夏钶固体物理第三章

1、第第节节 简谐近似简谐近似 第第节节 一维晶格的振动一维晶格的振动 第第节节 晶体的热力学函数晶体的热力学函数 第第节节 晶格热容的量子理论晶格热容的量子理论 第第节节 晶格的热传导晶格的热传导 第第节节 离子晶体中的长光学波离子晶体中的长光学波学习的意义与目的学习的意义与目的1回回 顾：顾：组成晶体的原子被认为是固定在组成晶体的原子被认为是固定在格点位置格点位置(平衡位置平衡位置)的！的！2认认 识：识：有限温度有限温度(T0K)下，组成晶体的原子或离子围绕下，组成晶体的原子或离子围绕平衡平衡位置位置作作有限温度下，组成晶体的原子并非固有限温度下，组成晶体的原子并非固定于格点位置，而是以格点

2、为定于格点位置，而是以格点为平衡位平衡位置作热振动置作热振动，这种运动称为，这种运动称为晶格振动晶格振动3 晶格振动的作用与学习意义：晶格振动的作用与学习意义： 晶格振动使晶体势场晶格振动使晶体势场偏离偏离严格的严格的周期性周期性；对对Bloch电子有电子有散射作用散射作用，从而影响与电子有关的，从而影响与电子有关的 运输性质：电导，霍尔效应，磁阻，温差电效应；运输性质：电导，霍尔效应，磁阻，温差电效应；晶体的晶体的比热比热，热膨胀热膨胀和和热导热导等热学性质直接依赖于等热学性质直接依赖于 晶格振动；晶格振动；晶体的晶体的光吸收光吸收和和光发射光发射等光学性质与晶格振动有关等光学性质与晶格振动

3、有关电子电子-电子间通过晶格振动可出现不同于库仑力的电子间通过晶格振动可出现不同于库仑力的 相互作用，形成所谓相互作用，形成所谓库柏对库柏对，产生，产生超导性超导性。 是固体物理学中最基础、最重要的部分之一是固体物理学中最基础、最重要的部分之一 Einstein发展普朗克量子假说发展普朗克量子假说量子热容量理论量子热容量理论4 晶格振动的出现及发展历程晶格振动的出现及发展历程杜隆杜隆柏替经验柏替经验规律把规律把热容量热容量和和原子振动原子振动联系起来联系起来! 起源于起源于晶体热学性质晶体热学性质的研究的研究得到：摩尔热容量为得到：摩尔热容量为问题问题：与低温热容量相矛盾：与低温热容量相矛盾

4、T ,Cv推动了对固体原子振动进行具体的研究推动了对固体原子振动进行具体的研究得到得到:热容量与原子热容量与原子振动的具体频率振动的具体频率有关有关 建立建立“”形式形式 研究晶格振动研究晶格振动8.3145Jmol-1 K-1晶格振动是典型的晶格振动是典型的小振动小振动 问题！问题！ 经典力学观点经典力学观点力学体系自力学体系自平衡位置平衡位置发生发生微小偏移微小偏移 该力学体系的运动属于该力学体系的运动属于小振动小振动处理小振动问题的理处理小振动问题的理论方法和主要结果论方法和主要结果晶格振动的经典理论晶格振动的经典理论绝热近似绝热近似简谐近似简谐近似布拉伐格矢布拉伐格矢 是平衡位置是平衡

5、位置R学习晶格振动的理论基础学习晶格振动的理论基础固体是有大量的原子组成固体是有大量的原子组成 复杂的多体问题复杂的多体问题原子与原子原子与原子原子与电子原子与电子电子与电子电子与电子晶体中电子和正原子实的质量相晶体中电子和正原子实的质量相 差很大：差很大：电子原子WW531010正原子实的运动速度正原子实的运动速度 电子电子快速运动的电子能很快地适应正原子实的位置变化快速运动的电子能很快地适应正原子实的位置变化正原子实正原子实固定在它的瞬间位置固定在它的瞬间位置近似认为正原子实不动近似认为正原子实不动绝热近似绝热近似正正电子实和原子电子实和原子运动分开运动分开简化为简化为已知：晶胞包含已知：

6、晶胞包含N个原子，平衡位置为个原子，平衡位置为 ；nR)(tn偏离平衡位置的位移矢量为偏离平衡位置的位移矢量为原子的瞬时位矢原子的瞬时位矢:tRtRnnn)( 则晶体的则晶体的总势能函数总势能函数可表示为：可表示为：在平衡位置展开成泰勒级数：在平衡位置展开成泰勒级数：高级项jiNjijiiNiiVVVV031,2031021: 晶体中相距晶体中相距 的两个原子间的相互作用势能的两个原子间的相互作用势能 rr NimnmnNimnRRtRtRV31312121 NimnmnNimnRRtRtRV31312121第一项第一项V0 = 平衡晶格势能平衡晶格势能 = 0第二项第二项 0031iNiiV

7、00iVjiNjijiVV031,221谐省去二阶以上的高阶项，得到：省去二阶以上的高阶项，得到： 体系的势能函数只体系的势能函数只，称为，称为 简谐近似简谐近似简谐近似是晶格动力学处理许多物理问题的出发点简谐近似是晶格动力学处理许多物理问题的出发点!高级项jiNjijiiNiiVVVV031,2031021简正振动模式：简正振动模式：在简谐近似下在简谐近似下, 由由N个原子构成的晶体的晶格个原子构成的晶体的晶格振动振动, 可等效成可等效成3N个独立的谐振子的振动个独立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动模式每个谐振子的振动模式称为简正振动模式称为简正振动模式简正振动模式简正振动模式对应着所有的

8、原子都以该模式的频率做振动对应着所有的原子都以该模式的频率做振动, 它它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式. 原子的振动原子的振动 格波振动格波振动通常是这通常是这3N个简正振动模式的线形迭加个简正振动模式的线形迭加. 对热膨胀和热传导等问题必须对热膨胀和热传导等问题必须考虑高阶项考虑高阶项 特别是特别是3次和次和4次项次项的作用的作用 这称为这称为或或 具体处理问题时具体处理问题时,把把非谐项非谐项看成是对起主要作用看成是对起主要作用 的简谐项的的简谐项的微扰微扰!计算相邻原子间作用力计算相邻原子间作用力(a) 个质量为个质量为的原子组成一维布拉伐格

9、子；的原子组成一维布拉伐格子；设：设：(b) 平衡时相邻原子距离为平衡时相邻原子距离为 (晶胞体积为晶胞体积为a或晶格或晶格 常数为常数为a)； (c) 原子限制在沿链的方向运动，偏离格点的位移原子限制在沿链的方向运动，偏离格点的位移 表示为表示为: ,.,.,11nnn一、一维单原子链一、一维单原子链1 模型与运动方程模型与运动方程晶格具有周期性晶格具有周期性 晶格的振动模具有波的形式晶格的振动模具有波的形式格波格波计算相邻原子间作用力计算相邻原子间作用力(a) 个质量为个质量为的原子组成一维布拉伐格子；的原子组成一维布拉伐格子；设：设：(b) 平衡时相邻原子距离为平衡时相邻原子距离为 (晶

10、胞体积为晶胞体积为a或晶格或晶格 常数为常数为a)； (c) 原子限制在沿链的方向运动，偏离格点的位移原子限制在沿链的方向运动，偏离格点的位移 表示为表示为: ,.,.,11nnn一、一维单原子链一、一维单原子链1 模型与运动方程模型与运动方程晶格具有周期性晶格具有周期性 晶格的振动模具有波的形式晶格的振动模具有波的形式格波格波一维单原子链一维单原子链(a) 平衡位置平衡位置an(n+1) (n+2)(n-1)(n-2)(a)a+n+1- nn-1(b)(b) 瞬时位置和位移瞬时位置和位移只考虑只考虑最近邻原子间最近邻原子间的相互作用！的相互作用！原子链的相互作用能原子链的相互作用能一般可表示

11、为：一般可表示为： 高阶项221avav其中其中:表示对平衡距离表示对平衡距离 的偏离的偏离a在简谐近似条件下，在简谐近似条件下，相邻原子间的作用力相邻原子间的作用力ddvF考察第考察第 个原子的运动方程，它受到左右两个个原子的运动方程，它受到左右两个近邻近邻 原子对它的作用力：原子对它的作用力：表示表示恢复力系数恢复力系数 = 弹性系数弹性系数02222dvddrvdaan(n+1) (n+2)(n-1)(n-2)(a)a+n+1- nn-1(b)左（左（n-1)原子：原子：1nnaa左aa 左1nnaa左（左（n-1)原子：原子：受到的力受到的力:1nn左1nnF左受到的力受到的力:右（右

12、（n+1)原子：原子：nn1右nnF1右第第 个原子的运动方程：个原子的运动方程：nnnnnnnm21111 nnnnnnnm21111 ：原子链中有：原子链中有N个原子，则有个原子，则有N个这种形式的方程个这种形式的方程an(n+1) (n+2)(n-1)(n+2)(a)a+n+1- nn-1(b)2 2 边界条件边界条件（Born-Von Karman）条件条件一个有限链两端的原子和内部原子有所不同一个有限链两端的原子和内部原子有所不同有不同形式的运动方程有不同形式的运动方程方程的解很复杂方程的解很复杂结果：选择波恩结果：选择波恩卡曼（卡曼（Born-Von Karman）条件）条件对于一

13、维原子链，边界条件可对于一维原子链，边界条件可形象规定形象规定为：为：一维链的一维链的B-K边界条件边界条件作用作用：并未改变运动方程的解，：并未改变运动方程的解，只是原胞标数由只是原胞标数由 增加增加 ，满足，满足1Naqie对于一维原子链，对于一维原子链，边界条件的数学表达式边界条件的数学表达式：nNn:振幅振幅, :波的角频率波的角频率, :波长波长,:波数波数3 3 格波解与色散关系格波解与色散关系验证方程验证方程:nnnnm211 有下列有下列“格波格波”形式的解：形式的解：naqtinqAe得到：得到：naqtiaqntiaqntinaqtiAeAeAeAeim2112naqtia

14、qntiaqntinaqtiAeAeAeAeim2112aqmaqmaqmaqeemiaqiaq21sin221sin4cos121cos22222aqmaqmaqmaqeemiaqiaq21sin221sin4cos121cos22222aqmaqmaqmaqeemiaqiaq21sin221sin4cos121cos22222aqmaqmaqmaqeemiaqiaq21sin221sin4cos121cos22222与与 的关系称为的关系称为色散关系色散关系aqiaqeaqiaqeiaqiaqsincossincosaqmaqmaqmaqeemiaqiaq21sin221sin4cos12

15、1cos22222振动频谱振动频谱/振动谱振动谱格波解格波解4.4.讨论：讨论：naqtinqAe位相因子位相因子物理意义：相邻原子的振动位相差为物理意义：相邻原子的振动位相差为 改变一个改变一个的整数倍的整数倍,两个原子的两个原子的振动位移相等振动位移相等!aqaaq/或 在晶体中传播的振幅为在晶体中传播的振幅为 ,频率为频率为 的行波，的行波， 是晶体中原子的一种集体运动形式。是晶体中原子的一种集体运动形式。q/2格格 波波 波恩波恩卡曼卡曼（Born-Von Karman）条件知条件知hNaqhhNaqNaqeNaqi2(21cos1为整数）其中即：hNaqhhNaqNaqeNaqi2(

16、21cos1为整数）其中即：hNaqhhNaqNaqeNaqi2(21cos1为整数）其中即：个不同的值即共有NN/2h-N/2/aq/a-个不同的值即共有NN/2h-N/2/aq/a- 被限制在第一布里渊区里的被限制在第一布里渊区里的 可取可取 个不同的值个不同的值!又又 每个每个 对应着一个格对应着一个格波波对应着对应着个独立的格波，或有个独立的格波，或有 个独立的振动模式个独立的振动模式aqNntinaqtiAeAenNn色散关系的几个重要性质色散关系的几个重要性质根据色散关系式根据色散关系式aqm21sin2 得到一维单原子晶格的得到一维单原子晶格的:由图知，由图知， 频率频率 的范围

17、为的范围为:只有这些频率的格波能在晶格中传播，其它频率的格只有这些频率的格波能在晶格中传播，其它频率的格波被强烈衰减波被强烈衰减应用应用: :可把一维单原子晶格看成可把一维单原子晶格看成低通滤波器低通滤波器一维单原子链的一维单原子链的- q 函数关系函数关系 a) 在在 q0 的长波近似下，色散关系式中的长波近似下，色散关系式中qamaqaq则,221sinqaMaqaq则,221sinaqm21sin2弹性波（声波）的色散关系弹性波（声波）的色散关系:形式相同形式相同!弹性波相速度：弹性波相速度：CV弹:弹性模量弹性模量:连续介质密度连续介质密度q=2/qV弹qamaqaq则,221sinC

18、V弹一维单原子晶格格波：一维单原子晶格格波：密度密度：am弹性模量：弹性模量：aC格波的相速度：格波的相速度：CmamaqV2格在在下，一维单原子晶格格波可看成下，一维单原子晶格格波可看成（声波），晶格可看成（声波），晶格可看成连续介质连续介质!V弹弹= V格格maamaCV2.弹a/2a/a/2a/色散关系色散关系直线代表弹性波色散关系直线代表弹性波色散关系当当q /a 时时,(布里渊区边界布里渊区边界)对应着最大频率对应着最大频率.随着随着q ,色散曲线开始偏离直线向下弯色散曲线开始偏离直线向下弯;当当q /a 时，色散曲线变的平坦；时，色散曲线变的平坦；m4平衡时相邻原子距离为平衡时相邻

19、原子距离为 （晶胞体积为（晶胞体积为 或或晶格晶格常数常数为为 )；1 1 模型与运动方程模型与运动方程双原子链可以看作是一个最简单的双原子链可以看作是一个最简单的复式晶格复式晶格设设: 每个原胞中每个原胞中含含 个不同的原子个不同的原子和和 ，质量质量 分别为分别为 , ;原子限制在沿链的方向运动，偏离格点的原子限制在沿链的方向运动，偏离格点的位位移移表示为表示为:,.,.,1212nnn考虑：最近邻原子间的考虑：最近邻原子间的相互作用相互作用一一维双原子链原子的运动方程：维双原子链原子的运动方程：nnnnnnnnMQmP222121212122222: 原子：原子nnnnnnnnMQmP2

20、22121212122222: 原子：原子2 2 格波解和色散关系格波解和色散关系设有下列形式的格波解：设有下列形式的格波解：aqntinqnatinBeAe121222aqntinnaqtinBeAe121222把上式化成以把上式化成以 , 为未知数的线性齐次方程为未知数的线性齐次方程02cos20cos2222BMaqAaqBAm得到：得到：有解条件：有解条件：02cos2cos2222Maqaqm0cos2.cos22.222aqaqMm0sin422224aqMmmM2/1222sin411aqMmmMmMMm注意：注意：由格波解：由格波解：aqntinqnatinBeAe121222

21、得知：相邻原胞得知：相邻原胞 原子（或者原子（或者 原子）之间的原子）之间的位相位相 差为差为 改变改变的整数倍，原子的振动不变的整数倍，原子的振动不变!的取值范围为：的取值范围为：一维双原子链的布里渊区一维双原子链的布里渊区! !2222NahqhaqN由边界条件得到：由边界条件得到：2222NahqhaqN根据根据 的取值范围的取值范围 - N /2 m可知，可知，minmax没有格波没有格波！minmaxminmax和之间的频率范围称为频率隙之间的频率范围称为频率隙应用：把一维双原子晶格叫应用：把一维双原子晶格叫m2M22a2a2一维双原子链晶格色散关系一维双原子链晶格色散关系(b)当当

22、q 0 时（长波极限情况）时（长波极限情况）2/1222sin411aqMmmMmMMm11sin422aqMmmMaqMmmMaqMmmM222/ 122sin4211sin41简化简化aqMmmMmMMm222sin42111 声学波声学波“-”aqMmaqMmmMmMMmaqMmmMmMMm222222sin2sin421sin42111qaMmqaMm21212sin2aqMmaqMmmMmMMmaqMmmMmMMm222222sin2sin421sin42111aqMmaqMmmMmMMmaqMmmMmMMm222222sin2sin421sin42111与一维单原子晶格的色散关系相

23、似！与一维单原子晶格的色散关系相似！aqmaqmaqmaqeemiaqiaq21sin221sin4cos121cos22222q 0 极限下，可看成弹性波极限下，可看成弹性波 声学波声学波m2M22a2a2振振 幅：幅：代入代入0, 0q02cos20cos2222BMaqAaqBAm12cos22mqaBA2M1m声学支声学支a长波极限下声学支和光学支的原子位移长波极限下声学支和光学支的原子位移m2M22a2a2声学波示意图声学波示意图长声学波中相邻原子振动方向相同，长声学波中相邻原子振动方向相同，振幅和位相无差别，原胞内的不同原振幅和位相无差别，原胞内的不同原子以相同的振幅和位相作整体运

24、动子以相同的振幅和位相作整体运动 它代表原胞质心的运动它代表原胞质心的运动！aqMmmMmMMmaqMmmMmMMmaqMmmMmMMm2222222sin12sin22sin42111当当q 0时时光学波光学波aqMmmMmMMmaqMmmMmMMmaqMmmMmMMm2222222sin12sin22sin42111aqMmmMmMMmaqMmmMmMMmaqMmmMmMMm2222222sin12sin22sin42111为折合质量其中：MmmM21max21182128321max103)10/1052(2秒 由于这个频率处于光谱的红外区由于这个频率处于光谱的红外区 这支格波称为这支格

25、波称为典型值典型值光学波的突出特点光学波的突出特点m2M22a2a2振振 幅：幅：把把 q = 0, = (2/)1/2 代入代入:02cos20cos2222BMaqAaqBAmmMqaMBAcos2222M1m声学支声学支光学支光学支1m2Maa长波极限下声学支和光学支的原子位移长波极限下声学支和光学支的原子位移长光学波代表同一原胞中两个原子振动方向相反长光学波代表同一原胞中两个原子振动方向相反，原胞中不同原子作相对振动，质量大的振幅小，质量原胞中不同原子作相对振动，质量大的振幅小，质量小的振幅大小的振幅大 质心保持不变的振动质心保持不变的振动 长光学波代表原胞中两个原子的相对振动！长光学

26、波代表原胞中两个原子的相对振动！光学波示意图光学波示意图滤波器滤波器 在电子系统中广泛应用，用于信号处理、数在电子系统中广泛应用，用于信号处理、数据传送和抑制干扰等，其功能是在制定的频带内，让据传送和抑制干扰等，其功能是在制定的频带内，让有用信号通过，同时抑制（衰减）无用信号。有用信号通过，同时抑制（衰减）无用信号。 合成器中滤波器四种形式：低通、高通、带通、陷波合成器中滤波器四种形式：低通、高通、带通、陷波低通低通：让低频通过，滤掉高频让低频通过，滤掉高频；高通高通：让高频通过，滤掉低频；：让高频通过，滤掉低频；带通带通：让某一个范围的频率通过，滤除其余频率让某一个范围的频率通过，滤除其余频

27、率；陷波陷波：滤除某一个范围的频率，让其余频率通过。：滤除某一个范围的频率，让其余频率通过。 一维单原子链的一维单原子链的 w - q 函数关函数关系系m2M22a2a2一维双原子链晶格色散关系一维双原子链晶格色散关系(1)(1)方便于求解原子运动方程方便于求解原子运动方程. .除了原子链两端的两个原子外除了原子链两端的两个原子外, , 其它任一个原子的运其它任一个原子的运动都与相邻的两个原子的运动相关动都与相邻的两个原子的运动相关. . 即除了原子链两即除了原子链两端的两个原子外端的两个原子外, , 其它原子的运动方程构成了个联立其它原子的运动方程构成了个联立方程组方程组. . 但但, ,

28、运动方程运动方程与其它原子的运动方程迥然不同与其它原子的运动方程迥然不同. . 与其它原子的运动与其它原子的运动方程不同的这两个方程方程不同的这两个方程, , 给整个联立方程组的求解带给整个联立方程组的求解带来了很大的困难来了很大的困难. . 2)与实验结果吻合得较好与实验结果吻合得较好 对于原子的自由运动对于原子的自由运动, 边界上的原子与其它原子一样边界上的原子与其它原子一样, 无时无刻不在运动无时无刻不在运动. 对于有对于有N 个原子构成的的原子链个原子构成的的原子链, 硬硬性假定的边界条件是不符合事实的性假定的边界条件是不符合事实的. 其实不论什么边界其实不论什么边界条件都与事实不符条

29、件都与事实不符. 但为了求解近似解但为了求解近似解, 必须选取一个边必须选取一个边界条件。界条件。 晶格振动谱的实验测定是对晶格振动理论的晶格振动谱的实验测定是对晶格振动理论的最有力验证最有力验证. 玻恩玻恩-卡门条件是晶格振动理论的前提条件卡门条件是晶格振动理论的前提条件. 实验测得的振动谱与理论相符的事实说明实验测得的振动谱与理论相符的事实说明, 玻恩玻恩-卡门周卡门周期性边界条件是目前较好的一个边界条件期性边界条件是目前较好的一个边界条件. 无限大晶体无限大晶体 无边界，每个原子具有相同的运无边界，每个原子具有相同的运 动方程动方程 实际上晶体是有限的，处在表面上的原子所受的实际上晶体是

30、有限的，处在表面上的原子所受的 作用与内部不同作用与内部不同 运动方程式不同运动方程式不同但一般来说但一般来说，由于表面原子数目比起整个晶体中的原，由于表面原子数目比起整个晶体中的原子数目来要少的多子数目来要少的多 因此表面原子的特殊性对晶体因此表面原子的特殊性对晶体的整体性质产生的影响可以忽略的整体性质产生的影响可以忽略 也就是说表面上也就是说表面上（原子链的两端）原子的运动方式可以按数学上的方（原子链的两端）原子的运动方式可以按数学上的方便任意选择！便任意选择！表面原子的运动方式称为边界条件表面原子的运动方式称为边界条件 玻恩玻恩-卡门提出卡门提出的周期性边界条件是最方便的选择！的周期性边

31、界条件是最方便的选择！设想在有限晶体之外还有设想在有限晶体之外还有无穷多个完全相同的晶体无穷多个完全相同的晶体，互相平行的堆积充满整个空间，组成一个无限晶体，互相平行的堆积充满整个空间，组成一个无限晶体，保证了有限晶体的平移对称性保证了有限晶体的平移对称性 在各个相同晶体块在各个相同晶体块内相应原子的运动情况应当完全相同；内相应原子的运动情况应当完全相同；一维晶格：将许多完全相同的原子链首尾连接成无穷一维晶格：将许多完全相同的原子链首尾连接成无穷长链长链 第第 N+1 个原子就是第个原子就是第 1 个原子，第个原子，第 N+2 个个原子就是第原子就是第 2 个原子个原子 也可以把它看作是也可以

32、把它看作是N个原子个原子构成的圆环！构成的圆环！保证了从晶体内任一点出发平移保证了从晶体内任一点出发平移 Na 后必将返回原处！后必将返回原处！边界条件：边界条件：un = un+N经典力学中，质点在平衡位置附近的最基本最简单的经典力学中，质点在平衡位置附近的最基本最简单的运动是简谐振动。运动是简谐振动。在量子物理中与此对应的微观粒子的运动就是谐振子在量子物理中与此对应的微观粒子的运动就是谐振子在任何一个力学系统中，只要某一个实体在其稳定平在任何一个力学系统中，只要某一个实体在其稳定平衡点附近作微小振动，便可以用这种衡点附近作微小振动，便可以用这种简谐振子简谐振子(simple harmoni

33、c oscillator)模型来描述它。谐振子的势函数模型来描述它。谐振子的势函数可以表示为这种形式：可以表示为这种形式： 式中式中k为为常数常数.在在波波传播的方向上单位长度内的波周数目称为波数传播的方向上单位长度内的波周数目称为波数(常写为常写为k或或q)，其倒数称为波长。，其倒数称为波长。 k或或q = 1/。理论物理理论物理中定义为中定义为: k或或q =2/ -e(Za-Z)-eZ-e(Za-Z)-e(Za-Z)-e(Za-Z)-e(Za-Z)-e(Za-Z)T282/1011. 132/KwekTBTkB21低温）几百倍实验值(23BVNkCBFBVkETkNC0202低温）几百倍

34、实验值(23BVNkC1、 模模 型型2、 边界条件边界条件3、 薛定谔方程的解薛定谔方程的解4、 K 空间和能态密度空间和能态密度5、 费米费米 狄拉克（狄拉克（Fermi-Driac）分布）分布6、 电子热容量电子热容量量子力学建立后，索末菲将量子力学建立后，索末菲将薛定谔方程薛定谔方程应用于自由电应用于自由电子气体模型，建立了量子自由电子理论。子气体模型，建立了量子自由电子理论。按照量子自由电子理论，按照量子自由电子理论，金属中的价电子类似于理想金属中的价电子类似于理想气体，彼此之间没有相互作用，且各自独力地在一个气体，彼此之间没有相互作用，且各自独力地在一个等于平均势能的势场中运动等于

35、平均势能的势场中运动。其中每一个电子所具有的状态就是一定深度势阱中运其中每一个电子所具有的状态就是一定深度势阱中运动的粒子所具有的能态动的粒子所具有的能态 单电子的本征态单电子的本征态LzyxLzyxzyxV,000,相当于电子束缚在方盒子内相当于电子束缚在方盒子内在金属表面为界的势井中独立运动在金属表面为界的势井中独立运动每个单电子的状态可用每个单电子的状态可用波函数波函数(r)描述描述 波函数波函数 (r)满足满足定态定态 rErm222 rErzyxm22222222 11TkEEBFeEf rzyxzyLxzyxzLyxzyxLzyx, xLx2 边界条件边界条件（nx,ny,nz ）

36、作坐标构成）作坐标构成量子数空间量子数空间 每一个点每一个点 n(nx,ny,nz )就代表电子的一个就代表电子的一个状态状态 并相应于空间中一个并相应于空间中一个单位体积单位体积! !每一组量子数（每一组量子数（nx,ny,nz）代表电子的一个状态）代表电子的一个状态; ;波矢波矢 波矢波矢kk2,1,11,1,21,2,11,1,1zyxkkkk,zyxkkk,LnkLnkLnkzzyyxx2,2,232L333388/21VLL由统计物理知道，要讨论电子的分布，首先要知道每由统计物理知道，要讨论电子的分布，首先要知道每个能级的状态数目。在孤立原子中，电子的本征状态个能级的状态数目。在孤立

37、原子中，电子的本征状态形成一系列分立能级。然而，在固体中，每个形成一系列分立能级。然而，在固体中，每个能带中能带中的各能级是非常密集的的各能级是非常密集的,形成准连续分布形成准连续分布，不可能标，不可能标明每个能级及其状态数明每个能级及其状态数 因此引入因此引入能态密度能态密度”的概念的概念2 2） 能态密度能态密度能级能级：由于边界条件导致波矢：由于边界条件导致波矢K 只能取分立的值，只能取分立的值，因此单电子本征能量是量子化的因此单电子本征能量是量子化的 对应于电子的对应于电子的每一个能量的分立值，称为该电子的能级每一个能量的分立值，称为该电子的能级等能面等能面 固体中单电子能量是固体中单

38、电子能量是波矢函数波矢函数，K 空间中空间中 具有相同能量的代表点所构成的面具有相同能量的代表点所构成的面 EZENE0lim333388/21VLL333388/21VLL)(23的等能面之间的体积和能量为EEEVZdSdkVZ32dsykdkxkEkEEdkkEEdSVZk32dSdkVZ32 EdSVENk32 EZEN limEEdkk EdSVENk34k mkmkkkkEzyx22222222 mkkEAerrkik222.mEk2mkdkdEEk2mkdkdEEk2 212/32222222233322224444EmVmEVmkVmkkmVdSEVEdSVENkk 212/32

39、222222233322224444EmVmEVmkVmkkmVdSEVEdSVENkk 212/32222222233322224444EmVmEVmkVmkkmVdSEVEdSVENkk 212/32222222233322224444EmVmEVmkVmkkmVdSEVEdSVENkkmEk2近自由电子近似的基本思想近自由电子近似的基本思想：金属中的价电子在一个金属中的价电子在一个很弱的周期场中很弱的周期场中运动，价电运动，价电子的行为很接近于自由电子！子的行为很接近于自由电子！区别：近自由电子受到一个区别：近自由电子受到一个的作用的作用 rErm222 rErrVm222近自由电子近似是通过求解单电子近自由电子近似是通过求解单电子薛