有关三角形的证明学习教案

1、会计学1有关有关(yugun)三角形的证明三角形的证明第一页，共22页。目录(ml)CONTENTS全等三角形等腰三角形等边三角形反证法含30直角三角形创新(chungxn)思考：辅助线课题总结361314172021第1页/共22页第二页，共22页。 如图，a，b，c分别表示ABC的三边长，则下面(xi mian)与ABC一定全等的三角形是（ B ）提示：两边及夹角提示：两边及夹角(ji jio)对应相等的两个三角形全等（对应相等的两个三角形全等（SAS）（2011江西）如图下列条件中，不能证明ABDACD的是（D）ABDDC，ABACBADBADC，BDDCCBC，BADCADDBC，BD

2、DC 下列判断中错误的是（B）A有两角和一边对应相等的两个三角形全等B有两边和一角对应相等的两个三角形全等C有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D有一边对应相等的两个等边三角形全等 提示：三条边对应相等的两个三角形全等；提示：三条边对应相等的两个三角形全等； 两边及夹角对应相等的两个三角形全等；两边及夹角对应相等的两个三角形全等； 两角及其中一角的对边相等的两个三角形全等。两角及其中一角的对边相等的两个三角形全等。第2页/共22页第三页，共22页。 若ABCDEF，则有： AB= DE ,BC= EF ,AC= DF ; A= D ,B= E ,C= F.性质性质(xngzh)：全

3、等三角形的对应边相等、对应：全等三角形的对应边相等、对应角相等角相等.第3页/共22页第四页，共22页。两边两边(lingbin)及夹角对应相等的两个三角形全等及夹角对应相等的两个三角形全等 两角及夹边对应(duyng)相等的两个三角形全等两角及其中一角的对边相等的两个三角形全等两角及其中一角的对边相等的两个三角形全等全等三角形的对应边相等、对应角相等全等三角形的对应边相等、对应角相等SASASAAAS性质性质SSS三条边对应相等三条边对应相等的的两两个个三角形全等三角形全等345三角形全等的判定第4页/共22页第五页，共22页。 已知：如图，在ABC中，AB=AC. 求证(qizhng)：B

4、=CABC 归纳：等腰三角形的两个(lin )底角相等。第5页/共22页第六页，共22页。 在ABC中，AD还具有(jyu)怎样的性质？ BD=DC ADB=ADCADB+ADC=180ADB=ADC=90BAD=CADABDACD归纳：归纳： “三线合一三线合一”等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线互相等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线互相(h xing)重合。重合。 第6页/共22页第七页，共22页。如图,在三角形ABD中,C是BD上的一点,且AC垂直BD,AC=BC=CD.(1) 求证(qizhng):ABD是等腰三角形；(2) 求ABD的度数。证明(zhngm

5、ng)（1） ACBD，AC=BC=CD ACB=ACD=90 ACBACD AB=AD ABD是等腰三角形。解（2） ACBD，AC=BC=CD ACB、ACD都是等腰直角三角形。 B= D=45 BAD=90 （2011铜仁）下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是（C）A等腰三角形两底角相等B等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合C等腰三角形是中心对称图形D等腰三角形是轴对称图形提示：依据等腰三角形的有关性质提示：依据等腰三角形的有关性质 如图所示，是用两个形状大小完全相同的一个角为30的直角三角形拼成的，其中两条直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数为（C）A 1个

6、B 2个C 3个 D 4个第7页/共22页第八页，共22页。已知:如图,在ABC中,AB=AC,BD,CE是ABC角平分线.求证(qizhng):BD=CE.证明证明(zhngmng):AB=AC(zhngmng):AB=AC(已知已知),),ABC=ACB(ABC=ACB(等边对等角等边对等角).).又又1= ABC,2=1= ABC,2=ACB(ACB(已知已知),),1=2(1=2(等式性质等式性质).).在在BDCBDC与与CEBCEB中中DCB= EBCDCB= EBC（已知）（已知）, , BC=CB BC=CB（公共边）（公共边）, ,1=21=2（已证）（已证）, ,BDCBD

7、CCEBCEB（ASAASA）. .BD=CE(BD=CE(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等) )212112探究：等腰三角形两条腰上的中线相等吗？高呢？还有其他结论吗？ 通过几何语言尝试证明你的结论。第8页/共22页第九页，共22页。第9页/共22页第十页，共22页。 已知：如图，在ABC中，B=C； 求证：AB=AC.提示：构造(guzo)两个全等的三角形，使AB与AC成为对应边 归纳(gun)：有两个角相等的三角形是等腰三角形。第10页/共22页第十一页，共22页。等腰三角形的两个底角相等有两个角相等的三角形是等腰三角形等腰三角形的“三线合一”等腰三角形两底角的平分线相等等腰

8、三角形两腰上的中线相等等腰三角形两腰上的高相等等边对等角等角对等边第11页/共22页第十二页，共22页。归纳：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60定理(dngl)：三边都相等的三角形是等边三角形； 有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形； 三个角都等于60的三角形是等边三角形。已知：ABC中，AB=BC=AC.求证(qizhng)：A=B=C=60ABC第12页/共22页第十三页，共22页。 在一个三角形中，如果(rgu)两个角所对的边不相等,那么这个角也不相等.你认为这个结论(jiln)成立吗?如果成立,你能证明它吗?即在ABC中,如果(rgu)ABAC,那么AC. 假设A=C,

9、 那么根据“等角对等边” 得AB=AC,与已知条件是ABAC相矛盾。因此假设不成立,原命题成立，即AC.第13页/共22页第十四页，共22页。 在证明上题时，先假设命题的结论反面成立，然后推导出与定义，公理、已证定理(dngl)或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。 这种证明方法称为反证法 反证法是一种重要的数学证明方法.在解决某些问题时常常会有出人意料的作用.第14页/共22页第十五页，共22页。如何证明这个结论:如果(rgu)a1,a2,a3,a4,a5都是正数,a1+a2+a3+a4+a5=1,那么,这五个数中至少有一个大于或等于1/5.用反证法来证明用反证法来证明:证明证

10、明:假设这五个数全部小于假设这五个数全部小于1/5,那么这五个数的和那么这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5就小于就小于1.这与已知这五个数的和这与已知这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾相矛盾(modn).因此假设不成立因此假设不成立, 原命题成立原命题成立,即这五个数中至少有下个大于或等于即这五个数中至少有下个大于或等于1/5.第15页/共22页第十六页，共22页。操作操作(cozu):(cozu):用两个含有用两个含有300300角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？300300能拼出一个能拼出一个(y )(y )等边三角形吗？说说

11、你的理由等边三角形吗？说说你的理由. .由此你想到，由此你想到，在直角三角形中在直角三角形中, 30, 300 0角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？证明你的结论。证明你的结论。结论:在直角三角形中, 300角所对的直角边等于斜边的一半.第16页/共22页第十七页，共22页。定理定理: :在直角三角形中在直角三角形中, , 如果一个如果一个(y (y )锐角等于锐角等于3030，那么它所，那么它所对的直角边等于斜边的一半对的直角边等于斜边的一半. .已知:如图,在ABC中,ACB=90,A=30求证(qizhng):BC= AB.21ACBD提示：延长B

12、C至D,使CD=BC,连接AD线段的倍、分线段相等解题步骤证明: 延长BC至D,使CD=BC,连接AD ACB=90, (已知),ACD=90(平角意义)在ABC与ADC中BC=DC（作图）ACB=ACD（已证）AC=AC（公共边）ABCADC（SAS） AD=ABACB=90,A=30(已知),B=600(直角三角形两锐角互余).ABD是等边三角形(有一个角是60的等腰三角形是等边三角形)BC= BD= AB(等式性质).第17页/共22页第十八页，共22页。第18页/共22页第十九页，共22页。 阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明.已知：如图1所示，E是BC的中点，点A在DE上，且BAECDE. 求证：ABCD.分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等. 因此，要证ABCD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形.现给出