建筑制图3 点、直线的投影

1、封面点的投影点的投影点在两投影面体系中的投影点在两投影面体系中的投影点在三投影面体系中的投影点在三投影面体系中的投影点到投影面的距离点到投影面的距离点的投影与点的坐标的关系点的投影与点的坐标的关系两点的相对位置两点的相对位置目录点的两面投影点的两面投影点的两面投影两投影面体系两投影面体系 ：投影轴投影轴：X X轴轴。四个分角四个分角：HH、V V两投影面将空间划分为四个分角两投影面将空间划分为四个分角。水平投影面（水平面、水平投影面（水平面、HH面）面）正立投影面（正面、正立投影面（正面、V V面）面）a aA Aa aHHx xa aa aa aX XV VHH第第分角分角X XHHV VX

2、 XA A点的投影点的投影：HH面投影面投影a a , V V面投影面投影a a。投影面的展开投影面的展开：V V面不动，面不动，HH面绕面绕X X轴向下旋转与轴向下旋转与V V面重合。面重合。HHV V实际画图不画外框线实际画图不画外框线a aa ax x点的投影特性点的两面投影的特性点的两面投影的特性 2. 2. aaaax x=Aa=Aa，即点的水平投影到即点的水平投影到X X轴的距离，等于空间点到轴的距离，等于空间点到V V面的距离。面的距离。 3. 3. a aa ax x=A=Aa a，即点的正面投影到即点的正面投影到X X轴的距离，等于空间点到轴的距离，等于空间点到HH面的距离。

3、面的距离。x xa aa aa aX XV VHHa ax xa a 空间点到空间点到V V面的距离面的距离 空间点到空间点到HH面的距离面的距离1. 1. aaaa X X轴，即点的水平投影和正面投影的连线垂直于轴，即点的水平投影和正面投影的连线垂直于X X轴。轴。a aA A点的三面投影点的三面投影点的三面投影三投影面体系三投影面体系： HH面面、V V面面、WW面面。三投影轴三投影轴： OXOX轴轴、OYOY轴轴、 OZOZ轴轴。A A点的三投影点的三投影： HH面投影面投影a a、 V V面投影面投影a a、 WW面投影面投影aa 。投影面的展开投影面的展开：V V 面不动，面不动，H

4、 H 面向下，面向下，WW面向后旋转，与面向后旋转，与V V面在同一平面面在同一平面上上。a ax xa aa aa aZ Za aY YaaWWO OY YZ ZX XHHV VWWHHA A点的三面投影的特性点的三面投影的特性点的三面投影的特性1. 1. aaaa X X轴，即点的水平轴，即点的水平投影和正面投影的连线垂投影和正面投影的连线垂直于直于X X轴。轴。 2. 2. a a a a Z Z轴轴，即点的正面即点的正面 投影和侧面投影的连线垂直投影和侧面投影的连线垂直 于于Z Z轴。轴。 3. 3. aaaax x=a =a a az z，即点的水平即点的水平 投影到投影到X X轴的

5、距离，等于点轴的距离，等于点 的侧面投影到的侧面投影到Z Z轴的距离。轴的距离。z za aa aX XZ ZY YHHY YWWO Ox xa aa aa a点的投影与其坐标的关系点的投影、点到投影面的距离与点的坐标的关系点的投影、点到投影面的距离与点的坐标的关系： 点点A A到到WW面的距离为面的距离为： Aa=aAa=aa az z=aa=aay y =X =X坐标；坐标； 点点A A到到V V面的距离为面的距离为： AaAa=aa=aaz z=aa=aax x =Y =Y坐标坐标； 点点A A到到HH面的距离为面的距离为： Aa=aaAa=aay y=a=aa ax x=Z=Z坐标坐标

6、； 点的点的HH面投影反映点的面投影反映点的X X、Y Y坐标坐标； 点的点的WW面投影反映点的面投影反映点的Y Y、Z Z坐标坐标. 点的点的V V面投影反映点的面投影反映点的X X、Z Z坐标坐标；A A到到H H面面 距离距离Y YHHO OZ ZY YWWa aY Y HHa aY YWWa aZ Za aa ax xX Xa aaaA A到到V V面面 距离距离A A到到H H面面 距离距离A A到到W W面面 距离距离a aa aO OY YZ ZZ ZY YA Aa aa aa ax xV VHHaaWWA A到到W W面面 距离距离A A到到V V面面 距离距离（XYXY）（X

7、ZXZ）（YZYZ）点的三面投影由点的两投影（如已知由点的两投影（如已知V、H投影）求第三投影的方法投影）求第三投影的方法Y YHHO OZ ZY YWWa aY Y HHa aY YWWa aZ Za aa ax xX Xa aaa45454545线线法法分规量分规量法法Y YHHO OZ ZY YWWa aZ Za aa ax xX Xa aaaY YHHO OZ ZY YWWa aY Y HHa aY Y WW4545a aZ Za aa ax xX Xa aaa4545线线法法a aY Y HHa aY Y WWa aZ Za aa ax xa aY YHHO OZ ZY YWWX X

8、aa圆弧法圆弧法Y YWWZ Z0 0X XY YHH例:点的投影例例 已知各点的坐标已知各点的坐标, ,求各点的投影求各点的投影, ,并把各点的同面并把各点的同面 投影两两连成直线投影两两连成直线. .2 23 3点点名名坐坐标标X XY YZ ZA AC CD DB B2 26 62 21 13 33 36 62 26 60 0c cc cc c1b bb bbb36a aa aaa622d dd ddd36两点的相对位置两点的相对位置两点的相对位置 通常判断两个点在空间的通常判断两个点在空间的 相对相对 位置，是将其中一点位置，是将其中一点 作为作为基准点基准点，判断另一点，判断另一点（

9、即（即比较点比较点） 与基准点的与基准点的 左右、前左右、前 后、上下后、上下 关系关系： 在在V、H投影面上，投影面上，X反反 映了两个点的映了两个点的左右左右关系；关系；X XY YZ ZB BA Aa ab bb ba ab ba ao oHHV VWWX XY YZ Z基准点基准点B点在点在A点的左、后、上方点的左、后、上方在在V、W投影面上，投影面上，Z反反 映了两个点的映了两个点的上下上下关系关系。在在H、W投影面上，投影面上，Y反反映了两个点的映了两个点的前后前后关系；关系；b bb bb ba aX XY YHHZ ZY YWWa aa aY YWWZ Z0 0X XY YHH

10、2 22 22 26 63 34 4例:点的投影例例 已知点已知点A(6,3,4),BA(6,3,4),B点在点在A A点的右、前、上方各点的右、前、上方各2 2个单个单 位，位，C C点在点在B B点的正下方点的正下方3 3个单位，求各点的投影。个单位，求各点的投影。a aa aaa3 3b bb bbb(c)(c)c cc ca aa aX XY YHHZ ZY YWWb bb ba(b)a(b)X XY YZ ZB BA Aa ab bb ba aa a（b b）o oHHV VWW重影重影两点的相对位置点的重影及其可见性判断点的重影及其可见性判断 当空间两点处在对某一投影当空间两点处在

11、对某一投影 面面 的同一条投影线上时，的同一条投影线上时， 它们在该投影面上的投影便它们在该投影面上的投影便 重合在一起。这些点称为对重合在一起。这些点称为对 该投影面的该投影面的重影点重影点。重合在。重合在 一起的投影称为一起的投影称为重影重影。 重影点的投影有可见与不可重影点的投影有可见与不可 见之分：不可见的投影加上见之分：不可见的投影加上 括号。括号。 判断重影点投影的可见判断重影点投影的可见与否，只需从非重影的投影与否，只需从非重影的投影来加与区分，即比较其相应来加与区分，即比较其相应坐标的大小。坐标的大小。重影点重影点重影点重影点因因ZA大于大于ZB,所以所以a a可见，可见，b

12、b不可见不可见重影重影Z ZA AZ ZB B重影点判断标准重影点判断标准 上遮下，左遮右，前遮后坐标值大者遮小者直线的投影直线的投影 各种位置直线的投影各种位置直线的投影 两直线的相对位置两直线的相对位置目录 直线上的点直线上的点 1、一般位置直线一般位置直线（一般线一般线）：）：与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜的直的直线称线称为为一一 般位置直线般位置直线。直线与投影面的相对位置各种位置直线的投影各种位置直线的投影直线与投影面的相对位置直线可分为三类：直线与投影面的相对位置直线可分为三类： 2、投影面平行线投影面平行线：平行于一个投影面而与另二投影平行于一个投影面而与另二投影面倾斜的直

13、线称为该面倾斜的直线称为该投影面的平行投影面的平行线线。（平行于。（平行于H H面的直面的直线称为线称为水平线水平线，平行于，平行于V V面的直线称为面的直线称为正平线正平线，平行于，平行于W W面的直线称为面的直线称为侧平线侧平线） 3、投影面垂直线投影面垂直线：垂直于一个投影面（必平行于另垂直于一个投影面（必平行于另二投影面）的直线称为该二投影面）的直线称为该投影面的投影面的垂直线垂直线。（垂直于。（垂直于H H面面的直线称为的直线称为铅垂线铅垂线，垂直于，垂直于V V面的直线称为面的直线称为正垂线正垂线，垂直，垂直于于W W面的直线称为面的直线称为侧垂线侧垂线）一般位置直线的投影特性一般

14、位置直线的投影特性 三个投影长度均小于实长，并倾斜于投影轴，且不反映三个投影长度均小于实长，并倾斜于投影轴，且不反映与投影面的倾角。与投影面的倾角。(直线与直线与H H面的倾角记为面的倾角记为 , ,与与V V面的倾角记面的倾角记为为 , ,与与W W面的倾角记为面的倾角记为 。) )a ab bbbaaa ab bB BA Ao oZ ZX XY YV VWWHHHHY YZ ZX Xo oWWY Ya aa ab bb bbbaa一般位置直线1. ab=AB; 1. ab=AB; 即即HH面面投影反映实长；投影反映实长；2. H2. H面投影与投影轴的夹角反映面投影与投影轴的夹角反映角和角

15、和角角; ;O OZ ZY YHHX XY YWWb baaa aa ab bbbZ ZV VY YWWX XO OHHa ab bb ba aA AB BaabbH H面平行线面平行线( (水平线水平线) )立立 体体 图图投投 影影 图图3. V3. V面投影和面投影和WW面投影垂直于面投影垂直于OZOZ轴轴 （即直线上所有的点的（即直线上所有的点的Z Z坐标相等）。坐标相等）。投影投影特点特点水平线V V面平行线面平行线( (正平线正平线) )立立 体体 图图投投 影影 图图投影投影特点特点正平线1. a1. ab b=AB=AB，即，即V V面投影反映实长；面投影反映实长；2. V2.

16、 V面投影与投影轴的夹角反映面投影与投影轴的夹角反映角和角和角角; ;V VHHWWZ ZY YX XO Obbaaa ab ba ab bY YHHY YWWX XZ ZO Ob ba aaaa ab bbbA AB B3. H3. H面投影垂直于面投影垂直于OYOYHH轴，轴，WW面投影垂直于面投影垂直于OYOYWW轴轴 （即直线上所有的点的（即直线上所有的点的Y Y坐标相等）。坐标相等）。W W面平行线面平行线( (侧平线侧平线) )立立 体体 图图投投 影影 图图投影投影特点特点侧平线X XY YWWZ ZY YHHO Oa ab bZ ZV VX XY YHHWWO Oa ab bb

17、baaA AB Ba ab ba ab ba ab b1. a b =AB , 1. a b =AB , 即即WW面投影反映实长；面投影反映实长；2. 2. 侧面投影与投影轴的夹角反映侧面投影与投影轴的夹角反映角和角和角角; ;3. H3. H面投影和面投影和V V面投影垂直于面投影垂直于OXOX轴轴 （即直线上所有的点的（即直线上所有的点的X X坐标相等）。坐标相等）。H H面垂直线面垂直线( (铅垂线铅垂线) )立立 体体 图图投投 影影 图图投影投影特点特点铅垂线Y YHHZ ZX XY YWWO Oaabbb ba aV VWWHHZ ZX XO OY YA AB Ba a(b)(b)

18、b ba aa(b)a(b)aabb1. H1. H面投影积聚为一点；面投影积聚为一点；2. V2. V面投影垂直于面投影垂直于OXOX轴，轴，WW面投影垂直于面投影垂直于OYOYWW轴轴 （即直线上所有的点的（即直线上所有的点的X X坐标和坐标和Y Y坐标相等）；坐标相等）；3. V3. V面投影和面投影和WW面投影反映实长。面投影反映实长。V V面垂直线面垂直线( (正垂线正垂线) )立立 体体 图图投投 影影 图图投影投影特点特点正垂线1. V1. V面投影积聚为一点；面投影积聚为一点；O OY YHHZ ZX XY YWWa a(b(b) )b ba aaabbV VZ ZX XY Y

19、O OWWHHA AB Bbbaaa ab ba a(b(b) )2. H2. H面投影垂直于面投影垂直于OXOX轴，轴，WW面投影垂直于面投影垂直于OZOZ轴轴 （即直线上所有的点的（即直线上所有的点的X X坐标和坐标和Z Z坐标相等）；坐标相等）；3. H3. H面投影和面投影和WW面投影反映实长。面投影反映实长。W W面垂直线面垂直线( (侧垂线侧垂线) )立立 体体 图图投投 影影 图图投影投影特点特点侧垂线1. W1. W面投影积聚为一点；面投影积聚为一点；HHWWV VO OZ ZY YX XA AB BY YHHO OX XZ ZY YWW(b)(b)aab ba ab ba a

20、b ba a(b)(b)aaa ab b2. H2. H面投影垂直于面投影垂直于OYOYHH轴，轴，V V面投影垂直于面投影垂直于OZOZ轴轴 （即直线上所有的点的（即直线上所有的点的Y Y坐标和坐标和Z Z坐标相等）；坐标相等）；3. H3. H面投影和面投影和V V面投影反映实长。面投影反映实长。A AB BC CD DE E(F)(F) 例例 判断形体中的轮廓线与投影面的相对位置判断形体中的轮廓线与投影面的相对位置a ad db bc cd dbbc ce(f)e(f)b b(e (e) )c c(f (f) )a(e)a(e)d(f)d(f)a aEFEF是铅垂线是铅垂线CFCF是正垂

21、线是正垂线DFDF是侧垂线是侧垂线CDCD是水平线是水平线ADAD是正平线是正平线BCBC是侧平线是侧平线例1A AB BC CD DE E(F)(F) 例例 判断形体中的轮廓线与投影面的相对位置判断形体中的轮廓线与投影面的相对位置a ad db bc cd dbbc ce(f)e(f)b b(e (e) )c c(f (f) )a(e)a(e)d(f)d(f)a aEFEF是是CFCF是正垂线是正垂线DFDF是侧垂线是侧垂线CDCD是水平线是水平线ADAD是正平线是正平线BCBC是侧平线是侧平线例1o oZ ZX XY YV VWWHHA AB Ba ab bb ba aa ab ba ab

22、 b直线上的点直线上的点直线上的点直线上的点的投影，一定落在该直线的同面投影上直线上的点的投影，一定落在该直线的同面投影上（归属性归属性）。）。一直线上两线段长度之比，等于它们的投影长度之比一直线上两线段长度之比，等于它们的投影长度之比（等比性等比性）。）。C Cc cc cAC/CB=ac/cb=a c /c bAC/CB=ac/cb=a c /c bc cc co oZ ZX XY YV VWWHH例5（直线上取点）直线上的点直线上的点 例例 在在AB线上求一点线上求一点C，使点，使点C与与V、H等距。等距。aabb 作作V-HV-H平面的分角面（此面垂直于平面的分角面（此面垂直于W W面

23、，积聚为一条面，积聚为一条4545线，面上所有的点均与线，面上所有的点均与V V、H H等距），求出等距），求出ABAB的的W W投影与此投影与此4545线的交点即得。线的交点即得。4545分角面分角面与与H面面距离距离与与V面面距离距离b ba ab bA AB Bbbaaa ac cc cC Ca ab ba ab bc cc cc cc co oZ ZX XY YV VWWHH直线上的点直线上的点 例例 在在AB线上求一点线上求一点C，使点，使点C与与V、H等距。等距。aabb 作作V-HV-H平面的分角面（此面垂直于平面的分角面（此面垂直于W W面，积聚为一条面，积聚为一条4545线，

24、面上所有的点均与线，面上所有的点均与V V、H H等距），求出等距），求出ABAB的的W W投影与此投影与此4545线的交点即得。线的交点即得。4545分角面分角面与与H面面距离距离与与V面面距离距离b ba ab bA AB Bbbaaa ac cc cC Ca ab ba ab bc cc cc cc c 两直线平行两直线平行a a b bd dc cX XO Oa ab bd dc ca ab bd dc cD DA AC CB Ba ab bc cd dHHV VO OX X 空间平行两直线，空间平行两直线，其同面投影仍互相平其同面投影仍互相平行。行。 反之，若两直线的反之，若两直线的

25、同面投影都互相平行，同面投影都互相平行，则这两直线平行。则这两直线平行。 判断两条一般线是否判断两条一般线是否平行，可判断任两投影平行，可判断任两投影是否平行即可；若是投影是否平行即可；若是投影面平行线，则要观察直线面平行线，则要观察直线所平行的投影面上的投影所平行的投影面上的投影是否平行来判断是否平行来判断。ABAB CDCDabab cdcd; ; a ab b c cd d e ef fe ee ef ff fm mm mn nn nmmnnX XO OY YY YZ ZWWHHEF EF MNMN? ?EFEF MNMN两直线平行 两直线相交两直线相交相交两直线，其同相交两直线，其同面

26、投影均相交，且面投影均相交，且交点的连线垂直于交点的连线垂直于投影轴。投影轴。反之，若两直线的同面投反之，若两直线的同面投影均相交，影均相交，且交点的连线且交点的连线垂直于投影轴，则垂直于投影轴，则两直线两直线相交。相交。若两直线中有一条为某一若两直线中有一条为某一投影面的平行线，则应利投影面的平行线，则应利用第三投影来进行判断。用第三投影来进行判断。( (本例中本例中和和点不是交点，点不是交点，因此，因此，AB与与CD不相交。不相交。) )A AB Bb ba aa ab bc cd dc cd dX XO Oa ab ba ab bc cd dc cd dHHV VO OX XC CD D

27、K Kk k k kk kk ka ab ba aaabbb bX XO OY YY YZ ZWWHHc cd dc cd dc cdd AB与与CD不相交不相交两直线相交c cd dc cd da aa ae ef fe ef f 两直线相交两直线相交例6（判断两直线相交）b bb b 例例 过点过点A作线作线AB EF，问问AB与与CD是否相交。是否相交。 因因G G点和点和HH点分属点分属CDCD和和ABAB，不是公有点，因此不是公有点，因此ABAB与与CDCD两直线不相交。两直线不相交。g g (h )(h )h hg g作图：作图： 作作abab ef,ef,交交cdcd于于h h

28、;作作 a b a b e f e f ,交交a a b b 于于g g (h(h ) )， 过过C C任作一任作一条长为条长为c dc d的的线线段段，并由，并由C C点起截取点起截取c c g g 和和g g d d ，得线段分点；得线段分点； 将将线线段末端与段末端与d d点连线，点连线，过过线线段分点段分点作作此此连线的平行连线的平行线得线得g g点点; ;c c g gg g d d c cd dc cd da aa ae ef fe ef f 两直线相交两直线相交b bb b 例例 过点过点A作线作线AB EF，问问AB与与CD是否相交。是否相交。 因因G G点和点和HH点分属点分

29、属CDCD和和ABAB，不是公有点，因此不是公有点，因此ABAB与与CDCD两直线不相交。两直线不相交。g g (h )(h )h hg g作图：作图： 作作abab ef,ef,交交cdcd于于h h ;作作 a b a b e f e f ,交交a a b b 于于g g (h(h ) )， 过过C C任作一任作一条长为条长为c dc d的的线线段段，并由，并由C C点起截取点起截取c c g g 和和g g d d ，得线段分点；得线段分点； 将将线线段末端与段末端与d d点连线，点连线，过过线线段分点段分点作作此此连线的平行连线的平行线得线得g g点点; ;c c g gg g d d

30、 两直线交叉 两直线交叉两直线交叉既不平行、也不相交的两直线称为既不平行、也不相交的两直线称为交叉两直线交叉两直线。交叉二直线的同面投影可能平行，但不可能所有同面投交叉二直线的同面投影可能平行，但不可能所有同面投影都平行；其同面投影可能相交，但交点连线不垂直于影都平行；其同面投影可能相交，但交点连线不垂直于投影轴。投影轴。b ba aa ab bc cd dc cd dV VHHO OX XA AB BD DC CF FE Ee e(f)(f)g g(j (j) )G GJ J重影点 两直线交叉两直线交叉 比较相邻投影两点的坐标大小，坐标比较相邻投影两点的坐标大小，坐标大的可见，坐标小的不可见。大的