材料力学第03章扭转

1、3.1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图3.3 纯剪切纯剪切3.4 圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力3.5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形3.6 非圆截面杆扭转非圆截面杆扭转第三章第三章 扭转扭转2/593.1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例3/59 杆的两端承受大小相等、方向相反、作用平面垂直于杆件轴线的两个力偶，杆的任意两横截面将绕轴线相对转动，这种受力与变形形式称为扭转扭转（torsion）。 以扭转为主要变形的杆件称为轴轴。 当两只手用力相等时，拧紧螺母的工具杆将产生扭转。4/59传动轴传动轴将产生扭转5

2、/596/593.2 外力偶矩的计算，扭矩和扭矩图外力偶矩的计算，扭矩和扭矩图7/59 工程中作用于轴上的外力矩 Me 往往不是直接给出的，而是给出轴所传递的功率 P (kW)和轴的转速 n (rpm)。602ddddeeenMMtMtWP)mN(9549)mkN(549. 9)rpm(2)kW(60enPnPnPM参照GB3101-93kWeN mr/min 9549 PMn8/59受扭构件的内力矩内力矩(扭矩扭矩)如何？ 截面法 由被截下部分的静力平衡，横截面上必有内力矩(扭矩)T 根据右手定则确定力偶矩矢的方向ee0MTMT9/59扭矩的正负号规定 按照右手螺旋法则，扭矩矢量的指向与截面

3、外法线方向一致为正，反之为负。10/59扭矩的计算及扭矩图的绘制1、计算各外力矩的大小（已知功率和转速）；、计算各外力矩的大小（已知功率和转速）；2、将各外力矩采用右手螺旋定则绘出外力矩矢；、将各外力矩采用右手螺旋定则绘出外力矩矢；3、取各控制截面，预设扭矩矢（内力矩矢）为正方向，列、取各控制截面，预设扭矩矢（内力矩矢）为正方向，列平衡方程，计算扭矩矢的大小；平衡方程，计算扭矩矢的大小；4、以轴线方向为横坐标，扭矩大小为纵坐标绘出扭矩图。、以轴线方向为横坐标，扭矩大小为纵坐标绘出扭矩图。11/59【例例3-1】 如图所示一传动系统，A为主动轮，B、C、D为从动轮。各轮的功率：PA=60kW，P

4、B=25kW，PC=25kW，PD=10kW，轴的转速 n = 300 r/min。画出轴的扭矩图。12/59【例例3-1】解解(1)求外力偶mN7963002595499549eenPMMBCBmN19103006095499549enPMAAmN3183001095499549enPMDD13/59(2)求各段上的扭矩将外力偶画成力偶矩矢的形式取3个截面计算扭矩01eTMBmN796e1BMT02eeTTMABmN11142T0e3DMTmN318e3DMT14/59【例例3-1】解解(3)画扭矩图mN7961TmN11142TmN3183T15/59【例例3-1】讨论讨论 传动轴上主动轮

5、和从动轮安置的位置不同，轴所承受的最大扭矩也不同。将主动轮布置在中间位置比较合理。16/593.3 纯剪切纯剪切17/593.3.1 薄壁圆筒扭转时的切应力薄壁圆筒扭转时的切应力圆筒发生扭转后，方格由矩形 薄壁圆筒 壁厚远小于其平均直径 dr/10平行四边形切应变正应变为0无正应力圆筒沿轴线及周线的长度无变化18/593.3.1 薄壁圆筒扭转时的切应力薄壁圆筒扭转时的切应力因为圆筒壁厚很小，可以认为沿筒壁厚度切应力不变。横截面上所有 t 组成力系的合力为该横截面的扭矩 Ttddtt220e2ddrrrArMTA22Trtd19/593.3.2 切应力互等定理切应力互等定理 用相邻的两个横截面和

6、两个纵向面，从圆筒中取出边长为dx，dy 和d 的单元体圆筒平衡单元体平衡 上下两个侧面必有切应力 0 xF上下两个侧面切应力大小相等，方向相反 0zMyxxydddddtdttt20/593.3.2 切应力互等定理切应力互等定理 在相互垂直的一对平面上，切应力在相互垂直的一对平面上，切应力同时存在，数值相等，且都垂直于两个同时存在，数值相等，且都垂直于两个平面的交线，方向共同指向或共同背离平面的交线，方向共同指向或共同背离这一交线。这一交线。21/593.3.3 剪切胡克定律剪切胡克定律 单元体上下左右四个侧面上只有切应力而无正应力 纯剪切试验结果表明，当切应力不超过材料的剪切比例极限时，有

7、E, n，G三者关系Gt2 1EGn22/593.4 圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力23/593.4.1 圆轴扭转切应力的计算公式圆轴扭转切应力的计算公式综合研究几何、物理、静力学几方面的关系。圆轴扭转时，各横截面如同刚性圆片，仅绕轴线作相对旋转。24/593.4.1 圆轴扭转切应力的计算公式圆轴扭转切应力的计算公式1. 几何方面dd x其中 表示扭转角沿轴线长度方向的变化率，而 称为相对扭转角相对扭转角。xdd同一截面上 为常数，因此 与 成正比xddxdd25/593.4.1 圆轴扭转切应力的计算公式圆轴扭转切应力的计算公式2. 物理方面在剪切比例极限内xGGddtt由于

8、 发生在垂直于半径的平面内，所以 也应与半径垂直。t26/593.4.1 圆轴扭转切应力的计算公式圆轴扭转切应力的计算公式3. 静力学方面微剪力 tdA其对圆心的力矩 (tdA)横截面上，所有微力矩之和等于扭矩TAAdt27/593.4.1 圆轴扭转切应力的计算公式圆轴扭转切应力的计算公式3. 静力学方面TAAdtxGGddt代入物理方程TAxGAddd2极惯性矩AAId2ppddGITxpGITGtpTIt28/593.4.1 圆轴扭转切应力的计算公式圆轴扭转切应力的计算公式4. 切应力计算公式适应条件等直圆杆；等直圆杆；横截面上的最大切应力小于剪切比例极限横截面上的最大切应力小于剪切比例极

9、限T：扭矩Ip：横截面的极惯性矩：所求切应力点到圆心的距离pTIt29/593.4.2 最大切应力和强度条件最大切应力和强度条件圆心处 0 t 0 外表面 max t t maxRITITRIT/pppmaxmaxt取pp/WRIWp 扭转截面系数扭转截面系数，单位 mm3 m3pTItmaxpTWt30/593.4.2 最大切应力和强度条件最大切应力和强度条件maxtmaxt31/593.4.2 最大切应力和强度条件最大切应力和强度条件极惯性矩和扭转截面系数的计算AAId2pd)d(dAdd2pI32dd420203DD 4p32DI 3pp/ 216IDWD32/593.4.2 最大切应力

10、和强度条件最大切应力和强度条件极惯性矩和扭转截面系数的计算D/d4444p()(1)3232DdDI4434p()(1)32( /2)16DdDWD33/593.4.2 最大切应力和强度条件最大切应力和强度条件强度条件对于等截面圆轴而言，最大扭矩所在的截面为危险截面 ttpmaxmaxWT 不同材料的许用切应力t 各不相同，通过扭转试验测得各种材料的扭转极限应力tu，除以安全因数n得到。 nutt34/593.4.2 最大切应力和强度条件最大切应力和强度条件塑塑性材料: 屈服沿横截面剪断脆脆性材料: 沿与轴线约45方向的螺旋面断裂塑塑性材料屈服时横截面上的最大切应力 ts脆脆性材料屈服时横截面

11、上的最大切应力 tb统称为材料的扭转极限应力扭转极限应力tu35/59【例例3-2】 实心圆轴和空心圆轴通过牙嵌式离合器相联，并传递功率，如图所示。已知轴的转速n=100 r/min，传递的功率 P = 7.5kW。若两传动轴横截面上的最大切应力均等于40MPa，并且已知空心轴的内外径之比=0.5，试确定实心轴的直径与空心轴的外径。36/59【例例3-2】解解(1)计算扭矩e7.59549N m100716.2N mTM(2)根据强度条件计算直径实心轴MPa401631pmaxdTWTtmm45MPa40mmN102 .71616331d37/59【例例3-2】解解空心轴MPa40116432

12、pmaxtDTWTmm46MPa405 . 01mmN102 .716163432Dmm235 . 022Dd实心和空心轴的横截面面积之比21122222214511.28461 0.5AdAD 轴长度相同，承受扭矩相同，则在最大切应力相同的情况下，实心轴要使用更多的材料。38/59【例例3-3】 如图所示圆柱形密圈螺旋弹簧，沿弹簧轴线承受拉力F。所谓密圈螺旋弹簧，是指升角 很小的弹簧。设弹簧的平均直径为D，弹簧丝的直径为d，试分析弹簧的应力并建立相应的强度条件。39/59【例例3-3】解解(1)分析内力，用截面法如图截取上部由于 很小，所取截面近似为弹簧的横截面截面上的内力有剪力 FF s扭

13、矩 2FDT 40/59【例例3-3】解解(2)求切应力a.由剪力引起的切应力，假设沿横截面均匀分布22s44dFdFtb.由扭矩引起的切应力33max8162dFDdFD t最大切应力发生在截面内侧。如图 DddFD2183maxmaxttt41/59【例例3-3】解解当弹簧的直径D 弹簧丝的直径d (D/d 10) DddFD2183maxmaxttt3max8dFDt当D/d 10，或在计算精度要求较高的情况下，不仅不能忽略剪力引起的切应力，还要考虑弹簧丝曲率的影响。最大切应力公式修正为：342483maxccdFDt其中 c = D / d(3)强度条件弹簧危险点处于纯剪切状态。其强度

14、条件 ttmax42/593.5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形43/59pddGIxT相距 l 的两截面之间的扭转角lGIxTpd适用于等截面轴对等截面圆轴，若在长l的两横截面之间 T 为常量，则GIp 圆轴的扭转刚度扭转刚度pT lGI44/59对于截面变化不大的圆锥截面轴 lxGIxTpd45/59xdd 通常将轴的扭转角变化率扭转角变化率 或单位长度内的扭转角单位长度内的扭转角作为扭转变形指标。扭转角变化率圆轴扭转刚度条件pddTxGI maxpmaxTGI46/59xdd 通常将轴的扭转角变化率扭转角变化率 或单位长度内的扭转角单位长度内的扭转角作为扭转变形指标。对于等截面圆轴转换

15、为(/m) maxmaxpTGI maxmaxp180TGI47/59【例例3-4】 如图所示钻杆横截面直径为20mm，在旋转时BC段受均匀分布的扭力矩m的作用。已知使其转动的外力偶矩Me=120Nm，材料的切变模量G=80GPa，求钻杆两端的相对扭转角。48/59【例例3-4】解解(1)求各段扭矩0eBClmMBClMme由截面法，BC 任一截面上的扭矩m1 . 00 xxmT(2)求相对扭转角pepGIlMGIlTABABABAB段 任一截面上的扭矩eMTpep20p22dGIlMGImlGIxTBCBClBCBC49/59【例例3-4】解解BCABBCABBCABACllGIMGIlMG

16、IlM5 . 02pepepe代入数据m1 . 05 . 0m2 . 0m02. 032Pa1080mN12049AC37. 1rad0239. 050/59【例例3-5】 如图所示等截面圆轴AB，两端固定，在截面C和D处承受外力偶矩Me的作用，试绘出该轴的扭矩图。51/59【例例3-5】解解一次超静定问题(1) 建立静力平衡方程0eeBAMMMMBAMM设AC、CD、DB各段的扭矩分别为T1 、T2 、T3BAAMTMMTMT3e2152/59【例例3-5】解解(3) 建立物理方程及补充方程pp1GIaMGIaTAACpep2GIaMMGIaTACDpp3GIaMGIaTBDB(2) 建立几何方程0AB0DBCDACAB53/59【例例3-5】解解(5) 画出扭矩图(4) 联立静力学方程求解BAMMe31M0DBCDAC