2.1-变化率与导数ppt课件

1、章头图、引言学习章头图、引言学习: 微积分的创始人微积分的创始人 牛顿，莱布尼兹牛顿，莱布尼兹导数的产生导数的产生1 1、由、由s=f(t)s=f(t)求速度和加速度。求速度和加速度。 2 2、求已知曲线的切线。、求已知曲线的切线。导数的作用：可以研究函数的增减性，变化快导数的作用：可以研究函数的增减性，变化快慢，最值问题，可以描述任何事物的瞬时变化慢，最值问题，可以描述任何事物的瞬时变化率如效率、率如效率、GDPGDP、CPICPI增长率等等。增长率等等。积分的的作用：可以求平面图形的面积，变速积分的的作用：可以求平面图形的面积，变速直线运动的路程，变力做功等问题，积分在生直线运动的路程，变

2、力做功等问题，积分在生活生产科研等很多领域都有广泛应用。活生产科研等很多领域都有广泛应用。微积分的创立是微积分的创立是 数学史上划时代的数学史上划时代的里程碑。里程碑。1.1.1-1.1.2变化率与导数变化率与导数 21212121:r Vr VrVVVVr Vr VrVV V半 径 的 增 量 体 积 的 增 量 就 是 气 球 的。结 论一 定 时 ,r逐 渐 变 小 ， 即逐 渐 减 小平 均 膨 胀 率问题问题1 1 【气球膨胀率】【气球膨胀率】 一、变化率问题一、变化率问题2( )4.96.510h ttt 问题问题2 2 高台跳水运动中，高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度是运动

3、员相对于水面的高度是00.5求秒的平均速度0 .504 .0 50 .50hhv2121hththvttt探究活动探究活动 气球的平均膨胀率，跳水运动员的平均气球的平均膨胀率，跳水运动员的平均速度是特殊的情况，我们把这一思路延伸到速度是特殊的情况，我们把这一思路延伸到函数上，归纳一下得出函数上，归纳一下得出函数函数 的平均变化率的平均变化率2121()()r Vr VVV2121h th ttt2121()()f xf xyxxx 12f xxx从 【平均变化率的几何意义】 20021121,212 2+f xxxxxyxx【例】求在区间上的平均变化率;求函数在区间，上的平均变化率。【点拨】求

4、函数f(x)的平均变化率的步骤是：(1)根据x1和x2值写出自变量的增量x；(2)由yf(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)计算函数增量；问题：问题：1、运动员在、运动员在0 0.5秒这段时间是静止的秒这段时间是静止的吗？吗？2、你认为用平均速度描述运动员状态有、你认为用平均速度描述运动员状态有什么什么 问题吗？问题吗？3、你能求出、你能求出t=2时的速度吗？时的速度吗？能否从平均速度这个角度出发去求瞬时速度能否从平均速度这个角度出发去求瞬时速度(2)(2)hhthvtt2( )4.96.510h ttt 000(2)(2)limliml(4.913.1)1im3.1ttthhthttt

5、(2)(2)0 ,13.14.913.1hhthtvttt 当时一个稳定值结论：(2)v用右式表示用右式表示逼近思想逼近思想体现了什么数学思想？ht0limtht00limlim(2)(2)(2)(2)tththvththhthtt 平 均 速 度从瞬 时 速 度过 渡 到问题：函数问题：函数 y =f(x) 在点在点x=x0处处的瞬时变化率怎样表示？的瞬时变化率怎样表示？二、导数的概念二、导数的概念00000()()()limlimxxf xxf xyfxxx 一般地，函数一般地，函数 y =f(x) y =f(x) 在点在点x=x0 x=x0处的瞬时变处的瞬时变化率是化率是0000()()

6、limlimxxf xxf xyxx ox xy0()fx我们称它为函数我们称它为函数 y = f (x)在点在点x=x0处的导数，处的导数，记为记为 或或，即，即定义定义:函数函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是xfxxfxxfxx lim )()(lim 0000称为函数称为函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的导数处的导数, 记作记作. )()(lim)(0000 xxfxxfxfx)(0 xf 或或 , 即即0|xxy。其导数值一般也不相同的值有关，不同的与000)(. 1xxxf 的具体取值无关。与 xxf)(. 20一概念的两个

7、名称。瞬时变化率与导数是同. 3)(xfy 0 x由导数的定义可知，求函数由导数的定义可知，求函数在在处的处的导数的步骤导数的步骤:00()()f xxf xyxx（1求平均变化率求平均变化率:；00()limxyfxx （2取极限，得导数取极限，得导数:即：一差、二化、三极限即：一差、二化、三极限例例1、将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同、将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第时，原油的温度单位：时，原油的温度单位：）为）为x h2( )715(08).fxxxx计算第计算第2 h原油温度的瞬时变化率，原油温度的

8、瞬时变化率，并说明它们的意义。并说明它们的意义。(2)(2):3yfxfxxx 解 00limlim(3)32xxxxfy 2=2,=2ftt为原油温度在时的瞬时变化率反映了原油温度在时附近的变化情况.2353yxxx【例 】求函数在处的导数.0(1)(1)lim3xfxfx 【变式训练】【变式训练】 (1)函数f(x)在x1，x2处有定义； (2)x2是x1附近的任意一点，即xx2x10，但x可正可负； (3)注意变量的对应，若xx2x1，则yf(x2)f(x1)，而不是yf(x1)f(x2)； (4)平均变化率可正可负，也可为零 2根据导数的定义，求函数yf(x)在x0处的导数的步骤 (1

9、)求函数的增量yf(x0 x)f(x0)；*3对导数概念的理解某点导数即为函数在这点的瞬时变化率，含着两层含义： 考虑：设函数f(x)在点x0处可导，试求下列各极限的值 分析给出某抽象函数在某点x0处可导的条件，求另一抽象函数在某点x0处的导数，或求另一抽象函数在某点x0处的极限 点拨在导数的定义中，增量x的形式是多种多样的，但不论x选择哪种形式，y也必须选择与之相对应的形式利用函数f(x)在xx0处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形为导数定义的形式概念是解决问题的重要依据，只有熟练掌握概念的本质属性，把握其内涵与外延，才能灵活地应用概念进行解题数学思想：体会“以直代曲，以不变应万变，逼近思想”.0000()()()limxf xxf xfxx 0 xx3、导数概念：函数f x 在处的瞬时变化率即为f x 该处的导数。yx0limxyx 1、已知自由落体的运动方程为、已知自由落体的运动方程为s= gt2，求，求:(1) 落体在落体在t0到到t0+t这段时间内的平均速度；这段时间内的平均速度；(2) 落体在落体在t0=2秒到秒到