数理方程与特殊函数钟尔杰方程求解叠加原理学习教案

1、会计学1数理方程与特殊数理方程与特殊(tsh)函数钟尔杰方程函数钟尔杰方程求解叠加原理求解叠加原理第一页，共16页。022222 xuatu例例1 1 求一维齐次双曲型方程求一维齐次双曲型方程(fngchng)(fngchng)通解通解0)(22 adtdx令令dtdx 022 a a 2, 1 , adtdx adtdx 21catxcatx atxatx 特征方程特征方程0)(22222 uxat 11aaxxtt Jacobi矩阵矩阵(j zhn)第1页/共16页第二页，共16页。 uuuuuuuuxxttxxttxt uuaaxutu11 xtaxtxat222222001 11aa

2、200111aaa 11aaxt第2页/共16页第三页，共16页。 022022aa 224a0)(22222 uxat0422 ua)()( gfu 通解通解(tngji) u(x, t) = f(x at ) + g(x + at ) atxatx 第3页/共16页第四页，共16页。二阶方程二阶方程(fngchng)自变量的变换自变量的变换: a11uxx+ 2a12uxy + a22uyy + b1ux+b2uy+cu = f 222221222112yuayxuaxua 222221222112yayxaxa uuuuyyxxyx yxaaaayx22211211 Qyx yyxxQ

3、),(),(yxyx 第4页/共16页第五页，共16页。22212211112yyxxaaaa 22212211222yyxxaaaa yyxyyxxxaaaa 22121112)( 其中其中(qzhng) yyxxyxyxaaaaaaaa 2221121122211211 22211211aaaauauauauauauayyxyxx22121122121122 yxaaaayx22211211=0=0第5页/共16页第六页，共16页。0222212211 yyxxaaa Cyx ),( 0 dxdyyx yxdxdy / 0/2/22122211 aaayxyx 02)(2212211 ad

4、xdyadxdya0)(2)(22212211 dxadydxadya特征方程特征方程一般一般(ybn)第6页/共16页第七页，共16页。1. 由由 a11uxx+ 2a12uxy + a22uyy=0 构造构造(guzo)二次方程二次方程022212211 aaa 3. 写出新方程写出新方程(fngchng)及通解及通解.求解求解, 得得1 2 2. 构造构造(guzo)线线性变换性变换xyxy21, 0 u)()( gfu 4. 将变换表达式代入得原方程通解将变换表达式代入得原方程通解)()(21xygxyfu 222112211112)(aaaa 第7页/共16页第八页，共16页。例例2

5、 2 求方程求方程(fngchng)(fngchng)的通解的通解 uxx+ 2uxy 3uyy = 0 uxx+ 2uxy 3uyy = 00322 xyxy3 12a=1 1 (3) +11+(-3)3= 8 )3()(xygxyfu 通解通解: :解解: 由特征方程由特征方程0)3)(1( 1 3 变换变换(binhun):08 u0 u)()( gfu 1131yyxx 第8页/共16页第九页，共16页。例例3 3 求方程求方程(fngchng) uxx 4x2uyy = 0 (fngchng) uxx 4x2uyy = 0 的通解的通解 解解: 由特征方程由特征方程04)(22 xd

6、xdy,2xdxdy xdxdy2 22Cxy 12Cxy yxyx22 变换变换(binhun):222128)1(44xxxa 082 ux0 u)()( gfu )()(22yxgyxfu 通解通解: : 1122xxyyxx 第9页/共16页第十页，共16页。例例4. 讨论讨论 x2uxx + 2xyuxy + y2uyy = 0 的类型的类型(lixng),并化为标准型并化为标准型,再求通解再求通解.特征方程特征方程0)(2)(222 ydxdyxydxdyx判别式判别式: a122 a11a22 = (xy)2 x2y2 = 0 故故,该微分方程该微分方程(wi fn fn chn

7、)为抛物型为抛物型xydxdy ln y = ln x + C0y = Cx构造变换构造变换:xy y 22110 xyxxyJ 第10页/共16页第十一页，共16页。022221221111 yyxxaaaa x2uxx + 2xyuxy + y2uyy = 0 1102xxyyyxx 222212211222yaaaayyxx 0)(22121112 yyxyyxxxaaaa a11a12a22标准型标准型:02 uy)( fu )()( gfu )()(xygxyfyu 通解通解:0 u第11页/共16页第十二页，共16页。物理现象的叠加性：几种不同物理现象的叠加性：几种不同(b tn)

8、(b tn)的因素同时出现时所产生的效果，等于各个因素单独出现时所产生的效果的总和（叠加）。的因素同时出现时所产生的效果，等于各个因素单独出现时所产生的效果的总和（叠加）。 在同一时刻同一高度在同一时刻同一高度,B,B球自由下落球自由下落,A,A球向水平方向射出球向水平方向射出. .实验实验(shyn)(shyn)结果是结果是A,BA,B两球同时落地两球同时落地A球水平方向的运动不影响竖直球水平方向的运动不影响竖直(sh zh)方向的运动方向的运动, 抛射体运动是两个方向运动的叠加抛射体运动是两个方向运动的叠加第12页/共16页第十三页，共16页。u(x1, x2, xn)满足满足(mnz)二

9、阶线性微分方二阶线性微分方程程 fcuxubxxuanjiniiijiij 1,122 njiniiijiijcuxubxxuaLu1,122记记引入二阶线性微分算子引入二阶线性微分算子 njiniiijiijcxbxxaL1,122显然显然(xinrn): Lc1u1+ c2u2= (xinrn): Lc1u1+ c2u2= c1 Lu1+ c2 Lu2c1 Lu1+ c2 Lu2第13页/共16页第十四页，共16页。 niiiniiifcucL11)(叠加原理叠加原理1: 设设ui满足满足(mnz)线性微分方程线性微分方程 Lui = fi (i=1,n) 则有：则有： 例例5 5 求方程

10、求方程(fngchng) uxx+ 2uxy 3uyy = x2 (fngchng) uxx+ 2uxy 3uyy = x2 的一般解的一般解解解: : 易证易证 u1= x4 /12 u1= x4 /12 是方程是方程(fngchng)(fngchng) uxx+ 2uxy 3uyy uxx+ 2uxy 3uyy = x2 = x2 的解的解而而 u2=f(y 3x)+g(y+ x) 是方程是方程 uxx+ 2uxy 3uyy = 0的一般解的一般解故故 u = u1 + u2 是方程是方程 uxx+ 2uxy 3uyy = x2 的一般解的一般解第14页/共16页第十五页，共16页。习题习题(xt)2.4（P.36）1、2 (1),(3)思考题思考题1.方程方程 a11uxx+ 2a12uxy + a22uyy=0 特征方程如何构特征方程如何构造？造？2.如何用矩阵表示如何用矩阵