杆的强度条件 强度条件保证拉(压)杆在使用寿命内不发生强度破坏的条件： 其中：smax拉(压)杆的最大工作应力，s材料拉伸(压缩)时的许用应力。maxss第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案. 材料的拉、压许用应力塑性材料： ,s2 . 0pssnnssss或脆性材料：许用拉应

28、力 ，许用压应力bbccbbtnnssss其中，ns对应于屈服极限的安全因数其中，nb对应于拉、压强度的安全因数第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案常用材料的许用应力约值(适用于常温、静荷载和一般工作条件下的拉杆和压杆） 材料名称 牌号 许用应力 /MPa低碳钢低合金钢灰口铸铁混凝土混凝土红松（顺纹）Q23516MnC20C3017023034540.440.66.4170230160200710.310轴向拉伸轴向压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案. 关于安全因数的考虑 (1) 考虑强度条件中一些量的变异。如极限应力(ss，

29、sp0.2，sb，sbc)的变异，构件横截面尺寸的变异，荷载的变异，以及计算简图与实际结构的差异。 (2) 考虑强度储备。计及使用寿命内可能遇到意外事故或其它不利情况，也计及构件的重要性及破坏的后果。安全因数的大致范围：静荷载(徐加荷载)下，0 . 35 . 25 . 225. 1bsnn，第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案. 强度计算的三种类型 (2) 截面选择 已知拉(压)杆材料及所受荷载，按强度条件求杆件横截面面积或尺寸。 (3) 计算许可荷载 已知拉(压)杆材料和横截面尺寸，按强度条件确定杆所能容许的最大轴力，进而计算许可荷载。FN

30、,max=As ，由FN,max计算相应的荷载。max,NmaxssAFmax,NsFA第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩 (1) 强度校核 已知拉(压)杆材料、横截面尺寸及所受荷载，检验能否满足强度条件 对于等截面直杆即为;maxss工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案 例题7-5 图中(a)所示三角架(计算简图)，杆AC由两根80 mm 80 mm7 mm等边角钢组成，杆AB由两根10号工字钢组成。两种型钢的材料均为Q235钢，s=170 MPa。试求许可荷载F。第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案解 : 1. 根据结点

31、 A 的受力图(图b)，得平衡方程：030sin 0030cos 0N1N1N2FFFFFFyxFF21N(拉)（压）FF732. 12N第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩解得工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案2. 计算各杆的许可轴力 先由型钢表查出相应等边角钢和工字钢的横截面面积，再乘以2得由强度条件 得各杆的许可轴力：NssAFkN20.486N1020.486)mm2860()MPa170(kN24.369N1024.369)mm2172()MPa170(322N321NFF221mm17222)mm0861 (A杆AC的横截面面积222mm86022)mm4301

32、(A杆AB的横截面面积第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案3. 求三角架的许可荷载先按每根杆的许可轴力求各自相应的许可荷载：kN6 .1842kN24.36921N1FFkN7 .280732. 1kN20.486732. 1N22FF 此例题中给出的许用应力s=170 MPa是关于强度的许用应力；对于受压杆AB 实际上还需考虑其稳定性，此时的许用应力将小于强度许用应力。该三角架的许可荷载应是F1 和 F2中的小者，所以kN6 .184F第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案7- -5 轴向轴

33、向拉拉( (压压) )杆的变形杆的变形 胡克定律胡克定律 拉(压)杆的纵向变形 基本情况下(等直杆，两端受轴向力)： 纵向总变形l = l1-l （反映绝对变形量） 纵向线应变 （反映变形程度） lle第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案x 截面处沿x方向的纵向平均线应变为 xx 图示一般情况下在不同截面处杆的横截面上的轴力不同，故不同截面的变形不同。lxf沿杆长均匀分布的荷载集度为 ffl轴力图第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩)(xxffxxx微段的分离体工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案线应变的正负规定：伸长时为正，

34、缩短时为负。 )(xxffxxx微段的分离体fl轴力图lxf沿杆长均匀分布的荷载集度为 f一般情况下，杆沿x方向的总变形 lxxl0dex截面处沿x方向的纵向线应变为 xxxxxxddlim0e第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案横向变形与杆轴垂直方向的变形 dde在基本情况下 ddd-1第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案AFll 引进比例常数E，且注意到F = FN，有 EAlFlN胡克定律(Hookes law),适用于拉(压)杆。 式中：E 称为弹性模量(modulus of ela

35、sticity)，由实验测定，其量纲为ML-1T-2，单位为Pa；EA 杆的拉伸(压缩)刚度。胡克定律(Hookes law) 工程中常用材料制成的拉(压)杆，当应力不超过材料的某一特征值(“比例极限”)时，若两端受力第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案胡克定律的另一表达形式： AFEllN1Ese单轴应力状态下的胡克定律 ss第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩低碳钢(Q235)： GPa210GPa200Pa1010. 2Pa1000. 21111E工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案注意：1. 单轴应力状态受力物体内一点

36、处取出的单元体，其三对相互垂直平面上只有一对平面上有应力的情况。 第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩 2. 单轴应力状态下的胡克定律阐明的是沿正应力s方向的线应变e 与正应力之间的关系，不适用于求其它方向的线应变。 工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案低碳钢(Q235)：n = 0.240.28。 ee 亦即 ene -横向变形因数(泊松比)(Poissons ratio) 单轴应力状态下，当应力不超过材料的比例极限时，某一方向的线应变e 与和该方向垂直的方向(横向)的线应变e的绝对值之比为一常数，此比值称为横向变形因数或泊松比(Poissons ratio)：第七章第七章

37、轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案 2.横截面B, C及端面D的纵向位移与各段杆的纵向总变形是什么关系？思考：等直杆受力如图，已知杆的横截面面积A和材料的 弹性模量E。 1.列出各段杆的纵向总变形lAB，lBC，lCD以及整个杆纵向变形的表达式。 第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩FFFN 图F+-+EAlFlEAlFllBCCDAB) 3/( ) 3/(EAlFllllBCCDAB) 3/( ) 3/( 0 ) 3/(EAlFllllllEAlFlCDBCA

38、BDBCABCABB位移：变形：工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案 3. 图(b)所示杆，其各段的纵向总变形以及整个杆的纵向总变形与图(a)的变形有无不同？各横截面及端面的纵向位移与图(a)所示杆的有无不同？何故？第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩(a)工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩FFFN 图F+-+EAlFlEAlFllBCCDAB) 3/( ) 3/(EAlFllllBCCDAB) 3/( ) 3/( ) 3/( 0 EAlFllllEAlFlllABBCCDACDCBCCDB位移：变形：工工 程程 力力 学学

39、 电电 子子 教教 案案 例题7-6 如图所示杆系，荷载 P = 100 kN，试求结点A的位移A。已知： = 30 ，l = 2 m，d = 25 mm，杆的材料(钢)的弹性模量为E = 210 GPa。 第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案由胡克定律得 cos22N1N21EAPlEAlFEAlFll其中 24dA1. 求杆的轴力及伸长cos22N1NPFF2N1NFF 解：结点A的位移A系由两杆的伸长变形引起，故需先求两杆的伸长。 0- coscos2N1NPFF由结点 A 的平衡(如图)有 第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工

40、工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案2. 由杆的总变形求结点 A 的位移 根据杆系的布置、约束、杆的材料以及受力情况均与通过结点 A 的铅垂线对称可知，结点A只有竖向位移(如图)。第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案亦即 221cos2coscosEAPlllA 画杆系的变形图，确定结点A的位移 coscos21AAAAAA由几何关系得第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案)(1.293mmm10293. 130cos)m1025(4)Pa10210(2)m2)(N10100(3223

41、93A从而得 此杆系结点 A 的位移(displacement)是因杆件变形(deformation)所引起 ，但两者虽有联系又有区别。变形是指杆件几何尺寸的改变，是个标量；位移是指结点位置的移动，是个矢量，它除了与杆件的变形有关以外，还与各杆件所受约束有关。 第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案7- -6 拉（压）杆超静定问题拉（压）杆超静定问题. 关于超静定问题的概述第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩(a)(b)工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案 图a所示静定杆系为减小杆1 ,2中的内力或节点A的位移(如图b)而增加了

42、杆3。此时有三个未知内力FN1 ,FN2 ,FN3，但只有二个独立的平衡方程 一次超静定问题。第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩(a)(b)工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案 图a所示简支梁为减小内力和位移而如图b增加了中间支座C成为连续梁。此时有四个未知约束力FAx, FA, FB, FC，但只有三个独立的静力平衡方程 一次超静定问题。 超静定问题(statically indeterminate problem)：单凭静力平衡方程不能求解约束力或构件内力的问题。第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩FAFBl(a)FAxABq(b)l/2l/2CFCFAxAB qF

43、BFA工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案. 解超静定问题的基本思路例例1超静定结构(statically indeterminate structure)解除“多余”约束基本静定系(primary statically determinate system)(例如杆3与接点A的连接)第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案在基本静定系上加上原有荷载及“多余”未知力并使“多余”约束处满足变形(位移)相容条件相当系统 (equivalent system)12BCAF AFN3AA FN3ADA 第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩

44、工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案331N32111N3coscos2AElFAElFF于是可求出多余未知力FN3 。 由位移相容条件 ，利用物理关系(位移或变形计算公式)可得补充方程：AA 第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩12BCAF AFN3AA FN3ADA 工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案基本静定系ABl补充方程为048384534EIlFEIqlC于是可求出多余未知力FC。第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩位移相容条件Cq+CFC=0 相相当系统当系统ABl/2qlFC例例2超静定梁yxl/2l/2CABq工工 程程 力力 学学 电电 子子

45、 教教 案案. 注意事项 (1) 超静定次数=“多余”约束数=“多余”未知力=位移相容条件数=补充方程数，因而任何超静定问题都是可以求解的。 (2) 求出“多余”未知力后，超静定结构的内力和位移等均可利用相当系统进行计算。 (3) 无论怎样选择“多余”约束，只要相当系统的受力情况和约束条件确实与原超静定系统相同，则所得最终结果是一样的。第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案 (4) “多余”约束的选择虽然是任意的，但应以计算方便为原则。 如上所示连续梁若取B处铰支座为“多余”约束，则求解比较复杂。第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩xl/

46、2l/2CABqFByxl/2l/2CABq工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案拉压超静定问题及解法拉压超静定问题及解法. 拉压超静定基本问题 例题例题7- -7 求图a所示等直杆AB上,下端的约束力，并求C截面的位移。杆的拉压刚度为EA。 解解: 1. 有两个未知约束力FA , FB(见图a)，但只有一个独立的平衡方程 FA+FB-F=0故为一次超静定问题。第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案 2. 取固定端B为“多余”约束。相应的相当系统如图b，它应满足相容条件BF+BB=0，参见图c，d。第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与

47、压缩 3. 补充方程为 0EAlFEAFaBlFaFB由此求得所得FB为正值，表示FB的指向与假设的指向相符，即向上。工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案得 FA=F-Fa/l=Fb/l。5. 利用相当系统(如图)求得 lEAFabEAalFbEAaFAC 4. 由平衡方程 FA+FB-F=0第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案. 装配应力和温度应力(1) 装配应力 超静定杆系(结构)由于存在“多余”约束，因此如果各杆件在制造时长度不相匹配，则组装后各杆中将产生附加内力装配内力，以及相应的装配应力。第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉

48、伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案 图a中所示杆系(E1A1=E2A2)中杆3的长度较应有长度短了e，装配后各杆的位置将如图中虚线所示。此时，杆3在结点 A 处受到装配力FN3作用(图b)，而杆1,2在汇交点A 处共同承受与杆3相同的装配力FN3作用(图b)。第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩(a)(b)工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案求算FN3需利用位移(变形)相容条件(图a)列出补充方程由此可得装配力FN3，亦即杆3中的装配内力为eAAAA eAElFAElF21113N333N3cos221113333Ncos2AElAEleF第七章第七章 轴向

49、拉伸与压缩轴向拉伸与压缩(拉力）(a)工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案 至于各杆横截面上的装配应力只需将装配内力(轴力)除以杆的横截面面积即得。 由此可见，计算超静定杆系(结构)中的装配力和装配应力的关键,仍在于根据位移(变形)相容条件并利用物理关系列出补充方程。而杆1和杆2中的装配内力利用图b中右侧的图可知为压力21113333N2N1Ncos2cos2cos2AElAEleFFF第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案 例题例题7- -8 两端用刚性块连接在一起的两根相同的钢杆1, 2(图a)，其长度l =200 mm，直径d

50、=10 mm。试求将长度为200.11 mm，亦即e=0.11 mm的铜杆3(图b)装配在与杆1和杆2对称的位置后(图c)各杆横截面上的应力。已知：铜杆3的横截面为20 mm30 mm的矩形，钢的弹性模量E=210 GPa，铜的弹性模量E3=100 GPa。第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案 解解：1. 如图d所示有三个未知的装配内力FN1, FN2 , FN3，但对于平行力系却只有二个独立的平衡方程，故为一次超静定问题。也许有人认为，根据对称关系可判明FN1=FN2，故未知内力只有二个，但要注意此时就只能利用一个独立的静力平衡方程：所以这

51、仍然是一次超静定问题。02 01NN3FFFx，第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩(d)工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案2. 变形相容条件(图c)为这里的l3是指杆3在装配后的缩短值，不带负号。ell313. 利用物理关系得补充方程：eAElFEAlF33N3N1第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案4. 将补充方程与平衡方程联立求解得： 所得结果为正，说明原先假定杆1,2的装配内力为拉力和杆3的装配内力为压力是正确的。5. 各杆横截面上的装配应力如下：EAAElAeEFAEEAleEAFF211 21133333N332

52、NN1，MPa51.19MPa53.743N331N21AFAFsss第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩（拉应力）（压应力）工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案(2) 温度应力 也是由于超静定杆系存在“多余”约束，杆件会因温度变化产生的变形受到限制而产生温度内力及温度应力。铁路上无缝线路的长钢轨在温度变化时由于不能自由伸缩，其横截面上会产生相当可观的温度应力。第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案 例题例题7- -9试求两端与刚性支承连接的等截面杆(图a)当温度升高t 时横截面上的温度应力。杆的横截面面积为A，材料的弹性模量为

53、E，线膨胀系数为l。第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩(a)工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案 解解: : 1. 由平衡方程只能知道杆两端的轴向支约束力数值相等而指向相反，但不能给出约束力的值，可见这是一次超静定问题。 2. 以刚性支撑B为“多余”约束后的基本静定系由于温度升高产生的伸长变形lt和“多余”未知力FN产生的缩短变形lF分别如图所示。第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案3. 变形相容条件为4. 补充方程为5. 由此得多余未知力0Ftll0NEAlFltltEAFlN6. 杆的横截面上的温度应力为tEAFlsN工

54、工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案 若该杆为钢杆而l =1.210-5/(C)，E=210GPa，则当温度升高t =40时有MPa100 Pa10100C40GPa10210C/102 . 1695tEls第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩（压应力）tEAFlsN工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案7- -7 应力集中的概念应力集中的概念应力集中（stress concentration）：由于杆件横截面骤然变化而引起的应力局部骤然增大。第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案 按线弹性理论或相应的数值方法得出的最大局

55、部应力smax与该截面上名义应力snom之比，即nommaxtsssK理论应力集中因数理论应力集中因数： 其中Kts的下标ts表示是对应于正应力的理论应力集中因数。名义应力snom为截面突变的横截面上smax作用点处按不考虑应力集中时得出的应力(对于轴向拉压的情况即为横截面上的平均应力)。具有小孔的均匀受拉平板， Kts3。第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案应力集中对强度的影响应力集中对强度的影响塑性材料制成的杆件受静荷载情况下：荷载增大进入弹塑性极限荷载jsuAFs第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子

56、子 教教 案案 均匀的脆性材料或塑性差的材料(如高强度钢)制成的杆件即使受静荷载时也要考虑应力集中的影响。 非均匀的脆性材料，如铸铁，其本身就因存在气孔等引起应力集中的内部因素，故可不考虑外部因素引起的应力集中。 塑性材料制成的杆件受静荷载时，通常可不考虑应力集中的影响。第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案 图a所示螺栓连接主要有三种可能的破坏： . 螺栓被剪断（参见图b和图c）；. 螺栓和钢板因在接触面上受压而发生挤压破坏（螺栓被压扁，钢板在螺栓孔处被压皱）（图d）；. 钢板在螺栓孔削弱的截面处全面发生塑性变形。第七章第七章 轴向拉伸与压缩

57、轴向拉伸与压缩 实用计算法中便是针对这些可能的破坏作近似计算的。7- -8 连接件的强度计算连接件的强度计算 工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案(1) 剪切的实用计算剪切的实用计算 在实用计算中，认为连接件的剪切面（图b，c）上各点处切应力相等，即剪切面上的名义切应力为sSAFt式中，FS为剪切面上的剪力， As为剪切面的面积。sSttAF其中的许用应力则是通过同一材料的试件在类似变形情况下的试验（称为直接试验）测得的破坏剪力也按名义切应力算得极限切应力除以安全因数确定。第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩强度条件工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案(2) 挤压的实

58、用计算挤压的实用计算 在实用计算中，连接件与被连接件之间的挤压应力（bearing stress）是按某些假定进行计算的。第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩 对于螺栓连接和铆钉连接，挤压面是半个圆柱形面（图b），挤压面上挤压应力沿半圆周的变化如图c所示，而最大挤压应力sbs的值大致等于把挤压力Fbs除以实际挤压面（接触面）在直径面上的投影。工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩故取名义挤压应力为dFsbsbs式中， 为挤压面高度，d 为螺栓或铆钉的直径。工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案挤压强度条件为bsbsss其中的许用挤

59、压应力sbs也是通过直接试验，由挤压破坏时的挤压力按名义挤压应力的公式算得的极限挤压应力除以安全因数确定的。第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩 应该注意，挤压应力是连接件与被连接件之间的相互作用，因而当两者的材料不同时，应校核许用挤压应力较低的连接件或被连接件。工程上为便于维修，常采用挤压强度较低的材料制作连接件。工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案(3) 拉伸的实用计算拉伸的实用计算 螺栓连接和铆钉连接中，被连接件由于钉孔的削弱，其拉伸强度应以钉孔中心所在横截面为依据；在实用计算中并且不考虑钉孔引起的应力集中。被连接件的拉伸强度条件为NssAF式中：FN为检验强度的钉孔中心

60、处横截面上的轴力；A为同一横截面的净面积，图示情况下A=(b d ) 。第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩FbsFNdbss工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案 当连接中有多个铆钉或螺栓时，最大拉应力smax可能出现在轴力最大即FN= FN,max所在的横截面上，也可能出现在净面积最小的横截面上。第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩工工 程程 力力 学学 电电 子子 教教 案案 铆钉连接主要有三种方式：1.搭接（图a），铆钉受单剪；2.单盖板对接（图b），铆钉受单剪；3.双盖板对接（图c），铆钉受双剪。第七章第七章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩铆钉和螺栓连接的计铆钉和螺