六、公平的席位分配

1、离 散 模 型问题的由来问题的由来 根据美国宪法，美国国会分参议院和众议院，参议院中各州有等额议席，而众议院“议员名额将根据各州的人口比例分配”。这就是席位分配问题的缘起。席位分配问题政治学中的一个数学问题，也就是“按人口比例分配议员名额”的计算方法的问题，是数学在政治学中的一个应用。它以应用浅显的数学知识得出了深刻的政治结论，却一直未获根本解决，因此而著称于世。把这个问题数学化，则可作如下探讨设美国一共有s个州，众议院一共设有h个议员席位。再设第i州有人口pi（i=1, 2, s），则全国总人口有P=p1+p2+ps，第i州的人口占全国总人口的比例为pi/P 。按上述宪法原则，第i州应有(p

2、i/P)h个议员名额，记为qi= (pi/P)h称之为第i州的“份额”，则显然有q1+q2+qs=h。但是一般地，qi不是整数，而议员名额却必须是整数。怎么办？这就是名额分配问题的症结所在。用“四舍五入法”或“去尾法”或“进一法”对q取整数，都不行，因为这就会出现席位不够，或者席位剩余的情况。既然不能通过简单的对份额取整完成席位分配，问题就成为：在众议院席位数h，州数s，各州人口数pi（i=1, 2, 3, s）给定的条件下，求出各州的份额qi（i=1, 2, s）后，如何找出相应的一组整数a1，a2，as，使得a1+a2+as=h，怎么才能让第i州取得a i（i=1, 2, 3, s）个议员

3、名额，并且“尽可能地”满足美国宪法所规定的“按人口比例分配”的原则？这就是“席位分配问题”。例1. 某学校有3个系共200名学生，其中甲系100名，乙系60名，丙系40名。若学生代表会议设20个席位，公平又简单的席位分配办法是按学生人数的比例分配，显然甲乙丙三系应分别占10,6,4个席位。现在丙系有6名学生转入甲乙两系，变动如下表： 系别系别学生人数学生人数学生人数学生人数的比例的比例 % % 2020个席位的分配个席位的分配 2121个席位的分配个席位的分配按比例分配的席位参照惯例 的结果按比例分配的席位参照惯例的结果 甲 103 51.5 10.3 10 10.815 11 乙 63 31

4、.5 6.3 6 6.615 7 丙 34 17.0 3.4 4 3.570 3 总和 200 100 20 20 21 21仍按比例（第3列）分配席位，此时席位出现了小数（第4列）。在将取整数的19席分配完毕后，剩余的1席参照惯例，分配给比例分配中小数部分最大的丙系，于是三系仍分别占有席位10,6,4席（第5列）。 系别系别学生人数学生人数学生人数学生人数的比例的比例 % % 2020个席位的分配个席位的分配 2121个席位的分配个席位的分配按比例分配的席位参照惯例 的结果按比例分配的席位参照惯例的结果 甲 103 51.5 10.3 10 10.815 11 乙 63 31.5 6.3 6

5、 6.615 7 丙 34 17.0 3.4 4 3.570 3 总和 200 100 20 20 21 21因为有20个席位的代表会议在表决提案时可能出现10:10的局面，会议决定增加一席。仍按照比例分配的原则进行，丙系却因总席位增加了一席，而由4席减少为3席。这个结果显然是不公平的。 系别系别学生人数学生人数学生人数学生人数的比例的比例 % % 2020个席位的分配个席位的分配 2121个席位的分配个席位的分配按比例分配的席位参照惯例 的结果按比例分配的席位参照惯例的结果 甲 103 51.5 10.3 10 10.815 11 乙 63 31.5 6.3 6 6.615 7 丙 34 1

6、7.0 3.4 4 3.570 3 总和 200 100 20 20 21 21按这种惯例分配的方法称为最大剩余法最大剩余法或最大分数法，它是由A.Hamilton提出的，曾在美国国会1850-1900年的众议员席位分配上多被多次采用，同时也被质疑，其原因之一就是会出现例子中的席位悖论席位悖论总席位增加反而可能导致某州席位减少。 系别系别学生人数学生人数学生人数学生人数的比例的比例 % % 2020个席位的分配个席位的分配 2121个席位的分配个席位的分配按比例分配的席位参照惯例 的结果按比例分配的席位参照惯例的结果 甲 103 51.5 10.3 10 10.815 11 乙 63 31.5

7、 6.3 6 6.615 7 丙 34 17.0 3.4 4 3.570 3 总和 200 100 20 20 21 21最大剩余法的另外一个重大缺陷是所谓的人口悖论人口悖论某州人口增加较多反而可能导致该州席位减少。 系别系别学生人数学生人数学生人数学生人数的比例的比例 % % 2020个席位的分配个席位的分配 2121个席位的分配个席位的分配按比例分配的席位参照惯例 的结果按比例分配的席位参照惯例的结果 甲 114 53.8 / / 11.298 11 乙 64 30.2 / / 6.342 6 丙 34 16.0 / / 3.360 4 总和 212 100 / / 21 21最大剩余法的

8、另外一个重大缺陷是所谓的人口悖论人口悖论某州人口增加较多反而可能导致该州席位减少。为了寻求新的、公平的席位分配方法，先讨论衡量公平的数量指标。不公平度指标不公平度指标 为简单起见考虑A,B两方分配席位的情况。设两方人数分别为 ，占有席位分别为 ，则比值 为两方每个席位所代表的人数。显然，仅当 时分配才是完全公平的，但是因为人数和席位都是整数，所以通常 ，分配不公平，并且是对比值较大的一方不公平。12,p p12,n n1122/,/pn pn1122/pnpn1122/pnpn不妨设 ，不公平程度可以用数值 衡量，但是这种衡量指标无法区分不公平程度明显不同的情况，因此需要改进。1122/pnp

9、n1122/pnpn为了改进上述的绝对标准，自然想到用相对标准。定义 为A的相对不公平度。若 ，定义为B的相对不公平度。11221222/( ,)/Apnpnr n npn2211/pnpn22111211/( ,)/Bpnpnr n npn1122221112122211/( ,)( ,)/ABpnpnpnpnr n nr n npnpn，建立了衡量分配不公平程度的指标 后，制定席位分配的原则是使它们尽可能小。,ABr r新的分配方法新的分配方法 假设A,B两方已分别占有席位 ，利用相对不公平度 讨论当总席位增加1席时，应该分配给A还是B.12,n n,ABr r设 ，大于号成立时对A不公平

10、。若增加的1席分配给A, 就变为 ；分配给B就有 ，原不等式可能出现以下3种情况。1122/ppnn1n11n 21n 1. ，说明即使A增加1席仍然对A不公平，这一席显然应该分配给A. 12121ppnn2. 说明A增加1席将对B不公平，参照 得出对B的相对不公平度为 1212,1ppnn1122221112122211/( ,)( ,)/ABpnpnpnpnr n nr n npnpn，Br211212(1)(1,)1(1)Bp nr nnp n1122221112122211/( ,)( ,)/ABpnpnpnpnr n nr n npnpn，3. 说明B增加1席将对A不公平，计算A的相

11、对不公平度得到 1212,1ppnn121221(1)( ,1)1(2)Ap nr n np n在使相对不公平度尽量小的分配原则下，如果1212(1,()3)1( ,)ABr nnrnn则增加的1席应分配给A；反之，则增加的1席应分配给B.联合（1），（2），（3）式得到：22212211(4)(1)(1)ppn nn n对于第1种情况 ，（4）式仍然成立，于是我们的结论是：当（4）式成立时，增加的1席应分配给A, 反之应分配给B.12121ppnn这种方法可以推广到有m方分配席位的情况。设第 i 方人数为 ,已占有 个席位，i=1,2,m，当总席位增加1席时，计算ipin2,1,2,(5)(

12、1)iiiipQimn n2,1,2,(5)(1)iiiipQimn n增加的1席应分配给Q值最大的一方，此方法可以称之为Q值法。下面用Q值法重新讨论例1中，甲、乙、丙三系分配21个席位的问题。 系别系别学生人数学生人数学生人数学生人数的比例的比例 % % 2020个席位的分配个席位的分配 2121个席位的分配个席位的分配按比例分配的席位参照惯例 的结果按比例分配的席位参照惯例的结果 甲 103 51.5 10.3 10 10.815 11 乙 63 31.5 6.3 6 6.615 7 丙 34 17.0 3.4 4 3.570 3 总和 200 100 20 20 21 21对本例，Q值法

13、可以从 （即初始时每系已经占有1席）开始计算，一直计算到19席的分配结果是 .再每次增加一席计算。1231nnn12310,6,3nnn 系别系别学生人数学生人数学生人数学生人数的比例的比例 % % 2020个席位的分配个席位的分配 2121个席位的分配个席位的分配按比例分配的席位参照惯例 的结果按比例分配的席位参照惯例的结果 甲 103 51.5 10.3 10 10.815 11 乙 63 31.5 6.3 6 6.615 7 丙 34 17.0 3.4 4 3.570 3 总和 200 100 20 20 21 212,1,2,(5)(1)iiiipQimn n第20席：22212310

14、36334=96.45,94.50,96.33.10611743QQQ显然 最大，增加的一席应该分配给甲系。1Q 系别系别学生人数学生人数学生人数学生人数的比例的比例 % % 2020个席位的分配个席位的分配 2121个席位的分配个席位的分配按比例分配的席位参照惯例 的结果按比例分配的席位参照惯例的结果 甲 103 51.5 10.3 10 10.815 11 乙 63 31.5 6.3 6 6.615 7 丙 34 17.0 3.4 4 3.570 3 总和 200 100 20 20 21 212,1,2,(5)(1)iiiipQimn n第21席： . 增加的1席应分配给丙系。21231

15、0380.3794.50,96.3311 12QQQ， 系别系别学生人数学生人数学生人数学生人数的比例的比例 % % 2020个席位的分配个席位的分配 2121个席位的分配个席位的分配按比例分配的席位参照惯例 的结果按比例分配的席位参照惯例的结果 甲 103 51.5 10.3 10 10.815 11 乙 63 31.5 6.3 6 6.615 7 丙 34 17.0 3.4 4 3.570 3 总和 200 100 20 20 21 21这样分配的结果是三系分别占有11,6,4席，因此丙系保住了按照最大剩余法分配将会失掉的1席。可是，如果总席位是20席时，结果为11,6,3席，与最大剩余法

16、的10,6,4席不同。因此很难说这个方法对丙系有利还是不利。 系别系别学生人数学生人数学生人数学生人数的比例的比例 % % 2020个席位的分配个席位的分配 2121个席位的分配个席位的分配按比例分配的席位参照惯例 的结果按比例分配的席位参照惯例的结果 甲 103 51.5 10.3 10 10.815 11 乙 63 31.5 6.3 6 6.615 7 丙 34 17.0 3.4 4 3.570 3 总和 200 100 20 20 21 21虽然从Q值法与最大剩余法对着具体问题不同的分配结果看，难以对二者进行评判，可是Q值法不仅有明确的不公平度指标，而且由于是每增加1席地计算Q值，所以不

17、会出现席位悖论（也可以证明不会出现人口悖论）。实际上，这个方法是20世纪20年代由哈弗大数学家E.V.Huntington提出和推荐的一系列席位分配方法中的一个。存在公平的席位分配方法吗？存在公平的席位分配方法吗？约两个世纪以来，出于美国和欧洲诸如议会席位分配等社会政治活动的需要，一些人先后提出了许多分配方法，这些方法对同一个问题常常给出不同的结果，还会出现违反人们意愿甚至违背常识的现象，这更引起数学家们深入研究的兴趣。所谓公理化方法就是先提出公平的席位分配应该具有的若干性质，再找出满足这些性质的分配方法。如果不存在这样的方法，那就讨论现有的方法分别满足其中的哪些，再做改进，使之满足更多的性质；或者改变、减少原来提出的性质，再做探寻。定义： 表示人数为p,总席位为s时分配给第i方的席位，i=1,m那么公平的席位分配应该具备的3条主要性质:( , )iinfp s1. 即 必须是精确的席位份额 向下或向上分配取整得到的，成为份额性。份额性。