大学物理2运动定律与力学中的守恒定律

1、自然和自然规律隐藏在黑暗之中，自然和自然规律隐藏在黑暗之中，上帝说上帝说“让牛顿降生吧让牛顿降生吧”，一切就有了光明；一切就有了光明；但是，光明并不久长，魔鬼又出现了，但是，光明并不久长，魔鬼又出现了，上帝咆哮说：上帝咆哮说：“让爱因斯坦降生吧让爱因斯坦降生吧”，就恢复到现在这个样子。就恢复到现在这个样子。 三百年前，牛顿站在巨人的肩膀上，三百年前，牛顿站在巨人的肩膀上，建立了动力学三大定律和万有引力定律。建立了动力学三大定律和万有引力定律。其实，没有后者，就不能充分显示前者其实，没有后者，就不能充分显示前者的光辉。海王星的发现，把牛顿力学推的光辉。海王星的发现，把牛顿力学推上荣耀的顶峰。上荣

2、耀的顶峰。 魔鬼的乌云并没有把牛顿力学推跨，魔鬼的乌云并没有把牛顿力学推跨，她在更加坚实的基础上确立了自己的使她在更加坚实的基础上确立了自己的使用范围。宇宙时代，给牛顿力学带来了用范围。宇宙时代，给牛顿力学带来了又一个繁花似锦的春天。又一个繁花似锦的春天。一、惯性定律一、惯性定律 惯性参考系惯性参考系 1 1、惯性定律、惯性定律（Newton first law） 任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态，任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态，直到受到力的作用迫使它改变这种状态为止。直到受到力的作用迫使它改变这种状态为止。(2). . 定义了定义了惯性参考系惯性参考系 (1). . 包含两个重

3、要概念：包含两个重要概念：惯性惯性和和力力 2-1 牛顿运动定律牛顿运动定律固有特性固有特性问问题题a=0时时人人和小球的状态符合牛顿定律和小球的状态符合牛顿定律结论结论：牛顿定律成立的参照系称为牛顿定律成立的参照系称为惯性系惯性系。相对惯性。相对惯性系作加速运动的参照系是非惯性系。而相对惯性系作系作加速运动的参照系是非惯性系。而相对惯性系作匀速直线运动的参照系也是惯性系。匀速直线运动的参照系也是惯性系。a0时时人人和小球的状态为什麽不符合牛顿定律？和小球的状态为什麽不符合牛顿定律？2、惯性系与非惯性系、惯性系与非惯性系根据天文观察，以太阳系作为参照系研究行星运动时发现根据天文观察，以太阳系作

4、为参照系研究行星运动时发现行星运动遵守牛顿定律，行星运动遵守牛顿定律，所以太阳系是一个惯性系。所以太阳系是一个惯性系。二、牛顿二、牛顿第二定律第二定律（Newton second law） 在受到外力作用时，物体所获得的加速度的大小在受到外力作用时，物体所获得的加速度的大小与外力成正比，与物体的质量成反比；加速度的方向与外力成正比，与物体的质量成反比；加速度的方向与外力的矢量和的方向相同。与外力的矢量和的方向相同。2、迭加性：、迭加性： iNiNFFFFF121特点特点： 瞬时性；迭加性；矢量性；定量的量度了惯性瞬时性；迭加性；矢量性；定量的量度了惯性 1、瞬时性：、瞬时性：aF、之间一一对应

5、之间一一对应amF 3、矢量性：、矢量性：具体运算时应写成分量式具体运算时应写成分量式dtdvmmaFyyy dtdvmmaFxxx dtdvmmaFzzz 直角坐标系中：直角坐标系中：dtdvmF 2vmFn 自然坐标系中：自然坐标系中：4、定量的量度了惯性定量的量度了惯性 ABBAaamm 惯性质量惯性质量：牛顿第二定律中的质量常被称为惯性质量牛顿第二定律中的质量常被称为惯性质量引力质量引力质量：0221rrmmGF式中式中21mm 、被称为引力质量被称为引力质量经典力学中经典力学中不区分不区分引力质量和惯性质量引力质量和惯性质量三、第三定律三、第三定律（Newton third law）

6、 两个物体之间对各自对方的相互作用总是相等两个物体之间对各自对方的相互作用总是相等的，而且指向相反的方向。的，而且指向相反的方向。作用力与反作用力作用力与反作用力：1、它们总是成对出现，它们之间一一对应。、它们总是成对出现，它们之间一一对应。2、它们分别作用在两个物体上，绝不是平衡力。、它们分别作用在两个物体上，绝不是平衡力。3、它们一定是属于同一性质的力。、它们一定是属于同一性质的力。21FF 例：质量为例：质量为m的小球，在水中受的浮力为常力的小球，在水中受的浮力为常力F，当，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f=kv(k为为常数），证明小球在水

7、中竖直沉降的速度常数），证明小球在水中竖直沉降的速度v与时间与时间t的的关系为关系为fFmgax)1 (mktekFmgv式中式中t为从沉降开始计算的时间为从沉降开始计算的时间证明：取坐标，作受力图。证明：取坐标，作受力图。dtdvmmaFkvmg根据牛顿第二定律，有根据牛顿第二定律，有四、牛顿定律的应用四、牛顿定律的应用初始条件：初始条件：t=0 时时 v=0dtdvmmaFkvmg tvdtm)Fkvmg(dv00 tvdt)Fkvmg()Fkvmg(dkm00mkt)Fkvmgln(v 0)1 (mktekFmgv运动描述具有相对性运动描述具有相对性车上的人观察车上的人观察地面上的人观察

8、地面上的人观察2-2 力学相对性原理力学相对性原理 非惯性系中的力学非惯性系中的力学一、一、 伽利略变换、经典力学时空观伽利略变换、经典力学时空观时间、长度、质量时间、长度、质量“同时性同时性”和力学定律的形式和力学定律的形式是是绝对的绝对的物体的坐标和速度、物体的坐标和速度、“同一地点同一地点”是是相对的相对的ttzzyyutxx 坐标变换坐标变换方程方程ttzzyyutxx或或经典时空观经典时空观 根据伽利略变换，我们可得出牛顿的绝对时空观，根据伽利略变换，我们可得出牛顿的绝对时空观，也称之为经典时空观。也称之为经典时空观。在在S系内，米尺的长度为系内，米尺的长度为212212212)()

9、()(zzyyxxL在在S系内，米尺的长度为系内，米尺的长度为212212212)()()(zzyyxxL利用伽利略变换式得利用伽利略变换式得LL结论结论：空间空间任意两点之间的距离对于任何的惯性系而言任意两点之间的距离对于任何的惯性系而言都是相等的，都是相等的，与与惯性系的选择或观察者的惯性系的选择或观察者的相对运动无关相对运动无关。即：长度是即：长度是“绝对的绝对的”，或称之为，或称之为“绝对空间绝对空间”。tt再有再有时间时间也也与与惯性系的选择或观察者的惯性系的选择或观察者的相对运动无关相对运动无关 “ “绝对空间绝对空间”、“绝对时间绝对时间”和和“绝对质量绝对质量”这三个概念的总和

10、构成了经典力学的所谓这三个概念的总和构成了经典力学的所谓“绝对时绝对时空观空观”： 空间、时间和物质的质量与物质的运动无空间、时间和物质的质量与物质的运动无关而独立存在关而独立存在，空间永远是静止的、同一的，时间，空间永远是静止的、同一的，时间永远是均匀地流逝着的。永远是均匀地流逝着的。如果把如果把随惯性系而变随惯性系而变的看成是的看成是“相对相对”的，的，那么经典力学中：那么经典力学中：时间、长度、质量时间、长度、质量“同时性同时性”和力学定律的形式和力学定律的形式物体的坐标和速度物体的坐标和速度“同一地点同一地点”是相对的是相对的是绝对的是绝对的把把不不随惯性系而变随惯性系而变的看成是的看

11、成是“绝对绝对”的，的， 近代物理学发展表明：经典的、与物近代物理学发展表明：经典的、与物质运动无关的绝对时空观是错误的，并揭质运动无关的绝对时空观是错误的，并揭示出时间、空间与物质运动密切相关的相示出时间、空间与物质运动密切相关的相对性时空观；而力学相对性原理则得到改对性时空观；而力学相对性原理则得到改造发展为物理学中更为普遍的相对性原理造发展为物理学中更为普遍的相对性原理速度变换速度变换法则法则zzyyxxvvvvuvv zzyyxxaaaadtduaa 加速度变换加速度变换法则法则在所有惯性系中，在所有惯性系中，0 dtduaa 加速度是不变量。加速度是不变量。二、力学的相对性原理二、力

12、学的相对性原理在在S系中：系中：amF 在在S 系中：系中：amF 在任何一个惯性系中牛顿定律都有完全相同的形式在任何一个惯性系中牛顿定律都有完全相同的形式即：伽利略相对性原理即：伽利略相对性原理 或经典相对性原理或经典相对性原理力学规律对一切惯性系都是等价的力学规律对一切惯性系都是等价的力学的相对性原理：力学的相对性原理：*三、非惯性系中的力学三、非惯性系中的力学1、在变速直线运动参考系中的惯性力：在变速直线运动参考系中的惯性力：samFaamF amam aamamFss地地samF惯惯令令：2、在匀角速转动的非惯性系中的惯性力：在匀角速转动的非惯性系中的惯性力：-惯性离心力惯性离心力3、

13、科里奥利力科里奥利力*kf 相相umf*k2在转动的非惯性系，还须引入科里奥利力，在转动的非惯性系，还须引入科里奥利力，才可沿用牛顿定律的形式才可沿用牛顿定律的形式地球是个匀角速转动的参考系，但由于自转角速地球是个匀角速转动的参考系，但由于自转角速度很小，地球上运动的物体往往察觉不到科里奥度很小，地球上运动的物体往往察觉不到科里奥利力的存在。利力的存在。2-3 动量守恒定律动量守恒定律 和能量守恒和能量守恒物理学大厦物理学大厦的基石的基石三大三大守恒定律守恒定律动量守恒定律动量守恒定律动能转换与守恒定律动能转换与守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律一、质点的动量定理一、质点的动量定理amF由由

14、可得：可得：dtpdF pptpppddtF0000ppI 作用于物体上的合外力的冲量等于物体动量的增量作用于物体上的合外力的冲量等于物体动量的增量质点的动量定理质点的动量定理xxttxmvmvdtF1221 yyttymvmvdtF1221 zzttzmvmvdtF1221 分量表示式分量表示式二、质点系的动量定理二、质点系的动量定理第第i个质点受到的合外力为个质点受到的合外力为 11njjiifF外外对第对第i个质点个质点运用动量定理有：运用动量定理有：121121iiiittnjjiivmvmdtfF 外外 niiiniiittninjijttniivmvmdtfdtF111211112

15、121外外因为：因为：0111 ninjijf niiiniiittniivmvmdtF1112121外外三、动量守恒定律三、动量守恒定律01112 niiiniiivmvm则则有有若若外外0iF 一个孤立的力学系统（系统不受外力作用）或合一个孤立的力学系统（系统不受外力作用）或合外力为零的系统，系统内各质点间动量可以交换，但外力为零的系统，系统内各质点间动量可以交换，但系统的总动量保持不变。即：系统的总动量保持不变。即：动量守恒定律动量守恒定律。xvo l0vumM例一例一、如图，车在光滑水平面上运动。已知、如图，车在光滑水平面上运动。已知m、M、l0v人逆车运动方向从车头经人逆车运动方向从

16、车头经t 到达车尾。到达车尾。求求：1、若人匀速运动，他到达车尾时车的速度；若人匀速运动，他到达车尾时车的速度； 2、车的运动路程；车的运动路程； 3、若人以变速率运动，若人以变速率运动， 上述结论如何？上述结论如何？ 解解：以人和车为研究系统，：以人和车为研究系统，取地面为参照系。水平方取地面为参照系。水平方向系统动量守恒。向系统动量守恒。)()(0vumvMvmM )()(0vumMvvmM vo l0vumMxtlmMmvumMmvv 001、2、lmMmtvttlmMmvvts 00)(3、umMmvv 0lmMmtvdtmMmuvvdtstt 0000)(例二、例二、 质量为质量为2

17、.5g的乒乓球以的乒乓球以10m/s的速率飞来，被板推挡后，又的速率飞来，被板推挡后，又以以20m/s的速率飞出。设两速度在垂的速率飞出。设两速度在垂直于板面的同一平面内，且它们与直于板面的同一平面内，且它们与板面法线的夹角分别为板面法线的夹角分别为45o和和30o，求：求：（1）乒乓球得到的冲量；乒乓球得到的冲量；（2）若若撞击时间为撞击时间为0.01s，求板施于球的平求板施于球的平均冲力的大小和方向均冲力的大小和方向。45o 30o nv2v1解：取挡板和球为研究对象，由于解：取挡板和球为研究对象，由于作用时间很短，忽略重力影响。设作用时间很短，忽略重力影响。设挡板对球的冲力为挡板对球的冲

18、力为 则有则有：F12vmvmdtFI 45o 30o nv2v1Oxy取坐标系，将上式投影，有：取坐标系，将上式投影，有：tFmvmvdtFIxxx )45cos(30cos12tFmvmvdtFIyyy 45sin30sin122.5g m/s20 m/s10 0.01s21 m vvt N14.6 N7 .0 N1 .622 yxyxFFFFFsNjijIiIIyx 007. 0061. 0 为平均冲力为平均冲力与与x方向的夹角方向的夹角。6.54 tan 1148.0 xyFF用矢量法解用矢量法解45o 30o nv2v1Oxy105cos2212222212vvmvmvmtFI Ns

19、1014. 62 N14. 6 tIF 105sinsin2tFmv 51.86 0.7866sin 86. 64551.86 v2v1v1tFx 例三、例三、 一质量均匀分布的柔软细绳一质量均匀分布的柔软细绳铅直地悬挂着，绳的下端刚好触到水平铅直地悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌面上，如果把绳的上端放开，绳将落桌面上，如果把绳的上端放开，绳将落在桌面上。在桌面上。试证明试证明：在绳下落的过程中，：在绳下落的过程中，任意时刻作用于桌面的压力，等于已落任意时刻作用于桌面的压力，等于已落到桌面上的绳重量的三倍。到桌面上的绳重量的三倍。ox证明：证明：取如图坐标，设取如图坐标，设t时刻已有时刻已有x长

20、的柔绳落至桌面，长的柔绳落至桌面，随后的随后的dt时间内将有质量为时间内将有质量为 dx（Mdx/L)的柔绳以的柔绳以dx/dt的速率碰到桌面而停止，它的动量变化率为：的速率碰到桌面而停止，它的动量变化率为：dtdtdxdxdtdp 根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：2vdtdtdxdxdtdpF 柔绳对桌面的冲力柔绳对桌面的冲力FF即：即：LMgxFgxvvLMvF/2 2 222 而而 而已落到桌面上的柔绳的重量为而已落到桌面上的柔绳的重量为mg=Mgx/L所以所以F总总=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg2-4 动量守恒和能量守恒动量守恒和能量守

21、恒一、功、功率一、功、功率1 1、功、功力的空间积累力的空间积累外力作功是外界对系统过程的一个作用量外力作功是外界对系统过程的一个作用量riFiAB 21rrrdFdAA kFjFiFFzyx kdzjdyidxrd dsFrdFdA cos 微分形式微分形式直角坐标系中直角坐标系中 xxzzzyyyxbazyxzdFydFdxFdzFdyFdxFA000例例1 作用在质点上的力为作用在质点上的力为)(42Nji yF 在下列情况下求质点从在下列情况下求质点从)(21mx 处运动到处运动到)(32mx 处该力作的功：处该力作的功：1. 质点的运动轨道为抛物线质点的运动轨道为抛物线yx42 2.

22、 质点的运动轨道为直线质点的运动轨道为直线64 xyXYO23125. 2yx42 64 xy做做功功与与路路径径有有关关)(42Nji yF JdydxxdyydxdyFdxFAyyxxyxyxyx8104242491322121212211.)(, XYO23125. 2yx42 64 xyJdydxxdyydxdyFdxFAyyxxyxyxyx252146214249132221212211.)()(, bazyxBAdzFdyFdxFrdFA2、功率、功率 力在单位时间内所作的功力在单位时间内所作的功tWP平均功率：dtdWtWPt0lim瞬时功率：瞬时功率等与力与物体速度的标积瞬时功

23、率等与力与物体速度的标积单位：瓦特单位：瓦特 WrdFdW vFdtrdFP 二、保守力的功二、保守力的功1 1、保守力、保守力某些力对质点做功的大小只某些力对质点做功的大小只与质点的始末位置有关与质点的始末位置有关，而而与路径无关与路径无关。这种力称为保守力。这种力称为保守力。典型的保守力：典型的保守力： 重力、万有引力、弹性力重力、万有引力、弹性力与保守力相对应的是与保守力相对应的是耗散力耗散力典型的耗散力：典型的耗散力： 摩擦力摩擦力0 rdFA2、重力的功重力的功m在重力作用下由在重力作用下由a运动到运动到b，取地面为坐标原点，取地面为坐标原点. baGrdgmA可见，可见，重力是保守

24、力重力是保守力。XYZOab gmrd bazzmgdz ba)kdzjdyidx(k)mg(bamgzmgz 初态量初态量末态量末态量3、弹力的功弹力的功kxF可见，弹性力是保守力。可见，弹性力是保守力。XOab 弹簧振子弹簧振子222121bakxkx 初态量初态量末态量末态量)(222121abxxkxkxkxdxAba 4、引力的功引力的功 两个质点之间在引力作用下相对运动时两个质点之间在引力作用下相对运动时 ，以，以M所在处为原点所在处为原点,M指向指向m的方向为矢径的正方向。的方向为矢径的正方向。m受的引力方向与矢径方向相反。受的引力方向与矢径方向相反。可见万有引力是保守力。可见万

25、有引力是保守力。rabrdrFMmrdrab rdrrdrrdr cos)1(1 1 2barrbarGMmrGMmdrrGMmrdfAba 例例2、一陨石从距地面高为、一陨石从距地面高为h处由静止开始落向地面，处由静止开始落向地面，忽略空气阻力，求陨石下落过程中，万有引力的功忽略空气阻力，求陨石下落过程中，万有引力的功是多少？是多少？解：取地心为原点，引力与矢径方向相反解：取地心为原点，引力与矢径方向相反abhRo RhRrdFA)(hRRGMmh 2 RhRdrrMmG hRRGMmrdrGMmRhR11 2例例3、质量为质量为2kg的质点在力的质点在力i tF12(SI)的作用下，从静止

26、出发，沿的作用下，从静止出发，沿x轴正向作直线运动。轴正向作直线运动。求前三秒内该力所作的功。求前三秒内该力所作的功。解：（一维运动可以用标量）解：（一维运动可以用标量） vdttrdFA122000032120tdttdtmFadtvvttt JtdttdtttA7299363124303302 例例4、一对作用力和反作用力的功一对作用力和反作用力的功or1r2r21 m1m2dr1dr2f2f1m1、m2组成一个封闭系统组成一个封闭系统在在dt 时间内时间内2211rdfrdfdA 1111rdfrm 2112rrr )()(122122rrdfrdrdfdA 21ff 212rdfdA

27、2222rdfrm 三、动能定理三、动能定理 iiiikikvmEE221ni, 2 , 1 质点的质点的动能动能质点系统的质点系统的动能动能221mvEk AB rifi 质点的动能定理质点的动能定理 合外力对质点所合外力对质点所做的功做的功等于质点等于质点动能的增量动能的增量。功功是质点是质点动能动能变化的量度变化的量度过程量过程量状态量状态量1221222212121212121KKvvEEmvmvmvdrdfA )(物体受外力作用物体受外力作用运动状态变化运动状态变化动能变化动能变化末态动能末态动能初态动能初态动能动能是动能是相对量相对量四、四、势能、势函数势能、势函数 在受保守力的作

28、用下，质点在受保守力的作用下，质点从从AB，所做的功与路径无关，所做的功与路径无关，而只与这两点的位置有关。可引而只与这两点的位置有关。可引入一个只入一个只与位置有关的函数与位置有关的函数，A点点的函数值减去的函数值减去B点的函数值，定义点的函数值，定义为从为从A B保守力所做的功，该函保守力所做的功，该函数就是势能函数。数就是势能函数。AB定义了势能差定义了势能差选参考点（势能零点），设选参考点（势能零点），设PBPAABEEA 0 PBEPAABEA )()(bafrMmGrMmGA 222121baskxkxA baGmgzmgzA pppbaEEErdFAba 保保保保保守力保守力做正

29、功做正功等于相应势能的等于相应势能的减少减少；保守力保守力做负功做负功等于相应势能的等于相应势能的增加增加。KKAKBEEEmvmvA 21222121外力外力做正功做正功等于相应动能的等于相应动能的增加增加；外力外力做负功做负功等于相应动能的等于相应动能的减少减少。比比较较重力势能重力势能（以地面为零势能点）（以地面为零势能点）mgyymgmgdyEyP )0(0引力势能引力势能（以无穷远为零势能点）（以无穷远为零势能点）rGMmdrrMmGErP12弹性势能弹性势能（以弹簧原长为零势能点）（以弹簧原长为零势能点）22021210kxkxdxkxExp )(势势能能只只具具有有相相对对意意义

30、义系统的机械能系统的机械能pkEEE 质点在某一点的质点在某一点的势能大小等于在相应的保守力的作用势能大小等于在相应的保守力的作用下，由所在点移动到零势能点时保守力所做的功下，由所在点移动到零势能点时保守力所做的功。注意：注意：1、计算势能必须规定零势能参考点。势能是相对量，、计算势能必须规定零势能参考点。势能是相对量，其量值与零势能点的选取有关。其量值与零势能点的选取有关。2、势能函数的形式与保守力的性质密切相关，对应于、势能函数的形式与保守力的性质密切相关，对应于一种保守力的函数就可以引进一种相关的势能函数。一种保守力的函数就可以引进一种相关的势能函数。3、势能是属于以保守力形式相互作用的

31、物体系统所共、势能是属于以保守力形式相互作用的物体系统所共有的。有的。4、一对保守力的功等于相关势能增量的负值。因此，、一对保守力的功等于相关势能增量的负值。因此，保守力做正功时，系统势能减少；保守力做负功时，系保守力做正功时，系统势能减少；保守力做负功时，系统势能增加。统势能增加。五、势能曲线五、势能曲线几种典型的势能曲线几种典型的势能曲线（d）原子相互作用）原子相互作用 势能曲线势能曲线势能曲线势能曲线:势能随势能随位置变化的曲线位置变化的曲线hEp（h）O21（a）lEp（l）O（b）rEp（r）OpE（c）r0Ep（r）Or2（d）（a）重力势能曲线）重力势能曲线（b）弹性势能曲线）弹

32、性势能曲线（c）引力势能曲线）引力势能曲线势能曲线提供的信息势能曲线提供的信息1、质点在轨道上任意位置时，、质点在轨道上任意位置时， 质点系所具有的势能值。质点系所具有的势能值。2、势能曲线上任意一点的斜率、势能曲线上任意一点的斜率 的负值，的负值，表示质点在该处所受的保守力表示质点在该处所受的保守力 dldEP平衡位置平衡位置势能曲线有极值，质点处于平衡位置。势能曲线有极值，质点处于平衡位置。 2002000)(21)()(21)()()(xxUxUxxUxxUxUxU 200)(21)()(xxUxUxUX)(xUabc ABCdxdUf xxUxUf )()(000 fdxdU)()(x

33、UxEp 势势能能函函数数xxUxUf )()(0势能曲线取极小值的平衡点势能曲线取极小值的平衡点0)(0 xU0000 fxxfxx力总是指向平衡位置力总是指向平衡位置势能曲线取极大值的平衡点势能曲线取极大值的平衡点0)(0 xU0000 fxxfxx力总是背离平衡位置力总是背离平衡位置X)(xUabc ABC稳定平衡稳定平衡ca,不稳定平衡不稳定平衡bX)(xUabc ABC图中势能曲线可分成图中势能曲线可分成势阱势阱A、势阱势阱C和势垒和势垒B三个区间三个区间。设系统机械能守恒，由此设系统机械能守恒，由此势能曲线可分析系统状态势能曲线可分析系统状态的变化。的变化。1E2E3EE=E1 系

34、统被限制在势阱系统被限制在势阱A中运动中运动E=E2 系统在势阱系统在势阱A或或C中运动，且二者只居其一中运动，且二者只居其一。E=E3 系统可在系统可在xxd的区域自由运动的区域自由运动。d 六、质点系的动能定理与功能原理六、质点系的动能定理与功能原理对第对第i质点运用动能定理：质点运用动能定理：212221212121iiiiiijiivmvmrdfrdF 外外2112211211212121iiniiiniiniijniivmvmrdfrdF 外外对所有质点求和可得：对所有质点求和可得：注意注意：不能先求合力，再求合力的功；不能先求合力，再求合力的功；只能先求每个力的功，再对这些功求和。

35、只能先求每个力的功，再对这些功求和。12KKEEAAA 内内保保内内非非外外2112211211212121iiniiiniiniijniivmvmrdfrdF 外外质点系总动能的增量等于外力的功与质点系内保守力质点系总动能的增量等于外力的功与质点系内保守力的功和质点系内非保守力的功三者之和。的功和质点系内非保守力的功三者之和。质点系的动能定理质点系的动能定理PPPEEEA )(12内内保保)()(1212PPKKEEEEAA 内内非非外外12EEAA 内内非非外外外力对系统和系统非保守内力做功之和等于外力对系统和系统非保守内力做功之和等于系统机械能的增量。系统机械能的增量。0 内内非非外外A

36、A当外力对系统做功为零和系统非保守内力做当外力对系统做功为零和系统非保守内力做功为零时，系统的机械能守恒。功为零时，系统的机械能守恒。七、机械能守恒定律七、机械能守恒定律0 内内非非外外若若AA0 内内非非外外若若AA0 内内非非外外若若AA系统的机械能增加系统的机械能增加系统的机械能减少系统的机械能减少系统的机械能保持不变系统的机械能保持不变:时时当当外外0 A0 内内非非若若A系统的机械能增加系统的机械能增加0 内内非非若若A系统的机械能减少系统的机械能减少0 内内非非若若A系统的机械能保持不变系统的机械能保持不变例例 一个质量为一个质量为、半径为、半径为的定滑的定滑轮（当作均匀圆盘）上面

37、绕有细绳，轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为一质量为的物体而下垂。忽略轴处的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体摩擦，求物体由静止下落高度由静止下落高度时时的速度和此时滑轮的角速度。的速度和此时滑轮的角速度。解：据机械能守恒定律：解：据机械能守恒定律：MmmghvRv 24可解出 222121mvJmgh 取滑轮、物体、地球为系统取滑轮、物体、地球为系统第三章第三章 刚体的转动刚体的转动 3-1 3-1 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律一、质点的角动量一、质点的角动量OL dvm 质点相对质点相对O点的矢径点的矢径 与

38、质点与质点的动量的动量 的矢积定义为该时的矢积定义为该时刻质点相对于刻质点相对于O点的角动量，点的角动量，用用 表示。表示。rvmLvmrL sinrmvL 2mrrmvL 直角坐标系中角直角坐标系中角动量的分量表示动量的分量表示yzxzpypL zxyxpzpL xyzypxpL 二、质点的角动量定理二、质点的角动量定理1 1、力矩、力矩OMrp FrM sinFrM 力矩的分量式力矩的分量式: :yzxzFyFM zxyxFzFM xyzyFxFM 对轴的力矩对轴的力矩单位：牛单位：牛米米（N m）2、质点的角动量定理、质点的角动量定理（2）力力 的作用线与矢径的作用线与矢径 共线即共线即

39、( )( )。Fr0 sin有心力：有心力： 物体所受的力始终指向（或背离）某一物体所受的力始终指向（或背离）某一固定点固定点力心力心力矩为零的情况力矩为零的情况: :（1）力力 等于零等于零；FFrM vmrL )(vmrdtddtLd vmdtrddtvmdr )(vmdtrddtvmdrdtLd )(dtvmdF)( dtrdv vmvFrdtLd 0 vmvMdtLd MFr 120 LLdtMtt 作用在质点上的力矩等于角动量对时间的变化率。作用在质点上的力矩等于角动量对时间的变化率。外力矩对系统的角冲量（冲量矩）等于角动量的增量。外力矩对系统的角冲量（冲量矩）等于角动量的增量。角动

40、量定理的微分形式角动量定理的微分形式角动量定理的积分形式角动量定理的积分形式dtLdM 0 M若若常常矢矢量量 vmrL三、质点角动量守恒定律三、质点角动量守恒定律 质点所受外力对固定点的力矩为零，则质点质点所受外力对固定点的力矩为零，则质点对该固定点的角动量守恒。对该固定点的角动量守恒。 质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律。3-2 刚体的定轴转动刚体的定轴转动一、质点系的角动量定理一、质点系的角动量定理1、质点系对固定点的角动量定理、质点系对固定点的角动量定理对由对由n个质点组成的质点系中第个质点组成的质点系中第i个质点，有：个质点，有：)()(11iiinjjiiivmrdtdfFr

41、 外外质点质点i受力受力对对i求和有：求和有：)(11111iiinininjjiiniivmrdtdfrFr 外外因内力成对出现故该项为零因内力成对出现故该项为零)(11iiiniiniivmrdtdFr 外外得：得： 作用于质点系的作用于质点系的外力矩的矢量和外力矩的矢量和等于等于质点系质点系角动量的增量角动量的增量。 质点系对固定点的质点系对固定点的角动量定理角动量定理2、质点系对轴的角动量定理、质点系对轴的角动量定理)sin(11iiiininiizvmrdtdM )(121 niiiniizrmdtdMdtdLIdtdMzniiz )(1 iirv 2 i因有：因有：设质点系内各质点

42、均在各自的转动平面内绕同一轴转动设质点系内各质点均在各自的转动平面内绕同一轴转动转动惯量转动惯量I i iivimirO质点系的转动惯量质点系的转动惯量单位为千克单位为千克米米2（kgm2）3、转动惯量的计算、转动惯量的计算与转动惯量有关的与转动惯量有关的因素因素： 质量分布质量分布与与转轴的位置转轴的位置。2mrI niiirmI12)(单个质点的转动惯量单个质点的转动惯量质量连续分布的刚体的转动惯量质量连续分布的刚体的转动惯量 mdmrI2dldmdsdmdVdm质量为线分布质量为线分布质量为面分布质量为面分布质量为体分布质量为体分布其中其中 、 、 分别分别为质量的线密度、为质量的线密度

43、、面密度和体密度。面密度和体密度。线分布线分布体分布体分布面分布面分布注注意意只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量。的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量。例例1、求质量为、求质量为m、半径为、半径为R的均匀圆环的转动惯量。的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。轴与圆环平面垂直并通过圆心。解解: dmrI2I是可加的，所以若为薄圆筒是可加的，所以若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。（不计厚度）结果相同。ROdm222mRdmRdmR 例例2、求质量为、求质量为m、半径为、半径为R、厚为、厚为l 的均匀圆盘

44、的转的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。解：取半径为解：取半径为r宽为宽为dr的薄圆环的薄圆环,dVdm drlrdmrdJ322 ZORlRdrlrdIIR403212 可见，转动惯量与可见，转动惯量与l无关。所以，实心圆柱对其轴的无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是转动惯量也是mR2/2。2221mRIlRm lrdr 2例例3、求长为、求长为L、质量为、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。的转动惯量。ABLXABL/2L/2CX解：取如图坐标，解：取如图坐标，dm= dx dmrIC2 dmrIA23202/m

45、LdxxL 122222/mLdxxLL 平行轴定理平行轴定理前例中前例中IC表示相对通过质心的轴的转动惯量，表示相对通过质心的轴的转动惯量， IA表表示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距L/2。可见：。可见：222231411212mLmLmLLmIICA 推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴平行，相推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴平行，相距为距为d，刚体对其转动惯量为，刚体对其转动惯量为I，则有：，则有：IICmd2。这个结论称为这个结论称为平行轴定理平行轴定理。3/2mLIA 12/2mLIC 练习练习：右图所示，刚体对经过：右图所

46、示，刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？量如何计算？( (棒长为棒长为L、球、球半径为半径为R）2131LmILL 252RmIoo 2002002)(RLmIdmIIL 222)(5231RLmRmLmIooL LmOm二、刚体的转动定律二、刚体的转动定律 IdtdIMniiz 1刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律 刚体绕定轴转动时，它的角加速度与作用于刚刚体绕定轴转动时，它的角加速度与作用于刚体上的合外力矩成正比，与刚体对转轴的转动惯量体上的合外力矩成正比，与刚体对转轴的转动惯量成反比。成反比。dtdLIdtdMzniiz )(1 刚体转动定

47、律可由牛顿第二定律直接导出刚体转动定律可由牛顿第二定律直接导出dmddafF 和和 为合外力和合内力为合外力和合内力FdfddmadfdFdmadfdFnnndmrrdfrdF2将切向分量式两边同乘以将切向分量式两边同乘以r，变换得变换得ZMdf dFO rdFd dm dFn转动平面转动平面转动定律转动定律 z分解为作用在质量元分解为作用在质量元dm上的上的切向力切向力和和法向力法向力：MrdFrdfrdF对等式左边积分得到外力矩对等式左边积分得到外力矩角加速度对所有质量元都相等角加速度对所有质量元都相等于是有于是有 IdtdIM 所以所以 Idmrdmrmm )(22其中其中 mdmrI2写成矢量形式写成矢量形式dtdIIM m反映质点的反映质点的平动惯性平动惯性，I反映刚体的反映刚体的转动惯性转动惯性力矩力矩是使刚体是使刚体转动状态转动状态发生发生改变改变而产生而产生角加速度角加速度的原因。的原因。MI 与与地位相当地位相当amF 刚体绕定轴刚体绕定轴Z的的转动惯量转动惯量(moment of inertia)刚体定轴转动的转动定律的应用刚体定轴转动的转动定律的应用例例1、一个质量为、一个质量为