大学物理第3章动量守恒与能量守恒(一)

1、第第3 3章章动量原理与动量守恒动量原理与动量守恒 Momentum 内容提要内容提要 动量原理动量原理 动量守恒定律动量守恒定律 质心及其运动质心及其运动3-1 动量定理动量定理 上式表明上式表明: 质点所受合外力的冲量等于质点动量质点所受合外力的冲量等于质点动量的增量。这一结论称为的增量。这一结论称为质点动量定理质点动量定理。一一.质点动量定理质点动量定理冲量冲量 21ttdtFI, 对恒力对恒力F,)tt (FI12 1221ppdtFItt (3-1)dtpddtmddtdmamF)(tFpdd定义定义:说明：说明：1.动量定理表示：力在一段时间过程内的累积效果，动量定理表示：力在一段

2、时间过程内的累积效果，仅适用于惯性系统；仅适用于惯性系统；3.动量定理的分量式动量定理的分量式 yyttyyxxttxxmvmvtFImvmvtFI12122121dd2.冲量冲量 是矢量，其大小和方向由微分冲量是矢量，其大小和方向由微分冲量 的的和矢量决定，是过程量，而和矢量决定，是过程量，而 是状态量之差；是状态量之差；Ip dtF4.平均冲力的概念平均冲力的概念 21121ttxxdtFttFFxOt(s)Fx(N)t1t2 例题例题3-1 煤粉自高煤粉自高h=0.8m处的料斗口自由落在传送处的料斗口自由落在传送带带A上。设料斗口连续卸煤的流量为上。设料斗口连续卸煤的流量为qm=40kg

3、/s, 传送带传送带A的速度的速度 =3m/s。求卸煤的过程中，煤粉对传送带。求卸煤的过程中，煤粉对传送带A的的平均作用力的大小和方向。平均作用力的大小和方向。(不计相对传送带静止的煤不计相对传送带静止的煤粉质量，取粉质量，取g=10m/s2） ,qdtdmm40 取在时间取在时间dt内落下的煤粉内落下的煤粉dm=qmdt为为研究对象研究对象,由动量定理有由动量定理有s/mgho42 解解 煤粉下落煤粉下落h时的速度时的速度0 dmdmFdt:dm )(F040: 平均冲力平均冲力Ah图3-2 0(1)单位矢量法单位矢量法xyo 根据牛顿第三定律，煤粉对根据牛顿第三定律，煤粉对传送带传送带A的

4、平均作用力与此力的平均作用力与此力大小相等而方向相反。大小相等而方向相反。F=40( - o)=40(3i+4j )(40:0 F平平均均冲冲力力 =3, o=4xyFFarctg 34arctg =53.1o 大小大小: F =200N, 与与x轴正方向的轴正方向的夹角夹角:Ah图3-2 0 由图可求得由图可求得煤粉对传送带煤粉对传送带A的平均作用力的大小的平均作用力的大小: 画出画出 = - 0的的 矢量三角形矢量三角形如右图所示如右图所示。(2)三角形法三角形法 方向与图中方向与图中 的方向相反。的方向相反。 o N200540 4040oFAh图3-2 0)(40:0 F平平均均冲冲力

5、力 =3, o=434arctg =53.1o *例题例题3-2 一质量均匀分布的柔软的细绳铅直地一质量均匀分布的柔软的细绳铅直地悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌面上。如果把绳悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌面上。如果把绳的上端放开，绳将落向桌面。试证明：在绳下落的的上端放开，绳将落向桌面。试证明：在绳下落的过程中，任意时刻作用于桌面的压力，等于已落到过程中，任意时刻作用于桌面的压力，等于已落到桌面上的绳重量的三倍。桌面上的绳重量的三倍。 此时落在桌面上的绳此时落在桌面上的绳m= h受力受力: 证证 设绳的线密度为设绳的线密度为 。任意时。任意时刻刻t(下落下落h时时),绳的速度为绳的速度为;gh

6、2 重力重力mg、桌面的支持力、桌面的支持力N、落、落下绳的冲力下绳的冲力F。 由右下图可知由右下图可知: N=mg+F。图3-3mNFmgm 取时间取时间tt+dt内落下的绳内落下的绳dm= . dt为为研究对象，由动量定理得研究对象，由动量定理得 F.dt=dm. = . 2dt 所以所以 F= . 2 N=mg+F所以所以 F= . 2= .2gh =2mg 最后得最后得: N=mg+F=3mg 即即: 作用于桌面的压力作用于桌面的压力是重量的三倍。是重量的三倍。gh2 已知已知图3-3NFmgmmFdmdmg 练习练习 ：匀速圆锥摆运动，速率为匀速圆锥摆运动，速率为v、半经为、半经为R

7、,当质量为当质量为m质点从质点从a点绕行半周到点绕行半周到b点，求此过程中绳中张力的冲量。点，求此过程中绳中张力的冲量。解：解：重力的冲量（重力的冲量（恒力恒力的冲量）的冲量）0tPRImgdtmgvjik张力的冲量（张力的冲量（变力变力的冲量）的冲量）由动量定理由动量定理imvvmvmIIabTP2 kvRmgimvIimvIPT 22vavbab gmTvm2TIPI共有共有N个粒子，外力用个粒子，外力用 F ，内力（即粒子之间的相互内力（即粒子之间的相互作用）用作用）用f 表示，则第表示，则第 i 粒粒子的运动方程子的运动方程tpfFiiidd 内内外外对所有粒子求和对所有粒子求和tpt

8、pfFNiiNiiidddd11 内内外外二、质点系动量定理二、质点系动量定理i jiPiFijfjiftPFdd 外外PtFI d外外0内if NiipP1NiiFF1外外牛顿第三定律牛顿第三定律tptpfFNiiNiiidddd11 内内外外若质点系所受若质点系所受合外力为零合外力为零，则总动量不随时间改变，则总动量不随时间改变. .质点系所受质点系所受合外力为零合外力为零，总动量不随时间改变，即，总动量不随时间改变，即常常矢矢量量 NiipP11.合外力为零，或外力与内力相比小很多；合外力为零，或外力与内力相比小很多；2.合外力沿某一方向为零，则合外力沿某一方向为零，则3.只适用于惯性系

9、；只适用于惯性系；.constpiix 3-2 动量守恒定律动量守恒定律例例3-4：炮车以炮车以 角发射一炮弹，炮车质量为角发射一炮弹，炮车质量为M，炮弹，炮弹质量为质量为m，炮弹出口速度为，炮弹出口速度为v（对炮车对炮车）求：求：炮车反冲速度炮车反冲速度V（炮车与地面磨擦力忽略不计）（炮车与地面磨擦力忽略不计）解：解：炮车与炮弹为一系统，在水炮车与炮弹为一系统，在水平方向动量守恒平方向动量守恒Vvu 炮弹对地速度的炮弹对地速度的x分量：分量：Vvux cos由动量守恒定律（对地）由动量守恒定律（对地）0)cos(VvmMV反冲速度：反冲速度： cosvMmmV MmXvVu例例3-5：船长船

10、长L=4m，质量，质量M=150kg，静止浮在水面，静止浮在水面，有质量有质量m=50kg的人从船头走到船尾。的人从船头走到船尾。求：求：人和船对岸各移动的距离（水阻力不计）。人和船对岸各移动的距离（水阻力不计）。解解： 与与 分别表示任一时刻分别表示任一时刻船和人相对于岸的速度，船和人相对于岸的速度，水平方向（水平方向（x）动量守恒）动量守恒Vv0 MVmv0dd00 tttVMtvmLSsMSms ,;)(1 mLmMmS 可得：可得：OXYVLx2x0 x1Ss)(3 mSLs 例题例题3-6 两个质量分别为两个质量分别为M和和m的三棱柱体如图静止的三棱柱体如图静止放置，其水平尺寸如图，

11、各处光滑。求当放置，其水平尺寸如图，各处光滑。求当m的下边缘的下边缘滑到水平面时，滑到水平面时，M在水平面上移动的距离。在水平面上移动的距离。 解解 系统系统(M和和m): 水平方向不受外力，故水平方向水平方向不受外力，故水平方向动量守恒。动量守恒。 设设M与与m相对地面的速度分别相对地面的速度分别是是V和和 ，m相对于相对于M的速度为的速度为, 则则 m x - MV=0 (1) 由相对运动公式有由相对运动公式有 x=a图3-7bmM xoVx - V (2) (M+m)Vx= mx 将上式对时间将上式对时间t积分，有积分，有: ttxxdtmdtVmM00)( mMbamS )( 所以所以

12、M在水平面上移动的距在水平面上移动的距离：离： txdt0 是是m相对于相对于M在水平方向移动的距离。在水平方向移动的距离。 =S 是是M相对水平地面移动的距离；相对水平地面移动的距离；将将 x= x - Vx代入代入m x - MVx=0得：得：a图3-7bmM xoV txdtV0)(ba 例例3-7.炮弹爆炸后的运动炮弹爆炸后的运动 一炮弹飞行到其抛物线轨道的一炮弹飞行到其抛物线轨道的顶点时爆炸成质量相等的两块顶点时爆炸成质量相等的两块,如图所示如图所示.爆后一秒钟爆后一秒钟,解：由于爆炸力远大于重力，解：由于爆炸力远大于重力，所以所以炮弹爆炸前后炮弹爆炸前后动量守恒：动量守恒：2102

13、121cosvmvmimv yxomvmvmvmv2122121021cosHx1x20vL1v2v笫一块落到爆炸点正下方的地面上笫一块落到爆炸点正下方的地面上,此处距抛出点的水此处距抛出点的水平距离为平距离为L.问第二块落在距抛出点多远的地面上问第二块落在距抛出点多远的地面上.设不设不计空气阻力。计空气阻力。H=19.6 m, L=100 m。1211 11111212,(2)yxLyHv tgtvvt =1s,y =0,可求出代入可求出2222222221gttvHytvLxyx可求得：可求得：220ty求得由爆炸后第一块和第二块的运动方程爆炸后第一块和第二块的运动方程xvgtHtLv22

14、0) 1 (21;cos式可得代入m5002 xHx1x20vL1v2v)2(21210) 1 (21cos212 yxomvmvmvmv例例3-8 质量为质量为M的人手里拿着一个质量为的人手里拿着一个质量为m的物体。此的物体。此人用与水平面成人用与水平面成 角的速率角的速率v0向前跳去。当他达到最高向前跳去。当他达到最高点时点时,他将物体以相对于人为他将物体以相对于人为u 的水平速率向后抛出。的水平速率向后抛出。问由于人抛出物体问由于人抛出物体,他跳的距离增加了多少他跳的距离增加了多少?设人可视为设人可视为质点。质点。解解:以人和物为系统以人和物为系统,跳跳跃过程只受重力作用跃过程只受重力作

15、用,系系统水平方向动量守恒统水平方向动量守恒mUMvvMm cos)(0U是是m相对于地的绝对速度：相对于地的绝对速度：uvU umMmvv cos0 xvu人从最高点到地面的运动时间人从最高点到地面的运动时间gvt sin0 所以人跳跃的距离增加为所以人跳跃的距离增加为ugmMmvtvx)(sin0 水平方向速度增加了水平方向速度增加了 uMmm 注意这两个例题的差别，什么情况下动量守注意这两个例题的差别，什么情况下动量守恒，什么情况下动量的分量守恒。恒，什么情况下动量的分量守恒。N个粒子系统，可定义质量中心个粒子系统，可定义质量中心mrmmrmrNiiiNiiNiiic 111&质

16、心质心 MzmzMymyMxmxiiciiciicxyzmicrir3-3 质心及其运动质心及其运动 MzdmzMydmyMxdmxccc对连续分布的物质，可以将其分为对连续分布的物质，可以将其分为N个小质元个小质元说明：说明： 1.质心是物体运动中由其质量分布所决定的一个特殊点。质心是物体运动中由其质量分布所决定的一个特殊点。 2.质心与重心是不同概念，质量中心或称质心，指物质系质心与重心是不同概念，质量中心或称质心，指物质系统上被认为质量集中于此的一个假想点。与重心不同统上被认为质量集中于此的一个假想点。与重心不同的是，质心不一定要在有重力场的系统中。值得注意的是，质心不一定要在有重力场的

17、系统中。值得注意的是，除非重力场是均匀的，否则同一物质系统的质的是，除非重力场是均匀的，否则同一物质系统的质心与重心不通常在同一假想点上。心与重心不通常在同一假想点上。 cccNiiiNiiiNiivmtrmtrmtrmtrmpP ddd)(ddddd111tPFdd -camF &质心质心运动定律运动定律说明：说明： 1.质心的运动可看成一个质点的运动（质量与合外质心的运动可看成一个质点的运动（质量与合外力集中在质心上）力集中在质心上） 2.内力不能使质心产生加速度，当质点系所受外力内力不能使质心产生加速度，当质点系所受外力为零时，系统动量守恒。为零时，系统动量守恒。 物体中质心的运

18、动是竖直上抛物体中质心的运动是竖直上抛.物体中质心的运物体中质心的运动是斜上抛动是斜上抛.例题例题:求求:半经为半经为R，所夹圆心角为，所夹圆心角为2的均质圆弧的质心。的均质圆弧的质心。 例题例题3-9 如图如图3-10所示，开始时人和船都静止所示，开始时人和船都静止,当人从船的一端走到另一端时当人从船的一端走到另一端时,船移动的距离船移动的距离。(设设船的质量为船的质量为M,人的质量为人的质量为m,船长为船长为l ,并忽略水的并忽略水的阻力阻力)。 解解 (M+m):系统所受系统所受合外力为零合外力为零,质心不动质心不动:MmlMmlxc 2Mm)ls(Mms 2Mmmls s图3-10yxo 冲量冲量 是矢量，其大小和方向由微分冲量是矢量，其大小和方向由微分冲量 的的矢量决定矢量