大学物理热学部分复习资料

1、热学习题课热学习题课6/4/20226/4/20222一、状态方程一、状态方程pVRTpnkT 其中：其中：mM 气气体体的的物物质质的的量量m气气体体的的总总质质量量M气气体体的的摩摩尔尔质质量量n分分子子数数密密度度R118.31J molK气气体体的的普普适适常常量量ARkN2311.38 10J K玻玻尔尔兹兹曼曼常常数数二、理想气体的压强公式与温度公式二、理想气体的压强公式与温度公式压强公式压强公式kpn23km212 v其中：其中：分子的平均平动动能分子的平均平动动能温度公式温度公式kkT32 或或p213v热学习题课热学习题课6/4/20226/4/20223三、三、能量按自由度

2、均分定理能量按自由度均分定理R118.31J molK气气体体的的普普适适常常量量ARkN2311.38 10J K玻玻尔尔兹兹曼曼常常数数二、理想气体的压强公式与温度公式二、理想气体的压强公式与温度公式压强公式压强公式kpn23km212 v其中：其中：分子的平均平动动能分子的平均平动动能温度公式温度公式kkT32 分子每一自由度所均分子每一自由度所均分的能量分的能量kT12分子的平均能量分子的平均能量ikT2分子的平均平动动能分子的平均平动动能kT32理想气体的内能理想气体的内能iRT2 或或p213v热学习题课热学习题课6/4/20226/4/20224三、三、能量按自由度均分定理能量按

3、自由度均分定理 分子每一自由度所均分子每一自由度所均分的能量分的能量kT12分子的平均能量分子的平均能量ikT2分子的平均平动动能分子的平均平动动能kT32理想气体的内能理想气体的内能iRT2 356kT32kT32kT32kT22kT320kT32kT52kT3RT32RT52RT3 例例1、2热学习题课热学习题课6/4/20226/4/20225四、四、麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律 356kT32kT32kT32kT22kT320kT32kT52kT3RT32RT52RT3 例例1、2Ndd vvv：区区间间内内的的分分子子数数NNddvvv：区区间间内内的的分分子子 数数占占总总

4、分分子子数数的的百百分分比比 NfNdd vv1.速率分布函数：速率分布函数： NfNdd vv 表示速率表示速率 v 附近附近单位单位速率区间的分子数占分速率区间的分子数占分子总数的百分比子总数的百分比 .热学习题课热学习题课6/4/20226/4/20226四、四、麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律 Ndd vvv：区区间间内内的的分分子子数数NNddvvv：区区间间内内的的分分子子 数数占占总总分分子子数数的的百百分分比比 NfNdd vv1.速率分布函数：速率分布函数： NfNdd vv 表示速率表示速率 v 附近附近单位单位速率区间的分子数占分速率区间的分子数占分子总数的百分比子总

5、数的百分比 .2.速率分布曲线速率分布曲线（1 1） 曲线曲线 f vvv)(vfovvv dSd Sfdd vv 区间区间内的分子数内的分子数占总分子数占总分子数的百分比的百分比d vvv热学习题课热学习题课6/4/20226/4/202272.速率分布曲线速率分布曲线（1 1） 曲线曲线 f vvv)(vfovvv dSd Sfdd vv 区间区间内的分子数内的分子数占总分子数占总分子数的百分比的百分比d vvvv)(vfo1vS2v Sf21d vvvvNN 表示速率在表示速率在 区间的分子数占总分子数的百区间的分子数占总分子数的百分比分比 . .12vv 归一归一化条件化条件 f0d1

6、 vv热学习题课热学习题课6/4/20226/4/202282.速率分布曲线速率分布曲线（2 2） 曲线曲线 Nf vvv)(vfo1vS2v Sf21d vvvvNN 表示速率在表示速率在 区间的分子数占总分子数的百区间的分子数占总分子数的百分比分比 . .12vv 归一归一化条件化条件 f0d1 vvv( )Nf vovvv dSd SNfdd vv 区间区间内的分子数内的分子数d vvv热学习题课热学习题课6/4/20226/4/202292.速率分布曲线速率分布曲线（2 2） 曲线曲线 Nf vvv( )Nf vovvv dSd SNfdd vv 区间区间内的分子数内的分子数d vvv

7、v( )Nf vo1vS2v SNf21d vvvvN 表示速率在表示速率在 区间的分子数区间的分子数12vv热学习题课热学习题课6/4/20226/4/2022103.麦氏麦氏分布函数分布函数v( )Nf vo1vS2v SNf21d vvvvN 表示速率在表示速率在 区间的分子数区间的分子数12vv mkTmfekT23/22242 vvv4.三种统计速率三种统计速率最概然速率最概然速率v)(vfopvfmaxpkTRTmM22v热学习题课热学习题课6/4/20226/4/2022113.麦氏麦氏分布函数分布函数 mkTmfekT23/22242 vvv4.三种统计速率三种统计速率最概然速

8、率最概然速率v)(vfopvfmaxpkTRTmM22v平均速率平均速率 f0d vvvvkTRTmM88 v平方平均速率平方平均速率 f220d vvvv方均根速率方均根速率rmskTRTmM233 vv热学习题课热学习题课6/4/20226/4/202212平均速率平均速率 f0d vvvvkTRTmM88 v平方平均速率平方平均速率 f220d vvvv方均根速率方均根速率rmskTRTmM233 vv分布函数和分布函数和温度温度的关系的关系 分子质量分子质量相同，试比较相同，试比较T T1 1和和T T2 2的大小的大小vf (v)0T 1T 2p1vp2vpkTRTmM22vpp12

9、 vvTT12热学习题课热学习题课6/4/20226/4/202213分布函数和分布函数和温度温度的关系的关系 分子质量分子质量相同，试比较相同，试比较T T1 1和和T T2 2的大小的大小vf (v)0T 1T 2p1vp2vpkTRTmM22vpp12 vvTT12vf (v)0M 1M 2分布函数和分布函数和分分子质量子质量的关系的关系温度相同，试比较温度相同，试比较MM1 1和和MM 2 2的大小的大小p1vp2vpp12 vvMM12 例例3、4、5热学习题课热学习题课6/4/20226/4/202214平均自由程平均自由程 2212 2 kTd ndp热学习题课热学习题课6/4/

10、20226/4/202215一、一、热力学第一定律热力学第一定律 系统系统从外界吸收的热量从外界吸收的热量, ,一部分使系统的内能增加一部分使系统的内能增加, ,另另一部分使系统对外界做功一部分使系统对外界做功. .QEW iER T2 内能增量内能增量Wp Vdd VVWp V21d 其中其中定体摩尔热容定体摩尔热容系统对外做功系统对外做功VW0,0 外界对系统做功外界对系统做功VW0,0 ViCR2 VCT 定压摩尔热容定压摩尔热容pVCCR温度升高温度升高温度降低温度降低TE0,0 系统吸热系统吸热Q0 系统放热系统放热Q0 TE0,0 摩尔热容比摩尔热容比pVCC/ 热学习题课热学习题

11、课6/4/20226/4/202216iER T2 内能增量内能增量定体摩尔热容定体摩尔热容系统对外做功系统对外做功VW0,0 外界对系统做功外界对系统做功VW0,0 ViCR2 VCT 定压摩尔热容定压摩尔热容pVCCR温度升高温度升高温度降低温度降低TE0,0 系统吸热系统吸热Q0 系统放热系统放热Q0 TE0,0 摩尔热容比摩尔热容比pVCC/ 一、一、热力学第一定律热力学第一定律QEW 过程量过程量状态量状态量二、四种过程二、四种过程例例6、7、8热学习题课热学习题课6/4/20226/4/202217VpP-V图图VpVpVp000ppTT1212 恒恒量量VCT VCT VVTT1

12、212 恒恒量量VCT pCT p V pVpV1 12 2 恒恒 量量VRTV21ln VRTV21ln pV 恒恒量量TV1 恒恒量量pT1 恒恒量量VCT pVp VE11221 热学习题课热学习题课6/4/20226/4/202218VpAB等温线等温线1判断下列个过程中判断下列个过程中 W 、E、Q 的正负。的正负。例例9、10、11A1B 过程：过程：+0=W+WQE T2T1ABCD绝热绝热Vp+0大大小小WQBACADAE 绝热绝热PVdcbaacbadbWE Q小小大大热学习题课热学习题课6/4/20226/4/202219三、循环过程三、循环过程pVOAa21QQE0正循环

13、：正循环： 顺时针顺时针WQQ12 净净0 pVOAa21QQ逆循环：逆循环： 逆时针逆时针WQQ21净净0 W净净= 曲线所围的面积曲线所围的面积nQQQ12热学习题课热学习题课6/4/20226/4/202220正循环：正循环： 顺时针顺时针WQQ12 净净0 逆循环：逆循环： 逆时针逆时针WQQ21净净0 W净净= 曲线所围的面积曲线所围的面积nQQQ121. 热机循环热机循环pVOAa21QQ热机热机高温热源高温热源低温热源低温热源T1T2WQ1Q2热机效率热机效率 WQ1QQ211WQQ12 热学习题课热学习题课6/4/20226/4/2022211. 热机循环热机循环pVOAa21

14、QQ热机热机高温热源高温热源低温热源低温热源T1T2WQ1Q2热机效率热机效率 WQ1QQ211WQQ12 2. 制冷循环制冷循环pVOAa21QQ致冷机致冷机高温热源高温热源低温热源低温热源T1T2WQ1Q2致冷机致冷系数致冷机致冷系数e WQ2WQQ12 QQQ212 热学习题课热学习题课6/4/20226/4/2022222. 致冷循环致冷循环pVOAa21QQ致冷机致冷机高温热源高温热源低温热源低温热源T1T2WQ1Q2致冷机致冷系数致冷机致冷系数e WQ2WQQ12 QQQ212 3. 卡诺循环卡诺循环Vop2TW1TABCD1p2p4p3p1V4V2V3V21TT 卡诺循环由两个等

15、温过程和两个卡诺循环由两个等温过程和两个绝热过程组成绝热过程组成卡诺热机卡诺热机QTQT221111 卡卡诺诺热学习题课热学习题课6/4/20226/4/202223TTT212 3. 卡诺循环卡诺循环Vop2TW1TABCD1p2p4p3p1V4V2V3V21TT 卡诺循环由两个等温过程和两个卡诺循环由两个等温过程和两个绝热过程组成绝热过程组成卡诺热机卡诺热机QTQT221111 卡卡诺诺卡诺致冷机卡诺致冷机QeQQ212 卡卡诺诺例例12、13、14热学习题课热学习题课6/4/20226/4/2022242T1T121TT热学习题课热学习题课6/4/20226/4/202225热学习题课热

16、学习题课6/4/20226/4/2022266 .6 .熵熵玻尔兹曼熵公式玻尔兹曼熵公式 lnkS克劳修斯熵公式克劳修斯熵公式 TQSd熵增加原理熵增加原理孤立系统孤立系统自发过程自发过程0 S热学习题课热学习题课6/4/20226/4/202228例例1 解：（解：（1）（2）（3）（4）一容器内贮有氧气，其压强一容器内贮有氧气，其压强 ，温度，温度 求：（求：（1）单位体积内的分子数；（）单位体积内的分子数；（2）分子质量；（）分子质量；（3）氧）氧气密度；（气密度；（4）分子的平均动能。）分子的平均动能。p1.0atm T300K pnkT 5231.013 101.38 10300 2

17、532.44 10m AMmN 230.0326.022 10 265.31 10kg mV NmV nm 31.30 kg m kT52 205.04 10J 热学习题课热学习题课6/4/20226/4/202229例例2 试写出下列各式的物理意义：试写出下列各式的物理意义： 分子每一自由度所均分的能量分子每一自由度所均分的能量自由度为自由度为 i 的的分子的平均能量分子的平均能量双原子气体双原子气体分子的平均能量分子的平均能量1/3mol单原子理想气体的内能单原子理想气体的内能1mol单原子理想气体的内能单原子理想气体的内能10 mol自由度为自由度为 i 的理想气体的内能的理想气体的内能

18、kT12ikT2kT5/2RT12RT32iRT5热学习题课热学习题课6/4/20226/4/202230例例3 （a）（b）（c） 已知已知 为为 N 个（个（N 很大）分子组成的系统的速率分很大）分子组成的系统的速率分布函数。（布函数。（1）分别写出图）分别写出图 （a）、（）、（b）、）、(c)中阴影面积中阴影面积对应的数学表达式和物理意义对应的数学表达式和物理意义 f v pf0d vvv 速率在速率在 0 区区间内的分子数占总分间内的分子数占总分子数的百分比子数的百分比pv pfd vvv 速率大于速率大于 的的分子数占总分子分子数占总分子数的百分比数的百分比pv pNf1d vvv

19、v 速率在速率在 区区间内的分子数间内的分子数.pv1v热学习题课热学习题课6/4/20226/4/202231（a）（ n 为分子数密度）为分子数密度）（b）（c）单位体积内速率分布单位体积内速率分布在在 v v+dv区间内的分子数区间内的分子数速率分布在速率分布在 0 v1 区间内的分子数区间内的分子数 v1 v2速率区间内分子的平均速率速率区间内分子的平均速率（d）例例3 已知已知 为为 N 个（个（N 很大）分子组成的系统的速率分很大）分子组成的系统的速率分布函数。（布函数。（2）说明以下各式的物理意义）说明以下各式的物理意义 f v nfdvv nfNfVdd/vv=vv Nf10d

20、 vvv ff2121dd vvvvvvvvvNNNN21d/ vvvNN21d vvv v f0d vv1 速率分布在速率分布在 0 区间内的分子数区间内的分子数占总分子数的百分比，其值为占总分子数的百分比，其值为1 热学习题课热学习题课6/4/20226/4/202232 f vvO1例例4 Fv2FAv解：（解：（2）归一化条件归一化条件 （3） 设导体中共有设导体中共有N个自由电子，其中电子的最大速率为个自由电子，其中电子的最大速率为 （称（称“费米速率费米速率”）。已知电子在速率）。已知电子在速率 vv+dv 间的几率间的几率为为 （1）画出速率分布函数曲线；（）画出速率分布函数曲线

21、；（2）用）用 定出常数定出常数A；（3）求电子的）求电子的 。FvFFANN2d0d0 vvvvvvFvprms, ,vv v fdvv= Ff0d vvvFA20d vvvFA313 v1 FA33 vpF vv Ff0d vv =vvvFA30d vvvFA414 vF34 v Ff220d vv =vvvFA40d vvvFA515 vF235 vrms2 vvF155 v热学习题课热学习题课6/4/20226/4/202233例例5 N 个假想的气体分子，其速率分布如图所示，（个假想的气体分子，其速率分布如图所示，（1）根据）根据 N 和和 v0 求求 a 的值；（的值；（2）求速率

22、在）求速率在 2v0 到到 3v0 间隔内的分子数；间隔内的分子数；（3）求分子的平均速率。）求分子的平均速率。解解：（：（1）aa/32a/3v02v03v04v05v0N f(v)v（2）（3）aN09/3 vNa03 vNa0 vN /3 iiiNN/ vv0192v03292v05392v07292v09192v052 v热学习题课热学习题课6/4/20226/4/202234 在一刚性绝热容器中有一无摩擦的导热活塞把容器在一刚性绝热容器中有一无摩擦的导热活塞把容器分割乘左、右两边，左边充以分割乘左、右两边，左边充以 1mol 氖气，右边充以氖气，右边充以1mol 氧气。开始时，氖气的

23、温度为氧气。开始时，氖气的温度为T1，氧气的温度为，氧气的温度为T2；（两；（两边的压强和体积并未限定）。求达到热平衡后，两种气体边的压强和体积并未限定）。求达到热平衡后，两种气体的共同温度的共同温度T（两种气体均可视为理想气体）。（两种气体均可视为理想气体）。例例6 NeT1O2T2解：解：整个系统与外界无热量交换，整个系统与外界无热量交换，系统不对外做功，系统不对外做功，由热力学第一定律，由热力学第一定律，QQQ120 WWW12 0 EEE12 0 ER TT1132 其中其中 ER TT2252 TTT12358 热学习题课热学习题课6/4/20226/4/202235例例7 解：解：

24、 有有5mol某种理想气体，状态按某种理想气体，状态按 的规律变化的规律变化（a为正常数），当气体的体积从为正常数），当气体的体积从 膨胀到膨胀到 时，求气体所时，求气体所做的功做的功 W 及气体温度的变化及气体温度的变化T. Vap/ V1V2VVWp V21d aVp apV22 VVaVV2122d aVV21211pVRT pVTR1115 aRV215 aTRV2225 pVTR pVR5 TTT21 aR VV221115热学习题课热学习题课6/4/20226/4/202236例例8 1 mol 双原子双原子理想气体，从状态理想气体，从状态 A（P1 ,V1）沿沿 P-V 图图所示

25、直线变到状态所示直线变到状态B（ P2 ,V2），则气体内能的增量为，则气体内能的增量为 ，气体对外界所作的功为气体对外界所作的功为 ，气体吸收的热量为，气体吸收的热量为 。 PVAB1P2P1V2V解：解：图中阴影面积为气体所作的功图中阴影面积为气体所作的功 VBAECTT 52BAR TT 52BBAAp Vp V 221152p VpV 221112Wp VpV 气体吸收的热量气体吸收的热量QWE 22113 p VpV 热学习题课热学习题课6/4/20226/4/202237 如图，一定量的理想气体经历如图，一定量的理想气体经历 acb 过程时吸热过程时吸热 200 J，则则经历经历

26、acbda 过程时吸热多少？过程时吸热多少？解：解：V/10-3m3p/105Paadbec1414例例9 即即200JacbQ aabbp Vp V abTT0abbaEE bdabdaQW aabpVV 1200J acbdaacbbdaQQQ 1000J 热学习题课热学习题课6/4/20226/4/202238例例10 如图所示，如图所示，1 mol 氧气，（氧气，（1）由状态）由状态 a 等温膨胀等温膨胀到状到状态态 b；（；（2）由状态）由状态 a 等容冷却等容冷却到状态到状态 c，再由，再由 c 等压膨胀等压膨胀到到状态状态 b。试分别计算以上两过程中氧气的内能变化、所做的。试分别

27、计算以上两过程中氧气的内能变化、所做的功和吸收的热量。功和吸收的热量。 P/atmV/la b c d 22.444.81解：（解：（1） 等温过程等温过程 ababTT（2）过程）过程 acb0abE ababQW lnbbaVRTV lnbbbaVp VV 3146J 0abE acbacbQW bbcpVV2269J 热学习题课热学习题课6/4/20226/4/202239例例11 1mol 单原子单原子理想气体，初始压强为理想气体，初始压强为 ，体积为，体积为1 l，将此气体在，将此气体在等压等压条件下加热，直至条件下加热，直至体积增大体积增大 1 倍，然倍，然后再在后再在等容等容条件

28、下加热，至其条件下加热，至其压强增加压强增加 1 倍，最后再作倍，最后再作绝绝热膨胀热膨胀，使其温度，使其温度降为起始温度降为起始温度。将上述过程在。将上述过程在 P-V 图上图上表示出来，并求其内能的改变量和对外所作的功。表示出来，并求其内能的改变量和对外所作的功。解：（解：（1）5/10 PaP/lV12211234510 pa热学习题课热学习题课6/4/20226/4/202240例例11 5/10 PaP/lV12211234解：（解：（2）（2）求）求,E W0E1234WWW其中：其中： 12121Wp VV 100J 3434WE 已知：已知：3i 43VCTT 1332R TT

29、 41TT 32VCR 113332pVp V 450J 1234WWW550J 热学习题课热学习题课6/4/20226/4/202241例例12 某理想气体分别进行如图所示的两个卡诺循环：某理想气体分别进行如图所示的两个卡诺循环：(abcda) 和和 (abcda)，且两条循环曲线所围面积相等。设循环，且两条循环曲线所围面积相等。设循环的的效率为效率为 ，每次循环在高温热源处吸的热量为每次循环在高温热源处吸的热量为 Q，循环循环的效的效率为率为 ，每次循环在高温热源处吸的热量为每次循环在高温热源处吸的热量为 Q，试比较（试比较（1） 和和 的大小；（的大小；（2） Q 和和 Q 的大小。的大小。PVabcdabcd解：（解：（1）211TT 211TT 1122,TTTT （2）WQ 1WQ WQ ,WWQQ热学习题课热学习题课6/4/20226/4/2022422116.2bac33/10 mV 5/1.013 10 pap 26.6例例13 1mol双原子双原子理想气体作如图所示的循环。其中，理想气体作如图所示的循环