固体物理1 晶体的结构

1、第一章第一章 晶体的结构晶体的结构主要内容主要内容: :v 晶体的共性晶体的共性v 晶体结构及其描述晶体结构及其描述v 晶体的对称性晶体的对称性v 倒格倒格v 晶体晶体X射线衍射射线衍射一 固体的分类固体固体晶体晶体: :非晶体非晶体: :长程有序长程有序不具有长程序的特点不具有长程序的特点, ,短程有序。短程有序。单晶体单晶体多晶体多晶体至少在微米量级范围内原子排列具有周期性。至少在微米量级范围内原子排列具有周期性。长程有序长程有序: :固体分类(按结构)第一节第一节 晶体的共性晶体的共性准晶体：有序但不具有平移对称性准晶体：有序但不具有平移对称性晶体的分类晶晶 体体按晶胞分立方晶系立方晶系

2、六方晶系六方晶系四方晶系四方晶系三方晶系三方晶系正交晶系正交晶系单斜晶系单斜晶系三斜晶系三斜晶系按对称性分立方体立方体六方体六方体按功能分导体导体 半导体半导体绝缘体绝缘体磁介质磁介质电介质电介质超导体超导体按结合方式分分子晶体分子晶体离子晶体离子晶体共价晶体共价晶体金属晶体金属晶体氢键晶体氢键晶体 晶体所具有的自发地形晶体所具有的自发地形成封闭凸多面体的能力称为成封闭凸多面体的能力称为自限性。自限性。1abcd2二 晶体的共性2.自限性(自范性)： 至少在微米量级范围内至少在微米量级范围内原子排列具有周期性。原子排列具有周期性。1.长程有序:晶面角守恒定律：属于同一品种的晶体，两个对应晶面间

3、的夹角恒定不变。属于同一品种的晶体，两个对应晶面间的夹角恒定不变。石英晶体：石英晶体： a、b 间夹角总是间夹角总是14147 ； a、c 间夹角总是间夹角总是11308 ； b、c 间夹角总是间夹角总是12000 。3.晶体的各向异性在不同方向上，晶体的物理性质不同。在不同方向上，晶体的物理性质不同。OO1O ClAC1A*AB）面示意图晶体结构（ 100NaCl 由右图可以看出，在不同的方向上晶由右图可以看出，在不同的方向上晶体中原子排列情况不同，故其性质不同。体中原子排列情况不同，故其性质不同。晶体的均匀性晶体的均匀性:在晶体内部平行方向上质点的物理性质相同。在晶体内部平行方向上质点的物

4、理性质相同。晶体的解理性晶体的解理性: :晶体沿某些确定方位的晶面劈裂的性质，这样的晶面晶体沿某些确定方位的晶面劈裂的性质，这样的晶面称为称为解理面解理面。4.固定的熔点: 给某种晶体加热，当加热到某一特定温度时，晶体开给某种晶体加热，当加热到某一特定温度时，晶体开始熔化，且在熔化过程中保持不变，直到晶体全部熔化，始熔化，且在熔化过程中保持不变，直到晶体全部熔化，温度才开始上升，即晶体有固定的熔点。温度才开始上升，即晶体有固定的熔点。 熔解热用来破坏长程有序。熔解热用来破坏长程有序。晶体的宏观特性是由晶体内部结构的周期性决晶体的宏观特性是由晶体内部结构的周期性决定的定的, ,即晶体的宏观特性是

5、微观特性的反映。即晶体的宏观特性是微观特性的反映。1.密堆积 把原子视为刚性小球，在一个平面内最简把原子视为刚性小球，在一个平面内最简单堆积形成正方排列，把他们层层重合堆积就单堆积形成正方排列，把他们层层重合堆积就构成构成简单立方结构简单立方结构。1.2 1.2 密堆积 若简单立方结构空隙内放入同样的原子球与最近邻若简单立方结构空隙内放入同样的原子球与最近邻的八球相切，就构成的八球相切，就构成体心立方结构单元体心立方结构单元。 以上两种堆积不是最紧密的，最紧密的堆积原子球以上两种堆积不是最紧密的，最紧密的堆积原子球必须与同一平面内相邻的必须与同一平面内相邻的6 6个原子球相切。这样的原子面个原

6、子球相切。这样的原子面称为称为密排面密排面。 如果晶体由如果晶体由完全相同的一种粒子组成，而粒子被看作小的一种粒子组成，而粒子被看作小圆球，则这些全同的小圆球圆球，则这些全同的小圆球最最紧密的堆积称为称为密堆积密堆积。密堆积中，原子球必须与同一平面内相邻的密堆积中，原子球必须与同一平面内相邻的6个原个原子球相切构成密排面，相邻原子层也必须是密排面，原子子球相切构成密排面，相邻原子层也必须是密排面，原子球心必须与相邻原子层空隙重合。球心必须与相邻原子层空隙重合。(1)(1)六角密积六角密积 第三层原子球心落在第二层第三层原子球心落在第二层的空隙上，且与第一层球平行对的空隙上，且与第一层球平行对应

7、，形成应，形成ABABAB排列方式排列方式。AB(1)(1)六角密积六角密积AB(2)(2)立方密积立方密积 第三层原子球心落在第二层空隙上，第三层原子球心落在第二层空隙上，且该空隙也与第一层空隙重合，而第四且该空隙也与第一层空隙重合，而第四层又恢复成第一层的排列，即按层又恢复成第一层的排列，即按ABCABCABC方式排列，形成面方式排列，形成面心立方结构，称为心立方结构，称为立方密积立方密积。BAC 第一层：每个球与第一层：每个球与6个球相切，个球相切，有有6个空隙，如编号为个空隙，如编号为1,1,2, ,3, ,4, ,5, ,6。 第二层：占据第二层：占据1，3，5空位中空位中心。心。

8、第三层：占据第三层：占据2，4，6空位中空位中心，按心，按ABCABCABC方式排方式排列。列。BAC立方密积立方密积2.配位数一个粒子周围一个粒子周围最近邻的粒子数称为称为配位数配位数. . 可以描述晶体中粒子排列的紧密程度，粒子排列越紧密，可以描述晶体中粒子排列的紧密程度，粒子排列越紧密，配位数越大。配位数越大。密堆积的配位数最大最大12同平面内与同平面内与6个原子球相切，相邻平面内各与三个原子个原子球相切，相邻平面内各与三个原子球相切，这样一个原子的最近邻原子共有球相切，这样一个原子的最近邻原子共有6+3+3=12(b)(c)(a)( (a) )、( (b) )、( (c) )为二维晶体

9、结构示意图，它们有何异同为二维晶体结构示意图，它们有何异同?1.3 1.3 布喇菲空间点阵布喇菲空间点阵 原胞原胞 晶胞晶胞一 晶体结构的周期性 所有晶体的结构可以用所有晶体的结构可以用空间点阵空间点阵来描述，这种晶格的每个来描述，这种晶格的每个阵点上附有一群原子，这样的一个原子群称为阵点上附有一群原子，这样的一个原子群称为基元基元，基元在空，基元在空间周期性重复排列就形成间周期性重复排列就形成晶体结构晶体结构。 一个一个理想的晶体是由是由完全相同的的结构单元在空间在空间周期性重重复排列而成的。复排列而成的。(b)(c)(a)1.基元、格点和晶格 在晶体中适当选取某些原子作为一个在晶体中适当选

10、取某些原子作为一个基本结构单元，这个，这个基本结构单元称为基本结构单元称为基元基元，基元是晶体结构中，基元是晶体结构中最小的重复单元，的重复单元，基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。(1)(1)基元基元( (b) )( (c) )( (a) ) 任何两个基元中相应原子周围的情况是相同的，而每一任何两个基元中相应原子周围的情况是相同的，而每一个基元中不同原子周围情况则不相同。个基元中不同原子周围情况则不相同。(2)(2)晶格晶格 晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的点子在空间有晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的点子在空间有规则地做规则地做周期性无

11、限分布，通过这些点做三组不共面的平行直分布，通过这些点做三组不共面的平行直线族，形成一些网格，这些点子的总体称为线族，形成一些网格，这些点子的总体称为空间点阵（布喇菲空间点阵（布喇菲点阵），点阵），这种三维网络也称为这种三维网络也称为晶格晶格( (或者说这些点在空间周期或者说这些点在空间周期性排列形成的骨架称为性排列形成的骨架称为晶格晶格) )。(b)(b)(c)(c)(a)(a) 晶格（空间点阵）是晶体结构周期性的数学抽象，它忽略了晶体结构的具体内容，保留了晶体结构的周期性。),(321332211取取整整数数nnnanananR 用矢量表示用矢量表示格点的排列。格点的排列。 (3)(3)格

12、点格点 晶格中的点子代表着晶体结构中相同的位置，称为晶格中的点子代表着晶体结构中相同的位置，称为格点格点（结点）（结点）。 一个格点代表一个基元，它可以代表基元重心的位置，它可以代表基元重心的位置，也可以代表基元中任意的点子。也可以代表基元中任意的点子。晶格（空间点阵）晶格（空间点阵）+ +基元基元= =晶体结构晶体结构(b)(a)2.布喇菲格子格子、简单晶格和复式晶格(1)(1)布拉维格子（布喇菲点阵）布拉维格子（布喇菲点阵） 结点的总体称为结点的总体称为布喇菲格子布喇菲格子，这种格子的特点是，这种格子的特点是每点周围的情况完全相同。(2)(2)简单晶格和复式晶格简单晶格和复式晶格 简单晶格

13、：如果晶体由完全相同的一种原子组成，且简单晶格：如果晶体由完全相同的一种原子组成，且每个原子周围的情况完全相同，则这种原子所组成的网格称为则这种原子所组成的网格称为简单晶格。简单晶格。 复式晶格：如果晶体由两种或两种以上原子组成，同种原复式晶格：如果晶体由两种或两种以上原子组成，同种原子各构成和格点相同的网格，称为子各构成和格点相同的网格，称为子晶格子晶格，它们相对位移而，它们相对位移而形成形成复式晶格复式晶格。简单晶格简单晶格复式晶格复式晶格 某一方向相邻两点的距离称为该方向上的某一方向相邻两点的距离称为该方向上的周期周期。在晶格中。在晶格中取取一个格点为顶点，以三个不共面的方向上的周期为边

14、长形成的平行六面体作为重复单元，这个平行六面体沿三个不同的方作为重复单元，这个平行六面体沿三个不同的方向进行周期性平移，就可以充满整个晶格，形成晶体，这个平向进行周期性平移，就可以充满整个晶格，形成晶体，这个平行六面体即为行六面体即为原胞原胞，代表原胞三个边的矢量称为，代表原胞三个边的矢量称为原胞的基本平移矢量，简称，简称基矢基矢。二 原胞 在晶格中取在晶格中取一个格点为顶点，以三个不共面的方向上的周期为边长形成的平行六面体作为重复单元，这个平行六面体沿作为重复单元，这个平行六面体沿三个不同的方向进行周期性平移，就可以充满整个晶格，形成三个不同的方向进行周期性平移，就可以充满整个晶格，形成晶体

15、，这个平行六面体即为晶体，这个平行六面体即为原胞原胞，代表原胞三个边的矢量称为，代表原胞三个边的矢量称为原胞的基本平移矢量，简称，简称基矢基矢。 特点：特点：格点格点只在平行六面体的顶角上，只在平行六面体的顶角上，面上和内部均无格点，平均每个，平均每个固体物理学原胞包含1个格点。它反映了晶体结构。它反映了晶体结构的周期性。的周期性。 构造：取一格点为顶点，由此点向构造：取一格点为顶点，由此点向近邻的三个格点作三个的三个格点作三个不共面的矢量，以此三个矢量为边作平行六面体即为不共面的矢量，以此三个矢量为边作平行六面体即为固体物理固体物理学原胞学原胞。(1)(1)固体物理学原胞固体物理学原胞( (

16、简称简称原胞原胞) )1.原胞的分类基矢：固体物理学原胞基矢通常用基矢：固体物理学原胞基矢通常用 表示。表示。321,aaa 321aaa 体积为：体积为：原胞内任一点的位矢表示为：原胞内任一点的位矢表示为： 1,0321332211 xxxaxaxaxr 在任意两个原胞的相对应点上，晶体的物理性质相同。在任意两个原胞的相对应点上，晶体的物理性质相同。 ,点点的的位位矢矢格格为为某某一一其其中中RRrr 为为整整数数321332211,nnnanananRl (2)(2)结晶学原胞结晶学原胞（布喇菲原胞，布喇菲原胞，简称简称晶胞晶胞 ） 构造：使三个基矢的方向尽可能地沿着空间对称轴的方向，构造

17、：使三个基矢的方向尽可能地沿着空间对称轴的方向，它具有明显的对称性和周期性。它具有明显的对称性和周期性。基矢：结晶学原胞的基矢一般用基矢：结晶学原胞的基矢一般用 表示。表示。cba, ncbav 特点：结晶学原胞不仅在平行六面体顶角上有格点，面上特点：结晶学原胞不仅在平行六面体顶角上有格点，面上及内部亦可有格点。其体积是固体物理学原胞体积的整数倍。及内部亦可有格点。其体积是固体物理学原胞体积的整数倍。体积为：体积为：(3)(3)维格纳维格纳-塞茨原胞塞茨原胞 构造：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂构造：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂面面( (或中垂线或中垂线) )，由

18、这些中垂面，由这些中垂面( (或中垂线或中垂线) )所围成的最小体积所围成的最小体积( (或或面积面积) )即为即为W-S原胞。原胞。 特点：它是晶体体积的最小重复单元，每个原胞只包含特点：它是晶体体积的最小重复单元，每个原胞只包含1个格点。其体积与固体物理学原胞体积相同。个格点。其体积与固体物理学原胞体积相同。8a7a6a5a4a3a1a2a固体物理学原胞固体物理学原胞维格纳维格纳-塞茨单胞塞茨单胞立方晶系立方晶系accbba cba kac , jab, iaa 晶胞的体积晶胞的体积: :3aV 设设晶格常量晶格常量( (晶胞棱边的长度) )为为a, ,k, j,i取取 为坐标轴的单位矢量

19、为坐标轴的单位矢量, , 即立方体边长为即立方体边长为a, ,2.2.几种晶格的实例几种晶格的实例(a)(a)简立方简立方( (simple cubic, 简称简称sc) )kaajaaiaa 321每个晶胞包含每个晶胞包含1个格点。固体物理学原胞的体积固体物理学原胞的体积3a 布喇菲晶格(简单格)abciakaj a平均每个晶胞包含平均每个晶胞包含4个个格点格点。 332141aaaa (b)(b)面心立方面心立方( (face-centered cubic, fcc) ) jiaakiaakjaa 222321固体物理学原胞的体积固体物理学原胞的体积1a3a2aiajaka(c)(c)体心

20、立方体心立方( (body-centered cubic, bcc) ) kjiaakjiaakjiaa 222321平均每个晶胞包含平均每个晶胞包含2个个格点格点。 332121aaaa iajaka1a3a2a固体物理学原胞的体积固体物理学原胞的体积(1)(1)氯化铯结构氯化铯结构 Cl Cs 氯化铯结构是由两个简立方子晶格沿体对角线位移氯化铯结构是由两个简立方子晶格沿体对角线位移1/2的长的长度套构而成。度套构而成。 Cl- -和和Cs+ +分别组成简立方格子，其布喇菲晶格为分别组成简立方格子，其布喇菲晶格为简立方简立方，氯化铯结构属简立方。 每个原胞包含每个原胞包含1个格点，每个晶胞包

21、含个格点，每个晶胞包含1个个格点格点。基元由一。基元由一个个Cl- -和一个和一个Cs+ +组成。组成。( (000) ) 212121Cl- -的坐标为的坐标为 ，Cs+ +的坐标为的坐标为 。 复式格(2)(2)氯化钠结构氯化钠结构 氯化钠结构由两个氯化钠结构由两个面心立方面心立方子晶格沿体对角线位移子晶格沿体对角线位移1/21/2的的长度套构而成。长度套构而成。Cl- -和和Na+ +分别组成面心立方子晶格。分别组成面心立方子晶格。其布喇菲晶格为其布喇菲晶格为面心立方面心立方。氯化钠结构属面心立方。 每个原胞包含每个原胞包含1个格点，每个晶胞包含个格点，每个晶胞包含4个个格点格点。 氯化

22、钠的原胞选取方法与面心立氯化钠的原胞选取方法与面心立方简单格子的选取方法相同。方简单格子的选取方法相同。基元由一个基元由一个Cl- -和一个和一个Na+ +组成。组成。( (000) ) 212121Cl- -的坐标为的坐标为 ，Na+ +的坐标为的坐标为 。 (3)(3)金刚石结构金刚石结构 （闪锌矿结构）（闪锌矿结构）金刚石结构属面心立方，每个晶胞包含每个晶胞包含8个个碳原子碳原子。 金刚石结构是由两个面心立方子晶格沿体对角线位移金刚石结构是由两个面心立方子晶格沿体对角线位移1/41/4的长度套构而成的长度套构而成, ,其布喇菲晶格为其布喇菲晶格为面心立方面心立方。c cc cc cc c

23、 金刚石结构每个固体物理学原胞金刚石结构每个固体物理学原胞包含包含1个格点个格点, ,基元由两个碳原子组成基元由两个碳原子组成, ,位于（位于（000）和）和 处。处。 414141金刚石结构：金刚石结构： 单晶硅、单晶锗结构单晶硅、单晶锗结构闪锌矿结构：闪锌矿结构： ZnS(顶角和面心上顶角和面心上S，晶胞内是，晶胞内是Zn) 锑化铟、砷化镓、磷化铟锑化铟、砷化镓、磷化铟典型的晶体结构fcc( (Cu) )4(000) (000) )02121()21210()21021(22abcc( (Na) )2(000) (000) )212121(23aCsClCs+ + 1Cl- - 1)212

24、121(000) (000) 23a1288 结构型结构型晶胞中的晶胞中的 原子个数原子个数原子在单胞原子在单胞中的位置中的位置最近邻最近邻距离距离配位数配位数典型的晶体结构结构型结构型晶胞中的晶胞中的 原子个数原子个数原子在单胞原子在单胞中的位置中的位置最近邻最近邻距离距离配位数配位数8( (000) ) )02121()21210()21021(43a)212121(2a4金刚石金刚石)414141()414343()434143()434341(NaClNa+ + 4Cl- - 4( (000) ) )02121()21210()21021()0021()0210()2100(6三.致密

25、度 如果把等体积的硬球防置在晶体结构的如果把等体积的硬球防置在晶体结构的原子位置上，球的体积尽可能大，使最近邻原子位置上，球的体积尽可能大，使最近邻的球相切。一个晶胞中硬球占据的体积和晶的球相切。一个晶胞中硬球占据的体积和晶胞体积之比称为胞体积之比称为致密度致密度. . 例如，晶格常数为例如，晶格常数为a a的面心立方，设原子半径为的面心立方，设原子半径为R R，则，则 晶胞体积为晶胞体积为V=aV=a3 3，晶胞中，晶胞中4 4个原子所占的体积为个原子所占的体积为 所以致密度所以致密度aR24 3362344aRv 62 Vviajaka一一 晶列及晶列指数晶列及晶列指数1.晶列晶列 通过晶

26、格中任意两个格通过晶格中任意两个格点连一条直线称为点连一条直线称为晶列晶列，晶，晶列的取向称为列的取向称为晶向晶向，描写晶，描写晶向的一组数称为向的一组数称为晶列指数晶列指数( (或或晶向指数晶向指数) )。过一格点可以有无数过一格点可以有无数晶列晶列。1.4 1.4 晶列、晶面指数晶列、晶面指数 (3) (3)晶列族中的每一晶列上，晶列族中的每一晶列上， 格点分布都是相同的；格点分布都是相同的； (4) (4)在同一平面内，相邻晶列间的在同一平面内，相邻晶列间的距离相等。距离相等。 (1) (1)平行晶列组成晶列族，晶列平行晶列组成晶列族，晶列族包含所有的格点；族包含所有的格点；(2)(2)

27、晶列上格点分布是周期性的；晶列上格点分布是周期性的；晶列的特点晶列的特点2.晶列指数如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为332211alalalR (1)(1) 用原胞基矢表示用原胞基矢表示 321ll l晶列上格点的周期晶列上格点的周期= =如如121121表示表示1, 2, 1321 lll321aaa, , ,为原胞基矢为原胞基矢如遇到负数，将该数的上面加一横线。 其中其中 为整数，将为整数，将 化为互质的整数化为互质的整数 ， 记为记为 ， 即为该晶列的即为该晶列的晶列指数晶列指数。 321,lll 321,lll321,lll 32

28、1lll321lll?3212aaa (2)(2)以晶胞基矢表示以晶胞基矢表示如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为为晶胞基矢cbacpbnamR, 其中其中 为有理数为有理数, ,将将 化为化为互质的整数 m, ,n, ,p, , 记为记为 mnp ， mnp 即为该即为该晶列晶列的的晶列指数晶列指数. . pnm ,pnm ,abcOABCDE 例例1 1：如图在立方体中，如图在立方体中，D是是BC的中点，求的中点，求BE, ,AD的晶列指数。的晶列指数。kcjbia , iOB ,kjiOE kjOBOEBE 解：解：晶列晶列BE的晶列指

29、数为：的晶列指数为： 011 ,kOA , jiOD21 kjiOAODAD 21AD的晶列指数为的晶列指数为: :abcOABCDE221求求AD的晶列指数。的晶列指数。注意:(1)(1)晶列指数一定是一组互质的整数；晶列指数一定是一组互质的整数；(2)(2)晶列指数用方括号表示晶列指数用方括号表示 ；(3)(3)遇到负数在该数遇到负数在该数上方加一横线。加一横线。晶列晶列(11-1)(11-1)晶列晶列11-111-1晶列晶列(111)(111)晶列晶列111111 (4)(4)等效晶向等效晶向。 在立方体中有，沿立方边的在立方体中有，沿立方边的晶列一共有晶列一共有6个不同的晶向，由于个不

30、同的晶向，由于晶格的对称性，这晶格的对称性，这6个晶向并没有个晶向并没有什么区别，晶体在这些方向上的什么区别，晶体在这些方向上的性质是完全相同的，统称这些方性质是完全相同的，统称这些方向为向为等效晶向等效晶向，写成写成 。 100 001 010 100 010 001 二 晶面及密勒指数 在晶格中，通过任意三个不在同一直线上的格点作一平面，在晶格中，通过任意三个不在同一直线上的格点作一平面，称为晶面，描写晶面方位的一组数称为称为晶面，描写晶面方位的一组数称为晶面指数晶面指数。1.晶面 (1) (1)平行的晶面组成晶面族，晶面族包含所有格点；平行的晶面组成晶面族，晶面族包含所有格点；(3)(3

31、)同一晶面族中的每一晶面上，格点分布同一晶面族中的每一晶面上，格点分布( (情况情况) )相同；相同；(4)(4)同一晶面族中相邻晶面间距相等。同一晶面族中相邻晶面间距相等。(2)(2)晶面上格点分布具有周期性；晶面上格点分布具有周期性；2.晶面指数晶面方位晶面方位晶面的法线方向晶面的法线方向( (法线方向与三个坐标轴夹角法线方向与三个坐标轴夹角) )晶面在三个坐标轴上的截距晶面在三个坐标轴上的截距 设设 的末端上的格点分别在离原点距离的末端上的格点分别在离原点距离h1d、h2d、h3d的晶面上，这里的晶面上，这里 h1、h2、h3为整数，为整数，d为晶面间距。为晶面间距。321,aaa(1)

32、(1)以原胞基矢表示以原胞基矢表示dhnadhnadhna332211 dhnaadhnaadhnaa333222111,cos,cos,cos 332211321:,cos:,cos:,cosahahahnanana 晶体结构已知，晶体结构已知，a1，a2和和a3为已知，这样知道为已知，这样知道h1，h2和和h3就可以确定晶面的法线方向的余弦，因就可以确定晶面的法线方向的余弦，因此可用此可用h1、h2、h3表征晶面的方位。称表征晶面的方位。称h1、h2、h3为晶面指数，记作为晶面指数，记作(h1h2h3 )。可以证明。可以证明h1，h2，h3是互质的。是互质的。 332211321:,cos

33、:,cos:,cosahahahnanana 同一晶面族中的晶面平行且相邻晶面间距相等, ,故故在原点与基矢的末端间一定只有整数个晶面。在原点与基矢的末端间一定只有整数个晶面。 所有格点都包容在一族晶面上；因此给定晶面族；因此给定晶面族中必有一个晶面通过坐标系的原点；在基矢中必有一个晶面通过坐标系的原点；在基矢 末末端上的格点也一定落在该晶面族的晶面上；端上的格点也一定落在该晶面族的晶面上； 321,aaa怎么求得怎么求得h1、h2、h3的数值？的数值？ 设晶面族设晶面族（ h1h2h3 ）中离开原点的距离等于）中离开原点的距离等于 d的的晶面在三个基矢坐标轴上的截距分别为晶面在三个基矢坐标轴

34、上的截距分别为ra1, sa2, ta3，设晶面族设晶面族（ h1h2h3 ）中离开原点的距）中离开原点的距离等于离等于 d的晶面在三个基矢坐标轴上的晶面在三个基矢坐标轴上的截距分别为的截距分别为ra1, sa2, ta3，则有，则有A2A3O O2a3a1aA1N dn dnaatdnaasdnaar ,cos,cos,cos3 33 32 22 21 11 1dnatdnasdnar 321 3 32 21 13 32 21 11 11 11 1tasarananana:,cos:,cos:,cos 又又 332211321:,cos:,cos:,cosahahahnanana tsrhh

35、h1:1:1:321 任一晶面族的面指数，可以由其任一晶面族的面指数，可以由其任一晶面任一晶面在坐在坐标轴上的截距的系数标轴上的截距的系数r，s，t求出。求出。综上所述，晶面指数(h1h2h3 )表示的意义是；(3)(3)晶面的法线与基矢坐标系方向余弦的比值。晶面的法线与基矢坐标系方向余弦的比值。 (2) (2)以以 为各轴的长度单位所求得的晶面在坐标轴为各轴的长度单位所求得的晶面在坐标轴上的截距倒数的互质比；上的截距倒数的互质比；321a,a,a (1) (1)基矢基矢 被平行的晶面等间距的分割成被平行的晶面等间距的分割成h1、h2、h3 等份；等份；321,aaa 以晶胞基矢以晶胞基矢 为

36、坐标轴来表示为坐标轴来表示的晶面指数称为的晶面指数称为密勒指数密勒指数，用，用( (hkl) )表示。表示。cba, 例例2：如图所示如图所示 ，I和和H分别为分别为BC，EF之中点，试求晶面之中点，试求晶面AEG，ABCD，DIHG的密勒指数。的密勒指数。cba AEG ABCD DIHG111 121 hkl在三个坐标在三个坐标轴上的截距轴上的截距abcOABCDEFGHI AEG ABCD DIHG111 121 hkl在三个坐标在三个坐标轴上的截距轴上的截距lkhlkh 1:1:1:1:1:1(hkl)(111)11:1:1 (001) 1:11:21(120)AEG 的密勒指数是的密

37、勒指数是(111)；OEFG的密勒指数是的密勒指数是(001)；DIHG的密勒指数是的密勒指数是(120)。abcOABCDEFGHIABCDcbaEFG例例3: 在立方晶系中画出在立方晶系中画出(210)、 晶面。晶面。)121(晶面在三个坐标轴上的截距分别为：晶面在三个坐标轴上的截距分别为：abc211 (210)121(121 1密勒指数是密勒指数是(210) 的晶面是的晶面是ABCD面面；(121)密勒指数是密勒指数是 的晶面是的晶面是EFG面面；晶面族 同一晶体中面间距相同的晶面族，由于在垂直方同一晶体中面间距相同的晶面族，由于在垂直方向上，晶体的性质是完全相同的，统称他们为向上，晶

38、体的性质是完全相同的，统称他们为同族晶同族晶面族面族，如立方晶系中的晶面族，如立方晶系中的晶面族 111 包括包括 、 、 、 、 、 、 。 )111()111()111()111()111()111()111()111(1.5 1.5 倒格空间倒格空间 X光波长小于晶体中的原子间距，周期性的晶格可作为光波长小于晶体中的原子间距，周期性的晶格可作为衍射光栅。衍射光栅。 P：332211alalalRl 光程差：光程差：)(00SSRSRSROBAOlll 衍射加强：衍射加强： )(0SSRl引入：引入： )(200SSkk 再令：再令： 0hKkk 则衍射极大条件变成：则衍射极大条件变成：

39、2 hlKR称称为为倒倒格格矢矢。称称为为正正格格矢矢，hlKR一 倒格的引入倒格倒格正格（点位）矢：正格（点位）矢：332211alalalRl 321,bbb倒格基矢倒格基矢倒格（点位）矢：倒格（点位）矢：332211bhbhbhKh 晶体结构晶体结构=晶格晶格+基元基元正格基矢正格基矢正格正格 一个晶体结构有两个格子，一个是正格，另一个为一个晶体结构有两个格子，一个是正格，另一个为倒格倒格。321,aaa ijjiba 2)ji( 2 ji 0 2 hlKR倒格基矢可以由正格基矢来构造：倒格基矢可以由正格基矢来构造： 213132321222aabaabaab 其中其中 是正格基矢，是正

40、格基矢，321,aaa ),(321为为整整数数hhh 332211bhbhbhKh 与与 所联系的各点所联系的各点的列阵即为的列阵即为倒格倒格。 321aaa 是固体物理学原胞体积是固体物理学原胞体积倒格原胞体积倒格原胞体积 321*bbb 倒格基矢的方向和长度如何呢？倒格基矢的方向和长度如何呢？132122daab 222db 3b1b2b332db 一个倒格基矢是和正格原胞中一组晶面相对应的，它一个倒格基矢是和正格原胞中一组晶面相对应的，它的方向是该晶面的法线方向，它的大小则为该晶面族面间的方向是该晶面的法线方向，它的大小则为该晶面族面间距倒数的距倒数的2 倍。倍。 2131323212

41、22aabaabaab 1a2a3a1. ijjiba 2)ji( 2 ji 0 aaaba321112 2 aaaba131212 0 二 倒格与正格的关系332211alalalRl 332211bhbhbhKh 2. 2 hlKR( ( 为整数为整数) )3.3. 23* (其中其中 和和 *分别为正、倒格原胞体积分别为正、倒格原胞体积) 321bbb* 21133232aaaaaa CBABCACBA 2113aaaa 1a 21131213aaaaaaaa 13232aaa * 23 4. 4.倒格矢倒格矢 与正格中晶面族与正格中晶面族( (h1h2h3) )正交正交. .33221

42、1hbhbhbhK 设设ABC为晶面族为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面，中离原点最近的晶面，即即 32胞体积之积等于胞体积之积等于正格原胞体积与倒格原正格原胞体积与倒格原 由于基矢由于基矢 被被晶面族晶面族(h1h2h3)等间距的分割成等间距的分割成h1、h2、h3 等份；等份；321,aaaBCO2a3a1aAhK ABC在基矢在基矢 上的上的 截距分别为截距分别为 。321,aaa332211,hahaha由图可知：由图可知：3311hahaOCOACA 3322hahaOCOBCB CAKh3311332211)(hahabhbhbh 22 CBKh 3322332211)(h

43、ahabhbhbh所以所以332211bhbhbhKh 与晶面族与晶面族(h1h2h3)正交。正交。0 0 22 3212hhhd5. 倒格矢倒格矢 的模等于的模等于 。332211hbhbhbhK hhhhhKKhad 11321hKbhbhbhha33221111 hK2 bacacbcba 222在晶胞坐标系在晶胞坐标系 中，中，cba,c)ba( clbkahKlkhBCO2a3a1aAhK晶体结构晶体结构 正格正格 倒格倒格332211alalalRl 1.1.332211bhbhbhKh 1.2.与晶体中原子位置与晶体中原子位置 相对应；相对应；2.与晶体中一族晶面相与晶体中一族晶

44、面相对应；对应；3.是与真实空间相联系的是与真实空间相联系的傅里叶空间中点的周期性傅里叶空间中点的周期性排列；排列；3.是真实空间中点的周是真实空间中点的周期性排列；期性排列；4.线度量纲为线度量纲为长度长度4.线度量纲为线度量纲为长度长度-1已知晶体结构如何求其倒格呢？已知晶体结构如何求其倒格呢？晶体晶体结构结构正格正格332211bhbhbhKh 正格正格基矢基矢321,aaa倒格倒格基矢基矢321,bbb倒格倒格 213132321aabaabaab 222 ijjiba 2)ji ( 2 ji 0aaaaiaa 1jaa 2jaaiaa 21 ijjiba 2)ji ( 2)(0ji

45、例例1 1：下图是一个二维晶体结构图，试画出其倒格点的排列。：下图是一个二维晶体结构图，试画出其倒格点的排列。022111 baba202212 babajabiab2221 ijjiba 2)ji ( 2)(0ji jaaiaa 21a2a22211bhbhKh 倒格是边长为的正方形格子。倒格是边长为的正方形格子。a2例例2 2：证明体心立方的倒格是面心立方。：证明体心立方的倒格是面心立方。解：解： 体心立方的原胞基矢：体心立方的原胞基矢： kjiaakjiaakjiaa 222321 332121aaaa 22222232aaaaaakjiaa 222222222222aaaakaaaaj

46、aaaai kaja2222 213132321222aabaabaab 3212aabkajaaa222232 332121aaaa kjakjaa 222223 jiab 23 kiab 22倒格基矢：倒格基矢： jiab 23 kjab 21 kiab 22同理得：同理得：边长为边长为a的的体心立方的倒格是边长为体心立方的倒格是边长为4 4 / /a的的面心立方面心立方 。例例3 3：证明简立方晶面：证明简立方晶面( (h1 1h2 2h3 3) )的面间距为的面间距为232221321hhhadhhh 证明：证明：3212hhhhdK 由由得：得：3213212hhhhhhKd 简立方

47、：简立方：,321kaajaaiaa iaaab22321 jaaab22132 kaaab22213 法一：法一：iab21 jab22 kab23 3 33 32 21 1a aa aa aa a 232221hhha 3213212hhhhhhKd 2322212321hhhaKhhh 332211321bhbhbhKhhh khjhiha3212 iab21 jab22 kab23 法二：法二：设设ABC为晶面族为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面，中离原点最近的晶面，ABC在基矢在基矢 上的截距分别为上的截距分别为 ，321,aaa332211,hahahadnX 由平面方程由

48、平面方程 得：得： dnhadnhadnha3 33 32 22 21 11 1 dhnaadhnaadhnaa333222111,cos,cos,cos dahnadahnadahna333222111,cos,cos,cos 对于简单立方：对于简单立方：aaaa 321321aaa 且：且： dhnaadhnaadhnaa333222111,cos,cos,cos 1,cos,cos,cos322212 nanana12232222212 ahahahd232221321hhhadhhh 第一次第一次 作作 业业 习题习题1：(1)(2)(4)(5) 习题习题5：证明在立方晶系中晶列：证明

49、在立方晶系中晶列hkl与晶面与晶面(hkl)正交。正交。 习题习题7：面心立方的倒格是体心立方。：面心立方的倒格是体心立方。一 对称性与对称操作对称操作所依赖的对称操作所依赖的几何要素。1.对称操作与线性变换),(321xxxX 经过某一对称操作，把晶体中任一点经过某一对称操作，把晶体中任一点 变为变为 可以用线性变换来表示。可以用线性变换来表示。 ),(321xxxX1.6 晶体的对称性对称性：对称性：经过某种动作后，晶体能够自身重合的特性。经过某种动作后，晶体能够自身重合的特性。对称操作：对称操作：使晶体自身重合的动作。使晶体自身重合的动作。对称素：对称素： 321xxxX 321xxxX

50、 333231232221131211aaaaaaaaaA),(321xxxX),(321xxxX Ox1 1x3 3x2 2AXX 2.简单对称操作(旋转对称、中心反映、镜象、旋转反演对称)(1)(1)转动转动( (Cn, ,对称素为线对称素为线) ) 若晶体绕某一固定轴转若晶体绕某一固定轴转 以后自身重合，则此轴称为以后自身重合，则此轴称为n次次( (度度) )旋转对称轴。旋转对称轴。n2下面我们计算与转动对应的变换矩阵。下面我们计算与转动对应的变换矩阵。 当当OX绕绕Ox1转动角度转动角度 时，图中时，图中),(321xxxX),(321xxxX 若若OX在在Ox2x3平面上投影的长度为

51、平面上投影的长度为R，则则11xx cos2Rx sinsincoscosRR sincos32xx sin3Rx sincoscossinRR cossin32xx ),(321xxxX),(321xxxX Ox1x3x2 321321cossin0sincos0001xxxxxx cossin0sincos0001A1 A 晶体中允许有几度旋转对称轴呢晶体中允许有几度旋转对称轴呢? 设设AB为晶体中某一晶列上为晶体中某一晶列上O点最近邻的两个格点。绕过点最近邻的两个格点。绕过O点点垂直纸面的轴逆时针转动垂直纸面的轴逆时针转动 角，角，B格点转到格点转到B，若此时晶格自身重，若此时晶格自身重

52、合，则合，则B除原来必有一格点。除原来必有一格点。 AB ABO 若再绕若再绕O点的转轴顺时针转点的转轴顺时针转 角角后，晶格又回复到非转动的状态，后，晶格又回复到非转动的状态， 但但A格点转到格点转到A,因此因此A处原来必有处原来必有一个点。由图可知，一个点。由图可知，AB/AB，平，平行的晶列具有相同的周期，设为行的晶列具有相同的周期，设为a,则则为整数。为整数。其中其中mcos2BA, ,maa 12cos m AB ABO1,21, 0cos .2 ,;35,34,32,323,2 ;2 ,32,2,3 12,22,32,42,62 643212, , , , ,n,n晶体中允许的旋转

53、对称轴只能是晶体中允许的旋转对称轴只能是1，2，3，4，6度轴。度轴。综合上述证明得：综合上述证明得：12346 正五边形沿竖直轴每旋转正五边形沿竖直轴每旋转720恢恢复原状，但它不能重复排列充满一个复原状，但它不能重复排列充满一个平面而不出现空隙。因此晶体的旋转平面而不出现空隙。因此晶体的旋转对称轴中不存在五次轴，只有对称轴中不存在五次轴，只有1，2，3，4，6度度旋转对称轴旋转对称轴。(2)(2)中心反演中心反演( (i，对称素为点，对称素为点) ) 取中心为原点，经过中心反映后，图形中任一点取中心为原点，经过中心反映后，图形中任一点),(321xxx),(321xxx 变为变为 3213

54、21xxxxxx 100010001A1 A(3)镜象镜象(m，对称素为面，对称素为面)如以如以x1= =0面作为对称面，镜象是将图形的任何一点面作为对称面，镜象是将图形的任何一点),(321xxx),(321xxx 变为变为 100010001A1 A 321321xxxxxx(4)(4)旋转旋转-反演对称反演对称 若晶体绕某一固定轴转若晶体绕某一固定轴转 以后，以后，再经过中心反演, ,晶体自晶体自身重合，则此轴称为身重合，则此轴称为n次(度)旋转-反演对称轴。n2 旋转-反演对称轴只能有1，2，3，4，6度轴。6, 4, 3, 2, 1旋转旋转-反演对称轴用反演对称轴用 表示。表示。旋转

55、旋转-反演对称轴并反演对称轴并不都是独立的基本对称素。如：独立的基本对称素。如：12i1123456i 3312m21 ABDCEFGH正四面体既无四正四面体既无四度轴也无对称心度轴也无对称心6=3+m12345661 2 3 4 5 123443 1 4 2 CADGFHEB1 1，2 2，3 3，4 4，6 6 度旋转对称操作。度旋转对称操作。 1 1，2 2，3 3，4 4，6 6度旋转反演对称操作。度旋转反演对称操作。(3)(3)中心反映：中心反映：i。(4)(4)镜象反映：镜象反映：m。 C1，C2，C3，C4，C6 （用熊夫利符号表示）（用熊夫利符号表示）S1，S2，S3，S4，S

56、6（用熊夫利符号表示）（用熊夫利符号表示）对称操作：对称操作：(2)(2)旋转反演对称操作：旋转反演对称操作：(1)(1)旋转对称操作：旋转对称操作： 独立的对称操作有8种, ,即即1 1，2 2，3 3，4 4，6 6，i i，m m， 。 或或C1，C2，C3，C4，C6 ，Ci，Cs，S4。 4 所有点对称操作都可由这所有点对称操作都可由这8种操作或它们的组合来完成。种操作或它们的组合来完成。一个晶体的全部对称操作构成一个群，每个操作都是群的一个，每个操作都是群的一个元素。对称性不同的晶体属于不同的群。由旋转、中心反演、元素。对称性不同的晶体属于不同的群。由旋转、中心反演、镜象和旋转镜象

57、和旋转-反演点对称操作构成的群，称作点群。反演点对称操作构成的群，称作点群。 理论证明，所有理论证明，所有晶体只有32种点群，即只有，即只有32种不同的点对种不同的点对称操作类型。这种对称性在宏观上表现为晶体外形的对称及物理称操作类型。这种对称性在宏观上表现为晶体外形的对称及物理性质在不同方向上的对称性。所以又称宏观对称性。性质在不同方向上的对称性。所以又称宏观对称性。 点对称操作加上平移操作构成空间群。全部晶体共有点对称操作加上平移操作构成空间群。全部晶体共有230种空间群，即有种空间群，即有230种对称类型。种对称类型。立方体对称性立方体对称性 Oh点群点群(1)(1)立方轴立方轴C4：3

58、 3个立方轴；个立方轴；4个个3度轴；度轴；(2)体对角线体对角线C3：(3)面对角线面对角线C2：6个个2度轴；度轴；,23,2933 34,32824 1度轴度轴 4821689 对称心，中心反演对称心，中心反演 与与4 4度轴正交的对称面度轴正交的对称面与与2 2度轴正交的对称面度轴正交的对称面 根据不同的根据不同的点对称性，将晶体分为，将晶体分为7大晶系，14种布喇菲格子。abc 晶胞基矢的模晶胞基矢的模晶格常数：晶格常数：a，b，c1.7 晶体结构的分类baaccb与与与与与与,cba,为晶胞三个基矢，为晶胞三个基矢， 分别为分别为取取间的夹角。间的夹角。 ,7大晶系的特征及布喇菲格

59、子如下所述：大晶系的特征及布喇菲格子如下所述：1.1.三斜晶系：三斜晶系： , cba 090cba2.2.单斜晶系：单斜晶系：3.3.三角晶系：三角晶系：0012090 cba简单三斜简单三斜( (1) )简单单斜简单单斜( (2) ) 底心单斜底心单斜( (3) )三角三角( (4) )4.4.正交晶系：正交晶系：090 cba简单正交简单正交( (5) )，底心正交，底心正交( (6) )体心正交体心正交( (7) )，面心正交，面心正交( (8) )5.5.四方系：四方系：090 cba简单四方简单四方( (9) )，体心四方，体心四方( (10) )6.6.六角晶系：六角晶系：001

60、2090 cba六角六角( (11) )7.7.立方晶系：立方晶系：090 cba简立方简立方( (12) )，体心立方，体心立方( (13) )，面心立方面心立方( (14) )简单三斜简单三斜( (1) ) 090, cba简单单斜简单单斜( (2) )底心单斜底心单斜(3)1.1.三斜晶系：三斜晶系： 2.2.单斜晶系：单斜晶系： ,cba3.3.三角晶系：三角晶系：三角三角( (4) )0012090 cba4.4.正交晶系：正交晶系：090 ,cba简单正交简单正交( (5) )底心正交底心正交( (6) )体心正交体心正交( (7) )面心正交面心正交( (8) )5.5.四方系：