2026高考数学一轮复习-10.3二项式定理【课件】

第3节二项式定理[课程标准要求]1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.积累·必备知识01回顾教材,夯实四基1.二项式定理(1)二项式定理:(a+b)n=

(n∈N*).(2)二项展开式的通项:Tk+1=

,它表示通项为展开式的第

项.k+1(3)二项式系数:二项展开式中各项的系数(k=0,1,2,…,n).二项展开式形式上的特点(1)项数为n+1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到零;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增1直到n.2.二项式系数的性质递增递减3.杨辉三角下面的数表称为杨辉三角:其中第n行是

.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).×(1)

an-kbk是(a+b)n的展开式中的第k项.(

)(2)(a+b)n的展开式中各项的二项式系数与a,b无关.(

)√(3)通项公式Tk+1=

an-kbk中的a和b不能互换.(

)√(4)(a+b)n某项的系数是该项中非字母部分,包括符号等,与该项的二项式系数一般是不同的.(

)√2.(选择性必修第三册P30例2改编)在(-x)4的展开式中,x2的系数为(

)A.-1 B.1 C.-4 D.4√3.(2022·北京卷)若(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a0+a2+a4等于(

)A.40 B.41 C.-40 D.-41√解析:法一(赋值法)依题意,令x=1,可得1=a4+a3+a2+a1+a0,令x=-1,可得81=a4-a3+a2-a1+a0,以上两式相加可得82=2(a4+a2+a0),所以a0+a2+a4=41.故选B.法二(通项公式法)二项式(2x-1)4的通项为Tr+1=(2x)4-r(-1)r,令r=4,2,0,可分别得a0=1,a2=24,a4=16,所以a0+a2+a4=41.故选B.4.若(x+

)n的展开式中二项式系数之和为64,则展开式的常数项为

.

20解析:因为二项式系数之和2n=64,所以n=6,02提升·关键能力类分考点,落实四翼考点一求二项展开式中的特定项或特定项系数[例1](1)(2024·湖北孝感模拟)若()n的展开式中项的次数为整数的有且仅有5项,则其常数项为(

)A.第8项 B.第7项

C.第6项 D.第5项√(2)(2024·福建厦门模拟)(ax+y)5的展开式中x2y3项的系数等于80,则实数a等于(

)A.2 B.±2√(1)第m项:此时k+1=m,直接代入通项.(2)常数项:即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程.(3)有理项:令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.注意:解题时注意二项式系数中n和r的隐含条件.使用二项展开式的通项时要注意:①通项表示的是第r+1项,而不是第r项;②通项中a和b的位置不能颠倒.[针对训练]√(2)在二项式(x-)4的展开式中,有理项的项数为(

)A.4 B.3 C.2 D.1√考点二二项式系数与项的系数的性质角度一二项式系数和与系数和A.a0=64B.a0+a2+a4+a6=365C.a5=12D.a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6=-6√√√对(x-1)6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+…+a6(x+1)6两边求导,得6(x-1)5=a1+2a2(x+1)+3a3(x+1)2+…+6a6(x+1)5,令x=0,则a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6=6×(0-1)5=-6,故D正确.故选ABD.(1)二项式系数和可直接利用性质=2n.(2)系数和可利用赋值法.一般地,对于多项式(a+bx)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,令g(x)=(a+bx)n,则(a+bx)n的展开式中各项的系数和为g(1),(a+bx)n的展开式中奇数项的系数和为[g(1)+g(-1)],(a+bx)n的展开式中偶数项的系数和为[g(1)-g(-1)].(3)求特殊结构的和式需要灵活变形(包括逆用公式)或赋值.角度二二项式系数与项的系数的最值问题[例3](1)关于(a-b)11的说法,错误的是(

)A.展开式中的二项式系数之和为2048B.展开式各项系数和为0C.展开式中只有第6项的二项式系数最大D.展开式中第6项的系数最小√解析:(1)可得展开式中的二项式系数之和为211=2048,故A正确;令a=1,b=1,可得展开式各项系数和为0,故B正确;展开式共12项,其中中间第6、7项的二项式系数最大,故C错误;(2)(2024·湖北襄阳模拟)已知(1+3x)n的展开式中前三项的二项式系数和为79,则展开式中系数最大的项为(

)A.第7项 B.第8项 C.第9项 D.第10项√因为r∈N,故r=9,因此,展开式中系数最大的项为第10项.故选D.设展开式中第r+1项的系数最大,(1)二项式系数最大值直接利用二项式系数的性质求解.(2)二项展开式系数最大项的求法常采用不等式法.如求(a+bx)n(a,b∈R,n∈N*)的展开式系数最大的项,一般是先用待定系数法,设展开式各项系数分别为A1,A2,…,An+1,且第k项系数最大,应用不等式组从而解出k来.(3)求系数最小项注意结合系数的符号与绝对值进行分析.[针对训练](1)(角度二)(2024·山东青岛模拟)在(x-)n的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式中系数最小的项的系数为(

)A.-126 B.-70 C.-56 D.-28√解析:(1)因为只有第5项的二项式系数最大,所以展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等,偶数项的二项式系数与相应偶数项的系数互为相反数,而展开式中第5项的二项式系数最大,因此展开式中第4项和第6项的系数相等且最小,为(-1)3=-56.故选C.(2)(角度一)(多选题)已知(1-2x)2024=a0+a1x+a2x2+…+a2024x2024,下列命题中正确的是(

)A.展开式中所有项的二项式系数的和为22024√√√考点三多项展开式中的特定项(系数)问题角度一几个多项式和的展开式[例4](2024·山东潍坊模拟)设(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)7+(1+x)8=a0+a1x+…+a7x7+a8x8,则a2等于(

)A.84 B.56 C.36 D.28√角度二几个多项式积的展开式[例5](2024·福建福州模拟)已知(3x-1)(x+1)n的展开式中所有项的系数之和为64,则展开式中含x4的项的系数为(

)A.20 B.25 C.30 D.35√角度三三项展开式[例6](x2+x+2)4的展开式中x3的系数为(

)A.42 B.56 C.62 D.66√(1)对于几个多项式和的展开式中的特定项问题,就是分别展开然后合并同类项问题,求系数和时注意利用组合数的性质.(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题,可以分别展开,再根据多项式乘法展开后合并同类项,但要注意适当地运用分类方法,以免重复或遗漏.(3)对于三项式问题一般先变形为二项式再解决,或利用展开式的原理求解,利用展开式原理求解比较简单.(4)以上三种题型的特殊结构都可以先化简,以使计算过程更加简单.[针对训练](1)(角度三)(2024·浙江嘉兴模拟)(x-2y+3z)6的展开式中x3y2z的系数为(

)A.-60 B.240 C.-360 D.720√解析:(1)展开式中的x3y2z项可以看成在