大学物理与实验(I)守恒定律

1、4-1 动量守恒定律动量守恒定律4-2 质点质点动量矩动量矩( (角动量角动量) )守恒守恒定律定律4-3 机械能机械能守恒定律守恒定律4-4 碰撞碰撞-守恒定律应用守恒定律应用第四章第四章 守恒定律守恒定律4-1-1 冲量与动量定理冲量与动量定理力对时间的累积效应。力对时间的累积效应。 dtFId21ttdtFI一一.力的冲量：力的冲量：4-1 动量守恒定律动量守恒定律二二.动量定理：动量定理：1221vmvmdtFtt由由Fdtpd 得得pddtF上式积分上式积分12ppI2121ppttpddtF得：得：或或合外力对质点的冲量合外力对质点的冲量=质点动量的增量。质点动量的增量。-动量定理

2、的微分形式动量定理的微分形式讨论：讨论：逆风行舟：逆风行舟： 与与 的改变量相联系，的改变量相联系， 而不是而不是 本身。本身。Ipp航向航向风风 F变时，变时，I一般不与其方向相同。一般不与其方向相同。11tF22tF nntF 211ttniiidtFtFI12vmvmkIjIiIIzyxjvjvivmkvjvivmzyxzyx111222或：或： yyyxxxppIppI1212 某一方向上的冲量只能改变该方向上的某一方向上的冲量只能改变该方向上的动量。动量。 分量式：分量式：yyttyxxttxmvmvdtFmvmvdtF12122121形式形式不变性不变性1221vmvmdtFtt地

3、面为参照系：地面为参照系：u)()(uvmuvmdtFtt1221汽车为参照系：汽车为参照系：12vmvm对不同惯性系，动量不同，但动量定理形对不同惯性系，动量不同，但动量定理形式不变。式不变。1vF2vF三三.应用应用（1）求碰撞或冲击问题中变力的均值。）求碰撞或冲击问题中变力的均值。F21ttdttFI)()(12ttF1t2t（2）合理利用或减小冲力。）合理利用或减小冲力。tF4-1-2 质点系的动量定理质点系的动量定理 动量守恒定律动量守恒定律一、质点系的动量定理一、质点系的动量定理质点系质点系m1m2内力内力外力外力1f2f1F2F作用时间作用时间tt0速度变化速度变化110vv22

4、0vv010iiiiiittiivmvmdtFI 合外力的冲量合外力的冲量= 质点系动量的增量，质点系动量的增量，与内力无关。与内力无关。由质点的动量定理：由质点的动量定理：对对m1：对对m2：101111100vmvmdtfdtFtttt 202222200vmvmdtfdtFtttt 对所有质点求和，且对所有质点求和，且 iif0得：得：二、动量守恒定律二、动量守恒定律0 iiF则则.tantconsvmPiii运动过程中运动过程中,质点系所受合外力质点系所受合外力处处处处为零，为零，系统动量守恒。系统动量守恒。内力不会影响系统总动量，但可使动量在内力不会影响系统总动量，但可使动量在质点间

5、转移。质点间转移。讨论：讨论：若若分量式：分量式：ixiivm（当（当0iixF时）时）恒量恒量iyiivm（当（当0iiyF时）时）iziivm（当（当0iizF时）时）恒量恒量恒量恒量 系统在某一方向上合外力为零时，此方系统在某一方向上合外力为零时，此方向上动量守恒。向上动量守恒。而此时总动量不一定守恒。而此时总动量不一定守恒。例例RvMmV 1/4圆弧圆弧槽质量为槽质量为M，置于光滑水置于光滑水平面上，平面上，m自自其顶点由静止其顶点由静止滑下，求滑下，求m滑滑到底时到底时M移动移动的距离。的距离。解解取取M+m为一系统，水平方向动量守恒，为一系统，水平方向动量守恒，MVVvmx )(0

6、dtVMdtVvmttx 00)(dtVSdtvRtMtx 00,RMmmSM问题：此距离与弧形槽光滑是否有关？问题：此距离与弧形槽光滑是否有关？三、火箭飞行原理三、火箭飞行原理 -靠喷射气体时的持续反冲来推动前进。靠喷射气体时的持续反冲来推动前进。之后之后dt内，喷出内，喷出dm , dm相对火箭速度为相对火箭速度为u ，dmuMv+dvv则在则在t+dt时刻，火箭质量时刻，火箭质量dMM t 时刻，火箭质量时刻，火箭质量M，速度，速度vdvv速度速度火箭火箭+喷射的气体的总动量守恒，喷射的气体的总动量守恒， MvdmuvdvvdMM dMdm0udMMdvMdMudv2112vvdvvv2

7、121MMuMdMuMMln四、变质量物体的运动四、变质量物体的运动(视为质点系视为质点系)。则则dtFdmuvmvdvdmm)()(Fudtdmvmdtd)(变质量物体的变质量物体的动力学方程动力学方程方程方程 设某物体在设某物体在 t 时刻：时刻： m 、 另一质量元：另一质量元： dm 、vu在在t+dt 时刻：时刻： dm与与 m 合并，合并，有有vdv作用，作用，F且在且在tt+dt内，有内，有(略去二次小量) 例例 一辆装煤车以一辆装煤车以v =3m/s的速率从煤斗下面的速率从煤斗下面通过，每秒落入车厢的煤为：通过，每秒落入车厢的煤为： m =500kg。若使车厢的速率保持不变，应

8、用多大的力拉若使车厢的速率保持不变，应用多大的力拉车厢？车厢？mdmxvF解：解： 设设 m为为 t时刻车与时刻车与车内煤的总质量。车内煤的总质量。 dm为为 dt 时间内落时间内落 入车厢内的煤。入车厢内的煤。t时刻时刻,系统水平总动量：系统水平总动量： mvdmmv 0t+dt时刻时刻,系统水平总动量：系统水平总动量：vdmmv由动量定理：由动量定理：Fdtvdmmvvdmm)()(105 . 13NF dtdmvF2) 21 (ts例例 质量质量 m=1kg 的小球作半径的小球作半径R=2m 的的圆周运动，运动方程为圆周运动，运动方程为 (自然自然坐标坐标)，求小球从，求小球从 到到 所

9、受所受外力冲量大小和方向外力冲量大小和方向s21ts22t解：解：O设设P为计时起点为计时起点s21t时时m1ss22t时时m22s圆周周长圆周周长RL24ABABP小球速度小球速度dtdsv tsm2Avsm2BvAAmvp smkg2BBmvp smkg2OABAvmBvmABttvmvmI21AvmBvm21ttI方向如图方向如图2)21 (ts22)()(21BAttmvmvIsmkg6AvmBvm21ttI方向方向ABmvmvtg4454o22解：解：由冲量定义有由冲量定义有20dtfI2023)2(210dtktjti t例例一质点受合外力作用，外力为一质点受合外力作用，外力为kt

10、jti tf23)2(210求此质点从静止开始在求此质点从静止开始在2s内所受合外力内所受合外力的冲量和质点在的冲量和质点在2s末的动量末的动量(SI)20202203)2( 210kdttjdttitdtsN8420kji根据动量定理根据动量定理0221ppIttt2tpsN84202kjiptsN8420kjiI解：解：mMvVXx 水平方向上车和人系统动量守恒水平方向上车和人系统动量守恒例例质量为质量为m的人由小车一端走向另一端的人由小车一端走向另一端，小车质量为，小车质量为M、长为、长为 l ，求人和车各，求人和车各移动了多少距离移动了多少距离?(不计摩擦不计摩擦)设车和人相对地面速设

11、车和人相对地面速度分别为度分别为 和和Vv0vmVM即即vMmV设人在时间设人在时间 t 内走到另一端内走到另一端tdtvl0tvdtMmM0 xMmMlmMMxxlXlmMmMvVXx 人相对于车的速度为人相对于车的速度为VvvvMmMvMmV1a1F2F2a12f21f1r2r1m2mO设设 m1：外力：外力 , 内力内力1F12f11121amfF有有22212amfF相加得相加得221121amamFFm2：外力：外力 , 内力内力21f2F一一.质心质心4-1-3质心、质心运动定理质心、质心运动定理F对对n个质点的系统有个质点的系统有nFFF21nnamamam2211iiiiiam

12、F-系统的动力学方程系统的动力学方程即即22dtrdaiiiiiiidtrdmF22iiirmdtd22设设mrmdtdmFiiiii22nmmmm21有有iim其中其中mrmriiicnnnmmmrmrmrm212211-质心质心22dtrdmciiiiirmdtdF22F质量连续分布时质量连续分布时dmrmrc1F在直角坐标系中有在直角坐标系中有mxmxiiicmymyiiicmzmziiicmxdmxc或或mydmycmzdmzcmrmriiiczyxO2r1rirCr例例证明一匀质杆的质心位置证明一匀质杆的质心位置C在杆的中在杆的中点点xO2l2ldmdxx解：解： 设杆长为设杆长为l

13、，质量为，质量为m，单位长度质，单位长度质量为量为建立如图的坐标系建立如图的坐标系dxdmdxlm取线元取线元dx质量质量lCxdmmx1xdxlmmll2210dxlmdm xOldmdxx得证得证xdxlmmxlC012l或或xO2l2ldmdxx例例一半圆形均匀铁丝，半一半圆形均匀铁丝，半径为径为R，求其质心位置，求其质心位置RxyOddl解：解： 建立如图的坐标系建立如图的坐标系任取一小段铁丝任取一小段铁丝dl，质量，质量dldm由对称性知质心在由对称性知质心在y轴上轴上mydmyCmdlysinRy Rddl RRdRyC0sinRmR2质心不在铁丝上，但相对于铁丝的位置质心不在铁丝

14、上，但相对于铁丝的位置是确定的是确定的RxyOddlmdlyyC例例一半径为一半径为R的匀质圆盘，开了一半径的匀质圆盘，开了一半径为为r 的圆孔，两圆中心的圆孔，两圆中心0、0相距为相距为d，求，求其质心其质心解：解： 建立如图的坐标系建立如图的坐标系21Rm大盘质心坐标：大盘质心坐标：01xxROrOO等效为质量面密度为等效为质量面密度为的无孔大盘和质量面密度的无孔大盘和质量面密度为为 的小盘组合而成的小盘组合而成大盘：大盘：22rm小盘质心坐标：小盘质心坐标：dx 22222)(0)(rRdrRxC222rRdrmxmxiiic小盘：小盘：xROrOO dtrdvccmdtrdmiiimv

15、miiidtvdaccmamiiimrmriic二二.质心运动定理质心运动定理cam22dtrdmFcii22dtrdmFcii22dtrdc在直角坐标系中在直角坐标系中cxiixmaF cyiiymaF cziizmaF ciiamF(1)质心运动遵循与牛二定律相同的规律质心运动遵循与牛二定律相同的规律讨论讨论(2)质心为质点系的代表点，其上集中了质心为质点系的代表点，其上集中了系统的全部质量和合外力系统的全部质量和合外力ciiamFdtvdacc00iiF(3)当当时时即即cv常矢量常矢量ciiivmvm=常矢量常矢量-系统动量守恒定律系统动量守恒定律mvmviiic(4)系统内力不改变质

16、心的运动系统内力不改变质心的运动(5)质心和重心是两个不同的概念质心和重心是两个不同的概念例例水平桌面上有一张纸，纸上放一均水平桌面上有一张纸，纸上放一均匀球，球的质量为匀球，球的质量为M=0.3kg。将纸向右。将纸向右拉时有拉时有f =0.1N的摩擦力作用在球上。求的摩擦力作用在球上。求该球球心加速度和从静止开始的该球球心加速度和从静止开始的2秒内，秒内，球心相对桌面移动的距离球心相对桌面移动的距离fCCa解：解：质心：球心质心：球心水平方向只受摩水平方向只受摩擦力作用擦力作用根据质心运动定律有根据质心运动定律有CMaf MfaC5 . 01 . 02sm2 . 0开始开始2秒内球心运动的距

17、离为秒内球心运动的距离为221tasCC222 . 021m4 . 0fCCa一一. 质点的动量矩（角动量）质点的动量矩（角动量）vmrLpr 一质点质量一质点质量m，以，以 在空间运动，若某在空间运动，若某时刻相对空间某点时刻相对空间某点 O 的位矢为的位矢为 ，则定义，则定义此质点相对于此质点相对于 O 的动量矩：的动量矩：vrmo vr大小：大小：sinrmvL 方向：右手法则判定。方向：右手法则判定。4-2质点的动量矩（角动量）及其守恒质点的动量矩（角动量）及其守恒定律定律定义定义: 作用在质点上的力作用在质点上的力 相对参考点相对参考点O的力矩，的力矩，FFrM 大小：大小： sin

18、rFM 方向：右手定则。方向：右手定则。Fmo r二二. 质点的动量矩守恒定律质点的动量矩守恒定律1.动量矩定理动量矩定理)(prdtddtLd dtpdrpdtrd vmrLpr 将将对对 t 求导，求导，vdtrdFdtpd)(vmvpv0 MdtLd 作用于质点的作用于质点的F对对O点的点的 =质点对质点对O的的 随随 t 的变化率。的变化率。MLL常矢量常矢量2. 动量矩守恒定律动量矩守恒定律当当时，时，0MmvOO讨论讨论: :(1)动量矩是相对于参考动量矩是相对于参考点而言的点而言的vmrLvmrL r对对O对对OLrmvL方向垂直向上不变方向垂直向上不变 L大小大小大小大小mvr

19、L方向不断变化方向不断变化sinrmv r(2)合力矩在某转轴上的分量为零时，质点系合力矩在某转轴上的分量为零时，质点系绕该轴的动量矩守恒绕该轴的动量矩守恒(3)课堂练习：试分析小球的受力；对课堂练习：试分析小球的受力；对O点的点的动量矩、力矩。动量矩、力矩。ogmNTorv例例证明：一个不受外力作用的运动质证明：一个不受外力作用的运动质点，对任一固定点的动量矩保持不变点，对任一固定点的动量矩保持不变解：解：质点作匀速直质点作匀速直线运动线运动设质点的质量为设质点的质量为m，运动速度为运动速度为vvmvmvmOrr r相对于相对于0vmrLvmr=常矢量常矢量大小大小方向方向mvrL三三. 质

20、点在有心力场中的运动质点在有心力场中的运动 有心力有心力：质点所受力始终指向某一固定：质点所受力始终指向某一固定点（力心），且力的大小只与质点到该点的点（力心），且力的大小只与质点到该点的距离有关。距离有关。质点在有心力作用下运动，质点在有心力作用下运动，其动量矩守恒。其动量矩守恒。frF力的作用线始终通过一点力的作用线始终通过一点( (力心力心) )-对力心的力矩为零对力心的力矩为零四四.质点系的动量矩守恒定律质点系的动量矩守恒定律iLL iipr 内内外外iiiFFdtpd dtLddtLdi dtprdii)( )(内内外外iiiFFr 外外内内MM dtLdM 外外-质点系的动量矩定理

21、质点系的动量矩定理内力矩两两相消，即内力矩两两相消，即0 内内M-动量矩守恒定律动量矩守恒定律当当 时，时，0 外外M0 dtLdL=常矢量常矢量4-3-1 功功一一. .功：力在位移方向上的分量与位功：力在位移方向上的分量与位移大小的乘积移大小的乘积abFrdFdA cos rdF -元功元功rd2r1r0或或dsFdA cos badAA由由ab： bardF4-3 机械能守恒定律机械能守恒定律直角系中直角系中 bardFA)(dzFdyFdxFzybax 二二.功率功率单位时间内力的功单位时间内力的功tAPt0limdtrdF dtdA vF 三三. 作用力和反作用力的功作用力和反作用力

22、的功1m2m1r2r12f21f1rd2rd1rd2rd rdxyzO12rdrdrd 1121rdfdA 2212rdfdA 21dAdAdA 21rdf )(1221rdrdf -只与只与相对位移相对位移有关有关与参考点的选择无关与参考点的选择无关4-3-2 动能定理动能定理rdF rdam rdma cos atanardmat rddtdvm mvdv 一一.质点的动能定理质点的动能定理ab222121abmvmv bardFA bavvmvdvFrd 合外力对物体的功合外力对物体的功 = 物体动能的增量物体动能的增量221mvEk -动能定理动能定理定义：定义：-动能动能kakbEE

23、A 二二.质点系的动能定理质点系的动能定理1a1b1m2a2b2m12f21f1F2F由质点动能定理由质点动能定理 1111211)(bardfFA11kakbEE 2221222)(bardfFA22kakbEE 对对m1对对m2两式相加两式相加 221122112211122211babababardfrdfrdFrdF)()(2121kakakbkbEEEE )()(2121kakakbkbEEEEAA 内内外外kakbEE 所有外力和内力对质点系作功之和=质点系总动能的增量-质点系动能定理kakbEEAA 内内外外推广到n个质点的质点系例例细绳一端拴质量细绳一端拴质量m小球小球,另一端

24、穿过水平桌面上另一端穿过水平桌面上的小孔的小孔O。先使小球在桌面上以。先使小球在桌面上以v1沿半径为沿半径为r1的圆的圆周匀速转动，然后非常缓慢地将绳向下拉，使半周匀速转动，然后非常缓慢地将绳向下拉，使半径减小到径减小到r2。设小球与桌面的摩擦不计，求此时小。设小球与桌面的摩擦不计，求此时小球的速度以及拉力球的速度以及拉力T 对小球所作的功对小球所作的功O1r2rTv1解：质点受到的所有力对解：质点受到的所有力对O O的力矩之和的力矩之和=0=0质点对质点对O点的角动量守恒：点的角动量守恒：2211vmrvmr 因缓慢拉绳，可忽略球沿绳方向速度因缓慢拉绳，可忽略球沿绳方向速度2211mvrmv

25、r 2112rrvv 21222121mvmvA 1)(2122121 rrmvO1r2rTv1例例质点质点m系在一端固定的绳子上，在粗糙水平面系在一端固定的绳子上，在粗糙水平面上做半径为上做半径为R的圆周运动。当它运动一周时，速的圆周运动。当它运动一周时，速率率vo vo/2。求。求:(1)摩擦力的功摩擦力的功;(2)滑动摩擦系滑动摩擦系数数;(3)静止前质点运动了多少圈静止前质点运动了多少圈?解：解：2022121mvmvA 202021)2(21mvvm 2083mv mgf 与运动方向相反与运动方向相反ARmg 2 2083mv 得得Rgv 16320 设运动了设运动了n 圈圈Rnmg

26、An 2 由动能定理：由动能定理：202102mvRmgn 得得34n(圈圈) 4-3-3 保守力保守力 势能势能 一一.保守力保守力F保守力：保守力：作功只与物体始末位置有关作功只与物体始末位置有关，而与运而与运动路经无关的力动路经无关的力保守力保守力沿任一闭合路径沿任一闭合路径 l0 lrdF保守力作功，可引入保守力作功，可引入势能势能描述描述反之为非保守力反之为非保守力(1)重力势能重力势能gmP 二二.势能势能jmgP 重力重力xyOabrdPrdPdA cosrdmg mgdy 或或)(bayymg bayyabmgdyA定义定义mgyEp -重力势能重力势能则则pbpaabEEA

27、-重力作功重力作功=重力势能的减少重力势能的减少则则 00ayamgdyAamgy apamgyE 0aA 重力势能零点选择可任意。重力势能零点选择可任意。若若0 by a a点重力势能点重力势能=将将m由由a a移至移至零势能点零势能点时重力时重力所作的功所作的功(2)弹性势能弹性势能0 xmFkxF 弹性力弹性力rdFdA kxdx axabxb baxxabkxdxA222121bakxkx 定义定义:-弹性势能弹性势能则则pbpaabEEA F弹性势能零点：弹簧原弹性势能零点：弹簧原长长(x=0)221kxEp (3)引力势能引力势能rrmmGF221 万有引力：万有引力：Mabarb

28、rrrdrmdrFrdrdFdA )cos(2 rdrGmM drrGmM2 barrabrdrGmMA2)11(barrGmM 定义定义:rmMGEp 若若braAarGmM F引力势能零点：无穷远处引力势能零点：无穷远处( (r ) )-引力势能引力势能则则pbpaabEEA paE 势能只有相对意义，势能之差有绝对意义。势能只有相对意义，势能之差有绝对意义。说明：说明：只有保守力才能引入势能的概念。只有保守力才能引入势能的概念。保守力的功保守力的功=系统势能增量的负值，系统势能增量的负值，)12ppEEA （保保pE 势能为系统拥有势能为系统拥有重力重力弹性力弹性力万有引力万有引力保守内

29、力保守内力两物体间的摩擦力两物体间的摩擦力-非保守内力非保守内力4-3-4 功能原理功能原理 机械能守恒机械能守恒系统的动能定理系统的动能定理kakbEEAA 内内外外内力内力=保守内力保守内力+非保守内力非保守内力非非内内保保内内内内AAA pEA 保保内内)()(pakapbkbEEEEAA 非非内内外外)(papbEE pkEEE 其中其中-系统机械能系统机械能F系统外力作功系统外力作功+非保守内力作功非保守内力作功=系统机械系统机械能的增量能的增量abEEAA 非非内内外外-系统的功能原理系统的功能原理-机械能守恒定律机械能守恒定律当当0 非非内内外外AA有有常量常量 abEE例例如图

30、，质量为如图，质量为m的木块与弹性系数为的木块与弹性系数为k的轻弹簧的轻弹簧碰撞，将弹簧压缩了碰撞，将弹簧压缩了x米。设木块与斜面之间的摩米。设木块与斜面之间的摩擦系数为擦系数为，问开始碰弹簧时木块的，问开始碰弹簧时木块的v有多大有多大?vx1h2hNgmfkf解：解：设碰弹簧时及压设碰弹簧时及压缩最大时木块高度分缩最大时木块高度分别为别为h1、h2木块木块+ +弹簧弹簧+ +地球地球= = 质点系质点系xmg cos)21()211222mghmvkxmgh （mhhmgmgxkxv)(2cos2122 mmgxmgxkx sin2cos22 )()1122pkpkEEEEA （非非保保例例

31、质量为质量为m1，m2 (m2m1)的两的两木板木板A、B用轻弹簧连在一起，用轻弹簧连在一起，如图。问如图。问:(1)至少需用多大的压至少需用多大的压力力F加于上板，才能在该力撤去加于上板，才能在该力撤去后，恰好使后，恰好使m2离开地面离开地面? (2)如如m1，m2交换位置，结果如何交换位置，结果如何?1m2mF1x2x解：解： 设加设加F后弹簧比原长缩短后弹簧比原长缩短 , F撤去后弹簧伸长撤去后弹簧伸长 恰使恰使m2提起提起1x2xkgmFx11 kgmx22 11xkgmF 22xkgm 则则2m(刚离地条件)取最低点为重力势能零点取最低点为重力势能零点,原长为弹性势能零点原长为弹性势

32、能零点机械能守恒机械能守恒21)(21xk )()(2121122xxgmxk 木块木块+ +弹簧弹簧+ +地球地球 = = 质点系质点系解得解得gmmF)(21 m1，m2交换位置，结果不变交换位置，结果不变例 一颗5t重的陨石从天外落到地球上.问:陨石和地球间的引力做多少功?(re=6.4x106m, Me=6x1021t)解: 陨石从天外落到地球上:引力做功=势能增量的负值(保守力)ppeeEEArmMGrmMGeeermMGrmMGeeeeermMG)(101 . 311J例求人造卫星绕地球圆周运动和脱离地球引力所需要的最小发射速度(忽略大气阻力)。解：解：系统机械能守恒系统机械能守恒hRmMGmvRmMGmv地地2202121hRvmhRmMG22)(地又又vmR地Mh可得可得)2(0hRRRGMv地2RGMg地)2(hRRgR-第一宇宙速度第一宇宙速度：发射卫星所需：发射卫星所需的最小速度的最小速度当当RhgRv 0m1037. 66R13sm109 . 7当当hgRv2013