第十二章-微分方程PPT

1、主讲教师：主讲教师：高彦伟高彦伟总课时：总课时：124 第一百一十二讲第一百一十二讲常微分方程常微分方程微分方程微分方程 第六章第六章yxfy求已知, )( 积分问题积分问题 yy求及其若干阶导数的方程已知含, 微分方程问题微分方程问题 推广 第6章 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 1 了解微分方程及其阶、解、通解、了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解的基本概念初始条件和特解的基本概念 第6章 引例引例. 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的解解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:xxy2ddxxyd2Cx

2、 2(C为任意常数)由 得 C = 1,.12 xy因此所求曲线方程为21xy由 得切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章 常微分方程偏微分方程含未知函数及其导数的方程叫做微分方程微分方程 .方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程(本章内容)0),()(nyyyxF),() 1()(nnyyyxfy( n 阶显式微分方程)微分方程的基本概念微分方程的基本概念一般地 , n 阶常微分方程的形式是的阶阶.分类或机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章 使方程成为恒等式的函数.通解通解 解中所含独立的任意常数的个数与方程) 1(00) 1(000

3、0)(,)(,)(nnyxyyxyyxy 确定通解中任意常数的条件.n 阶方程的初始条件初始条件( (或初值条件或初值条件) ):的阶数相同.特解特解xxy2dd21xy引例 Cxy2通解:12 xy特解:微分方程的解解 不含任意常数的解, 定解条件定解条件 其图形称为积分曲线积分曲线. .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章 例例1. 验证函数是微分方程tkCtkCxsincos2122ddtx的解,0Axt00ddttx的特解 . 解解: 22ddtxt kkCsin22)cossin(212t kCt kCkxk2这说明tkCtkCxsincos21是方程的解 . 是两个独立的任意

4、常数,21,CC),(21为常数CCt kkCcos2102xk利用初始条件易得: ,1AC 故所求特解为tkAxcos,02C故它是方程的通解.并求满足初始条件 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章 主讲教师：主讲教师：高彦伟高彦伟总课时：总课时：124 第一百一十三讲第一百一十三讲常常 微微 分分 方方 程程可分离变量微分方程可分离变量微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 2解变量可分离方程解变量可分离方程 xxfyygd)(d)(变量可分离的微分方程变量可分离的微分方程 第6章 )()(ygxfdxdy分离变量方程的解法分离变量方程的解法:xxfyygd)(d)(设 y

5、 (x) 是方程的解, xxfxxxgd)(d)()(两边积分, 得 yygd)(xxfd)(CxFyG)()(则有恒等式 )(yG)(xF当G(y) 与F(x) 可微且 G(y) g(y)0 时, 说明由确定的隐函数 y(x) 是的解. 则有称为方程的隐式通解, 或通积分.同样,当F(x)= f (x)0 时,上述过程可逆,由确定的隐函数 x(y) 也是的解. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章 例例1. 求微分方程yxxy23dd的通解.解解: 分离变量得xxyyd3d2两边积分xxyyd3d2得13lnCxyCxylnln3即13Cxey31xCee3xeCy 1CeC令( C

6、为任意常数 )或说明说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形, 因此可能增、减解.( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章 例例2. 解初值问题0d)1(d2yxxyx解解: 分离变量得xxxyyd1d2两边积分得Cxyln11lnln2即Cxy12由初始条件得 C = 1,112xy( C 为任意常数 )故所求特解为 1)0(y机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章 例例3:.dd的通解求方程yxexy解法解法 1 分离变量xeyexyddCeexy即01)(yxeCe( C 0 )解法解法 2, yxu令yu1则故有ueu1积分Cxeuu

7、1dCxeuu)1 (ln( C 为任意常数 )所求通解:Cyeyx)1(lnueeeuuud1)1 (机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章 内容小结内容小结1. 微分方程的概念微分方程;定解条件;2. 可分离变量方程的求解方法:说明说明: 通解不一定是方程的全部解 .0)(yyx有解后者是通解 , 但不包含前一个解 .例如, 方程分离变量后积分; 根据定解条件定常数 .解; 阶;通解; 特解 y = x 及 y = C 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章 练练 习习1.已知一阶微分方程xdxdy2（1）求通解；（2）求它过点（1，4）的特解；（3）求出与直线32 xy相切的解。

8、解：解：（1）方程变形为xdxdy2将方程两端积分，有Cxy2（2）将点（1，4）代入通解，得3C所求特解为32 xy（3）解方程组322xyCxy0322Cxx由于相切，故根的判别式, 4, 0)3(4)2(2CC所求曲线为. 42 xy 2. 求下列方程的通解 :0d)(d)() 1(22yyyxxyxx提示提示:xxxyyyd1d122)sin()sin()2(yxyxy(1) 分离变量(2) 方程变形为yxysincos2Cxysin22tanln机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章 主讲教师：主讲教师：高彦伟高彦伟总课时：总课时：124 第一百一十四讲第一百一十四讲常微分方程常

9、微分方程齐次方程齐次方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 会识别齐次方程，会求其解会识别齐次方程，会求其解 第6章 3 3齐次方程的定义齐次方程的定义形如)(ddxyxy的方程叫做齐次方程齐次方程 .令,xyu ,xuy 则代入原方程得,ddddxuxuxy)(dduxuxuxxuuud)(d两边积分, 得xxuuud)(d积分后再用xy代替 u, 便得原方程的通解.解法:分离变量: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章 例例1. 解微分方程.tanxyxyy解解:,xyu 令,uxuy则代入原方程得uuuxutan分离变量xxuuuddsincos两边积分xxuuuddsincos

10、得,lnlnsinlnCxuxCu sin即故原方程的通解为xCxysin( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)( C 为任意常数 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章 例例2. 解微分方程.0dd)2(22yxxyxy解解:,2dd2xyxyxy方程变形为,xyu 令则有22uuuxu分离变量xxuuudd2积分得,lnln1lnCxuuxxuuudd111即代回原变量得通解即Cuux )1(yCxyx)(说明说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在(C 为任意常数)求解过程中丢失了. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章

11、例例3. 解微分方程解解:,xyu 令,uxuy则代入原方程得分离变量xxuud1d两边积分故原方程的通解为( C 为任意常数 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章 0)2(xdydxyxuux1Cxuln)1ln(2Cxyx主讲教师：主讲教师：高彦伟高彦伟总课时：总课时：124 第一百一十五讲第一百一十五讲常微分方程常微分方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一阶线性微分方程的形式一、一阶线性微分方程的形式 第6章 二、掌握求通解的计算公式二、掌握求通解的计算公式 4 4一阶线性微分方程标准形式:)()(ddxQyxPxy若 Q(x) 0, 0

12、)(ddyxPxy若 Q(x) 0, 称为非齐次方程非齐次方程 .1. 解齐次方程分离变量xxPyyd)(d两边积分得CxxPylnd)(ln故通解为xxPeCyd)(称为齐次方程齐次方程 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章 对应齐次方程通解xxPeCyd)(齐次方程通解非齐次方程特解xxPCed)(2. 解非齐次方程)()(ddxQyxPxy用常数变易法常数变易法:,)()(d)(xxPexuxy则xxPeud)()(xPxxPeud)()(xQ故原方程的通解xexQexxPxxPd)(d)(d)(CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(y即即作变换xxPeuxPd)()(xx

13、PexQxud)()(ddCxexQuxxPd)(d)(两端积分得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章 例例1. 解方程 .) 1(12dd25xxyxy解解: 先解,012ddxyxy即1d2dxxyy积分得,ln1ln2lnCxy即2) 1( xCy用常数变易法常数变易法求特解. 令,) 1()(2xxuy则) 1(2) 1(2 xuxuy代入非齐次方程得21) 1( xu解得Cxu23) 1(32故原方程通解为Cxxy232) 1(32) 1(机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章 例例2. 求方程的通解 .解解: 注意 x, y 同号,d2d,0 xxxx时当yyxyx2dd

14、2yyP21)(yyQ1)(由一阶线性方程通解公式通解公式 , 得ex yy2dey1yy2dCxlnd故方程可变形为0d2d3yyxyyxxyy1y1 lndCy 所求通解为 )0(CCeyyxyCyln这是以x为因变量, y为 自变量的一阶线性方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章 内容小结内容小结 一阶线性方程)()(ddxQyxPxy方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法.方法2 用通解公式CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章 练练 习习1.判别下列方程类型:xyyxyxyxdddd) 1()ln(lndd)2(xyyxyx0

15、d2d)()3(3yxxxy0d)(d2)4(3yxyxy提示提示:xxyyydd1 可分离 变量方程xyxyxylndd齐次方程221dd2xyxxy线性方程221dd2yxyyx线性方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章 2. 求一连续可导函数)(xf使其满足下列方程:ttxfxxfxd)(sin)(0提示提示:令txuuufxxfxd)(sin)(0则有xxfxfcos)()(0)0(f利用公式可求出)sin(cos21)(xexxxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章 2. 设有微分方程, )(xfyy其中)(xf10,2 x1,0 x试求此方程满足初始条件00 xy的

16、连续解.解解: 1) 先解定解问题10, 2xyy00 xy利用通解公式, 得xeyd1dd2Cxex)2(1CeexxxeC12利用00 xy得21C故有) 10(22xeyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章 2) 再解定解问题1,0 xyy1122) 1 (eyyx此齐次线性方程的通解为) 1(2xeCyx利用衔接条件得) 1(22eC因此有) 1() 1(2xeeyx3) 原问题的解为y10),1 (2xex1,) 1(2xeex机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章 主讲教师：主讲教师：高彦伟高彦伟总课时：总课时：124 第一百一十六讲第一百一十六讲常微分方程常微分方程一

17、阶微分方程的解法练习 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一阶微分方程求解一、一阶微分方程求解二、解微分方程应用问题二、解微分方程应用问题 第6章 一、一阶微分方程求解一、一阶微分方程求解关键关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤三个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程,.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章 例例1. 求下列方程的通解; 01) 1 (32xyeyy提示提示: (1),33xyxyeee因故为分离变量方程:通解;)2(22yyxyx;21)3(2yxy.2336)4(3223yyxyxxyxeyeyxydd32Ceexy331机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章 方程两边同除以 x 即为齐次方程 , ,0时xyyxyx22)2(时，0 x21uux21uuxxyxyy21xyxyy21令 y = u x ,化为分离变量方程.调换自变量与因变量的地位 ,221)3(yxy,2dd2yxyx用线性方程通解公式求解 .化为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章 32232336)4(yyxyxxy 提示：提示：xyu 令机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章 例例3.机动 目录 上页 下页 返回 结束 设F(x)f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(,+)内满足以下条件:, 0)0(),()(),(